2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：圓的相關(guān)概念與性質(zhì)（講義）（解析版）

考點(diǎn)19.圓的相關(guān)概念與性質(zhì)（精講）

【命題趨勢(shì)】

圓的相關(guān)概念及性質(zhì)在中考數(shù)學(xué)中，小題通?？疾閳A的基本概念、垂徑定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊

形等基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度一般在中檔及以下，而在解答題中，圓的基本性質(zhì)還可以和相似、三角形函數(shù)、特殊四

邊形等結(jié)合出題，難度中等或偏上。在整個(gè)中考中的占比也不是很大，通常都是一道小題一道大題，分值在

8-10分左右，屬于中考中的中檔考題。所以考生在復(fù)習(xí)這塊考點(diǎn)的時(shí)候，要充分掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)的各個(gè)

概念、性質(zhì)以及推論。

【知識(shí)清單】

1.與圓有關(guān)的概念（☆）

1）圓：平面上到定點(diǎn)（圓心）的距離等于定長(zhǎng)（半徑）的所有點(diǎn)組成的圖形。

2）弦與直徑：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，過圓心的弦叫做直徑,直徑是圓內(nèi)最長(zhǎng)的弦。

3）?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，符號(hào)：；小于半圓的弧叫劣弧,大于半圓的弧叫優(yōu)弧。

4）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。

5）圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓還有一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。

6）弦心距：圓心到弦的距離，叫弦心距。

7）同圓：圓心相同且半徑相等的圓叫做圓圓；等圓：半徑相等的圓叫做等圓；同心圓：圓心相同，半徑不

相等的兩個(gè)圓叫做同心圓。

8）在同圓或等圓中能夠互相重合的弧是等弧,度數(shù)或長(zhǎng)度相等的弧不一定是等弧。

2；二圓的相關(guān)性質(zhì)及推理（☆☆☆）

1）圓的對(duì)稱性

（1）圓既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形。其中直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸；圓心是圓的對(duì)稱中心，

將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與自身重合，這說明圓具有旋轉(zhuǎn)不變性。

（2）圓是一個(gè)特殊的對(duì)稱圖形，它的許多性質(zhì)都可以由它的對(duì)稱性推出。

2）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

解題技巧：關(guān)于垂徑定理的計(jì)算常與勾股定理相結(jié)合，解題時(shí)往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂

線，構(gòu)造直角三角形。

3）推論

1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；

2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

3）如圖，可得①AB過圓心；②ABEIC。；③CE=DE；?AC=AD；⑤BC=BD。

總結(jié)：垂徑定理及其推論實(shí)質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過圓心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不

是直徑）；（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)??；（5）平分弦所對(duì)的劣弧。若已知五個(gè)條件中的兩個(gè)，那么可推出其中三

個(gè)，簡(jiǎn)稱“知二得三”，解題過程中應(yīng)靈活運(yùn)用該定理。

4）弧、弦、圓心角的關(guān)系

定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相笠，那么它們所

對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等。

解題技巧：運(yùn)用這些相等關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)線段相等與角相等之間的相互轉(zhuǎn)化。

5）圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的二生。

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。

推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角,90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

注意：圓的一條弧（弦）只對(duì)著一個(gè)圓心角，對(duì)應(yīng)的圓周角有無數(shù)個(gè)，但圓周角的度數(shù)只有兩個(gè)，這兩個(gè)度

數(shù)和為180%

6）圓內(nèi)接四邊形：如果四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形。這個(gè)圓叫做這

個(gè)四邊形的外接圓。

性質(zhì)：（1）圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ);（2）圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角。

解題技巧：（1）在證明圓周角相等或弧相等時(shí)，通?！坝傻冉钦业然　被颉坝傻然≌业冉恰?；（2）當(dāng)已知圓

的直徑時(shí)，常構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角；（3）在圓中求角度時(shí)，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。比如圓

心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)

化等。

【易錯(cuò)點(diǎn)歸納】

1.求兩條弦間的距離時(shí)要分類討論兩條弦與圓心的相對(duì)位置：兩弦在圓心的同側(cè)，兩弦在圓心的異側(cè)。

2.圓周角定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的

圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角。

【核心考點(diǎn)】

核心考點(diǎn)1.圓的有關(guān)概念

例1：（2023?安徽安慶?九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說法中正確的是（）

A.直徑是弦，半圓不是弧B.相等的圓心角所對(duì)的弧也相等

C.周長(zhǎng)相等的兩個(gè)圓是等圓D.圓是軸對(duì)稱圖形，每一條直徑都是它的對(duì)稱軸

【答案】C

【分析】本題主要考查了圓的基本性質(zhì).根據(jù)圓的基本性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷，即可求解.

【詳解】解：A、直徑是弦，半圓是弧，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、同圓（或等圓）中，相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C、周長(zhǎng)相等的兩個(gè)圓是等圓，故本選項(xiàng)正確，符合題意；D、圓是軸對(duì)稱圖形，每一條直徑所在的直線都

是它的對(duì)稱軸，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C

變式1.（2023?江蘇宿遷?九年級(jí)校聯(lián)考期中）下列說法中，正確的是（）

A.半圓是弧，弧也是半圓B.長(zhǎng)度相等的弧是等弧C.弦是直徑D.在一個(gè)圓中，直徑是最長(zhǎng)的弦

【答案】D

【分析】本題考查圓的基本概念辨析.根據(jù)?。簣A上兩點(diǎn)及其所夾的部分；弦：連接圓上兩點(diǎn)形成的線

段，逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、半圓是弧，但弧不一定是半圓，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的弧是等弧，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、弦不一定是直徑，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、在一個(gè)圓中，直徑是最長(zhǎng)的弦，故選項(xiàng)正確；故選D.

變式2.（2023?福建??？级＃┥钪薪?jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會(huì)掉進(jìn)井里去，這是因?yàn)?/p>

（）

A.同樣長(zhǎng)度的線段圍成的平面圖形中圓的面積最大B.同一個(gè)圓所有的直徑都相等

C.圓的周長(zhǎng)是直徑的7倍D.圓是軸對(duì)稱圖形

【答案】B

【分析】根據(jù)圓的特征即可求解.

【詳解】解：根據(jù)同一個(gè)圓所有的直徑都相等，則井蓋就不會(huì)掉進(jìn)井里去，故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基礎(chǔ)知識(shí)，理解并掌握?qǐng)A的基礎(chǔ)知識(shí)，圓的基本特征是解題的關(guān)鍵.

例2：（2023?江蘇連云港?統(tǒng)考中考真題）如圖，甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是

由兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖形；丙是由不過圓心。的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，下列敘述

正確的是（）

A.只有甲是扇形B.只有乙是扇形C.只有丙是扇形D.只有乙、丙是扇形

【答案】B

【分析】根據(jù)扇形的定義，即可求解.扇形，是圓的一部分，由兩個(gè)半徑和和一段弧圍成.

【詳解】解：甲是由一條直徑、一條弦及一段圓弧所圍成的圖形：乙是由兩條半徑與一段圓弧所圍成的圖

形；丙是由不過圓心。的兩條線段與一段圓弧所圍成的圖形，只有乙是扇形，故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的定義，熟練掌握扇形的定義是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023上?河北滄州?九年級(jí)校考期中）如圖，由點(diǎn)尸引出的上4、PB、PC、PD為的四條弦，其

中最長(zhǎng)的是（）

A.PAB.PBC.PCD.PD

【答案】C

【分析】本題考查了圓中最長(zhǎng)的弦為直徑，根據(jù)圓中最長(zhǎng)的弦為直徑進(jìn)行作答即可.

【詳解】解：由圖可知，PC過圓心為直徑，回PC最長(zhǎng)，故選：C.

變式2.（2023?浙江紹興?校聯(lián)考三模）計(jì)算機(jī)處理任務(wù)時(shí)，經(jīng)常會(huì)以圓形進(jìn)度條的形式顯示任務(wù)完成的百分

比.下面是同一個(gè)任務(wù)進(jìn)行到不同階段時(shí)進(jìn)度條的示意圖：若圓半徑為1,當(dāng)任務(wù)完成的百分比為尤時(shí)，線

段的長(zhǎng)度記為d（x）.下列描述正確的是（）

A.d(25%)=IB.當(dāng)x>50%時(shí)，d(x)>1

C.當(dāng)占>尤2時(shí)，d(Xj)>d(%2)D,當(dāng)玉+三=100%時(shí)，d(xi)=d%)

【答案】D

【分析】根據(jù)已知，利用圖象判斷即可.

【詳解】解：如圖，當(dāng)x=25%時(shí)，ZMON=90°

當(dāng)x=50%時(shí)，NMON=180。；OM=ON=l；

A、d(25%)=0>1，本選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)x>50%時(shí)，0Wd(x)<4,本選項(xiàng)不符合題意；

C、當(dāng)玉>超時(shí)，〃(%)與〃(尤2)可能相等，可能不等，本選項(xiàng)不符合題意；

D、當(dāng)藥+三=100%時(shí)，d(x>=成％)，本選項(xiàng)符合題意；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓知識(shí)的應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

例3：(2023年江蘇省徐州市中考數(shù)學(xué)真題)兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館"天工漢玉”展廳參觀時(shí)了

解到；玉壁，玉環(huán)為我國的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據(jù)《爾雅?釋器》記載：“肉倍

好，謂之璧；肉好若一，調(diào)之環(huán)."如圖1,"肉"指邊(陰影部分)，"好"指孔，其比例關(guān)系見圖示，以考古

發(fā)現(xiàn)看，這兩種玉器的"肉"與"好"未必符合該比例關(guān)系.

（2）利用圓規(guī)與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）.

①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合"肉好若

一"？②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好"，請(qǐng)畫出內(nèi)孔.

【答案】（1）32:27⑵①符合，圖見詳解；②圖見詳解

【分析】（1）根據(jù)圓環(huán)面積可進(jìn)行求解；（2）①先確定該圓環(huán)的圓心，然后利用圓規(guī)確定其比例關(guān)系即

可；②先確定好圓的圓心，然后根據(jù)平行線所截線段成比例可進(jìn)行作圖.

【詳解】（1）解:由圖1可知：璧的"肉”的面積為%x（32-F）=8;r；環(huán)的"肉”的面積為

%x02-1.52）=6.75萬，團(tuán)它們的面積之比為8萬:6.75萬=32:27；故答案為32:27；

（2）解：①在該圓環(huán)任意畫兩條相交的線，且交點(diǎn)在外圓的圓上，且與外圓的交點(diǎn)分別為A、B、C,則

分別以A、B為圓心，大于二48長(zhǎng)為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)，同理可畫出線段AC的垂直平分

線，線段AB,AC的垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心0,過圓心。畫一條直徑，以。為圓心，內(nèi)圓半徑為半徑

畫弧，看是否滿足“肉好若一”的比例關(guān)系即可

由作圖可知滿足比例關(guān)系為1:2:1的關(guān)系；

②按照①中作出圓的圓心O,過圓心畫一條直徑A3,過點(diǎn)A作一條射線，然后以A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半

徑畫弧，把射線三等分，交點(diǎn)分別為C、D、E,連接BE,然后分別過點(diǎn)C、。作BE的平行線，交A3于

點(diǎn)、F、G,進(jìn)而以FG為直徑畫圓，則問題得解；如圖所示：

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)及平行線所截線段成比例，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)及平行線所截線段

成比例是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2021?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個(gè)正方形孔，已知圓的直徑與

正方形的對(duì)角線之比為3：1,則圓的面積約為正方形面積的（）

A.27倍B.14倍C.9倍D.3倍

【答案】B

【分析】設(shè)。8=尤，則。4=3尤，BC=2x,根據(jù)圓的面積公式和正方形的面積公式，求出面積，進(jìn)而即可求

解.

【詳解】解：由圓和正方形的對(duì)稱性，可知：OA=OD,OB=OC,

團(tuán)圓的直徑與正方形的對(duì)角線之比為3：1,團(tuán)設(shè)則OA=3x,BC=2x,

1

團(tuán)圓的面積=冗（3力2=9心2,正方形的面積=3（2尤）~=2/,

9

國9nx2+2/=二萬。14,即：圓的面積約為正方形面積的14倍，故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓和正方形的面積以及對(duì)稱性，根據(jù)題意畫出圖形，用未知數(shù)表示各個(gè)圖形的面

積，是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2023?山東德州?統(tǒng)考二模）《墨子?天文志》記載："執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓."度方知圓，感悟數(shù)

學(xué)之美.如圖，正方形ABCD的面積為2,以它的對(duì)角線的交點(diǎn)為位似中心，作它的位似圖形AB'CD,

若AB':AB=2:1,則四邊形AB'CD'的外接圓的周長(zhǎng)為.

【答案】4萬

【分析】根據(jù)正方形ABCD的面積為2,求出=根據(jù)位似比求出49=2血，周長(zhǎng)即可得出;

【詳解】解：連接AC',則AC'是四邊形AB'C'D的外接圓的直徑.

A'

正方形ABC。的面積為2,，AB=應(yīng)，AB'tAB=2:1,A'B'=B'C=2＞/2，

AC'=y/AB'2+B'C'2=4＞回四邊形AB'C'D'的外接圓的周長(zhǎng)=4'。］=4"；故答案為：44.

【點(diǎn)睛】本題考查位似圖形，涉及知識(shí)點(diǎn)：正方形的面積，正方形的對(duì)角線，圓的周長(zhǎng)，解題關(guān)鍵求出正

方形ABCD的邊長(zhǎng).

例4：（2022?山東東營?統(tǒng)考中考真題）如圖，在＜。中，弦AC〃半徑O3,NBOC=40。，則/AOC的度數(shù)

為.

【答案】1007100度

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出回0cA的度數(shù)，再根據(jù)等邊對(duì)等角求出回。4c的度數(shù)，即可利用三角形內(nèi)

角和定理求出EAOC的度數(shù).

【詳解】解：SAC//OB,EHOCA=I3BOC=40°,

0OA=OC,00OAC=EOCA=4O°,0EIA（?C=18OO-0OAC-EOCA=1OOO,故答案為：100°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟知相

關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023?湖南長(zhǎng)沙??？级＃┤鐖D，點(diǎn)A,B,C均在上，若/A=48。，NC=15。，則4=

A

A.48°B.78°C.63°D.49°

【答案】C

【分析】連接。4，根據(jù)等邊對(duì)等角得出NQ4C=/C=15。，貝1）/018=63°,最后根據(jù)等角對(duì)等角得出

NB=NOAB,即可求解.

【詳解】解：如圖，連接。4,SOA=OC,回，Q4C=/C=15。，

EI，3AC=48°,13—045=48°+15°=63°,SOA=OB,回/3=/OAB=63°.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握半徑相等，等腰三角形"等

邊對(duì)等角".

變式2.（2023年江西省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點(diǎn)A,B,C,D均在直線/上，點(diǎn)尸在直線/外，則經(jīng)過

其中任意三個(gè)點(diǎn)，最多可畫出圓的個(gè)數(shù)為（）

P.

ABCD

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【答案】D

【分析】根據(jù)不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓可得，直線上任意2個(gè)點(diǎn)加上點(diǎn)尸可以畫出一個(gè)圓，據(jù)此列舉所有可

能即可求解.

【詳解】解：依題意，AB；A,C；A,D-B,C.B,D,C,D加上點(diǎn)P可以畫出一個(gè)圓，

團(tuán)共有6個(gè)，故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了確定圓的條件，熟練掌握不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓是解題的關(guān)鍵.

例5：（2024上?北京豐臺(tái)?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)。為線段A8的中點(diǎn)，ZACB=ZADB=90°,連接

OC,OD.則下面結(jié)論不一定成立的是（）

A.OC=ODB.NBDC=NBACC.ZBCD+ZBAD=180°D.AC平分/BAD

【答案】D

【分析】本題考查了直角三角形的特征，圓的定義，圓的基本性質(zhì)；由直角三角形斜邊上的中線是斜邊的

一半得OD=OC=Q4=O3,再由圓的定義得點(diǎn)A、D、C、8在以。為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上，由圓

的基本性質(zhì)及圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求解；掌握有關(guān)性質(zhì)，能根據(jù)圓的定義確定A、。、C、2四點(diǎn)共

圓是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?點(diǎn)。為線段的中點(diǎn)，ZACB=ZADB=90°,

:.OD=-AB,OC=-AB,:.OD=OC=OA=OB,

22

點(diǎn)A、。、C、8在以。為圓心，CM長(zhǎng)為半徑的圓上，如圖，故A結(jié)論正確，不符合題意；

由圓周角定理得到=故B結(jié)論正確，不符合題意；

；四邊形ABC。是圓內(nèi)接四邊形，二/欣笫+/3">=180。，故C結(jié)論正確，不符合題意；

BC和CD不一定相等，二NDAC和NBAC不一定相等，

「.AC不一定平分-540,故D結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意.故選：D.

變式1.（2023上?江蘇無錫?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，線段A8為。的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上,

AB=4,BC=2,點(diǎn)尸是；。上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,以C尸為斜邊在PC的上方作用PCD,且使

NDCP=60°,連接OD,則OD長(zhǎng)的最大值為（）

A.V19B.2^/3C.2A/3+1D.4

【答案】C

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系；作.、COE,使得NCEO=90。，

QpQp

NECO=60°,則CO=2CE,。5=2石，Z.OCP=ZECD,由△COPs^CED,推出一=一=2,即

EDCD

EO=；0P=1（定長(zhǎng)），由點(diǎn)E是定點(diǎn)，DE是定長(zhǎng)，點(diǎn)。在半徑為1的上，由此即可解決問題.

【詳解】解：如圖，作.COE,使得NCEO=90。，NECO=60°,則CO=2CE,OE=2^,

ZCDP=90°,ZDCP=60°,:.CP=2CD,—=—=2,

CECD

OPCP1

:.XOP^CED,—=—=2,gpED=-OP=\（定長(zhǎng)），

EDCD2

.?點(diǎn)E是定點(diǎn)，OE是定長(zhǎng)，，點(diǎn)。在半徑為1的E上，

OD<OE+DE=2y/3+l,二的最大值為2月+1,故選：C.

變式2.（2023?廣東汕頭?統(tǒng)考一模）如圖，在等腰RtABC中，AC=BC=3及，點(diǎn)尸在以斜邊AB為直徑

的半圓上，M為PC的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)尸沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是.

【答案】；3乃

【分析】取AB中點(diǎn)。，連接OP,OC,取0C中點(diǎn)O,連接由勾股定理可得的長(zhǎng)度，由三角形

中位線定理可知DM=：O尸，可以推出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是以。為圓心，；。尸為半徑的半圓.

【詳解】取A8中點(diǎn)。，連接。尸，OC,取OC中點(diǎn)。，連接

El..ABC為等腰直角三角形，團(tuán)AB=JACWW=J（3立1+（3夜『=6，

113

：.0P=-AB=3,：.MD=-OP=~,

222

3

由題意可知，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)。為圓心，以|■為半徑的半圓，

點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)=71x2兀x；3=；3兀，故答案為：白3.

【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡、點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)所形成的的圓形為點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡、等腰直角三角形的性質(zhì)、

勾股定理、三角形中位線定理、圓的周長(zhǎng)的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，正確尋找點(diǎn)的

運(yùn)動(dòng)軌跡.

核心考點(diǎn)2.圓的相關(guān)性質(zhì)及推理

例5:（2023?四川德陽?模擬預(yù)測(cè)）下列語句中，正確的是（）

①相等的圓周角所對(duì)的弧相等；②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；③平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦

所對(duì)的??；④圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形.

A.①②B.②③C.②④D.④

【答案】C

【分析】根據(jù)圓周角定理、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理判斷.

【詳解】①在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等，本說法錯(cuò)誤；

②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，本說法正確；

③平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧，本說法錯(cuò)誤；

④圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形，本說法正確；故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的真假判斷，掌握?qǐng)A周角定理、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理是解題的

關(guān)鍵.

變式1.（2023上?內(nèi)蒙古呼和浩特?九年級(jí)校考期中）下列命題錯(cuò)誤的有（）個(gè)

A.弧長(zhǎng)相等的兩段弧是等??；B.過弦的中點(diǎn)的直徑平分弦所對(duì)的兩條??；

C.圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸；

D.如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本題根據(jù)等弧的定義、垂徑定理、圓的對(duì)稱性以及四點(diǎn)共圓的判定逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A、在同圓或等圓中，弧長(zhǎng)相等的兩段弧是等弧，故A錯(cuò)誤，符合題意.

B、過弦（弦不能是直徑）的中點(diǎn)的直徑平分弦所對(duì)的兩條弧，故B錯(cuò)誤，符合題意.

C、圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤，符合題意.

D、如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，D正確，不符合題意.

綜上所述，符合題意的總共有3個(gè)，故選：C.

變式2.（2024上?河南新鄉(xiāng)?九年級(jí)統(tǒng)考期末）有下列命題：①不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；

②相等的圓心角所對(duì)的弦相等；③同?。ɑ虻然。┧鶎?duì)的圓心角等于該弧所對(duì)的圓周角的一半；④三角

形內(nèi)切圓的圓心是三角形的內(nèi)心，是三邊垂直平分線的交點(diǎn)；⑤圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).其中真命題的

個(gè)數(shù)有個(gè).

【答案】3

【分析】根據(jù)圓的相關(guān)定義、定理，即可進(jìn)行判斷求解，本題考查了，圓的基本概念，圓周角定理，三角

形內(nèi)心的定義，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：熟記并充分理解相關(guān)定義、定理.

【詳解】①不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，是真命題，

②相等的圓心角所對(duì)的弦相等，是假命題，前提條件是：在同圓或等圓中，

③同?。ɑ虻然。┧鶎?duì)的圓心角等于該弧所對(duì)的圓周角的一半，是真命題，

④三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形的內(nèi)心，是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，是假命題，三角形的內(nèi)心是三個(gè)內(nèi)角

的角平分線的交點(diǎn)，

⑤圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，是真命題，綜上所述①③⑤為真命題，故答案為：3.

例6：（2023年陜西省中考數(shù)學(xué)試卷（A卷））陜西飲食文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，"老碗面”是陜西地方特色美食之

一.圖②是從正面看到的一個(gè)"老碗"（圖①）的形狀示意圖.AB是的一部分，。是A8的中點(diǎn)，連

接?！辏?與弦A3交于點(diǎn)C,連接04,0B.已知AB=24cm,碗深CD=8cm,貝IO的半徑OA為（）

圖①圖②

A.13cmB.16cmC.17cmD.26cm

【答案】A

【分析】首先利用垂徑定理的推論得出OD，AB,AC=BC=^AB=ncm,再設(shè)（O的半徑Q4為Rem,

則OC=（A-8）cm.在Rt_Q4c中根據(jù)勾股定理列出方程式2=122+（7?-8>,求出R即可.

【詳解】解：AB是的一部分，。是AB的中點(diǎn)，AB=24cm,

.-.OD±AB,AC=BC=-AB=12cm.設(shè)cO的半徑。4為Rem,則OC=OD-CD=(R-8)cm.

2

在RtOAC中，■.ZOCA=90°,OA2=AC2+OC',

7?2=122+(7?-8)2,..R=13,即，。的半徑Q4為13cm.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用，設(shè)。。的半徑為Rem,列出關(guān)于R的方程是解題的關(guān)

鍵.

變式1.（2023年湖北省宜昌市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，OA,OB,OC都是：。的半徑，AC,OB交于點(diǎn)

D.若AO=CD=8,OD=6,則的長(zhǎng)為（）.

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出OD，AC根據(jù)勾股定理求出OC=10,進(jìn)一步可求出8。的長(zhǎng).

【詳解】解：ElA￡>=CD=8,回點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，^AO=CO,^\ODLAC,

由勾股定理得，OC=V^0r=V6778r=10,回。3=10，回即=。3-8=10-6=4,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及圓的有關(guān)性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解答本題

的關(guān)鍵

變式2.（2024?四川涼山?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）建設(shè)中的“樂西高速”是樂山市與西昌市的重要通道，建成后將極

大改善區(qū)域內(nèi)交通運(yùn)輸條件，并對(duì)沿途各縣的經(jīng)濟(jì)發(fā)展有極大地促進(jìn)作用，如圖是其中一個(gè)在建隧道的橫

截面，它的形狀是以點(diǎn)。為圓心的圓的一部分，若M是回。中弦C。的中點(diǎn)，經(jīng)過圓心。交回。于點(diǎn)

E,且CD=8〃z,EM=8m,貝崛。的半徑為（）m

A.5B.6.5C.7.5D.8

【答案】A

【分析】本題主要考查了垂徑定理的應(yīng)用依據(jù)勾股定理等知識(shí)，根據(jù)垂徑定理得ENLCD,則

CN=DM=4,在Rt△COM中，由勾股定理得0。2=。1^+0n2,進(jìn)而求出半徑OC即可.

【詳解】解：連接OC,如圖所示：

M是。弦。的中點(diǎn)，CD=8m,EM±CD,CM=DM=^CD=4m,

設(shè)〈。的半徑為xm,在Rt^COM中，由勾股定理得：

OCJC/+OU2,即：%2=42+（8-^）2,解得：x=5,即【。的半徑為5m,故答案為：5.

例7：（2023?遼寧撫順?校聯(lián)考一模）如圖，四邊形A3CD內(nèi)接」O,AC平分N54D,則下列結(jié)論正確的

是（）

A.AB=ADB.BC=CDC.AB=ADD.ZBCA=ZDCA

【答案】B

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：A、ZACB與,ACD的大小關(guān)系不確定，與4D不一定相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、AC平分/ABAC=ADAC,:.BC=CD，：.BC=CD,故本選項(xiàng)正確；

C、NACB與—ACD的大小關(guān)系不確定，二AB與AZ）不一定相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、/3C4與NOCA的大小關(guān)系不確定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有

一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.

變式1.（2023?安徽滁州,校聯(lián)考一模）如圖，A3是回。的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AC=4啦,。是弧

AC的中點(diǎn)，AC與8。交于點(diǎn)E.若E是8。的中點(diǎn)，則BC的長(zhǎng)為（）

【答案】C

【分析】

連接0。交AC于凡由垂徑定理得ODLAC,AF=CF,可證接著證明ABCE四得到

13

BC=DF,計(jì)算得=]O。，然后設(shè)3C=x,則。。=jx,AB=3x,最后利用勾股定理AB?=AC?+8C?

計(jì)算得到BC的長(zhǎng).

【詳解】解：連接。。交AC于R如圖，是弧AC的中點(diǎn)，.〔ODLAC,.?./S=C尸,

AB是直徑，.".ZC=90°,：.OD//BC,;.ZD=NCBE,E是3。的中點(diǎn)，:.BE=DE,

QZ.BEC=ZDEF,/.BCEgDFE(ASA),:.BC=DF,

11I3

QOF=—BC,:.OF=-DF,:.OF=-DO,設(shè)3C=x,貝l[OD=—x,

2232

.-.AB=2OD=3x,在中，AB2=AC2+BC2,

.?.(3X)2=(4&『+X2,解得X=2,即3c=2,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一

組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等，也考查了垂徑定理.

變式2.(2023?四川成都?模擬預(yù)測(cè))如圖，在Q中，弦AZX3C相交于點(diǎn)E,連接OE,已知A8=C￡>.

⑴求證：=(2)如果。的半徑為5,AD±CB,DE=l,求AE的長(zhǎng).

【答案】⑴見解析(2)7

【分析】(1)根據(jù)AB=C￡>，可得AB=CD,再證明△ABE四△CDE,即可；

(2)過。作。尸，AD與OGL3C于G,連接0AoC,則NOFE=NFEG=NOGE=90。，根據(jù)垂徑定

理可得AA=FD,BG=OG,證明RtAO尸絲RtOCG,可得OF=OG,從而得到四邊形OEEG是正方

形，可得OF=EF,設(shè)OF=EF=x,則AR=FD=x+l,根據(jù)勾股定理求出x的值，即可.

【詳解】⑴證明：^AB=CD^AB=CD,

ZA=ZC

在工ABE與CDE中，\AB=CD,回△ABE四△CUE,SBE=DE-,

NB=ND

(2)解：過。作與ROG±BC^G,連接0AoC,則NOFE=NFEG=NOGE=90°,

oBD

團(tuán)四邊形OEEG是矩形，根據(jù)垂徑定理得：AF=FD,BG=OG,

AF=CG

SAB=CD,EIAF=CG,在RtAO歹與RtAOCG中，

OA=OC

0RtAAOF絲RtAOCG(HL),SOF=OG,

SAD±CB,回四邊形。FEG是正方形，^OF=EF,

T§：OF=EF=x,則AF=FD=x+l,0OF2+AF2=(M2,

即f+(x+i)2=52,解得：％=3或_4(舍去)，s\AF=4,EAE=7.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，弧、弦，圓心角的關(guān)系，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練

掌握垂徑定理，弧、弦，圓心角的關(guān)系，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例8：(2023年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)真題)如圖，在。中，半徑。A互相垂直，點(diǎn)C在劣弧

上.若NAfiC=19。，貝UZR4C=()

A.23°B.24°C.25°D.26°

【答案】D

【分析】根據(jù)。4,08互相垂直可得AOB所對(duì)的圓心角為270。，根據(jù)圓周角定理可得

ZACB=1x270°=135°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】解：如圖,

D

A

半徑。4,03互相垂直，二/403=90。，；.所對(duì)的圓心角為270。,

?〔ADB所對(duì)的圓周角NACB=/X270O=135。,

又'ZABC=19°,■-ABAC=1800-ZACB-ZABC=26°,故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握：同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周

角等于圓心角的一半.

變式1.（2023年遼寧省阜新市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，A,B,C是。上的三點(diǎn)，若

D.50°

【答案】C

【分析】先利用圓周角定理求出NA03=50。，然后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【詳解】解：SZACB=25°,SZAOB=2ZACB=50°,

I3NAOC=90°,0ZBOC=ZAOC-ZAOB=40°,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2023年遼寧省鞍山市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，AC,BC為。的兩條弦，D,G分別為AC,BC的中

點(diǎn)，。的半徑為2.若/C=45。，則。G的長(zhǎng)為（）

2

A.2B.V3C.D.V2

2

【答案】D

【分析】連接0A,03,AB,圓周角定理得到NAO3=2NC=90。，勾股定理求出AB,三角形的中位線定

理，即可求出OG的長(zhǎng).

【詳解】解：連接OA,O8,A8,

回。的半徑為2.NC=45°,QOA=OB=2,ZAOB=2ZC=90°,0^5=y/o^+OB2=2A/2-

ao,G分別為AC,3c的中點(diǎn)，回。G為，ABC的中位線，0DG=1AB=V2.故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理和三角形的中位線定理.熟練掌握相關(guān)定理，并靈活運(yùn)用，是解題關(guān)鍵.

例9：（2023年山東省棗莊市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在。中，弦AB,CD相交于點(diǎn)P,若

ZA=48。，NAPD=80。，則N3的度數(shù)為（）

A.32°B.42°C.48°D.52°

【答案】A

【分析】根據(jù)圓周角定理，可以得到-D的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可以求出的度數(shù).

【詳解】解：ZA=ND,ZA=48。，.?./￡）=48。，

ZAPD=80°,ZAPD=ZB+ZD,ZB=ZAPD-ZD=80°-48°=32°,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、三角形外角的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出一。的度數(shù).

變式1.（2023?河北滄州?統(tǒng)考二模）某圓形舞臺(tái)，圓心為O.A,8是舞臺(tái)邊緣上兩個(gè)固定位置，由線段

A3及優(yōu)弧ACB（點(diǎn)C是該弧中點(diǎn)）圍成的區(qū)域是表演區(qū).如圖L在A處安裝一臺(tái)監(jiān)控器，其監(jiān)控的度

為70。.如圖2,若再加一臺(tái)該型號(hào)的監(jiān)控器，可以監(jiān)控到表演區(qū)的整個(gè)區(qū)域，則下列方案可行的是

()

甲：在8處放置；乙：在M處放置；丙：在N處放置

A.甲、乙B.甲、丙C.乙、丙D.甲、乙、丙

【答案】A

【分析】結(jié)合圓的基本性質(zhì)和定理逐項(xiàng)分析即可得出結(jié)論.

【詳解】解：①若在8處放置，如圖1所示，連接5C；

圖1圖2圖3

團(tuán)點(diǎn)C是優(yōu)弧AC8的中點(diǎn)，囪AC=BC，ZCAB=ZCBA=70°,

團(tuán)在B處安裝監(jiān)控器可監(jiān)控到NCSA所對(duì)的區(qū)域，即兩臺(tái)監(jiān)控器可滿足監(jiān)控到表演區(qū)的整個(gè)區(qū)域，故甲方

案可行；

②若在M處放置，如圖2所示，連接AM、CM、BC-,

由①知NCBA=70。，由圓周角定理，ZCMA=ZCBA=10°,

團(tuán)在M處安裝監(jiān)控器可監(jiān)控到/CM4所對(duì)的區(qū)域，即兩臺(tái)監(jiān)控器可滿足監(jiān)控到表演區(qū)的整個(gè)區(qū)域，故乙方

案可行；

③若在N處放置，如圖3所示，連接附、NB、NC、BC,

要使得其與A處監(jiān)控器能夠監(jiān)控到表演區(qū)的整個(gè)區(qū)域，則N處監(jiān)控器應(yīng)該監(jiān)控到ANC所對(duì)弓形的內(nèi)部，

由圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)可知，z7WC=180°-ZABC=110°,

團(tuán)監(jiān)控器監(jiān)控的度為70。，團(tuán)無法滿足監(jiān)控到ANC所對(duì)弓形的內(nèi)部，即丙方案不可行；

綜上分析，甲、乙方案可行，故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本性質(zhì)運(yùn)用，掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)和常見定理，熟練運(yùn)用于實(shí)際問題中是解題關(guān)

鍵.

變式2.(2023?遼寧撫順?統(tǒng)考一模)如圖，ABC是。的內(nèi)接三角形，為，，。的直徑，CO平分

NACB,交C。于點(diǎn)。，連接AD,點(diǎn)E在弦C￡＞上，且￡D=AD,連接AE.

⑴求證：ZBAE=ZCAE；(2)^^B=60°,AB=8,求AE的長(zhǎng).

【答案】⑴見解析(2)A￡=40

【分析】(1)根據(jù)題意得到/ACD=/3CD,根據(jù)等邊對(duì)等角得到NZME=ND￡4,進(jìn)而得到

ZDAE-ZDAB=ZDEA-ZACD,進(jìn)而求解即可；

(2)連接8￡),首先證明出=得到NO區(qū)4=ND1B=N3CD=45。，AD=BD,然后由勾股定理得

到40=30=40，然后證明出VADE1是等邊三角形，進(jìn)而得到AE=AO=4拒.

【詳解】(1)證明：回。。平分/473回^^7_0=/8?！?^ED=AD^ZDAE=ZDEA

0/DAB=NBCD回ZDAE-ZDAB=ZDEA-ZACD即ZBAE=ZCAE

團(tuán)45為＜。的直徑IBNACB=N/3=90°

0ZACD=ZBCD0AD^BD^/DBA=ZDAB=/BCD=45°,AD=BD

去AB=8*=4?

團(tuán)在RtAABD中,AD2+BD2AB2S\AD=BD=

國ZABC=60°0ZADE=60°回ED=ADElVADE是等邊三角形回AE=AD=4夜.

【點(diǎn)睛】此題考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股

定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn).

例10：（2023年遼寧省營口市中考數(shù)學(xué)真題）如圖所示，AO是。的直徑，弦8C交AD于點(diǎn)E,連接

AB,AC,若/&【￡>=30。，則/ACB的度數(shù)是（）

A.50°B.40°C.70°D.60°

【答案】D

【分析】如圖所示，連接C。，先由同弧所對(duì)的圓周角相等得到々CD=N3A0=30。，再由直徑所對(duì)的圓

周角是直角得到ZACD=90°,則ZACB=ZACD-ZBCD=60°.

【詳解】解：如圖所示，連接CD,0ZBAD=3O°,0ZBCD=ZBAD=3O°,

EIAZ）是C。的直徑，EINACD=9O°,0ZACB=ZACD-ZBCD=60°,故選D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，正確求出NACO,NBCD的

度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023年廣東省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，AB是。的直徑，ABAC=5（.）0,貝l|/D=（）

C

D

A.20°B.40°C,50°D.80°

【答案】B

【分析】根據(jù)圓周角定理可進(jìn)行求解.

【詳解】解：團(tuán)是，。的直徑，0ZACB=90°,

0ZBAC=50°,0ZABC=90°-ABAC=40°,

SAC=AC,回NO=NABC=40°；故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角的相關(guān)性質(zhì)，熟練掌握直徑所對(duì)圓周角為直角是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB是，。的直徑，點(diǎn)C是80的中點(diǎn)，CEJ.AB于點(diǎn)、E,

交CE于點(diǎn)E⑴求證：CF=BF；Q）若BE=OE=3,求AO的長(zhǎng)度.

【分析】（1）由是C。的直徑，則NACB=90。，而CEJ.AB,所以NS4c=N3CE；由點(diǎn)C是8。的中

點(diǎn)，得至lJ/Z）BC=N8AC,于是NBCE=NDBC,即可得到CF=3/；

CF1

⑵連接。。，OC,BE=OE=3,可得圓的半徑為6,在直角三角形EOC中，由cosNCOE=萬E=^,

可得NCOE=60。，進(jìn)而推出ZAOD等于60。，再用弧長(zhǎng)公式求解即可.

本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定，解直角三角形，弧長(zhǎng)的計(jì)算，難度適中.注意掌握輔助線的

作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

【詳解】（1）證明：是。的直徑，.?.44CB=90。，

又CELAB,:.ZBCE+ZECA=ZBAC+ZECA=90,:.ZBCE=ZBAC,

C

?「點(diǎn)C是BD的中點(diǎn)，;.ZDBC=ZBAC,ZDBC=ZCDB,:.ZBCE=ZDBC,CF=BF

(2)解：連接OO,OC,BE=OE=3,:.OB=BE+OE=3+3=6,

OB=OC,/.cosZCOE=—=-=ZCOE=60°,

OC62

?點(diǎn)。是AD的中點(diǎn)，:./DOC=/COE=60,

,,,,60°?x6

:.ZAOD=ISO-ZDOC-ZCOE=60,A￡）的長(zhǎng)度=1。八。=2兀.

180

例11：（2023年西藏自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于（O,E為8c延長(zhǎng)線上一點(diǎn).若

ZDCE=65°,則—3?！醯亩葦?shù)是（）

A.65°B.115°C.130°D.140°

【答案】C

【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求出NOC3的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)求出-BAD的度數(shù)，最后根據(jù)

圓周角定理即可求出—3OD的度數(shù).

【詳解】解：0ZDCE=65°,0Z.DCB=180°-Z.DCE=180°-65°=115°,

回四邊形A3CD內(nèi)接于。，0ZBAD+ZZ）CB=180°,

0ZBAD=65°,EZBOD=2ZBAD=2x65°=130°,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟練掌握這些定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2023年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，AB是。的直徑，D,。是（。上的點(diǎn)，

ZADC=115°,則/54C的度數(shù)是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【答案】A

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)和直徑所對(duì)圓周角等于90度求解即可.

【詳解】解：0ZADC=115°,0ZB=65°,

團(tuán)45是（。的直徑，0ZACB=9O°,0ZBAC=180°-90°-65°=25°,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的性質(zhì)，涉及圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)和直徑所對(duì)圓周角等于90度，熟記知識(shí)點(diǎn)是關(guān)

鍵.

變式2.（2023年江蘇省淮安市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形A3CD是。。的內(nèi)接四邊形，3c是的直

徑，BC=2CD,則的度數(shù)是°.

【答案】120

【分析】解：如圖，連接由是，。的直徑，可得一比心=90。，由3c=2CD,可得NCBD=30。,

ZC=60°,根據(jù)，B4￡>=180。一NC,計(jì)算求解即可.

【詳解】解：如圖，連接3D，

050（。的直徑，0^SDC=9O°,回3C=2CD,0ZCBD=30°,0ZC=6O°,

回四邊形43。。是（。的內(nèi)接四邊形，ffl^a4D=180°-ZC=120°,故答案為：120.

【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角，含30。的直角三角形，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).解題的關(guān)鍵

在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系.

例12：（2022?山東泰安?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=3,BC=4.點(diǎn)P是線段BC上

一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上一點(diǎn).ZADM=ZBAP,則8M的最小值為（）

AD

BpC

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