中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)提升專項知識幾何熱考題二三角形熱考模型(10種模型專題訓(xùn)練+10種模型解析)含答案及解析

第四章三角形重難點08幾何熱考題二三角形熱考模型（10種模型匯總+專題訓(xùn)練+10種方法解析）【題型匯總】題型01A字模型圖示結(jié)論∠1+∠2=180°+∠A1．（2021九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠A=65°，直線DE交AB于點D，交AC于點E，則∠BDE+∠CED=（

）．A．180° B．215° C．235° D．245°2．（2023·陜西西安·西安高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）將一把直尺與一塊直角三角板按如圖所示的方式放置，若∠1=125°，則∠2的度數(shù)為（

）A．35° B．40° C．45° D．55°3．（2020·四川廣安·中考真題）如圖，在五邊形ABCDE中，若去掉一個30°的角后得到一個六邊形BCDEMN，則∠l+∠2的度數(shù)為（）A．210° B．110° C．150° D．100°4．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動中，小林剪掉等邊三角形紙片的一角，如圖所示，發(fā)現(xiàn)得到的∠1與∠2的和總是一個定值．則∠1+∠2=度．5．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形紙片中，∠D＝50°，若沿圖中虛線剪去∠D，則∠1

題型028字模型8字模型8字模型-進階（8字模型+角平分線）圖示AP平分∠BAD,CP平分∠BCD結(jié)論∠A+∠B=∠C+∠D,AD+BC＞AB+CD1.如圖，在由線段AB,CD,DF,BF,CA組成的平面圖形中，∠D=28°，則∠A+∠B+∠C+∠F的度數(shù)為（

）．A．262° B．152° C．208° D．236°2.．（2023臨汾市模擬預(yù)測）（1）已知：如圖（1）的圖形我們把它稱為“8字形”，試說明：∠A+∠B=∠C+∠D．（2）如圖（2），AP，CP分別平分∠BAD，∠BCD，若（3）如圖（3），直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與（4）如圖（4），直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與3．（2020九年級·全國·專題練習(xí)）閱讀材料：如圖1，AB、CD交于點O，我們把△AOD和△BOC叫做對頂三角形．結(jié)論：若△AOD和△BOC是對頂三角形，則∠A+∠D＝∠B+∠C．結(jié)論應(yīng)用舉例：如圖2：求五角星的五個內(nèi)角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度數(shù)．解：連接CD，由對頂三角形的性質(zhì)得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五個內(nèi)角之和為180°．解決問題：（1）如圖①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如圖②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如圖③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如圖④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；請你從圖③或圖④中任選一個，寫出你的計算過程．4．（2024八年級上·全國·專題練習(xí)）閱讀材料，回答下列問題：【材料提出】“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個三角形構(gòu)成．【探索研究】探索一：如圖1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為___________；探索二：如圖2，若∠B=36°，∠D=14°，求∠P的度數(shù)為___________；探索三：如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長線交CP于點P，則∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為___________．【模型應(yīng)用】應(yīng)用一：如圖4，延長BM、CN，交于點A，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M=α，∠N=β，α+β>180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點P，則∠A=___________（用含有α和β的代數(shù)式表示），∠P=___________．（用含有α和β的代數(shù)式表示）應(yīng)用二：如圖5，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M=α，∠N=β，α+β<180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點P，∠P=___________．（用含有α和β的代數(shù)式表示）【拓展延伸】拓展一：如圖6，若設(shè)∠C=x，∠B=y，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，試問∠P與∠C、∠B拓展二：如圖7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論___________．題型03飛鏢模型飛鏢模型飛鏢模型-進階（飛鏢模型+角平分線）圖示BO平分∠ABC,OD平分∠ADC結(jié)論∠BCD=∠A+∠B+∠D,AB+AD＞BC+CD1．（2024內(nèi)江市模擬預(yù)測）如圖①，有結(jié)論：∠D=∠A+∠B+∠C，因為這個圖形像飛鏢，所以我們往往把這個模型稱為“飛鏢模型”，如圖②，在飛鏢模型中分別作∠ABC和∠ACB的平分線交于點E1，易得∠E1=∠A+∠D2，如圖③，在飛鏢模型中作∠ABD靠AB的三等分線，作∠ACD靠AC的三等分線，兩條三等分線交于點∠E2，……，依次方法，在飛鏢模型中作∠ABD靠AB的n等分線，作∠ACD靠AC

2．（20-21八年級上·安徽亳州·階段練習(xí)）如圖①所示是一個飛鏢圖案，連接AB，BC，我們把四邊形ABCD叫做“飛鏢模型”．（1）求證：∠ADC=∠DAB+∠DCB+∠ABC；（2）如圖②所示是一個變形的飛鏢圖案，CE與BF交于點D，若∠EDF=120°，求∠A+∠B+∠C+∠G+∠E+∠F的度數(shù)．3．（21-22八年級·全國·假期作業(yè)）利用“模型”解決幾何綜合問題往往會取得事半功倍的效果．幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．運用以上模型結(jié)論解決問題：（1）如圖（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？分析：圖中A1A3DA4是“A”型圖，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；（2）如圖（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度數(shù)．4．（20-21七年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）模型規(guī)律：如圖1，延長CO交AB于點D，則∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B．因為凹四邊形ABOC形似箭頭，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”這個規(guī)律，所以我們把這個模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用（1）直接應(yīng)用：①如圖2，∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°，則∠BOC=__________°；②如圖3，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________°；（2）拓展應(yīng)用：①如圖4，∠ABO、∠ACO的2等分線（即角平分線）BO1、CO1交于點O1，已知∠BOC=120°，∠BAC=50°②如圖5，BO、CO分別為∠ABO、∠ACO的10等分線(i=1,2,3,…,8,9)．它們的交點從上到下依次為O1、O2、O3、…、O9．已知∠BOC=120°，∠BAC=50°，則③如圖6，∠ABO、∠BAC的角平分線BD、AD交于點D，已知∠BOC=120°,∠C=44°，則∠ADB=__________°；④如圖7，∠BAC、∠BOC的角平分線AD、OD交于點D，則∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為__________．題型04老鷹抓小雞模型老鷹抓小雞模型圖示點O為∠A內(nèi)部的一點結(jié)論∠1+∠2=∠A+∠O解題方法：腋下兩角之和等于上下兩角之和.1．（2023·廣東珠海·模擬預(yù)測）如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點與B'點重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°2．（2022上·湖北恩施·八年級期末）如圖，把△ABC沿EF對折，折疊后的圖形如圖所示，∠A=60°，∠1=96°，則∠2的度數(shù)為（

）A．30° B．24° C．25° D．26°3．（2023杭州市模擬）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，點A的對應(yīng)點為A’，若∠B=60°，∠C=80°，則∠1+∠2等于(

)A．40° B．60° C．80° D．140°4．（2022下·河南南陽·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形紙片ABCD中，∠A=80°，∠B=75°，將紙片折疊，使點C，D落在AB邊上的點C'，D'處，折痕為EF，則∠1+∠2=（

A．40° B．50° C．60° D．70°5．（2023下·河南鄭州·八年級?？奸_學(xué)考試）折紙是我國一項古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，請根據(jù)題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1?∠2）與∠A的數(shù)量關(guān)系．

(1)如圖①，若∠A＝60°，沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝．(2)如圖②，翻折后，點A落在點A'處，若∠1+∠2=110°，求∠B+∠C(3)如圖③，△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，若∠1=80°，∠2=28°，則∠A的度數(shù)為6．（2022下·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）折紙是我國一項古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，請根據(jù)題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）與∠A的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖①，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝_______．(2)如圖②，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE將∠A翻折，使點A落在BC上的點A’處，則∠1+∠2=_______．(3)如圖③，翻折后，點A落在點A’處，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度數(shù)(4)如圖④，△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A’處，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度數(shù)．題型05三角形翻折模型向內(nèi)翻折向外翻折圖示結(jié)論2∠C=∠1+∠22∠C=∠2-∠11．（20-21七年級下·重慶沙坪壩·期末）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，將△ABC按如圖方式進行折疊，使點A與BC邊上的點F重合，折痕分別與AC、AB交于點D、點E．下列結(jié)論：①∠3+∠B=90°；②∠1+∠2=90°；③∠1=∠2；④DF∥AB．其中一定正確的結(jié)論有(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（20-21七年級下·江蘇泰州·期末）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．110° D．120°3．（21-22七年級下·江蘇南京·期末）已知△ABC中，∠A=65°，將∠B、∠C按照如圖所示折疊，若∠ADB'=35°4．（24-25八年級上·全國·階段練習(xí)）如圖，∠AOB=α，點M是射線OA上的一個定點，點N是射線OB上的一個動點，連接MN，把∠AOB沿MN折疊，點O落在∠AOB所在平面內(nèi)的點C處．(1)如圖1，點C在∠AOB的內(nèi)部，若∠CMA=20°，∠CNB=60°，則a=．(2)如圖2，若α=45°，ON=2，折疊后點C在直線OB上方，CM與OB交于點E，且MN=ME，求∠OMN的度數(shù)及折痕MN(3)如圖3，若折疊后，直線MC⊥OB，垂足為點E，且OM=5，ME=3，直接寫出此時ON的長．5．（2024八年級上·黑龍江·專題練習(xí)）新考向【動手操作】一個三角形的紙片ABC，沿DE折疊，使點A落在點A'【觀察猜想】（1）如圖①，若∠A=40°，則∠1+∠2=___________°；若∠A=55°，則∠1+∠2=___________°；若∠A=n°，則∠1+∠2=___________°；【探索證明】（2）利用圖①，探索∠1,∠2與∠A的關(guān)系，并說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）如圖②，把△ABC折疊后，BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，若6．（2024·貴州貴陽·二模）綜合與實踐問題情境：在綜合與實踐課上，老師要求同學(xué)們以“折紙中的數(shù)學(xué)”為主題開展活動．獨立思考：（1）如圖①，將三角形紙片ABC沿DE折疊，使點A落在四邊形BCDE內(nèi)點A'的位置，則∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系為深入探究：（2）如圖②，若點A'落在四邊形BCDE的邊CD下方時，試猜想此時∠A與∠1，∠2結(jié)論運用：（3）如圖③，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，E，F(xiàn)分別是AB，CD邊上的一點，沿EF將四邊形ABCD折疊，點A的對應(yīng)點G恰好落在BC邊上，且∠1=75°，∠2=15°．①∠B的度數(shù)為；②若BE=22，AD=12AE，求點題型06三角形雙角平分線模型兩內(nèi)角平分線模型兩外角平分線模型一內(nèi)一外角平分線條件已知BD、DC分別平分∠ABC、∠ACB已知BD、DC分別平分∠EBC、∠BCFBE、EC分別平分∠ABC、∠ACD圖示結(jié)論∠D=90°+∠A∠D=90°-∠A∠E=∠A1．（2022-2023七年級下·江蘇常州·期末）【基本模型】：（1）如圖1，BO平分△ABC的內(nèi)角∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD，試證明：∠BOC＝12【變式應(yīng)用】：（2）如圖2，直線PQ⊥MN，垂足為點O，作∠PON的角平分線OE，在OE上任取一點A，在ON上任取一點B，連接AB，作∠BAE的角平分線AC，AC的反向延長線與∠ABO的平分線相交于點F，請問：∠F的大小是否隨著點A，B位置的變化而變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，請求出其度數(shù)；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若FC∥MN，則AB與OE有何位置關(guān)系？請說明理由．2．（22-23七年級下·江蘇鹽城·期中）如圖，是一個缺角(∠A)的三角板模型，現(xiàn)要知道∠A的大小.數(shù)學(xué)活動課上，小李沒有采用先直接量得∠MBC和∠NCB的度數(shù)，再求得∠A的度數(shù)，而是分別畫出∠MBC的角平分線與∠NCB的外角平分線相交于點P，測得∠P=26°，請告知∠A=°.3．（22-23七年級下·吉林長春·期末）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，劉華遇到了下面的這個問題：如圖①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，請你判斷∠A和∠P間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．劉華對這個問題進行了判斷并給出了證明過程，下面是部分證明過程，請你補全余下的證明過程．解：結(jié)論：∠P=_________．理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC=1∴∠P=180°?∠PBC?∠PCB=180°?=180°?=_________．【模型發(fā)展】如圖②，點P是△ABC的外角平分線BP與CP的交點，請你判斷∠A和∠P間的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【解決問題】如圖③，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，點Q是△PBC的外角平分線BQ與CQ的交點．若∠A=68°，則∠Q=______度．

4．（1）如圖（1），在△ABC中，∠BAC=70°，點D在BC的延長線上，三角形的內(nèi)角∠ABC與外角∠ACD的角平分線BP，CP相交于點P，求∠P的度數(shù).（寫出完整的解答過程）

【感知】：圖（1）中，若∠BAC=m°，那么∠P=°（用含有m的代數(shù)式表示）【探究】：如圖（2）在四邊形MNCB中，設(shè)∠M=α，∠N＝β，α+β＞180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點P.為了探究∠P的度數(shù)與α和β的關(guān)系，小明同學(xué)想到將這個問題轉(zhuǎn)化圖（1）的模型，因此，他延長了邊BM與CN，設(shè)它們的交點為點A，如圖（3），則∠A=（用含有α和β

的代數(shù)式表示），因此∠P=．（用含有α和β的代數(shù)式表示）【拓展】：將（2）中的α+β＞180°改為α+β＜180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點P，其它條件不變，請直接寫出∠P＝．（用α，β的代數(shù)式表示）5（22-23七年級下·江蘇蘇州·期中）在我們蘇科版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七下第42頁曾經(jīng)研究過雙內(nèi)角平分線的夾角和內(nèi)外角平分線夾角問題．聰聰在研究完上面的問題后，對這類問題進行了深入的研究，他的研究過程如下：(1)【問題再現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點P，若∠A=50°，則∠P=________；(2)【問題推廣】如圖2，在△ABC中，∠BAC的角平分線與△ABC的外角∠CBM的角平分線交于點P，過點B作BH⊥AP于點H，若∠ACB=80°，求∠PBH的度數(shù)．(3)如圖3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點P，將△ABC沿DE折疊使得點A與點P重合，若∠1+∠2=100°，則∠BPC=________；(4)【拓展提升】如圖4，在四邊形BCDE中，EB∥CD，點F在直線ED上運動（點F不與E，D兩點重合），連接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分線交于點Q，若∠EBF=α，題型07三角形面積比問題底相同高相同已知?ABC中BC邊上的高為AE，?BCD中BC邊上的高為DF?ABC中，D為BC上一點.?ABC中BC邊上的高為h圖示結(jié)論三角形底相同時，面積比等于高之比三角形高相同時，面積比等于底之比1．（22-23八年級下·河北唐山·開學(xué)考試）小明學(xué)習(xí)了角的平分線后，發(fā)現(xiàn)角平分線AD分得的△ABD和△ADC的面積比與兩邊長有關(guān)，在圖中，若AB=10，AC=6，你能幫小明算出下面兩個比值嗎？

（1）S△ABDS（2）BDDC=2．（24-25七年級上·廣西南寧·開學(xué)考試）如圖；在△ABC中，△ABE、△BEF、△BCF和四邊形AEFC的面積都相等．若DF:FC=3:2，△ABC的面積為728．（注：符號“△”表示“三角形”三個字）（1）線段AD與線段DB的比值A(chǔ)DDB=（2）△GEF的面積是．3．（2023·山東青島·二模）【模型】同高的兩個三角形面積之比等于底邊長度之比．已知，如圖1，△ABC中，D為線段BC上任意一點，連接AD，則有：S△ABD【模型應(yīng)用】（1）如圖2，任意四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD邊的中點，連接CE、AF，若四邊形ABCD的面積為S，則S四邊形（2）如圖3，在任意四邊形ABCD中，點E、F分別是邊AB、CD上離點A和點C最近的三等分點，連接AF、CE，若四邊形ABCD的面積為S，則S四邊形（3）如圖4，在任意四邊形ABCD中，點E、F分別是邊AB、CD上離點B和點D最近的n等分點，連接AF、CE，若四邊形ABCD的面積為S，則S四邊形A【拓展與應(yīng)用】（4）如圖5，若任意的十邊形的面積為100，點K、L、M、N、O、P、Q、R分別是AB、CD、DE、EF、FG、HI、IJ、JA邊上離點A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分點，連接BL、DK、DR、MJ、NJ、FQ、OI、GP，則圖中陰影部分的面積是___________．4閱讀與理解：三角形的中線的性質(zhì)：三角形的中線等分三角形的面積，即如圖1，AD是ΔABC中BC邊上的中線，則S理由：∵BD=CD，∴SΔ即：等底同高的三角形面積相等．操作與探索在如圖2至圖4中，ΔABC的面積為a(1)如圖2，延長ΔABC的邊BC到點D，使CD=BC，連接DA．若ΔACD的面積為S1，則S(2)如圖3，延長ΔABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，使CD=BC，AE=CA，連接DE．若ΔDEC的面積為S2，則S(3)在圖3的基礎(chǔ)上延長AB到點F，使BF=AB，連接FD，F(xiàn)E，得到ΔDEF（如圖4)．若陰影部分的面積為S3，則S3拓展與應(yīng)用：(4)如圖5，已知四邊形ABCD的面積是a，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，連接FH,EG交于點O，求圖中陰影部分的面積？5．（23-24九年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，△ABC為等邊三角形，點D為BC延長線上一點，連接AD，點E為AD上一點，連接CE，∠DEC=60°，(1)求證：BE平分∠AEC(2)如圖2，點F是AB上一點、CD=BF，連接CF交BE于點M．求證：點M為CF中點．(3)在（2）的條件下，若AEDE=32，直接寫出6．閱讀下面資料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，對面積為a的△ABC逐次進行以下操作：分別延長AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B2AB，B1C2BC，C1A2CA，順次連接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，記其面積為S1，求S1的值.小明是這樣思考和解決這個問題的：如圖2，連接A1C、B1A、C1B，因為A1B2AB，B1C2BC，C1A2CA，根據(jù)等高兩三角形的面積比等于底之比，所以SΔA1BC=SΔ（1）直接寫出S1（用含字母a的式子表示）.請參考小明同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：（2）如圖3，P為△ABC內(nèi)一點，連接AP、BP、CP并延長分別交邊BC、AC、AB于點D、E、F，則把△ABC分成六個小三角形，其中四個小三角形面積已在圖上標(biāo)明，求△ABC的面積.（3）如圖4，若點P為△ABC的邊AB上的中線CF的中點，求S△APE與S△BPF的比值.題型08雙腰上的高求定值類型點D在BC上點D在BC的延長線上條件在△ABC中，AB=AC在△ABC中，AB=AC圖示結(jié)論1．（24-25八年級上·江蘇揚州·階段練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)完勾股定理的證明后，發(fā)現(xiàn)運用“同一圖形的面積用不同方式計算結(jié)果相同”可以證明一類含有線段的等式，這種解決問題的方法我們稱之為“等面積法”．如圖1，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC邊上的高BD記為?，M是底邊BC上的任意一點，M到腰AB、AC的距離ME、MF分別記為?1、?(1)興趣小組現(xiàn)需要證明?=?證明：連接AM，由題意得BD=?，ME=?1，∵S△ABC=S△ABMS△AMC=1∴12又∵AB=AC，∴12AC×?=1∴?=?(2)當(dāng)點M在BC延長線上時（M點在C點的右邊），?1、?2、(3)利用以上結(jié)論解答：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線l1：y=34x+6，l2：y=?3x+6，若l2上的一點M到2．（23-24八年級上·廣西南寧·期中）我們發(fā)現(xiàn)，“用不同的方式表示同一圖形的面積”可以解決計算線段的有關(guān)問題，這種方法稱為等面積法．

(1)如圖1，BC是AC邊上的高，CD是AB邊上的高，我們知道S△=1(2)如圖1，若∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，CD是斜邊AB上的高線，用等面積法求CD的長．(3)如圖2，在等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，過A作AH⊥BC于點H，且AH=12，P為底邊BC上的任意一點，過點P作PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分別為M，N，連接AP，利用S△ABC=S3．（23-24九年級上·四川成都·期中）教材再現(xiàn)：面積法是常用的求長度法，如例圖中，等腰△ABC中，S△ABC=S△APB+S△APC(1)如圖1，在矩形ABCD中，AC與DB交于O，AB=3,AD=4，P是AD上不與A和D重合的一個動點，過點P分別作AC和BD的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則PE+PF的值為_________．知識應(yīng)用：(2)如圖2，在矩形ABCD中，點M，N分別在邊AD，BC上，將矩形ABCD沿直線MN折疊，使點D恰好與點B重合，點C落在點C1處．點P為線段MN上一動點（不與點M，N重合），過點P分別作直線BM，BC的垂線，垂足分別為E和F，以PE，PF為鄰邊作平行四邊形PEQF，若DM=13,CN=5,?PEQF的周長是否為定值？若是，請求出?PEQF(3)如圖3，當(dāng)點P是等邊．△ABC外一點時，過點P分別作直線AB、AC、BC的垂線、垂足分別為點E、D、F．若PE+PF?PD=3，請直接寫出△ABC的面積_________．4．（22-23八年級下·山東濟南·期末）已知△ABC中，AB=AC，BM⊥AC于點M，點D在直線BC上，DE⊥AB，垂足為點E，DF⊥AC，垂足為點F．

(1)如圖1，點D在邊BC上時，小明同學(xué)利用①三角形全等知識和②圖形等面積法兩種方法發(fā)現(xiàn)了DE，DF，BM三線段之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出三線段之間的數(shù)量關(guān)系是_______；(2)如圖2，圖3，當(dāng)點D在點B左邊或者在點C右邊的直線上時，問題（1）中DE，DF，BM三線段的數(shù)量關(guān)系是否還成立？若成立請選擇一個圖形進行證明，若不成立，請在圖2或圖3中選擇一個圖形，寫出三線段新的數(shù)量關(guān)系，并進行證明．題型09維維亞尼模型類型點D在△ABC內(nèi)點D在△ABC外條件△ABC是等邊三角形圖示結(jié)論1．（2023·寧夏銀川·二模）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．它是利用“同一個圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同底等高或等底同高的兩個三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題．在解題中，靈活運用等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡便快捷．請用等面積法的思想解決下列問題：(1)在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4，則該直角三角形斜邊上的高的長為______．(2)如圖1，反比例函數(shù)y=?6xx>0的圖像上有一點P，PA⊥x軸于點A，點B在y(3)如圖2，P是邊長為a的正△ABC內(nèi)任意一點，點O為△ABC的中心，設(shè)點P到△ABC各邊距離分別為?1，?2，?3，連接AP，BP，CP，由等面積法，易知12a?1+?2+?3=S△ABC=3S△OAB，可得?1+(4)如圖4，已知⊙O的半徑為1，點A為⊙O外一點，OA=2，AB切⊙O于點B，弦BC∥OA，連接AC，求圖中陰影部分的面積．（結(jié)果保留(5)我國數(shù)學(xué)家祖暅，提出了一個祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”．意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體體積相等．如圖所示，某帳篷的造型是兩個全等圓柱垂直相交的公共部分的一半（這個公共部分叫做牟合方蓋），其中曲線AOC和BOD均是以1為半徑的半圓．用任意平行于帳篷底面ABCD的平面截帳篷，所得截面四邊形均為正方形，且該正方形的面積恰好等于與帳篷同底等高的正四棱柱中挖去一個倒放的同底等高的正四棱錐后同高度截面的面積（圖8中陰影部分的面積），因此該帳篷的體積為______．（正棱錐的體積V=13底面積2．（23-24八年級上·浙江紹興·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中常常利用面積相等來證明其他的線段相等，這種方法被稱為“面積法”．已知等邊△ABC，點P是平面上任意一點，設(shè)點P到△ABC邊AB、AC邊的距離分別為PD、PE，△ABC的BC邊上的高為AM．回答以下問題：

(1)如圖（1），若點P在三角形的BC邊上，PD、PE、AM存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出證明過程．(2)如圖（2），當(dāng)點P在△ABC內(nèi)，已知AM=10，求PD+PE+PF的值．(3)如圖（3），當(dāng)點P在△ABC外，請直接寫出AM與PD、PF、PE的數(shù)量關(guān)系，不用證明．

題型10等邊三角形類弦圖模型條件在等邊△ABC中，AE=CD，求AD與BE的數(shù)量關(guān)系及夾角∠BFD的大小.圖示結(jié)論①數(shù)量關(guān)系：BE=AD；②夾角關(guān)系：∠BFD=60°1．（24-25八年級上·貴州黔南·期中）如圖，已知D，E分別是等邊三角形ABC中AB，AC邊上的點，且AD=CE，連接CD，BE，交于點F．請判斷∠DFB與∠ACB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．2．（24-25九年級上·湖北·階段練習(xí)）在等邊△ABC中，點D，E分別是BC，AB上的動點，且AE=BD，AD交CE于點F．(1)如圖1，填空：D，E在運動過程中，AD與CE的數(shù)量關(guān)系為：______；∠CFD的度數(shù)為______；(2)如圖2，過C作CP⊥AD于P，PF=1；①求CF之長；②若∠CEB=75°，求AB之長；(3)如圖3，CP⊥AD于P，連接BF，若BF⊥CF，求證：PF=AF．

第四章三角形重難點08幾何熱考題二三角形熱考模型（10種模型匯總+專題訓(xùn)練+10種方法解析）【題型匯總】題型01A字模型圖示結(jié)論∠1+∠2=180°+∠A1．（2021九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠A=65°，直線DE交AB于點D，交AC于點E，則∠BDE+∠CED=（

）．A．180° B．215° C．235° D．245°【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ADE+∠AED，根據(jù)平角的概念計算即可．【詳解】解：∵∠A=65°，∴∠ADE+∠AED=180°?65°=115°，∴∠BDE+∠CED=360°?115°=245°，故選：D．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．2．（2023·陜西西安·西安高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）將一把直尺與一塊直角三角板按如圖所示的方式放置，若∠1=125°，則∠2的度數(shù)為（

）A．35° B．40° C．45° D．55°【答案】A【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠3=∠1?∠4，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠2=∠3．【詳解】解：如圖，由題意知∠4=90°，AB∥∵∠1=∠4+∠3，∠1=125°，∴∠3=∠1?∠4=125°?90°=35°，∵AB∥∴∠2=∠3=35°．故選A．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、三角形外角的定義和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；兩直線平行，同位角相等．3．（2020·四川廣安·中考真題）如圖，在五邊形ABCDE中，若去掉一個30°的角后得到一個六邊形BCDEMN，則∠l+∠2的度數(shù)為（）A．210° B．110° C．150° D．100°【答案】A【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠AMN＋∠ANM=150°，根據(jù)平角的定義可得∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°，從而求出結(jié)論．【詳解】解：∵∠A=30°，∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150°∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210°故選A．【點睛】此題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．4．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動中，小林剪掉等邊三角形紙片的一角，如圖所示，發(fā)現(xiàn)得到的∠1與∠2的和總是一個定值．則∠1+∠2=度．【答案】240【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得∠A=60°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°，∵∠1=∠A+∠AED，∠2=∠A+∠ADE，∴∠1+∠2=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∵∠AED+∠A+∠ADE=180°，∴∠1+∠2=∠A+180°=60°+180°=240°，故答案為：240．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的定義和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．5．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形紙片中，∠D＝50°，若沿圖中虛線剪去∠D，則∠1

【答案】230【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)外角之間的關(guān)系可求解.【詳解】解：三角形的內(nèi)角和等于180°，∠D＝∴∠1=∠D+∠DFE，∠2=∠D+∠DEF.∵∠DEF+∠DFE+∠D=180°，∴∠1+∠2=∠DEF+∠DFE+∠D+∠D=180°+50°=230°.故答案為：230.題型028字模型8字模型8字模型-進階（8字模型+角平分線）圖示AP平分∠BAD,CP平分∠BCD結(jié)論∠A+∠B=∠C+∠D,AD+BC＞AB+CD1.如圖，在由線段AB,CD,DF,BF,CA組成的平面圖形中，∠D=28°，則∠A+∠B+∠C+∠F的度數(shù)為（

）．A．262° B．152° C．208° D．236°【答案】C【分析】如圖標(biāo)記∠1,∠2,∠3，然后利用三角形的外角性質(zhì)得∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，∠2=∠A+∠C，再利用∠2,∠3互為鄰補角，即可得答案．【詳解】解：如下圖標(biāo)記∠1,∠2,∠3，∵∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，∵∠D=28°，∴∠3=∠B+∠F?28°，又∵∠2=∠A+∠C，∴∠2+∠3=∠A+∠C+∠B+∠F?28°，∵∠2+∠3=180°∴180°=∠A+∠C+∠B+∠F?28°，∴∠A+∠C+∠B+∠F=180°+28°=208°，故選C．【點睛】此題考查了三角形的外角性質(zhì)與鄰補角的意義，熟練掌握并靈活運用三角形的外角性質(zhì)與鄰補角的意義是解答此題的關(guān)鍵．2.．（2023臨汾市模擬預(yù)測）（1）已知：如圖（1）的圖形我們把它稱為“8字形”，試說明：∠A+∠B=∠C+∠D．（2）如圖（2），AP，CP分別平分∠BAD，∠BCD，若（3）如圖（3），直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與（4）如圖（4），直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與【答案】（1）見解析；（2）26°；（3）∠P=90°+1（4）∠P=180°?【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°和對頂角的性質(zhì)即可得證；（2）設(shè)∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，x+∠ABC=y+∠Px+∠P=y+∠ADC（3）根據(jù)直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，得到∠PAB=∠PAD=12∠BAD，∠PCB=∠PCE=12∠PCD從而可以得到（4）連接PB，PD,求得∠APC+∠ABC+∠PCB+∠PAB=360°，∠APC+∠ADC+∠PCD+∠PAD=360°，再根據(jù)∠PCE+∠PCD=180°，∠PAB+∠PAF=【詳解】解：（1）如圖.

∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）如圖.

∵AP，CP分別平分∠BAD，∠BCD，設(shè)∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，則有x+∠ABC=y+∠Px+∠P=y+∠ADC∴∠ABC?∠P=∠P?∠ADC，∴∠P=12（3）如圖.

∵直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠PAB=∠PAD=12∴2∠PAB+∠B=180°?2∠PCB+∠D，∴180°?2∵∠P+∠PAD=∠PCD+∠D∴∠P+∠PAD?∠BAD?∠B∴∠P?∠PAB?∠B=∠PCB,∴∠P?∠B=∠PAB+∠PCB∴180°?2∠P?∠B即∠P=90°+1（4）連接PB

∵直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠FAP=∠PAO，∠PCE=∠PCB，∵∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∠PCB+∠PBC+∠BPC=180°∴∠APC+∠ABC+∠PCB+∠PAB=360°同理得到：∠APC+∠ADC+∠PCD+∠PAD=360°∴2∠APC+∠ABC+∠ADC+∠PCB+∠PAB+∠PCD+∠PAD=720°∴2∠APC+∠ABC+∠ADC+∠PCE+∠PAB+∠PCD+∠PAF=720°∵∠PCE+∠PCD=180°，∴2∠APC+∠ABC+∠ADC=360°，∴∠APC=180°?【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．3．（2020九年級·全國·專題練習(xí)）閱讀材料：如圖1，AB、CD交于點O，我們把△AOD和△BOC叫做對頂三角形．結(jié)論：若△AOD和△BOC是對頂三角形，則∠A+∠D＝∠B+∠C．結(jié)論應(yīng)用舉例：如圖2：求五角星的五個內(nèi)角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度數(shù)．解：連接CD，由對頂三角形的性質(zhì)得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五個內(nèi)角之和為180°．解決問題：（1）如圖①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如圖②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如圖③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如圖④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；請你從圖③或圖④中任選一個，寫出你的計算過程．【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；過程見解析【分析】（1）連接CD，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；（2）連接ED，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；（3）連接BH、DE，由對頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根據(jù)五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；（4）連接ND、NE，由對頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論．【詳解】解：（1）連接CD，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；（2）連接ED，由對頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；（3）連接BH、DE，∵由對頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五邊形CDEFG的內(nèi)角和＋△ABH的內(nèi)角和＝540°＋180°＝720°；（4）連接ND、NE，∵由對頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六邊形BCFGHM的內(nèi)角和＋△AND的內(nèi)角和＋△NDE的內(nèi)角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．故答案為：360°；540°；720°；1080°．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意作出輔助線，利用△AOD和△BOC叫做對頂三角形的性質(zhì)及多邊形的內(nèi)角和定理解答是解答此題的關(guān)鍵．4．（2024八年級上·全國·專題練習(xí)）閱讀材料，回答下列問題：【材料提出】“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個三角形構(gòu)成．【探索研究】探索一：如圖1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為___________；探索二：如圖2，若∠B=36°，∠D=14°，求∠P的度數(shù)為___________；探索三：如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長線交CP于點P，則∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為___________．【模型應(yīng)用】應(yīng)用一：如圖4，延長BM、CN，交于點A，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M=α，∠N=β，α+β>180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點P，則∠A=___________（用含有α和β的代數(shù)式表示），∠P=___________．（用含有α和β的代數(shù)式表示）應(yīng)用二：如圖5，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M=α，∠N=β，α+β<180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點P，∠P=___________．（用含有α和β的代數(shù)式表示）【拓展延伸】拓展一：如圖6，若設(shè)∠C=x，∠B=y，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，試問∠P與∠C、∠B拓展二：如圖7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論___________．【答案】探索一：∠A+∠B=∠C+∠D，探索二：25°；探索三：∠P=∠B+∠D2；應(yīng)用一：α+β?180°，α+β?180【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，角平分線定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．探索一：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合對頂角的性質(zhì)可求解；探索二：根據(jù)角平分線的定義可得∠BAP=∠DAP，∠BCP=∠DCP，結(jié)合（1）的結(jié)論可得2∠P=∠B+∠D，再代入計算可求解；探索三：運用探索一和探索二的結(jié)論即可求得答案；應(yīng)用一：如圖4，延長BM，CN，交于點A，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠A=α+β?180應(yīng)用二：如圖5，延長MB、NC，交于點A，設(shè)T是CB的延長線上一點，R是BC延長線上一點，利用應(yīng)用一的結(jié)論即可求得答案；拓展一：運用探索一的結(jié)論可得：∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，∠B+∠CDB=∠C+∠CAB，再結(jié)合已知條件即可求得答案；拓展二：運用探索一的結(jié)論及角平分線定義即可求得答案．【詳解】探索一：如圖1，∵∠AOB+∠A+∠B=∠COD+∠C+∠D=180°，∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D，故答案為∠A+∠B=∠C+∠D；探索二：如圖2，∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，由（1）可得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠D，∴∠B?∠P=∠P?∠D，即2∠P=∠B+∠D，∵∠B=36°，∠D=14°，∴∠P=25°，故答案為25°探索三：由①∠D+2∠1=∠B+2∠3，由②2∠B+2∠3=2∠P+2∠1，①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3=∠B+2∠3+2∠P+2∠1∠D+2∠B=2∠P+∠B．∴∠P=∠B+∠D故答案為：∠P=∠B+∠D應(yīng)用一：如圖4，由題意知延長BM、CN，交于點A，∵∠M=α，∠N=β，α+β>180∴∠AMN=180°?α∴∠A=180∵BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC∵∠PCD=∠P+∠PBC，∵∠P=∠RFPCD∠PCD?∠PBC=1故答案為：α+β?180°，應(yīng)用二：如圖5，延長MB、NC，交于點，設(shè)T是CB的延長線上一點，R是BC延長線上一點，∵∠M=α，∠N=β，α+β<180∴∠A=180∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，由應(yīng)用一得：∠P=1故答案為：180°拓展一：如圖6，由探索一可得：∠P+∠PAB=∠B+∠PDB,∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，∠B+∠CDB=∠C+∠CAB，∵∠C=x，∠B=y，∠CAP=13∠CAB∴∠CDB?∠CAB=∠C?∠B=x?y，∠PAB=23∠CAB∴∠P+23∠CAB=∠B+∵2∠P=∠C+∠B+1∴∠P=2x+y故答案為：∠P=2x+y拓展二：如圖7，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補角∠BCE，∴∠PAD=12∠BAD由探索一得：①∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD=∠D+∠PCD，②×2得：③2∠P+∠BAD=2∠D+180③?①，得：2∠P?∠B=∠D+180∴2∠P?∠B?∠D=180故答案為：2∠P?∠B?∠D=180題型03飛鏢模型飛鏢模型飛鏢模型-進階（飛鏢模型+角平分線）圖示BO平分∠ABC,OD平分∠ADC結(jié)論∠BCD=∠A+∠B+∠D,AB+AD＞BC+CD1．（2024內(nèi)江市模擬預(yù)測）如圖①，有結(jié)論：∠D=∠A+∠B+∠C，因為這個圖形像飛鏢，所以我們往往把這個模型稱為“飛鏢模型”，如圖②，在飛鏢模型中分別作∠ABC和∠ACB的平分線交于點E1，易得∠E1=∠A+∠D2，如圖③，在飛鏢模型中作∠ABD靠AB的三等分線，作∠ACD靠AC的三等分線，兩條三等分線交于點∠E2，……，依次方法，在飛鏢模型中作∠ABD靠AB的n等分線，作∠ACD靠AC

【答案】n?1【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和問題，圖形類規(guī)律探究，根據(jù)飛鏢模型的結(jié)論結(jié)合角平分線的定義，推導(dǎo)出相應(yīng)的規(guī)律，即可．【詳解】解：由題意，得：∠E∠D=∠BE∵∠D=∠A+∠ABD+∠ACD，∴∠ABD+∠ACD=∠D?∠A，∴∠D=∠BE∴∠BE同法可得：∠BE3C=?，∴∠BE故答案為：n?1∠A+∠D2．（20-21八年級上·安徽亳州·階段練習(xí)）如圖①所示是一個飛鏢圖案，連接AB，BC，我們把四邊形ABCD叫做“飛鏢模型”．（1）求證：∠ADC=∠DAB+∠DCB+∠ABC；（2）如圖②所示是一個變形的飛鏢圖案，CE與BF交于點D，若∠EDF=120°，求∠A+∠B+∠C+∠G+∠E+∠F的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）240°【分析】（1）延長CD交AB于點E，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可證∠ADC=∠DAE+∠AED，∠AED=∠DCB+∠ABC，運用角的等量轉(zhuǎn)換即可證明．（2）根據(jù)三角形外角性質(zhì)，運用第（1）題的方法可證∠A+∠B+∠C=∠BDC，∠E+∠G+∠F=∠EDF，∠BDC和∠EDF是對頂角，可推出∠A+∠B+∠C+∠G+∠E+∠F的度數(shù)等于2倍∠EDF的度數(shù)，計算得出答案．【詳解】（1）證明：延長CD交AB于點E，如圖：∵∠ADC是△ADE的外角，∴∠ADC=∠DAE+∠AED．∵∠AED是△CEB的外角，∴∠AED=∠DCB+∠ABC，∴∠ADC=∠DAE+∠DCB+∠ABC=∠DAB+∠DCB+∠ABC．（2）解：∵∠EDF和∠BDC是對頂角，∴∠BDC=∠EDF=120°．由（1）的結(jié)論可知∠BDC=∠A+∠B+∠C，∠EDF=∠E+∠G+∠F，∴∠A+∠B+∠C+∠E+∠G+∠F=∠DCB+∠EDF=240°．【點睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)，靈活運用三角形外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（21-22八年級·全國·假期作業(yè)）利用“模型”解決幾何綜合問題往往會取得事半功倍的效果．幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．運用以上模型結(jié)論解決問題：（1）如圖（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？分析：圖中A1A3DA4是“A”型圖，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；（2）如圖（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度數(shù)．【答案】（1）180°；（2）180°【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把5個角轉(zhuǎn)化到一個三角形中可得答案；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把7個角轉(zhuǎn)化到一個三角形中可得答案．【詳解】解：（1）如圖（4），由三角形外角的性質(zhì)可得，∠1＝∠A1+∠A4，∵∠A2DA5＝∠1+∠A3，∴∠A2DA5＝∠A1+∠A4+∠A3，∵∠A2DA5+∠A2+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°，故答案為：180°；（2）如圖（5），由（1）得，∠1＝∠A1+∠A4+∠A5，∠2＝∠A2+∠A3+∠A6，∵∠1+∠2+∠A7＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7＝180°．【點睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與三角形外角的性質(zhì)，能夠根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．4．（20-21七年級下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）模型規(guī)律：如圖1，延長CO交AB于點D，則∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B．因為凹四邊形ABOC形似箭頭，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”這個規(guī)律，所以我們把這個模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用（1）直接應(yīng)用：①如圖2，∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°，則∠BOC=__________°；②如圖3，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________°；（2）拓展應(yīng)用：①如圖4，∠ABO、∠ACO的2等分線（即角平分線）BO1、CO1交于點O1，已知∠BOC=120°，∠BAC=50°②如圖5，BO、CO分別為∠ABO、∠ACO的10等分線(i=1,2,3,…,8,9)．它們的交點從上到下依次為O1、O2、O3、…、O9．已知∠BOC=120°，∠BAC=50°，則③如圖6，∠ABO、∠BAC的角平分線BD、AD交于點D，已知∠BOC=120°,∠C=44°，則∠ADB=__________°；④如圖7，∠BAC、∠BOC的角平分線AD、OD交于點D，則∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為__________．【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④∠B-∠C+2∠D=0【分析】（1）①根據(jù)題干中的等式直接計算即可；②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE，代入計算即可；（2）①同理可得∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1，代入計算可得；②同理可得∠BO7C=∠BOC-17（∠BOC-∠A③利用∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-12（∠BOC-∠C④根據(jù)兩個凹四邊形ABOD和ABOC得到兩個等式，聯(lián)立可得結(jié)論．【詳解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1=∠BOC-12（∠ABO+∠ACO=∠BOC-12（∠BOC-∠A=∠BOC-12=120°-35°=85°；②∠BO7C=∠BOC-310（∠BOC-∠A=120°-310=120°-21°=99°；③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-310（∠BOC-∠C=180°-12=142°；④∠BOD=12∠BOC=∠B+∠D+12∠∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，聯(lián)立得：∠B-∠C+2∠D=0．【點睛】本題主要考查了新定義—箭頭四角形，利用了三角形外角的性質(zhì)，還考查了角平分線的定義，圖形類規(guī)律，解題的關(guān)鍵是理解箭頭四角形，并能熟練運用其性質(zhì)．題型04老鷹抓小雞模型老鷹抓小雞模型圖示點O為∠A內(nèi)部的一點結(jié)論∠1+∠2=∠A+∠O解題方法：腋下兩角之和等于上下兩角之和.1．（2023·廣東珠?！つM預(yù)測）如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點與B'點重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】由折疊的性質(zhì)可知∠BED=∠B'ED,∠BDE=∠B'DE,再利用平角的定義可求出∠BED+∠BDE的度數(shù)，進而利用三角形內(nèi)角和可求∠B的度數(shù).【詳解】由折疊的性質(zhì)可知∠BED=∠B'ED,∠BDE=∠B'DE∵∠1+∠BED+∠B'ED=180°,∠2+∠BDE+∠B'DE=180°∴∠BED+∠BDE=∴∠B=180°?(∠BED+∠BDE)=180°?140°=40°故選C【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，掌握折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.2．（2022上·湖北恩施·八年級期末）如圖，把△ABC沿EF對折，折疊后的圖形如圖所示，∠A=60°，∠1=96°，則∠2的度數(shù)為（

）A．30° B．24° C．25° D．26°【答案】B【分析】由三角形的內(nèi)角和，得∠AEF+∠AFE=120°，由鄰補角的性質(zhì)得∠FEB+∠EFC=240°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠B'EF+∠C'FE=240°，即∠1+∠AEF+∠2+∠AFE=240°，所以，∠2=24°．【詳解】解：∵∠A=60°，∴∠AEF+∠AFE=180°?∠A=180°?60°=120°，∴∠FEB+∠EFC=360°?120°=240°，由折疊的性質(zhì)可得：∠B'EF+∠C'FE=∠FEB+∠EFC=240°，∴∠1+∠AEF+∠2+∠AFE=240°，∵∠1=96°，∴96°+120°+∠2=240°，即∠2=240°?120°?96°=24°．故選B．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、鄰補角的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，熟悉掌握三角形的內(nèi)角和為180°，互為鄰補角的兩個角之和為180°以及折疊的性質(zhì)是本題的解題關(guān)鍵．3．（2023杭州市模擬）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，點A的對應(yīng)點為A’，若∠B=60°，∠C=80°，則∠1+∠2等于(

)A．40° B．60° C．80° D．140°【答案】C【分析】根據(jù)平角定義和折疊的性質(zhì)，得∠1+∠2=360°?2(∠3+∠4)，再利用三角形的內(nèi)角和定理進行轉(zhuǎn)換，得∠3+∠4=∠B+∠C=140°從而解題．【詳解】解：根據(jù)平角的定義和折疊的性質(zhì)，得∠1+∠2=360°?2(∠3+∠4)．又∵∠A+∠3+∠4=180°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠3+∠4=∠B+∠C=60°+80°=140°，∴∠1+∠2=360°?2(∠3+∠4)=360°?2×140°=80°，故選：C【點睛】此題綜合運用了平角的定義、折疊的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理．4．（2022下·河南南陽·七年級校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形紙片ABCD中，∠A=80°，∠B=75°，將紙片折疊，使點C，D落在AB邊上的點C'，D'處，折痕為EF，則∠1+∠2=（

A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【分析】根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理得到∠C+∠D=205°，進而由折疊的性質(zhì)得到∠FC'D【詳解】解：∵四邊形ABCD中，∠A=80°，∴∠C+∠D=360°?∠A?∠B=205°，由折疊的性質(zhì)可得∠FC∴∠FC∵∠FC∴∠FC∴∠BC∵∠B+∠BC∴∠B+∠BC∴155°+155°+∠1+∠2=360°，∴∠1+∠2=50°，故選B．【點睛】本題主要考查了四邊形內(nèi)角和定理，三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，正確求出∠BC5．（2023下·河南鄭州·八年級?？奸_學(xué)考試）折紙是我國一項古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，請根據(jù)題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1?∠2）與∠A的數(shù)量關(guān)系．

(1)如圖①，若∠A＝60°，沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝．(2)如圖②，翻折后，點A落在點A'處，若∠1+∠2=110°，求∠B+∠C(3)如圖③，△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，若∠1=80°，∠2=28°，則∠A的度數(shù)為【答案】(1)240°(2)125°(3)26°【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠ADE+∠AED=180°?60°=120°，再由平角進行求解即可；（2）連接AA'，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出（3）設(shè)AB與DA'交于點F，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠1=【詳解】（1）解：∵∠A=60°∴∠ADE+∠AED=180°?60°=120°，∴∠1+∠2=360°?∠ADE?∠AED=240°，故答案為：240°．（2）解：連接AA

∵∠1=∴∠1+∵∠EAD=∠EA∴∠1+∠2=2∠EAD=∴∠EAD=55°，∴∠B+∠C=180°?55°=125°．（3）解：如圖，設(shè)AB與DA'交于點

，∵∠1=由折疊可得，∠A=∠A∴∠1=∠A+∠A又∵∠1=80°，∴80°=∴∠A故答案為：26°【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，平角的定義等，理解題意作出相應(yīng)輔助線求解是解題的關(guān)鍵．6．（2022下·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）折紙是我國一項古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項具有中國特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，請根據(jù)題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）與∠A的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖①，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝_______．(2)如圖②，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE將∠A翻折，使點A落在BC上的點A’處，則∠1+∠2=_______．(3)如圖③，翻折后，點A落在點A’處，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度數(shù)(4)如圖④，△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A’處，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度數(shù)．【答案】(1)260°(2)160°(3)∠B+∠C=140°(4)∠A=28°【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠B+∠C＝180°-80°=100°，再由平角進行求解即可；（2）利用翻折的性質(zhì)得出∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠ADE+∠AED＝100°，結(jié)合圖形，由平角及各角之間的關(guān)系進行計算即可‘（3）連接AA'．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，然后利用各角之間的數(shù)量關(guān)系得出（4）設(shè)AB與DA'交于點F，根據(jù)三角形外角得出∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠A【詳解】（1）解：∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，∴∠1+∠2=360°?∠ADE?∠AED=260°，故答案為：260°；（2）∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，∵翻折，∴∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,∴∠ADA’+∠AEA’＝2(∠ADE+∠AED)=200°，∴∠1+∠2=360°-(∠ADA’+∠AEA’)=160°，故答案為：160°；（3）解：連接AA∵∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，∴∠1+∠2=∠DAA’+∠DA’A+∠EAA’+∠EA’A=∠EAD+∠EA’D，∵∠EAD=∠EA∴∠1+∠2=2∠EAD=80°，∴∠EAD=40°，∴∠B+∠C=180°?40°=140°．（4）解：如圖，設(shè)AB與DA'交于點∵∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠A由折疊可得，∠A=∠A∴∠1=∠A+∠A又∵∠1=80°，∠2=24°，∴80°=2∠A+24°，∴∠A=28°．【點睛】題目主要考查三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，平角的定義等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線求解是解題關(guān)鍵．題型05三角形翻折模型向內(nèi)翻折向外翻折圖示結(jié)論2∠C=∠1+∠22∠C=∠2-∠11．（20-21七年級下·重慶沙坪壩·期末）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，將△ABC按如圖方式進行折疊，使點A與BC邊上的點F重合，折痕分別與AC、AB交于點D、點E．下列結(jié)論：①∠3+∠B=90°；②∠1+∠2=90°；③∠1=∠2；④DF∥AB．其中一定正確的結(jié)論有(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的判定，三角形內(nèi)角和定理等知識，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．由折疊性質(zhì)可得∠A=∠3，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，再由等腰直角三角形性質(zhì)得∠A=∠B=∠3=45°，即可得到∠3+∠B=90°；設(shè)∠ADE=∠FDE=α，∠AED=∠FED=β，可得∠1+∠ADE+∠FDE=∠1+2α=180°①，∠2+∠AED+∠FED=∠2+2β=180°②，∠A+α+β=180°，即可推導(dǎo)出∠1+∠2=90°；∠1與∠2不一定相等，DF與【詳解】解：由折疊的性質(zhì)，∠A=∠3，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，∵△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，∴∠A=∠B=∠3=45°，∴∠3+∠B=90°，故選項①正確；設(shè)∠ADE=∠FDE=α，∠AED=∠FED=β，∴∠1+∠ADE+∠FDE=∠1+2α=180°①，∠2+∠AED+∠FED=∠2+2β=180°②，∴①+②，得∠1+2α+∠2+2β=∠1+∠2+2α+β∴∠1+∠2=90°，故選項②正確；∵∠1+∠2=90°，∴∠1與∠2不一定相等，∴選項③不一定正確；∵點F在BC邊上，不固定，DF與AB不一定平行，∴選項④不一定正確；故選：B．2．（20-21七年級下·江蘇泰州·期末）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】D【分析】連接A'A，先求出∠BAC，再證明∠1+∠2=2∠BAC即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC=12∠ABC，∠A'CB=12∠∵∠BA'C=120°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-120°=60°，∵沿DE折疊，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，故選：D．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線定義、三角形外角的性質(zhì)、折疊變換等知識，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，靈活應(yīng)用所學(xué)知識，屬于中考?？碱}型．3．（21-22七年級下·江蘇南京·期末）已知△ABC中，∠A=65°，將∠B、∠C按照如圖所示折疊，若∠ADB'=35°【答案】265°【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理的推論，先用∠B表示出∠3，再利用鄰補角和四邊形的內(nèi)角和定理用∠C表示出∠1+∠2，最后再利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠1+∠2+∠3．【詳解】解：由折疊知∠B=∠B∵∠3=∠B+∠4,∠4=∠ADB∴∠3=∠B+∠AD=2∠B+35°．∵∠1+∠2=180°?∠=360°?(∠CFC+∠C∠=360°?2∠C，∴∠1+∠2=360°?(∠=360°?(360°?2∠C)=2∠C．∴∠1+∠2+∠3=2∠C+2∠B+35°=2(∠C+∠B)+35°=2(180°?∠A)+35°=2(180°?65°)+35°=265°．故答案為：265°．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，掌握“三角形的內(nèi)角和是180°”、“四邊形的內(nèi)角和是360°”、“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”是解決本題的關(guān)鍵．4．（24-25八年級上·全國·階段練習(xí)）如圖，∠AOB=α，點M是射線OA上的一個定點，點N是射線OB上的一個動點，連接MN，把∠AOB沿MN折疊，點O落在∠AOB所在平面內(nèi)的點C處．(1)如圖1，點C在∠AOB的內(nèi)部，若∠CMA=20°，∠CNB=60°，則a=．(2)如圖2，若α=45°，ON=2，折疊后點C在直線OB上方，CM與OB交于點E，且MN=ME，求∠OMN的度數(shù)及折痕MN(3)如圖3，若折疊后，直線MC⊥OB，垂足為點E，且OM=5，ME=3，直接寫出此時ON的長．【答案】(1)40°；(2)∠MON=30°，折痕MN的長為2；(3)ON的長為52或10【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可解決問題；（2）過點N作ND⊥OM于點D，證明∠OMN=30°，進而可以解決問題；（3）分兩種情況討論并畫圖，若折疊后直線MC⊥OB于點E，①若點N在線段OE上，②若點N在線段OE的延長線上，然后根據(jù)勾股定理即可解決問題；本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵∠CMA=20°，∠CNB=60°，∴∠CMO=180°?20°=160°，∠CNO=180°?60°=120°，由翻折可知：∠OMN=12∠CMO=80°∴∠AOB=180°?80°?60°=40°，即a=40°，故答案為：40°；（2）解：由翻折可知∠EMN=∠NMO，∴∠OME=2∠OMN，∵∠AOB=45°，∴∠MNE=∠AOB+∠OMN=45°+∠OMN，∵MN=ME，∴∠OEM=∠MNE=45°+∠OMN，∵∠AOB+∠OME+∠OEM=180°，∴45°+2∠OMN+45°+∠OMN=180°，∴∠OMN=30°，如圖，過點N作ND⊥OM于點D，在Rt△ODN中，∠DON=45°，ON=∴DN=OD=1，在Rt△DMN中，∠DMN=30°∴MN=2DN=2，∴折痕MN的長為2；（3）解：若折疊后，直線MC⊥OB于點E，如圖，∵OM=5，ME=3，∴OE=O①若點N在線段OE上，如圖，由折疊可知：CM=OM=5，CN=ON，∴CE=CM?EM=5?3=2，在Rt△CEN中，EN=OE?ON=4?ON根據(jù)勾股定理，得EN∴4?ON2解得ON=5②若點N在線段OE的延長線上，如圖，由折疊可知：CM=OM=5，CN=ON，∴CE=CM+EM=5+3=8，在Rt△CEN中，EN=ON?OE=ON?4根據(jù)勾股定理，得EN∴ON?42解得：ON=10，綜上所述：ON的長為52或105．（2024八年級上·黑龍江·專題練習(xí)）新考向【動手操作】一個三角形的紙片ABC，沿DE折疊，使點A落在點A'【觀察猜想】（1）如圖①，若∠A=40°，則∠1+∠2=___________°；若∠A=55°，則∠1+∠2=___________°；若∠A=n°，則∠1+∠2=___________°；【探索證明】（2）利用圖①，探索∠1,∠2與∠A的關(guān)系，并說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）如圖②，把△ABC折疊后，BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，若【答案】（1）80，110，2n；（2）∠1+∠2=2∠A，見解析；（3）117【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義、三角形外角的定義及性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）由折疊的性質(zhì)可得∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'（2）由三角形外角的定義及性質(zhì)得出∠BDE=∠A+∠AED，∠CED=∠A+∠ADE，整理即可得解；（3）由（2）可得∠A=54°，再由角平分線的定義并結(jié)合三角形內(nèi)角和定理計算即可得解．【詳解】解：（