2025屆高三年級港澳臺學生8月月考數學試卷

第1頁/共1頁8月考試數學一、單選題1.若一個扇形的半徑為1，圓心角為，則該扇形的面積為（）A.15 B.30 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意，結合扇形的面積公式，即可求解.【詳解】由一個扇形的半徑為1，圓心角為，即為，所以該扇形的面積為.故選：C.2.已知角α的終邊過點P(4，－3)，則sinα＋cosα的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角函數的定義可求得sinα與cosα，從而可得sinα+cosα的值【詳解】∵知角α的終邊經過點P（4，-3），∴sinα，cosα，∴sinα+cosα．故選：A．3.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用兩角和的正弦公式即可.【詳解】.故選：D.4.函數圖象在點處切線方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由導數的幾何意義得出斜率，進而由點斜式得出方程.【詳解】由題意可得，則，則所求切線方程為，即.故選:：C5.用“五點法”作函數在一個周期內的圖像時，第四個關鍵點的坐標是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用余弦函數的五點作圖求解即可【詳解】令，得.∴該點坐標為.故選A【點睛】本題考查”五點法”作函數y＝Acos（ωx+φ）的圖象，y＝cosx的第一個周期內五個關鍵點：（0，1），（，0），（π，-1），（，0），（2π，1）．6.已知函數與是互為反函數，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先得到的解析式，再代入計算可得.【詳解】因為函數與是互為反函數，所以，則，，，，即正確的只有D.故選：D7.已知，則（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再根據補集的定義即可得解.【詳解】，所以.故選：A.8.已知與是方程的兩個根，則實數的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由一元二次方程根與系數的關系及同角三角函數基本關系式求解．【詳解】與是方程的兩個根，，兩邊平方得：，，得．即．故選：D．9.若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由兩角和與差的正切公式即可求解.【詳解】．故選：D.10.已知函數，若恒成立，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】參變分離可得恒成立，結合基本不等式求出的最小值，即可求出參數的取值范圍.【詳解】因為恒成立，即恒成立，所以恒成立，又由（當且僅當時取等號），所以．故選：A．11.已知函數是偶函數，將的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到的圖象．若曲線的兩個相鄰對稱中心之間的距離為，則（）A.B.的圖象關于直線對稱C.的圖象關于點對稱D.若，則在區(qū)間上的最大值為【答案】CD【解析】【分析】首先利用三角函數的性質求出和的關系，根據對稱點距離和周期關系即可判斷A；求出正弦型函數的對稱軸和對稱中心即可判斷BC；利用整體法即可求出的最值.【詳解】由于函數是偶函數，所以，由于將的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到的圖象，則，對于A，因為曲線的兩個相鄰對稱中心之間的距離為，故，解得，故A不正確；所以函數，則或，，則或，對于B，令，解得，，令，解得，則的圖象不關于直線對稱，故B錯誤；對于C,令，解得，，所以當時，所以的圖象關于點對稱，故C正確；對于D，由A可得，當時，即為偶數時，為奇數時，故，此時時，當時，，所以在上單調遞減，故函數的最大值為，故D正確；故選：CD.12.若函數是定義域為R的奇函數，且fx+2=?fx，，則下列說法不正確的是（A.B.的圖象關于點2,0中心對稱C.的圖象關于直線對稱D.【答案】D【解析】【分析】對于A：根據，賦值令，即可得結果；對于C：根據結合奇函數定義可得，即可得結果；對于B：根據選項B中結論分析可得，即可得結果；對于D：分析可知：4為的周期，結合周期性分析求解.【詳解】因為，，對于選項A：令，可得，故A正確；對于選項C：因為函數是定義域為的奇函數，則，則，所以的圖象關于直線對稱，故C正確；對于選項B：因為，可得，則，即，所以的圖象關于點中心對稱，故B正確；對于選項D：因為，令，可得，令，可得，又因為，則，可知4為的周期，可得，即，因為，所以，故D錯誤；故選：D二、填空題13.，單調減區(qū)間是______.【答案】【解析】【分析】根據給定條件，直接寫出函數的單調減區(qū)間.【詳解】，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以所求單調減區(qū)間是.故答案為：14.若，則________.【答案】##【解析】【分析】根據特殊角的正弦值以及反正弦函數的定義，即可得出答案.【詳解】因為，所以.故答案為：.15.已知，若冪函數在0,+∞上單調遞增，則______.【答案】2【解析】【分析】根據單調性可得，則可得出所求.【詳解】在0,+∞上單調遞增，，，，則，.故答案為：2.16.若是一次函數，且，則__________．【答案】或【解析】【分析】設，利用待定系數法求出的值即可.【詳解】設，則，又，，解得或或.故答案為或.【點睛】本題考查利用待定系數法求函數解析式.若已知函數的類型(如一次函數、二次函數)，可先設出函數解析式的一般形式，再利用已知條件求其中的系數.17.已知函數（）的一段圖象如圖所示，則函數的解析式為_________【答案】【解析】【分析】由最值求，由周期求，由圖象過求，從而可得結果.【詳解】由圖可知，，所以，所以，又因為圖象過，所以，可得，因為，所以,所以，故答案為：.【點睛】本題主要通過已知三角函數圖象求解析式考查三角函數的性質，屬于中檔題.利用最值求出,利用圖象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊點求出，正確求是解題的關鍵.求解析時求參數是確定函數解析式的關鍵，由特殊點求時，一定要分清特殊點是“五點法”的第幾個點.18.函數存在唯一的極值點，則實數t的最大值為________．【答案】【解析】【分析】求出函數的導函數，依題意存在唯一的變號正實根，當符合題意，當時參變分離可得沒有除之外的正實根，構造函數，利用導數求出函數的單調性，即可求出函數的最小值，從而求出的取值范圍.【詳解】因為，x∈0,+∞所以，依題意可得存在唯一的變號正實根，即存在唯一的變號正實根，當時，方程只有唯一變號正實根，符合題意，當，方程，即沒有除之外的正實根，令，則，所以當時，，即在0,2上單調遞減，當時，，在上單調遞增，所以，所以，則實數t的最大值為.故答案為：.【點睛】方法點睛：導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，常化為不等式恒成立問題，注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．三、解答題19.已知.（1）化簡求值：；（2）若是第一象限角，，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先用誘導公式化簡，再弦化切求值；（2）先求出、的正弦、余弦，再利用兩角和與差的三角函數求值.【小問1詳解】原式.【小問2詳解】由為第一象限角，且，故：，；又，且，故.所以：.20.端午節(jié)賽龍舟是我國的傳統(tǒng)習俗，一共有8支龍舟隊伍，其中專業(yè)組2支，業(yè)余組6支，從中隨機取出3支隊伍．（1）求既有專業(yè)組又有業(yè)余組的概率；（2）設X表示取到業(yè)余組的個數，求隨機變量X的分布列與數學期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，數學期望【解析】【分析】（1）根據古典概型以及組合數的計算求得正確答案；（2）根據超幾何分布的知識求得的分布列并求得數學期望．【小問1詳解】依題意，既有專業(yè)組又有業(yè)余組的概率為．【小問2詳解】的可能取值為1，2，3，則，，，所以的分布列如下：123．21.已知函數（1）求函數的單調遞增區(qū)間；（2）先將函數的圖象向右平移個單位，再將所得圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的倍，得到函數的圖象，若函數在上的值域是，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運用三角恒等變換化成正弦型函數，再整體代換即可求出單調遞增區(qū)間；（2）運用圖象變換得到解析式，再根據得到值域，建立不等式求解即可.【小問1詳解】因為，所以增區(qū)間，由不等式，即，所以的單調遞增區(qū)間為：.【小問2詳解】將函數的圖象向右平移個單位，得到，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變得到，.當，因為的值域為所以，所以，即故.22.設函數，其中．（Ⅰ）若，求函數的單調區(qū)間；（Ⅱ）若方程恰有兩個不等實數根，求實數的取值范圍．【答案】（Ⅰ）單調遞減區(qū)間，單調遞增區(qū)間；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）代入,求得，分別求得導數的正負情況，進而可得單調性；（Ⅱ）可化為，構造函數，有兩個不等的實數根，即與有兩個交點，利用導數研究的單調性求得最值，數形結合即可得解.【詳解】（Ⅰ