北京市海淀區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

第1頁(yè)/共1頁(yè)2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試試卷高一數(shù)學(xué)2024.11一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交運(yùn)算即可求解.【詳解】由得又，故，故選：A2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)特稱量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可.【詳解】命題“”為特稱量詞命題，其否定為：.故選：A3.函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先判斷在上的單調(diào)性，再由零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【詳解】因?yàn)榕c均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，，，所以，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn).故選：B4.下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】判斷函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則是否相同，即可判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù).【詳解】對(duì)A,的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，不是同一函?shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)B,定義域?yàn)榈亩x域?yàn)椋皇峭缓瘮?shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)C,定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?，不是同一函?shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)D,，二者的定義域、對(duì)應(yīng)法則均相同，為同一函數(shù)，故正確.故選：D5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性判斷即可.【詳解】對(duì)于A：的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，但是函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：定義域，且，所以為偶函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D6.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】由，則，即可以推導(dǎo)出，故充分性成立；由推不出，如，，滿足，但是，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A7.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來(lái)研究函數(shù)圖象的特征．我們從這個(gè)商標(biāo)中抽象出一個(gè)圖象如圖，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由圖象知函數(shù)的定義域排除選項(xiàng)A、D，再根據(jù)不成立排除選項(xiàng)C，即可得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?，函?shù)與的定義域均為.由圖知的定義域?yàn)椋懦x項(xiàng)A、D，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，不符合圖象，所以排除選項(xiàng)C.故選：B.8.若關(guān)于x的不等式x2－4x－2－a＞0在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞)C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6)【答案】A【解析】【分析】不等式x2－4x－2－a＞0在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解等價(jià)于a＜(x2－4x－2)max，然后求函數(shù)f（x）＝x2－4x－2在x∈(1，4)時(shí)的最大值即可【詳解】解：不等式x2－4x－2－a＞0在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解等價(jià)于a＜(x2－4x－2)max，令f（x）＝x2－4x－2，x∈(1，4)，對(duì)稱軸為所以f（x）＜f（4）＝－2，所以a＜－2．故選：A【點(diǎn)睛】此題考查不等式成立的條件，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的最值求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.9.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，恒成立．設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件得到函數(shù)在上是減函數(shù)，再由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱和函數(shù)的單調(diào)性比較可得答案.【詳解】當(dāng)且，時(shí)，恒成立，可得在上單調(diào)遞減，且關(guān)于對(duì)稱，所以在上單調(diào)遞增，，，，即.故選：B10.對(duì)于任意的表示不超過(guò)的最大整數(shù)．十八世紀(jì)，被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱為“取整函數(shù)”．下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.函數(shù)的值域?yàn)镃.對(duì)于任意的，不等式恒成立D.不等式的解集為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)取整函數(shù)的定義結(jié)合奇函數(shù)的定義分析判斷，對(duì)于B，根據(jù)取整函數(shù)的定義求解判斷，對(duì)于C，根據(jù)取整函數(shù)的定義結(jié)合不等式的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于D，先解一元二次不等式，再利用取整函數(shù)定義求解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以不是奇函數(shù)，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)楸硎静怀^(guò)的最大整數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)闀r(shí)，，所以，所以C正確，對(duì)于D，由，得，因?yàn)楸硎静怀^(guò)的最大整數(shù)，所以，所以D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：關(guān)于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問(wèn)題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語(yǔ)言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答.二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分．11.函數(shù)的定義域是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分母不為，偶次方根的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)得到不等式組，解得即可.【詳解】對(duì)于函數(shù)，令，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：12.不等式的解集為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】移項(xiàng)，通分后可化簡(jiǎn)為簡(jiǎn)單分式不等式求解，需要注意分母不為零.【詳解】移項(xiàng)得：，通分化簡(jiǎn)得到分式不等式：；兩邊同時(shí)乘以分母得平方，結(jié)合分母不為零，得到不等式組：解得.原不等式解集為.故答案為：13.已知，若，則的值為_(kāi)______．【答案】或【解析】【分析】依題意可得，即可得到或，從而求出的值，再檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以或，解得或或，?dāng)時(shí)，集合、均不滿足集合元素的互異性，故舍去；當(dāng)或時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)均符合題意；綜上可得或故答案為：或14.若函數(shù)是上的減函數(shù)，則a的取值范圍是_______【答案】【解析】【分析】由是上的減函數(shù)列不等式，求解實(shí)數(shù)的取值范圍即可.【詳解】由題意得，且，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；綜上得實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.15.已知函數(shù)，其中，下列結(jié)論正確的是_______．①存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)為奇函數(shù)②存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)為偶函數(shù)③當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為④當(dāng)時(shí)，若方程有三個(gè)不等實(shí)根，則【答案】【解析】【分析】A、B利用奇偶性定義及解析式判斷是否存在實(shí)數(shù)使或；C、D寫(xiě)出分段函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合參數(shù)的范圍，應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而確定時(shí)方程根的情況求參數(shù)范圍.【詳解】由，顯然當(dāng)a＝0時(shí)有f?x=?f但不存在實(shí)數(shù)a使f?x=fx成立，所以存在實(shí)數(shù)a不存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)為偶函數(shù).所以①正確，②錯(cuò)誤；且在處連續(xù)，當(dāng)時(shí)，易知：在上遞增，遞減，上遞增，③正確；由解析式，當(dāng)時(shí)在上遞增，遞減，上遞增，又，，要使有三個(gè)不等實(shí)根，即與有三個(gè)交點(diǎn)，所以，又，可得，④正確.故答案為：.三、解答題：本題共4小題，共40分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．16.已知全集，求．【答案】答案見(jiàn)解析【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值不等式和一元二次不等式的解法求得或，結(jié)合交并補(bǔ)集的定義和概念計(jì)算即可.【詳解】由題意知，或，所以，，或，所以17.已知函數(shù)．（1）若，且，求的最小值；（2）若，解關(guān)于的不等式．【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）依題意可得，利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得；（2）依題意可得，分、、、、五種情況討論，分別求出不等式的解集.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榍?，所以，即，又，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，不等式，即為，即；當(dāng)時(shí)，解得，所以不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，解得或，所以不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式即為，解得，所以不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，解得，所以不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，，解得，所以不等式的解集為；綜上可得：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.18.已知函數(shù)．（1）證明：為奇函數(shù)．（2）判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．（3）解關(guān)于t的不等式．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解.（2）在是增函數(shù)，證明見(jiàn)詳解.（3）【解析】【分析】（1）利用奇偶性的定義進(jìn)行證明；（2）利用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明；（3）利用前面的結(jié)論列出不等式組進(jìn)行求解.【小問(wèn)1詳解】由已知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)于定義域內(nèi)任意的，都有：，為奇函數(shù).【小問(wèn)2詳解】在是增函數(shù)，證明如下：選擇任意的，滿足，則，通分化簡(jiǎn)：，由可得：，，，；即，有.證得在是增函數(shù).【小問(wèn)3詳解】，則，由是奇函數(shù)，則，又由是增函數(shù)，則；結(jié)合定義域，得到不等式組：，解得.故解集為：19.對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，如果存在區(qū)間，同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：①在區(qū)間上是單調(diào)的；②當(dāng)定義域是時(shí)，的值域也是．則稱是函數(shù)的一個(gè)“黃金區(qū)間”．（1）請(qǐng)證明：函數(shù)不存在“黃金區(qū)間”．（2）已知函數(shù)在上存在“黃金區(qū)間”，請(qǐng)求出它的“黃金區(qū)間”．（3）如果是函數(shù)的一個(gè)“黃金區(qū)間”，請(qǐng)求出的最大值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由為(0,+∞)上的增函數(shù)和方程的解的情況可得證；（2）由可得出，再由二次函數(shù)的對(duì)稱軸和方程，可求出函數(shù)的“黃金區(qū)間”；（3）化簡(jiǎn)得函數(shù)的單調(diào)性，由已知是方程的兩個(gè)同號(hào)的實(shí)數(shù)根，再由根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系可表示，由或，可得的最大值．【詳解】解：（1）證明：由為(0,+∞)上的增函數(shù)，則有，∴，無(wú)解，∴不存在“黃金區(qū)間”；（2）記是函數(shù)的一個(gè)“黃金區(qū)間”，由及此時(shí)函數(shù)值域?yàn)?，可知而其?duì)稱軸為，