2024年高考數(shù)學(xué)第一輪題型歸納與解題 考點(diǎn)06 函數(shù)的概念及其表示7種常見考法歸類（原卷版+解析）

考點(diǎn)06函數(shù)的概念及其表示7種常見考法歸類

考點(diǎn)一函數(shù)的概念（3）圖象法

考點(diǎn)二同一函數(shù)的判斷（4）分離常數(shù)法

考點(diǎn)三求函數(shù)值⑸反解法

考點(diǎn)四求函數(shù)的定義域（6）換元法

（一）求具體函數(shù)的定義域⑺判別式法

（二）求抽象函數(shù)的定義域（8）單調(diào)性法

（三）逆用函數(shù)的定義域⑼基本不等式法

（四）實(shí)際問題中的定義域（10）導(dǎo)數(shù)法

考點(diǎn)五求函數(shù)的解析式（二）已知函數(shù)值域求參數(shù)

（一）待定系數(shù)法（三）定義域和值域的綜合

（二）配湊法（四）函數(shù)值域新定義問題

（三）換元法考點(diǎn)七分段函數(shù)及其應(yīng)用

（四）利用函數(shù)的奇偶性求解析式（一）求分段函數(shù)的函數(shù)值

（五）利用函數(shù)的周期性求解析式（1）已知自變量的值求函數(shù)值

（六）構(gòu)造方程組法（2）己知函數(shù)值求自變量的值

（七）賦值法（二）分段函數(shù)與不等式

考點(diǎn)六求函數(shù)的值域（二）分段函數(shù)圖象及其應(yīng)用

（-）求函數(shù)的值域（四）求分段函數(shù)的值域或最值

（1）觀察法（五）已知分段函數(shù)的值域（最值）求參數(shù)

（2）配方法

1、判斷所給的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法

（1）先觀察兩個(gè)數(shù)集A,3是否非空；

（2）驗(yàn)證對(duì)應(yīng)關(guān)系下，集合4中x的任意性，集合8中），的唯一性.

注：①函數(shù)的定義要求第一個(gè)非空數(shù)集A中的任何一個(gè)元素在第二個(gè)非空數(shù)集B中有且只有一個(gè)元素

與之對(duì)應(yīng)，即可以“多對(duì)一”，不能“一對(duì)多”，而八中有可能存在與A中元素不對(duì)應(yīng)的元素.

②構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同.同一函數(shù)需滿足定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)

系均相同

2、根據(jù)圖形判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的步驟

（1）任取一條垂直于x軸的直線Z；

(2)在定義域內(nèi)平行移動(dòng)直線I；

③若,與圖形有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點(diǎn)或有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，則

不是函數(shù).

3、判斷兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)應(yīng)注意的三點(diǎn)

(1)定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個(gè)不相同就不是同一個(gè)函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一

定是同一個(gè)函數(shù).

(2)函數(shù)是兩個(gè)非空數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的.

⑶在化簡解析式時(shí)，必須是等價(jià)變形.

4、教材中的幾個(gè)重要函數(shù)

定義圖象

x,x>0,

絕對(duì)值函數(shù)

J=x|=1_x>x<0

a>0,ft>0a<0,Z><0

b

“雙勾”函數(shù)y=ax+'iJ/ML

(H>0)

y=[x]t

取整函數(shù)其中㈤表示不超.工二

-3-2-lb123x

過x的最大整數(shù)一口

fl,x>0,

符號(hào)函數(shù)尸0,x=0,占

[-1,x<0

5、求函數(shù)的定義域

函數(shù)的定義域：就是使得函數(shù)解析式有意義時(shí)，自變量的取值范圍就叫做函數(shù)的定義域，定義域必須

用集合或區(qū)間表示.若用區(qū)間表示，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號(hào)“U”連接.研究函數(shù)問題都應(yīng)該注

意“定義域優(yōu)先1拋棄函數(shù)的定義域解決函數(shù)問題沒有任何意義。但大部分學(xué)生都會(huì)忽視這一問題，所以

被稱為隱形殺手，一定要確立定義域優(yōu)先的思想。求函數(shù)定義域的原則：用列表法表示的函數(shù)的定義域，

是指表格中實(shí)數(shù)x的集合；用圖象法表示的函數(shù)的定義域，是指圖象在x軸上的投影所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的集合;

當(dāng)函數(shù)yfx)用解析法表示時(shí)，函數(shù)的定義域是指使解析式有意義的實(shí)數(shù)x的集合，一般通過列不等式(組)

求其解集.

(1)求具體函數(shù)的定義域

求具體函數(shù)(用解析式給出)定義域的基本原則有以下幾條：(注不要對(duì)解析式進(jìn)行化簡變形，以免定

義域發(fā)生變化)

①分式：分母不能為零；

②根式：偶次根式中根號(hào)內(nèi)的式子大于等于0,(如，只要求)對(duì)奇次根式中的被開方數(shù)的正負(fù)沒有要

求；(若偶次根式單獨(dú)作為分母，只要偶次根式根號(hào)內(nèi)的式子大于0即可，如，只要求)

③零次幕：中底數(shù)；

④對(duì)數(shù)函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)中真數(shù)大于零，底數(shù)為大于0且不等于；

⑤三角函數(shù)：正弦函數(shù)的定義域?yàn)?，余弦函?shù)的定義域?yàn)?正切函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

<xx豐k兀+若y=tan/(x),貝?。?/p>

⑥若是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義

域的交集.

⑦在求實(shí)際問題或幾何問題的定義域，此時(shí)除要考慮解析式有意義外，還應(yīng)考慮使實(shí)際問題或幾何問

題有意義

注：剝洋蔥原理一層一層交集(同時(shí)成立)最后把求定義域轉(zhuǎn)化成解不等式。

(2)求抽象函數(shù)的定義域

謹(jǐn)記兩句話：定義域(永遠(yuǎn))指的是x的取值范圍

同一個(gè)下括號(hào)內(nèi)的范圍是一樣的

①已知的定義域，求的定義域，其解法是：若的定義域?yàn)閯t中從中解得的

取值范圍即為的定義域。

②已知的定義域，求的定義域。其解法是：若的定義域?yàn)樗?x4力，則由94x4為確定g(x)的范

圍即為的定義域。

③已知的定義域，求的定義域。其解法是：可先由定義域求得的定義域，再由的定義域求得的定義域。

④運(yùn)算型的抽象函數(shù)

求由有限個(gè)抽象函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算得到的函數(shù)的定義域，其解法是：先求出各個(gè)函數(shù)的定義域，再求交

集。

求抽象函數(shù)的定義域常用轉(zhuǎn)移法.若的定義域?yàn)镾"),則解不等式avg(x)即可求出)，=/lg(x))

的定義域；若y=Ag(x))的定義域?yàn)?。，b),則求出g(x)在(小上的值域即得/U)的定義域.

(3)逆用函數(shù)的定義域

①已知函數(shù)的定義域，求參數(shù)范圍問題，需運(yùn)用分類討論以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，常轉(zhuǎn)化為恒成

立問題來解決.

②不等式這2+加+c>0的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是：當(dāng)時(shí)，QO,c>0；當(dāng)時(shí)，；不等式

aF+Za+cvO的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)時(shí)，QO,c<0；當(dāng)時(shí)，.

6、求函數(shù)的解析式的常用方法

(1)待定系數(shù)法：(已知函數(shù)類型如：一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等)

若已知的結(jié)構(gòu)時(shí)，可設(shè)出含參數(shù)的表達(dá)式，再根據(jù)已知條件，列方程或方程組，從而求出待定的參數(shù),

求得的表達(dá)式。

(2)配湊法：

已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式，求的解析式，的表達(dá)式容易配成的運(yùn)算形式時(shí)，常用配湊法。但要注意所求

函數(shù)的定義域不是原復(fù)合函數(shù)的定義域，而是的值域。

(3)換元法：

已知的表達(dá)式，欲求，我們常設(shè)，從而求得，然后代入的表達(dá)式，從而得到的表達(dá)式，即為的表達(dá)式。

與配湊法一樣，要注意所換元的定義域的變化。

注：在求解析式時(shí)，一定要注意自變量的范圍，也就是定義域.如已知人5)=工+1,求函數(shù)Ax)的解

析式，通過換元的方法可得/(工)=/+1,函數(shù)/(X)的定義域是［0,+8),而不是(一8,4-co).

(4)利用函數(shù)的奇偶性求解析式：

一般為已知x>0時(shí)，f(x)的解析式，求xvO時(shí)，f(x)的解析式。首先求出f(-x)的解析式，根據(jù)f(x)

=f?x)或求得f(x)

(5)構(gòu)造方程組法：

若出現(xiàn)與的關(guān)系式、與的關(guān)系式或一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的關(guān)系式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外

一個(gè)等式組成方程組，通過解方程組求出八X)。

①互為倒數(shù)：/。)+/山=其幻；

X

②互為相反數(shù)：/(幻+/(-x)=g(x)或2x)=/(x)+g0)(為奇函數(shù)，為偶函數(shù))。

(6)賦值法：

當(dāng)題中所給變量較多，且含有“任意”等條件時(shí)，往往可以對(duì)具有“任意性”的變量進(jìn)行賦值，使問題具

體化、簡單化，從而求得解析式。

7、基本初等函數(shù)的值域

(1)y=kx+b(k#O)的值域是.

(2))，=62+公+。(。工0)的值域是：當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，值域?yàn)?

(3)的值域是.

(4)且的值域是.

(5)y=log”x(a>0且的值域是.

8、求函數(shù)的值域

(1)觀察法(有界函數(shù))一“拼圖”

第一步，觀察函數(shù)中的特殊函數(shù)；

xeR,x2>0,|x\>O,67r>0(Q>0且aw1)

-1<sinx<1,-1<cosx<1

第二步，利用這些特殊函數(shù)的有界性，結(jié)合不等式推導(dǎo)出函數(shù)的值域.

(2)配方法

以二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)、圖像為依托，利用數(shù)形結(jié)合思想求解某函數(shù)在給定區(qū)間的最值和值域問題。

這種方法一般適用于形如y=+力\x)+c的函數(shù)的值域和最值問題

第一步，將二次函數(shù)配方-成；

第二步，根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域.(特別注意自變量的范圍)

(注：配方法配的常數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，對(duì)二次函數(shù)型值域問題，我們通常可以采用配方并

結(jié)合圖像的方法求解。)

(3)圖象法

通過數(shù)形結(jié)合方式，將圖象投影到y(tǒng)軸上，看值域時(shí)，記得由下往上看。

(4)分離常數(shù)法(即是求值域的方法也是化簡解析式的方法)

分離常數(shù)法是研究分式函數(shù)的一種代數(shù)變形的常用方法：

—八+ax+bax2+bx+cnuix+n〃?sinx+〃?

主要的分式函數(shù)有：y=------，y=一---------，y=--一，y=-：-------等

cx-\-anix~+nx+ppa+qpsinx+q

解題的關(guān)鍵是通過恒等變形從分式函數(shù)中分離出常數(shù)。

第一步，觀察函數(shù)類型，型如；

第二步，對(duì)函數(shù)變形成形式；

第三步，求出函數(shù)在定義域范圍內(nèi)的值域，進(jìn)而求函數(shù)的值域.

(5)換元法

第一步，觀察函數(shù)解析式的形式，函數(shù)變量較多且相互關(guān)聯(lián)；

第二步，另新元代換整體，得一新函數(shù)，求出新函數(shù)的值域即為原函數(shù)的值域.

如：函數(shù)f(x)=ax+b+Jex+d(acw0),可以令z=Jcr+、(z20),得到，函數(shù)

+力+工0)可以化為0,接下來求解關(guān)于，的二次函數(shù)的值域問題，求解過程中要注意f的

取值范圍的限制.

(6)判別式法

第一步，觀察函數(shù)解析式的形式，型如)，="二十，十/的函數(shù);

ax~+bx+c

第二步，將函數(shù)式化成關(guān)于的方程，且方程有解，用根的判別式求出參數(shù)的取值范圍，即得函數(shù)的值

域.

(7)單調(diào)性法

第一步，求出函數(shù)的單調(diào)性；

笫二步，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域.

(8)基本不等式法

第一步觀察函數(shù)解析式的形式，型如或的函數(shù)；

第二步對(duì)函數(shù)進(jìn)行配湊成形式，再利用基本不等式求函數(shù)的最值，進(jìn)而得到函數(shù)的值域.

注意根據(jù)基本不等式求最值時(shí)要注意“一正、二定、三相等”

(9)導(dǎo)數(shù)法

先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，再確定最大(小)值，從而求出函數(shù)的值域.

9、分段函數(shù)的應(yīng)用

(1)一般分段函數(shù)求值有以下四種：

①已知自變量的值求函數(shù)值，此種題型只需確定自變量在相應(yīng)的定義域選擇合適的解析式代值進(jìn)行計(jì)

算即可，同時(shí)也要注意函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用.求形如/{/{…/[/(〃)]}}的函數(shù)時(shí)，求解時(shí)遵循由

內(nèi)到外的順序進(jìn)行；

②已知函數(shù)值求自變量的值，此種題型只需令相應(yīng)的解析式等于函數(shù)值，求出自變量的值之后再確定

是否在相應(yīng)的定義域內(nèi)，若在，則保留；否則就舍去；

③分段函數(shù)與不等式的綜合，解簡單的分段函數(shù)不等式只需將對(duì)應(yīng)的不等式解集與定義域取交集，最

后再將得到的答案取并集即可.解含參的分段函數(shù)不等式要注意以下兩個(gè)問題：(1)問題中參數(shù)值影響變形

時(shí)，往往要分類討論，需有明確的標(biāo)準(zhǔn)、全面的考慮；(2)求解過程中，求出的參數(shù)的值或范圍并不一定

符合題意，因此要檢驗(yàn)結(jié)果是否符合要求.

④分段函數(shù)圖象及其應(yīng)用，根據(jù)每段函數(shù)的定義區(qū)間和解析式在同一坐標(biāo)系中作出圖象，然后應(yīng)用，

作圖時(shí)要注意每段圖象端點(diǎn)的虛實(shí).

注意：

①因?yàn)榉侄魏瘮?shù)在其定義域內(nèi)的不同子集上其對(duì)應(yīng)法則不同，而分別用不同的式子來表示，因此在求

函數(shù)值時(shí)，一定要注意自變量的值所在子集，再代入相應(yīng)的解析式求值.

②“分段求解”是處理分段函數(shù)問題解的基本原則.

（二）求分段函數(shù)的值域或最值

已知分段函數(shù)解析式求值域或最值，也屬于常考基本題型，解決這類問題的關(guān)鍵是求出分段函數(shù)中每

一段對(duì)應(yīng)函數(shù)值的取值范圍（然后再求并集，即得分段函數(shù)的值域），或者求出分段函數(shù)中每一段對(duì)應(yīng)函

數(shù)值的最值（然后進(jìn)行比較，即得分段函數(shù)的最值）.此外，借助于數(shù)形結(jié)合思想（即畫出分段函數(shù)的圖像

加以分析），也是解決此類問題的常用方法.

考點(diǎn)精析

考點(diǎn)一函數(shù)的概念

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知集合P={月0爰4},Q={y\0＜）＜2},下列從尸到。的各對(duì)應(yīng)關(guān)系了不是

函數(shù)的是.（填序號(hào)）

（￡）/：?fzx—尸x；?f：x—＞y=x；@f：x—^y=.

2.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）下列曲線能作為函數(shù)圖像的是.（寫出所有滿足要求的圖像序號(hào)）

為值域的函數(shù)的是（）

A.B.

C.D.

考點(diǎn)二同一函數(shù)的判斷

4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）與函數(shù)有相同圖象的一個(gè)函數(shù)是（）

A.B.

C.,其中D.,其中

5.【多選】（2023?全國?高三專題練習(xí)）下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）

A.與B.與

C.與D.與

6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）下列四組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的一組是（）

A.B.

C.D.y=y=\lx2

7.（2023?全國?高三對(duì)口高考）給出下列四組函數(shù)：

（1）,；

（2）,；

⑶，屋力=廣（力；

（4）,g（x）=Nlg2.

其中相同的函數(shù)有（請(qǐng)?jiān)跈M線內(nèi)填序號(hào)）.

8.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是（）.

A./（x）=lgx-,g（x）=21gx

B.,^（x）=lg（x+l）-lg（x-l）

C.,

D./（文）=（五）\

考點(diǎn)三求函數(shù)值

9.（2023秋?河南駐馬店?高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（2%+1）=2:產(chǎn)-3,則（）

A.B.C.2D.4

10.（2023?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知，則.

11.（2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).f（”=lnWW+±e,則

1-xxJ\e

12.（2023秋?浙江?高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)/"）=母耳，?/（!）/

A.B.C.D.

I\fI>

13.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知，則/(1)+/(2)+/⑶+L+/(2022)+/-+/-+L+/

I，/IJ/

14.（2023?遼寧?校聯(lián)考一模）若函數(shù)滿足/（力一人=2/（2-力，則（）

A.B.C.D.1

15.（2023,全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)且，則實(shí)數(shù)的值為（）

A.B.或C.D.3

考點(diǎn)四求函數(shù)的定義域

（一）求具體函數(shù)的定義域

16.（2023?內(nèi)蒙古赤峰?校聯(lián)考一模）設(shè)全集，已知集合，4=卜|），="7},則（）

A.B.C.D.

17.（2023春?北京?高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?

18.（2023?全國?高三對(duì)口高考）函數(shù)的定義域是.

19.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域是（）

A.[-4,0）50,4]B.

C.（f-4]54收）D.[-4,0）UK，+00）

20.（2023?重慶酉陽?重慶市酉陽第一中學(xué)校校考一模）函數(shù)的定義域?yàn)?

21.（2023春?上海?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?

22.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（x）=Jlo8（x-l）的定義域是（）

A.B.C.D.

23.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.B.（0,l）U（L3]C.D.（OJ）J（l,3）

（二）求抽象函數(shù)的定義域

24.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知，則的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（e,l）u（l,3）B.（—,2）D（2,4）C.（^O,0）U（0,2）D.

25.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?

26.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知的定義域?yàn)閇0,3],則的定義域是（）

A.B.

C.D.

27.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則尸（x）=/（x+l）+/（xT）的定義域?yàn)?/p>

28.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)閇1,10],則＞=。-?）。/?不）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[1,3）53,30]B.g,3M吟C.[1,3）53,10]D.口,3）[吟

29.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域（）

A.-1,-2^U（-2,0]B.[-8,-2）U（-2.1]C.（e—2）U（—2.3]D.

30.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.B.C.（0,l）U（l,2）D.（-oo,-l）U（-U）

31.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知，則函數(shù)/[/（力]的定義域是（）

A.(-0o,-2)U(2,-Ko)B.1,-KO)

C.(^O,-2)U(-2,-1)U(-1,-HX))D.(^O,-1)U(-1J)O(1,-H?)

(三)逆用函數(shù)的定義域

32.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/“)=J"+2x+5.

（1）若函數(shù)定義域?yàn)?，求的取值范圍?/p>

（2）若函數(shù)值域?yàn)?，求的取值范?

33.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

34.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的?（值范圍是（）

A.B.

C.D.

35.（2023?全國.高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（6=“^71）7^（^1）^]的定義域?yàn)?，則的取值范圍是（）

A.B.C.D.

36.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知/（x）=ln，-ax+l）的定義域?yàn)?，那么。的取值范圍?/p>

37.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)地（行門+m）的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

38.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)镽,則的取值范圍為.

39.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的值為

1

40.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/“）=的定義域,則實(shí)數(shù)的值為

72-log(j(x-l)

（四）實(shí)際問題中的定義域

41.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知等腰三角形的周長為，底邊長是腰長的函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?

A.B.C.D.

42.（2022,高一-課時(shí)練習(xí)）周長為定值〃的矩形，它的面積5是這個(gè)矩形的一邊長x的函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)

的定義域是（）

A.B.C.D.

43.（2022?全國?高一專題練習(xí)）如圖，某灌溉渠的橫斷面是等腰梯形，底寬為2m,渠深為1.8m,斜坡的

傾斜角是45°.（無水狀態(tài)不考慮）

一屣餐;累兩8m

（1）試將橫斷面中水的面積（）表示成水深（m）的函數(shù)：

⑵確定函數(shù)的定義域和值域；

⑶畫出函數(shù)的圖象.

44.（2023春?湖北?高一隨州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，有一塊矩形空地，要在這塊空地上開辟一

個(gè)內(nèi)接四邊形為綠地，使其四個(gè)頂點(diǎn)分別落在矩形的四條邊上，已知A8=2a（a>3）,BC=6,且

AE=AH=2CF=2CG,設(shè)，綠地面積為.

（1）寫出關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出的定義域;

（2）當(dāng)為何值時(shí)，綠地面積最大？力求出最大值.

考點(diǎn)五求函數(shù)的解析式

（一）待定系數(shù)法

45.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知一次函數(shù)滿足/3+2）-2/（2工+1）=-”-4,則解折式為（）

A./（x）=-2x-4B./（x）=-2x+3

C./（x）=3x+4D./（x）=-3.r+2

46.（2023?全國?高三專題練習(xí)）一次函數(shù)滿足/⑴+/（2）=/⑶，且/（2）/（3）=/⑷，則的解析式為（）

A.B.C./（x）=x+lD,/（x）=-2x+l

47.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知/［/（x）］=4x+9,且為一次函數(shù)，求

48.（2023?山東棗莊?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)/（力=仆2+法+《々/0）,/（x+l）-/（x）=2x,且.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.

49.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)/（力=辦2+/次+。（。工0）,其圖象過點(diǎn)，且滿足

/（.v+2）=/（x）+4x+4,則的解析式為.

（二）配湊法

50.（2023?仝國?高三專題練習(xí)）已知/（2）+1）=4/+3,則（）.

A.B.C.D.

51.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知/卜2+4?|=/+】，則

52.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)/佰匚）=4-2+|,則函數(shù)網(wǎng)”=/（X）-4］的最小值為（）

\XJXX

A.B.C.D.

（三）換元法

53.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知八2%-l）=W+x-l求的解析式

54.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（&+2）=X+46+5,則的解析式為

1-V2

55.【多選】（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)/（1-2%）=二六。工0）,則（）

A.B.

2

,、4f1A4r

C./（x）=7~~77-叱。）D./-=/?、，T（戶0近wl）

（x-1）\x）（,r-l）-

56.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的值為（）

A.B.C.D.

57.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若〃sin<9）=3-cos26,則/（cos。）等于（）

A.3+COS29B.C.D.

58.（2023?全國?高三專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)單調(diào)遞增，且對(duì)，有/（/（幻-2。=3,則/（log,3）=

59.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在定義域上單調(diào)，且xw（0,+oo）時(shí)均有/（/（?+2x）=1,則的值

為（）

A.3B.IC.0D.

（四）利用函數(shù)的奇偶性求解析式

60.【多選】（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（力,g（x）分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且

/a）_g（x）=m+-—i,則（）

A.B.

C./（l）+g⑴=1D./⑴+g⑴=2

61.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知奇函數(shù)與偶函數(shù)滿足/（力+雙戈）=一二，則（）

X—1

A.B.C.D.

（五）利用函數(shù)的周期性求解析式

62.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)都滿足/。）=-/（X+1）.當(dāng)時(shí)，/（幻=*17）,則，

函數(shù)的解析式為.

63.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)是定義在上以為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)，在區(qū)間上，

/。）=一2。-3）2+4.求時(shí)，的解析式.

64.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)（）是奇函數(shù).又已知在上

是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時(shí)函數(shù)取得最小值.

（1）證明:/（i）+r（4）=o.

⑵求丫=/。）?￡口,4］的解析式；

（3）求在［4,9］上的解析式.

（六）構(gòu)造方程組法

65.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足2/（1）-〃-x）=x+l,則（）

A.B.C.D.

66.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知滿足，則等于（）

A.B.

C.D.

67.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)定義在上的函數(shù)滿足=則.

68.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)危）滿足3/5-1）+407）=2（,則凡r）的解析式為.

69.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，且獷?（刈+/（1-"=1,則的最大值為（）

A.0B.IC.2D.3

70.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)任意滿足：3f（x）-f（2-x）=4x,二次函數(shù)滿足：

ga+2）-g（x）=4x且.則,.

（七）賦值法

71.（2022?全國?高三專題練習(xí)）對(duì)任意實(shí)數(shù)，，都有/（工+），）-2/（），）=犬+29一）,2+31_3），，求函數(shù)的

解析式.

72.（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)是定義在上的函數(shù)，且滿足對(duì)任意等式/（2y7）=-2"x）+3），（4x-），+3）

恒成立，則的解析式為.

73.（2022?吉林長春?長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）己知函數(shù)對(duì)?切實(shí)數(shù)都有/*+歷-/（y）=

Mx+2y+l）成立,且.

（1）求的值，及的解析式；

（2）當(dāng)時(shí)，不等式—加5恒成立，求的取值范圍.

考點(diǎn)六求函數(shù)的值域

（一）求函數(shù)的值域

（1）觀察法

74.（2023秋?高三課時(shí)練習(xí)）函數(shù)，的值域?yàn)?

75.（2022秋.福建寧德.高三?？计谀┤艏?={小，=咋|0（5-孫,"=卜|），=/+1},則（）

A.B.C.D.

76.（2023?高三單元測(cè)試）若集合，4=卜,=】一?/20},則.

77.（2023秋?山東德州?高三統(tǒng)考期末）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.B.（0,l）U（l,-H?）C.D.

（2）配方法

78.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)），=f-2犬+2/的值域?yàn)?/p>

79.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)的值域?yàn)?/p>

80.（2023秋?河南平頂山?高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)/（1）=/-2兇+2,則的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.B.C.D.

81.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)?

82.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的值域；

⑵證明：[廿（/（⑼=q={巾⑴=q；

83.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)?/p>

84.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)?

（3）圖象法

85.（2023.全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)?/p>

86.（2023?陜西銅川??？家荒＃┤簦瑒t函數(shù)/（幻=地&二友包匚出叵的值域是__________.

2+cos2x

87.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)），=以一6x+9+?一IOx+17的值域是_______________.

（4）分離常數(shù)法

88.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)?/p>

89.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)?

90.（2023?河南?洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)

學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)''為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為“高斯函數(shù)”，例

如：[-2.5卜-3,[2.7]=2.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是（）

A.B.C.D.

91.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是

（5）反解法92.（2023?全國?高三專題練習(xí)）93.（2023春?河南南陽?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)

/（.0=!二而：的值域?yàn)椋ǎ?/p>

3sinA+2

A.(-oo,-2)J(O,-KC)B.(f,一2]5(),+2)

C.S，-2）U[0,+8）D.（-OO,-2]U（0,-KO）

（6）換元法

94.（2022秋.湖南長沙.高三長郡中學(xué)校考期末）函數(shù)的值域?yàn)?

95.（2023?全國?高三專題練習(xí)）的值域?yàn)?/p>

96.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域是（）

A.B.C.D.

97.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知函數(shù)的，則其值域?yàn)?

（7）判別式法

98.（2023秋?江蘇南通?高三啟東中學(xué)?？奸_學(xué)考試）將函數(shù)的解析式變形為）G，+2）x+.y=0,試求出

函數(shù)），的最大值、最小值.

99.（2023?江蘇?高三專題練習(xí)）求函數(shù)）=的值域.

（8）單調(diào)性法

10C.（2022秋?高三單元測(cè)試）當(dāng)xe?！恫罚▅，+8）時(shí)，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.B.

「1、

C.（-oo,0）u-,+ooD.

/

101.（2023秋?四川內(nèi)江?高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則該函數(shù)的值域是.

102.（2023春?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的最大值為.

103.（2022秋?河北石家莊?高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=f+2x+a和函數(shù)g（x）=2x+x/m,對(duì)任

意，總存在使8（為）=/（憶）成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

（9）基本不等式法

104.【多選】（2022秋?四川廣安?高三統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，最小值為2的函數(shù)是（）

A.B.

C.D.

105.（2023?高三課時(shí)練習(xí)）己知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，值域?yàn)椋寒?dāng)時(shí)，值域?yàn)?

106.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（同二9二、">1）,則函數(shù)的值域是.

X"f"X

107.（2023?全國?高三專題練習(xí)）求下列函數(shù)的最值.

（1）的最大值.

（2）的最大值.

（10）導(dǎo)數(shù)法

108.（2022秋.陜西.高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的值域是（

A.(一B,-5]D[3,+8)B.(FT、[4,+oo)

C.D.

10S.（2022?河北?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則的取值范圍為（）

A.B.C.D.

（二）已知函數(shù)值域求參數(shù)

110.（2023秋?遼寧遼陽?高三統(tǒng)考期末）己知函數(shù)/（x）=f-2仆+3的值域是，則

111.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=x/-ar+2x+5.

⑴若函數(shù)定義域?yàn)?，求的取值范圍?/p>

（2）若函數(shù)值域?yàn)椋蟮娜≈捣秶?

112.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)丁=怛（"2_2"2）的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.

113.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)的值域?yàn)椋?,+OD）,則實(shí)數(shù)”的取值范圍是_____.

114.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）

A.B.C.D.

（三）定義域和值域的綜合

115.（2023?寧夏銀川?銀川一中校考二模）下列函數(shù)中，定義域和值域不相同的是（）

x-2,x<0

A.B.C.D,y=<~-

x+2,x>0

lie.【多選】（2023秋?云南楚雄?高三統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，與的定義域和值域都相同的是（）

A.B.

C.D.

117.（2023春?北京海淀?高三?？奸_學(xué)考試）設(shè)的定義域是，則函數(shù)的值域中含有整數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.17B.18C.19D.20

112.（2022秋.遼寧鐵嶺.高三昌圖縣第一高級(jí)中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)）'=/（工2）+［/（刈了

的值域?yàn)?

119.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域和值域均為［1,可S>1）,則的值為

（四）函數(shù)值域新定義問題

12C.（2022秋?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)和的值域相同，但定義域不同，則稱和是“司象函數(shù)”.己

知函數(shù)，寫出一個(gè)與是“同象函數(shù)”的函數(shù)的解析式：.

121.（2023秋?廣西欽州?高三統(tǒng)考期末）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”

的稱號(hào)設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，已知函數(shù)〃力=；/-3X+4（1?XW4）,

則函數(shù)廣［73］的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.B.C.D.

122.【多選】（2022秋?河北保定?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域與值域的交集為，則稱為“交匯函

數(shù)”，下列函數(shù)是交匯函數(shù)的是（）

A./（x）=x2-4x+4,B.

C.D.

考點(diǎn)七分段函數(shù)及其應(yīng)用

（一）求分段函數(shù)的函數(shù)值

（1）己知自變量的值求函數(shù)值

4*x<0

123.（2023?陜西安康?統(tǒng)考三模）已知函數(shù)則/0%3）=.

124.（2023?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（幻二一//八，則//-4=（）

x-3x-4,x>0'7

A.-6B.0C.4D.6

125.（2023?福建漳州?統(tǒng)考三模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且=［二:則

7x-\,\<x<2

出+/（。）=---------

（2）己知函數(shù)值求自變量的值

126.（2023?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（%）=?"；。?且，則（）

-log3（x+5）-2,x<l,

A.-16B.16C.26D.27

127.（2023?廣東?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)=若，則的值是（）

2,x<0

A.B.D.

..]lnx+Z>,x>1

128.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/x=x)…，若/9)=-3/(0),則_____，函數(shù)的值域

e-2,x<l

為一.

12S.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)'若/[/(-1)]=4,且，則()

4,人/\J(

A.B.0C.1D.2

130.(2023?青海西寧?統(tǒng)考二模)已知=八，若/(/(1))=/(-1),則實(shí)數(shù)的值為()

a+3x,x>0

A.B.或C.D.不存在

131.(2023.全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/a)=f'八則-3))=_____；若

X-+x-2,x<0,

/(『(〃))=0(。€R),則,

132.(2023?陜西西安?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？级?設(shè)，若/(a)=/(e")，則.

0,x<I,

133.(2023春?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=%+單工4v2,若/(/(a))=