2023-2024學年廣東省廣州市天河區(qū)高二上學期期末數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市天河區(qū)2023-2024學年高二上學期期末數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學校、姓名、班級、座位號和考生號填寫在答題卡相應(yīng)的位置上，再用2B鉛筆把考號的對應(yīng)數(shù)字涂黑.2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆或涂改液．不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保證答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線經(jīng)過點和，則的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)直線的傾斜角為，因為，所以且，所以，故選：C.2.公比不為1的等比數(shù)列滿足，若，則正整數(shù)m的值為（）A.11 B.10 C.9 D.8【答案】B【解析】由于公比不為1的等比數(shù)列滿足，，，，，．故選：B．3.直線與圓的位置關(guān)系為（）A.相離 B.相切 C.相交 D.無法確定【答案】A【解析】由題意知，圓心，半徑，所以圓心到直線的距離，故圓與直線相離.故選：A.4.圖1是一個水平擺放的小正方體木塊，圖2，圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的，按照這樣的規(guī)律放下去，第6個疊放的圖形中小正方體木塊的總數(shù)是（）A.61 B.66 C.90 D.91【答案】B【解析】分別觀察各圖中小正方體木塊的個數(shù)為1，，，，歸納可知，第個疊放圖形中共有層，且各層的小正方體木塊個數(shù)構(gòu)成了以1為首項，以4為公差的等差數(shù)列，所以，所以．故第6個疊放的圖形中，小正方體木塊的總數(shù)為66．故選：B．5.已知雙曲線：的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】由題意，雙曲線的方程為：，斜率為和，直線的斜率為，因為兩直線垂直，則有，即，（，顯然這是不可能的），或，；故選：A.6.如圖，在三棱臺中，，是的中點，是的中點，若，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】結(jié)合圖形可知：是的中點，,,，是的中點，,,即,，，.故選：C.7.已知拋物線可由拋物線平移得到,若拋物線的焦點為，點在拋物線E上且，則點到軸距離為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】依題意，將拋物線的圖象向左平移2個單位，再向下平移3個單位，可得拋物線，即的圖象，記拋物線的焦點為，記點為點平移后的點，由平移的性質(zhì)可知，則，即，所以點的縱坐標為，即點到軸距離為.故選：C.8.在平面直角坐標系中,已知圓,若圓上存在點P，由點P向圓C引一條切線，切點為M，且滿足，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)點P的坐標為，如圖所示：由可知：，而，∴∴，整理得，即.∴點P的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓，又∵點P在圓D上，∴所以點P為圓D與圓E的交點，即要想滿足題意，只要讓圓D和圓E有公共點即可，∴兩圓的位置關(guān)系為外切，相交或內(nèi)切，∴，解得.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知直線，且，則（）A. B.C.與間的距離為 D.的一個方向向量為【答案】AD【解析】由兩條直線平行可得：，解得，所以A正確，B不正確；，所以兩條直線之間的距離＝，所以C不正確；直線的斜率為2，所以它的一個方向向量可以為，所以D正確．故選：AD．10.若動點與兩定點的連線的斜率之積為常數(shù)k（），則點的軌跡可能是（）A.除M，N兩點外的圓 B.除M，N兩點外的橢圓C.除M，N兩點外的雙曲線 D.除M，N兩點外的拋物線【答案】ABC【解析】依題意可知，整理得，當時，方程的軌跡為雙曲線（除，兩點）；當時，且方程的軌跡為橢圓（除，兩點）；當時，點的軌跡為圓（除，兩點）；因為拋物線的標準方程中，或的指數(shù)必有一個是1，故點的軌跡一定不可能是拋物線．故選：ABC11.已知正方體的棱長為1,建立如圖所示的空間直角坐標系，則下列說法正確的是（）A.點到直線的距離為B.點到平面的距離為C.若點在直線上，則D.若點在平面內(nèi)，則【答案】BC【解析】由題意，所以，若點直線上，則，由與共線可得，故C正確；又，所以，而，，不妨設(shè)點到直線的距離為，由等面積法有，解得，故A錯誤；，不妨設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，即取平面的法向量為，若點在平面內(nèi)，則，所以，即，故D錯誤；又，所以點到平面的距離為，故B正確.故選：BC.12.已知數(shù)列的通項公式為，記為數(shù)列的前n項和，則下列說法正確的是（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】BC【解析】因為數(shù)列的通項公式為，,故，所以為等差數(shù)列，，公差為，則，，當時，，故A不正確；當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，，故，所以B正確；，，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，所以，故C正確；，，所以，所以，所以D錯誤．故選：BC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若方程表示一個圓，則實數(shù)m的取值范圍是__________．【答案】【解析】原方程可化為，方程表示圓，則有，即.故答案為：14.已知數(shù)列滿足，則的通項公式為___________．【答案】【解析】因為，，所以，即所以以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以所以故答案為：15.已知點和，橢圓上一點P滿足，則_________．【答案】9【解析】由題意，所以點和為橢圓的焦點；所以，又因為，所以，又，所以由余弦定理有.故答案為：9.16.如圖，正方形和正方形邊長都是1，且它們所在的平面所成的二面角的大小是，則直線和夾角的余弦值為__________．若分別是上的動點，且，則的最小值是__________．【答案】；【解析】連接，如下圖，由題意，，，正方形中，，正方形中，平面，平面，平面平面，就是二面角的平面角，則，向量與向量夾角為，且，①，，，，，直線和夾角的余弦值為；②設(shè)，則，且由題意，，，令，,，圖象開口向上，且對稱軸為，當時，取得最小值，又，，即的最小值是．故答案為：；．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，，是，的等比中項.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.解：（1）設(shè)的公差為，因為，是，的等比中項，所以，所以因為，所以，故.（2）因為，所以.18.如圖，在正四棱柱中，．點E，F(xiàn)，G，H分別在棱上，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）如圖：在正四棱柱中，分別以為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系.則：，，，，所以，，所以.所以.（2）由（1）知，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，直線與平面所成角為，則，所以，令，則，，所以，.所以直線與平面所成角的正弦值為.19.已知圓，直線l過點．（1）若直線l的斜率為，求直線l被圓C所截得的弦長；（2）若直線l與圓C相切，求直線l的方程．解：（1）由題意直線l的斜率為，過點，所以它的方程為，即，圓的圓心坐標、半徑分別為，圓心到直線的距離為，所以直線l被圓C所截得的弦長為.（2）若直線l的斜率不存在，此時它的方程為，圓心到的距離為,即直線l與圓C相切，滿足題意；若直線l的斜率存在，此時設(shè)它的方程為，若直線l與圓C相切，則圓心到的距離為，解得，所以此時l的方程為，即；綜上所述，滿足題意的l的方程為或.20.已知四棱錐的底面為等腰梯形，,平面．（1）求證：；（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求四棱錐的體積．解：（1）平面，平面，，過點作，交于點，四邊形為等腰梯形，由，得，則，所以，，由，平面，得平面，平面，所以；（2）四邊形為平行四邊形，，，，，兩兩垂直，以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，則，即，設(shè)平面的一個法向量，則，令，則，即，平面與平面夾角的余弦值為，則有，解得，等腰梯形的面積為，故.所以四棱錐的體積為2.21.甲乙兩家新能源汽車企業(yè)同時量產(chǎn)，第一年的全年利潤額均為p萬元根據(jù)市場分析和預(yù)測，甲企業(yè)第n年的利潤額比前一年利潤額多萬元，乙企業(yè)前n年的總利潤額為萬元，記甲，乙兩企業(yè)第n年利潤額（單位：萬元）分別為．（1）求；（2）若其中某一新能源汽車企業(yè)的年利潤額不足另一企業(yè)的年利潤額的，則該企業(yè)將被另一企業(yè)收購，判斷哪一家新能源汽車企業(yè)有可能被收購？如果有這種情況，至少會出現(xiàn)在第幾年？解：（1）由題意知，（），（），設(shè)乙企業(yè)前年的總利潤額為，則，當時，，當時，，將代入可得不符合，所以，又（），，所以，當時也符合上式，所以.（2）①當時，，即，當時，所以，即，故對于，恒成立，即乙企業(yè)不可能被甲企業(yè)收購.②，當時，，即，當時，所以在且上單調(diào)遞減，當且時，，即，當且時，，即，故當且時，，即甲企業(yè)不能被乙企業(yè)收購，當且時，，即甲企業(yè)能被乙企業(yè)收購，綜述：甲企業(yè)可能被乙企業(yè)收購，至少出現(xiàn)在第6年.22.已知橢圓的短軸長為2，點P在橢圓C上且與兩焦點圍成的三角形面積的最大值為．（1）求橢圓C的標準方程；（2）過橢圓C內(nèi)一點的直線l交C于A，B兩點，是否存在定值m，使得恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．解：（1）由題意得，，又,所以解得，所以橢圓C標準方程為.（2）當直線l的斜率為0時，即直線l的方程為，不妨設(shè)此時，且，則，解得滿足題意，當直線l的斜率不為0時，不妨設(shè)直線l的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立得，，化簡并整理得，，由韋達定理有，由求根公式有，若，則，化簡并整理得，若，則恒成立，滿足題意.綜上所述，存在，使得恒成立.廣東省廣州市天河區(qū)2023-2024學年高二上學期期末數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學校、姓名、班級、座位號和考生號填寫在答題卡相應(yīng)的位置上，再用2B鉛筆把考號的對應(yīng)數(shù)字涂黑.2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆或涂改液．不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保證答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線經(jīng)過點和，則的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)直線的傾斜角為，因為，所以且，所以，故選：C.2.公比不為1的等比數(shù)列滿足，若，則正整數(shù)m的值為（）A.11 B.10 C.9 D.8【答案】B【解析】由于公比不為1的等比數(shù)列滿足，，，，，．故選：B．3.直線與圓的位置關(guān)系為（）A.相離 B.相切 C.相交 D.無法確定【答案】A【解析】由題意知，圓心，半徑，所以圓心到直線的距離，故圓與直線相離.故選：A.4.圖1是一個水平擺放的小正方體木塊，圖2，圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成的，按照這樣的規(guī)律放下去，第6個疊放的圖形中小正方體木塊的總數(shù)是（）A.61 B.66 C.90 D.91【答案】B【解析】分別觀察各圖中小正方體木塊的個數(shù)為1，，，，歸納可知，第個疊放圖形中共有層，且各層的小正方體木塊個數(shù)構(gòu)成了以1為首項，以4為公差的等差數(shù)列，所以，所以．故第6個疊放的圖形中，小正方體木塊的總數(shù)為66．故選：B．5.已知雙曲線：的一條漸近線與直線垂直，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】由題意，雙曲線的方程為：，斜率為和，直線的斜率為，因為兩直線垂直，則有，即，（，顯然這是不可能的），或，；故選：A.6.如圖，在三棱臺中，，是的中點，是的中點，若，則（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】結(jié)合圖形可知：是的中點，,,，是的中點，,,即,，，.故選：C.7.已知拋物線可由拋物線平移得到,若拋物線的焦點為，點在拋物線E上且，則點到軸距離為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】依題意，將拋物線的圖象向左平移2個單位，再向下平移3個單位，可得拋物線，即的圖象，記拋物線的焦點為，記點為點平移后的點，由平移的性質(zhì)可知，則，即，所以點的縱坐標為，即點到軸距離為.故選：C.8.在平面直角坐標系中,已知圓,若圓上存在點P，由點P向圓C引一條切線，切點為M，且滿足，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)點P的坐標為，如圖所示：由可知：，而，∴∴，整理得，即.∴點P的軌跡為以點為圓心，為半徑的圓，又∵點P在圓D上，∴所以點P為圓D與圓E的交點，即要想滿足題意，只要讓圓D和圓E有公共點即可，∴兩圓的位置關(guān)系為外切，相交或內(nèi)切，∴，解得.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知直線，且，則（）A. B.C.與間的距離為 D.的一個方向向量為【答案】AD【解析】由兩條直線平行可得：，解得，所以A正確，B不正確；，所以兩條直線之間的距離＝，所以C不正確；直線的斜率為2，所以它的一個方向向量可以為，所以D正確．故選：AD．10.若動點與兩定點的連線的斜率之積為常數(shù)k（），則點的軌跡可能是（）A.除M，N兩點外的圓 B.除M，N兩點外的橢圓C.除M，N兩點外的雙曲線 D.除M，N兩點外的拋物線【答案】ABC【解析】依題意可知，整理得，當時，方程的軌跡為雙曲線（除，兩點）；當時，且方程的軌跡為橢圓（除，兩點）；當時，點的軌跡為圓（除，兩點）；因為拋物線的標準方程中，或的指數(shù)必有一個是1，故點的軌跡一定不可能是拋物線．故選：ABC11.已知正方體的棱長為1,建立如圖所示的空間直角坐標系，則下列說法正確的是（）A.點到直線的距離為B.點到平面的距離為C.若點在直線上，則D.若點在平面內(nèi)，則【答案】BC【解析】由題意，所以，若點直線上，則，由與共線可得，故C正確；又，所以，而，，不妨設(shè)點到直線的距離為，由等面積法有，解得，故A錯誤；，不妨設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，即取平面的法向量為，若點在平面內(nèi)，則，所以，即，故D錯誤；又，所以點到平面的距離為，故B正確.故選：BC.12.已知數(shù)列的通項公式為，記為數(shù)列的前n項和，則下列說法正確的是（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】BC【解析】因為數(shù)列的通項公式為，,故，所以為等差數(shù)列，，公差為，則，，當時，，故A不正確；當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，，故，所以B正確；，，當為偶數(shù)時，，當為奇數(shù)時，，所以，故C正確；，，所以，所以，所以D錯誤．故選：BC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若方程表示一個圓，則實數(shù)m的取值范圍是__________．【答案】【解析】原方程可化為，方程表示圓，則有，即.故答案為：14.已知數(shù)列滿足，則的通項公式為___________．【答案】【解析】因為，，所以，即所以以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以所以故答案為：15.已知點和，橢圓上一點P滿足，則_________．【答案】9【解析】由題意，所以點和為橢圓的焦點；所以，又因為，所以，又，所以由余弦定理有.故答案為：9.16.如圖，正方形和正方形邊長都是1，且它們所在的平面所成的二面角的大小是，則直線和夾角的余弦值為__________．若分別是上的動點，且，則的最小值是__________．【答案】；【解析】連接，如下圖，由題意，，，正方形中，，正方形中，平面，平面，平面平面，就是二面角的平面角，則，向量與向量夾角為，且，①，，，，，直線和夾角的余弦值為；②設(shè)，則，且由題意，，，令，,，圖象開口向上，且對稱軸為，當時，取得最小值，又，，即的最小值是．故答案為：；．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，，是，的等比中項.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.解：（1）設(shè)的公差為，因為，是，的等比中項，所以，所以因為，所以，故.（2）因為，所以.18.如圖，在正四棱柱中，．點E，F(xiàn)，G，H分別在棱上，．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）如圖：在正四棱柱中，分別以為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系.則：，，，，所以，，所以.所以.（2）由（1）知，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，直線與平面所成角為，則，所以，令，則，，所以，.所以直線與平面所成角的正弦值為.19.已知圓，直線l過點．（1）若直線l的斜率為，求直線l被圓C所截得的弦長；（2）若直線l與圓C相切，求直線l的方程．解：（1）由題意直線l的斜率為，過點，所以它的方程為，即，圓的圓心坐標、半徑分別為，圓心到直線的距離為，所以直線l被圓C所截得的弦長為.（2）若直線l的斜率不存在，此時它的方程為，圓心到的距離為,即直線l與圓C相切，滿足題意；若直線l的斜率存在，此時設(shè)它的方程為，若直線l與圓C相切，則圓心到的距離為，解得，所以此時l的方程為，即；綜上所述，滿足題意的l的方程為或.20.已知四棱錐的底面為等腰梯形，,平面．（1）求證：；（2）若平面與平面夾角的余弦值為，求四棱錐的體積．解：（1）平面，平面，，過點作，交于點，四邊形為等腰