高等數(shù)學(xué)(同濟(jì)第六版)D7-8

常系數(shù)

第七節(jié)齊次線性微分方程

基本思路:求解常系數(shù)線性齊次微分方程求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化

第七章1.當(dāng)時(shí),②有兩個(gè)相異實(shí)根方程有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解:則微分①②2.

當(dāng)時(shí),

特征方程有一個(gè)實(shí)二重根時(shí),特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根3.當(dāng)特征方程:

1.求方程的通解.解:特征方程為故所求通解為解得2.求解下列二階常系數(shù)齊次線性微分方程：解：方程的特征方程為解得故題設(shè)方程的通解為2.求下列微分方程的通解：解特征方程為即特征根通解為3.P62，三解:特征方程為方程的通解為由初始條件可得2.求下列微分方程的通解：解:特征方程為特征根即通解為常系數(shù)非齊次線性微分方程第八節(jié)一、二、

第七章

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程:根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理,其通解為非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù)

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù).①—待定系數(shù)法一、

①

為實(shí)數(shù)

,為m

次多項(xiàng)式.設(shè)特解為其中為待定多項(xiàng)式,代入原方程,得pq提示

此時(shí)

2

p

q

0

要使(＊)式成立

Q(x)應(yīng)設(shè)為m次多項(xiàng)式

Qm(x)

b0xm

b1xm

1

bm

1x

bm

(1)如果

不是特征方程r2

pr

q

0的根

則

y*

Qm(x)e

x

y*

Q(x)e

x

設(shè)方程y

py

qy

Pm(x)e

x

特解形式為

Q

(x)

(2

p)Q

(x)

(

2

p

q)Q(x)

Pm(x)

——(＊)則得

提示

此時(shí)

2

p

q

0

但2

p

0

要使(＊)式成立

Q(x)應(yīng)設(shè)為m

1次多項(xiàng)式

Q(x)

xQm(x)

其中Qm(x)

b0xm

b1xm

1

bm

1x

bm

(2)如果

是特征方程r2

pr

q

0的單根,則y*

xQm(x)e

x

(1)如果

不是特征方程r2

pr

q

0的根

則

y*

Qm(x)e

x

y*

Q(x)e

x

設(shè)方程y

py

qy

Pm(x)e

x

特解形式為

Q

(x)

(2

p)Q

(x)

(

2

p

q)Q(x)

Pm(x)

——(＊)則得

提示:

此時(shí)

2

p

q

0

2

p

0

要使(＊)式成立

Q(x)應(yīng)設(shè)為m

2次多項(xiàng)式

Q(x)

x2Qm(x)

其中Qm(x)

b0xm

b1xm

1

bm

1x

bm

(3)如果

是特征方程r2

pr

q

0的重根,

則y*

x2Qm(x)e

x

(2)如果

是特征方程r2

pr

q

0的單根,

則y*

xQm(x)e

x

(1)如果

不是特征方程r2

pr

q

0的根

則

y*

Qm(x)e

x

y*

Q(x)e

x

設(shè)方程y

py

qy

Pm(x)e

x

特解形式為

Q

(x)

(2

p)Q

(x)

(

2

p

q)Q(x)

Pm(x)

——(＊)則得

結(jié)論

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

y

py

qy

Pm(x)e

x有形如y*

xk

Qm(x)e

x的特解

其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項(xiàng)式

而k按

不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2

k是

作為特征根的重?cái)?shù)(k=0,1,2),

例1.的一個(gè)特解.解:

本題而特征方程為不是特征方程的根.設(shè)所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為例2.

的通解.

解:

本題特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為設(shè)非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為例3.求方程

y''

2y'+y=ex(1+x)的通解.解：特征方程是r2

2r+1=0,其根為r1=r2=1，對(duì)應(yīng)齊次線性方程的通解為

因

=1是特征方程的重根，Pm(x

)=x+1,故特解形式為代入原方程中得所以從而有一特解為故原方程的通解為結(jié)論

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

y

py

qy

Pm(x)e

x有形如y*

xk

Qm(x)e

x的特解

其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項(xiàng)式

而k按

不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2

k是

作為特征根的重?cái)?shù)(k=0,1,2),

1.求微分方程的通解.解:特征方程的根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為再求出非齊次方程的一個(gè)特解因?yàn)?不是特征根，故應(yīng)取如下形式將其代入原方程，得比較同次冪系數(shù)得故原方程的通解為2.

已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:

將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得故原方程為對(duì)應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為二、第二步求出如下兩個(gè)方程的特解分析思路:第一步將f(x)轉(zhuǎn)化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第一步利用歐拉公式將f(x)變形

第二步

求如下兩方程的特解

是特征方程的

k重根(

k=0,1),

故等式兩邊取共軛:為方程③的特解

.②③設(shè)則②有特解:第三步

求原方程的特解

利用第二步的結(jié)果,根據(jù)疊加原理,原方程有特解:原方程

小結(jié):對(duì)非齊次方程則可設(shè)特解:其中

為特征方程的

k重根(k=0,1),

例4.

的一個(gè)特解

.解:

本題

特征方程故設(shè)特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù),得于是求得一個(gè)特解例5.

的通解.

解:

特征方程為其根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根,因此設(shè)非齊次方程特解為例6.

特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為求下列高階常系數(shù)線性非齊次方程特解的形式:解:小結(jié):對(duì)非齊次方程則可設(shè)特解:其中

為特征方程的

k重根(k=0,1),

例6.解:

(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為求下列高階常系數(shù)線性非齊次方程特解的形式:例6.解:

(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為求下列高階常系數(shù)線性非齊次方程特解的形式:例6.解:

(1)特征方程有二重根所以設(shè)非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設(shè)非齊次方程特解為求下列高階常系數(shù)線性非齊次方程特解的形式:練.求微分方程的通解.解:對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為特征根為故該齊次方程的通解為因而不是特征根.故可設(shè)原方程的特解形式則求出并代入原方程，化簡(jiǎn)、整理后可得即于是故所求通解內(nèi)容小結(jié)

為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設(shè)特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設(shè)特解為思考與練習(xí)時(shí)可設(shè)特解為

時(shí)可設(shè)特解為提示:1.(填空)

設(shè)2.(1)(3)(2)下列方程具有什么樣形式的特解？解方程具有特解形式：(2)因方程具有特解形式:不是特征方程的根,(1)故因的單根,是特征方程故(3)因所以方程具有特解形式：的二重根,是特征方程例7.求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解:問(wèn)題歸結(jié)為求解無(wú)阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)方程

當(dāng)p

≠k

時(shí),齊次通解:非齊次特解形式:因此原方程④之解為第七節(jié)例1(P294)中若設(shè)物體只受彈性恢復(fù)力f和鉛直干擾力代入④可得:④當(dāng)干擾力的角頻率p

≈固有頻率k

時(shí),自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)

當(dāng)

p

=k

時(shí),非齊次特解形式:代入④可得:方程④的解為若要利用共振現(xiàn)象,應(yīng)使p

與k

盡量靠近,或使隨著

t

的增大,強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅這時(shí)產(chǎn)生共振現(xiàn)象.可無(wú)限增大,若要避免共振現(xiàn)象,應(yīng)使p

遠(yuǎn)離固有頻率k;p

=k.自由振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)對(duì)機(jī)械來(lái)說(shuō),共振可能引起破壞作用,如橋梁被破壞,電機(jī)機(jī)座被破壞等,但對(duì)電磁振蕩來(lái)說(shuō),共振可能起有利作用,如收音機(jī)的調(diào)頻放大即是利用共振原理.內(nèi)容小結(jié)

為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設(shè)特解為為特征方程的k(＝0,1)重根,則設(shè)特解為高階線性微分方程一、解的結(jié)構(gòu)1、線性方程解的性質(zhì)是二階線性齊次方程（2）的兩個(gè)解,也是該方程的解.(疊加原理)

（1）.

（2）.分別是方程的特解,則是方程的特解.(非齊次方程之解的疊加原理)是二階線性齊次方程(2)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解,則數(shù))是該方程的通解.

2、線性方程通解的結(jié)構(gòu)是二階非齊次方程（1）Y(x)

是相應(yīng)齊次方程的通解,則是非齊次方程（1）的通解.的一個(gè)特解,

是

n

階齊次方程的n

個(gè)線性無(wú)關(guān)解,則方程的通解為線性無(wú)關(guān)常數(shù)注：是對(duì)應(yīng)齊次方程的n

個(gè)線性無(wú)關(guān)特解,（4).給定n

階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解二、常系數(shù)線性微分方程

（一）常系數(shù)齊次線性微分方程

1）.當(dāng)時(shí),②有兩個(gè)相異實(shí)根方程有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解:則微分①②2）.當(dāng)時(shí),

特征方程有有一個(gè)實(shí)二重根②注意時(shí),特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根3）.當(dāng)特征方程:

y

py

qy

f(x)=Pm(x)e

x有形如y*

xkQm(x)e

x的特解

其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項(xiàng)式

而k按

不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2

當(dāng)

是特征方程的k重根時(shí),（二）常系數(shù)非齊次線性微分方程

1.對(duì)非齊次方程則可設(shè)特解:其中

為特征方程的

k重根(k=0,1),

思考與練習(xí)時(shí)可設(shè)特解為

時(shí)可設(shè)特解為提示:1.(填空)

設(shè)解:對(duì)應(yīng)齊次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程通解為2.3.求微分方程的通解.解:對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為特征根為故該齊次方程的通解為因而不是特征根.故可設(shè)原方程的特解形式則求出并代入原方程，化簡(jiǎn)、整理后可得即于是故所求通解4.(1)(3)(2)下列方程具有什么樣形式的特解？解:方程具有特解形式：(2)因方程具有特解形式:不是特征方程的根,(1)故因的單根,是特征方程故(3)因所以方程具有特解形式：的二重根,是特征方程3.

求微分方程的通解(其中為實(shí)數(shù)).解:

特征方程特征根:對(duì)應(yīng)齊次方程通解:時(shí),代入原方程得故原方程通解為時(shí),代入原方程得故原方程通解為5.寫出微分方程待定特解的形式.解設(shè)的特解為設(shè)的特解為則所求特解為特征根（重根），6.求微分方程的通解.解:特征方程的根為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為再求出非齊次方程的一個(gè)特解因?yàn)?不是特征根，故應(yīng)取如下形式將其代入原方程，得比較同次冪系數(shù)得6.求微分方程的通解.解比較同次冪系數(shù)得故所求特解為所以原方程得通解為7.求微分方程的通解.解特征方程特征根因?yàn)榱闶翘卣鞣匠痰亩馗?，而自由?xiàng)是二次多項(xiàng)式，故設(shè)演算及并代入原方程比較系數(shù)，可得所求通解為8.寫出微分方程待定特解的形式.解設(shè)的特解為設(shè)的特解為則所求特解為特征根（重根），完9.求微分方程通解.解特征方程為特征根為故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為觀察可得,的一個(gè)特解為的一個(gè)特解為為由非齊次線性微分方程的疊加原理知是原方程的一個(gè)特解,從而原方程的通解為11.求方程的通解.解對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程的特征根為故對(duì)應(yīng)齊次方程的通解作輔助方程是單根,代入上式得取虛部得所求非齊次方程特解為

故設(shè)從而題設(shè)方程的通解為解例5

原方程通解待定待定f(x)=e

x[Pm1(x)cos

x+Pm2(x)sin

x]

型11/12例2求方程的一個(gè)特解.解題設(shè)方程右端的自由項(xiàng)為其中對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為特征根為所以應(yīng)設(shè)特解為把它代入題設(shè)方程,型,由于不是特征方程的根,得比較系數(shù)得解得于是,所求特解為例3求方程的通解.解題設(shè)方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為特征根為于是,因故可設(shè)題設(shè)方程是特征方程的單根,的特解：代入題設(shè)方程,比較等式兩端同次冪的系數(shù),該齊次方程的通解為得得于是,求得題設(shè)方程的一個(gè)特解例3求方程的通解.解因故可設(shè)題設(shè)方程是特征方程的單根,的特解：代入題設(shè)方程,比較等式兩端同次冪的系數(shù),得得于是,求得題設(shè)方程的一個(gè)特解從而,所求題設(shè)方程的通解為例4求方程

的特解.解解得特征根為其對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為由第六節(jié)定理4知,題設(shè)方因特征方程有重根程的特解是下列兩個(gè)方程的特解的和:(1)(2)的特解所以設(shè)方程(1)整理后得并消去將其代入方程(1)即例4求方程

的特解.解于是得特解求導(dǎo)后代入方程,得特解所以題設(shè)方程的特解為：又因特征方程有重根解出所以設(shè)方程的特解為(2)例6求方程的通解.解對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為特征根所求齊次方程的通解因此方程的特解形式可設(shè)為代入題設(shè)方程易解得故所求方程的通解為由于不是特征方程的根,7.求微分方程的通解.解故題設(shè)方程可化為即注意到上述方程化為令則原方程又化為利用特征方程法，因其特征根故得其通解為從而所求通解為例8.寫出下列方程特解的形式.(1)y''2y'+y=1+x+x2(2)y'''3y''+3y'+y=e

x

(x5)解:(1)特征方程是

r22r+1=0因

=0不是特征根，故有特解形式為其根為r1=r2=1.(2)特征方程為因

=1是特征方程的三重根,故有特解形式為其根為r1=r2=r3=1.例9.

求解定解問(wèn)題解:

本題特征方程為其根為設(shè)非齊次方程特解為代入方程得故故對(duì)應(yīng)齊次方程通解為原方程通解為由初始條件得于是所求解為解得10.

求微分方程的通解(其中為實(shí)數(shù)).解:

特征方程特征根:對(duì)應(yīng)齊次方程通解:時(shí),代入原方程得故原方程通解為時(shí),代入原方程得故原方程通解為11.

已知二階常微分方程有特解求微分方程的通解.解:

將特解代入方程得恒等式比較系數(shù)得對(duì)應(yīng)齊次方程通解:原方程通解為例12.設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足方程上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得解：將方程寫為再求導(dǎo)，得設(shè)y=f(x),則問(wèn)題可化為求解初值的問(wèn)題：

y''+y=sinx,

y|x=0,y'x=0

=1.因特征方程r2+1=0的根為r1,2=

i，故對(duì)應(yīng)應(yīng)齊次線性方程的通解為

y=C1cosx+C2sinx.又因

i=i是特征方程的根，可設(shè)特解為y*=x(acosx+bsinx).代入原方程后解得于是故原方程的通解為將初始條件代入上式，得C1=0，從而即例13.寫出方程y''4y'+4y=8x2+e2x+sin2x的一個(gè)特解y*的形式.解：令f1(x)=8x2,