中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸大題突破訓(xùn)練專題19 方程思想在壓軸題中的應(yīng)用(解析版)_第1頁
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文檔簡介

專題19方程思想在壓軸題中的應(yīng)用方程思想在中考壓軸題中的應(yīng)用非常廣泛,主要表現(xiàn)在幾何壓軸題中的動(dòng)點(diǎn)問題,幾何、函數(shù)壓軸題中的存在性問題以及面積問題和相似問題等。通過設(shè)出未知數(shù),并用未知數(shù)表示出各線段的長度,再根據(jù)勾股定理、相似三角形的性質(zhì)以及各幾何圖形的判定,列出方程,進(jìn)行求解。 (2022·上?!そy(tǒng)考中考真題)平行四邊形,若為中點(diǎn),交于點(diǎn),連接.(1)若,①證明為菱形;②若,,求的長.(2)以為圓心,為半徑,為圓心,為半徑作圓,兩圓另一交點(diǎn)記為點(diǎn),且.若在直線上,求的值.(1)①連接AC交BD于O,證△AOE≌△COE(SSS),得∠AOE=∠COE,從而得∠COE=90°,則AC⊥BD,即可由菱形的判定定理得出結(jié)論;②先證點(diǎn)E是△ABC的重心,由重心性質(zhì)得BE=2OE,然后設(shè)OE=x,則BE=2x,在Rt△AOE中,由勾股定理,得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中,由勾股定理,得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,從而得9-x2=25-9x2,解得:x=,即可得OB=3x=3,再由平行四邊形性質(zhì)即可得出BD長;(2)由⊙A與⊙B相交于E、F,得AB⊥EF,點(diǎn)E是△ABC的重心,又在直線上,則CG是△ABC的中線,則AG=BG=AB,根據(jù)重心性質(zhì)得GE=CE=AE,CG=CE+GE=AE,在Rt△AGE中,由勾股定理,得AG2=AE2-GEE=AE2-(AE)2=AE2,則AG=AE,所以AB=2AG=AE,在Rt△BGC中,由勾股定理,得BC2=BG2+CG2=AE2+(AE)2=5AE2,則BC=AE,代入即可求得的值.【答案】(1)①見解析;②(2)【詳解】(1)①證明:如圖,連接AC交BD于O,∵平行四邊形,∴OA=OC,∵AE=CE,OE=OE,∴△AOE≌△COE(SSS),∴∠AOE=∠COE,∵∠AOE+∠COE=180°,∴∠COE=90°,∴AC⊥BD,∵平行四邊形,∴四邊形是菱形;②∵OA=OC,∴OB是△ABC的中線,∵為中點(diǎn),∴AP是△ABC的中線,∴點(diǎn)E是△ABC的重心,∴BE=2OE,設(shè)OE=x,則BE=2x,在Rt△AOE中,由勾股定理,得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中,由勾股定理,得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,∴9-x2=25-9x2,解得:x=,∴OB=3x=3,∵平行四邊形,∴BD=2OB=6;(2)解:如圖,∵⊙A與⊙B相交于E、F,∴AB⊥EF,由(1)②知點(diǎn)E是△ABC的重心,又在直線上,∴CG是△ABC的中線,∴AG=BG=AB,GE=CE,∵CE=AE,∴GE=AE,CG=CE+GE=AE,在Rt△AGE中,由勾股定理,得AG2=AE2-GEE=AE2-(AE)2=AE2,∴AG=AE,∴AB=2AG=AE,在Rt△BGC中,由勾股定理,得BC2=BG2+CG2=AE2+(AE)2=5AE2,∴BC=AE,∴.本題考查平行四邊形的性質(zhì),菱形的判定,重心的性質(zhì),勾股定理,相交兩圓的公共弦的性質(zhì),本題屬圓與四邊形綜合題目,掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬是考常考題目.(2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題)一個(gè)玻璃球體近似半圓為直徑,半圓上點(diǎn)處有個(gè)吊燈的中點(diǎn)為(1)如圖①,為一條拉線,在上,求的長度.(2)如圖②,一個(gè)玻璃鏡與圓相切,為切點(diǎn),為上一點(diǎn),為入射光線,為反射光線,求的長度.(3)如圖③,是線段上的動(dòng)點(diǎn),為入射光線,為反射光線交圓于點(diǎn)在從運(yùn)動(dòng)到的過程中,求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長.(1)由,可得出為的中位線,可得出D為中點(diǎn),即可得出的長度;(2)過N點(diǎn)作,交于點(diǎn)D,可得出為等腰直角三角形,根據(jù),可得出,設(shè),則,根據(jù),即可求得,再根據(jù)勾股定理即可得出答案;(3)依題意得出點(diǎn)N路徑長為:,推導(dǎo)得出,即可計(jì)算給出,即可得出答案.【答案】(1)2;(2);(3)【詳解】(1)∵∴為的中位線∴D為的中點(diǎn)∵∴(2)過N點(diǎn)作,交于點(diǎn)D,∵,∴為等腰直角三角形,即,又∵,∴,∴,∴,設(shè),則,∵,∴,解得,∴,,∴在中,;(3)如圖,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí),點(diǎn)N也與點(diǎn)O重合.當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)T,故點(diǎn)N路徑長為:.∵.∴.∴.∴,∴,∴N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長為:,故答案為:.本題考查了圓的性質(zhì),弧長公式、勾股定理、中位線,利用銳角三角函數(shù)值解三角函數(shù),掌握以上知識(shí),并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.(2022·遼寧盤錦·中考真題)如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(﹣3,0),B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C(0,9),點(diǎn)D在y軸正半軸上,OD=4,點(diǎn)P是線段OB上的一點(diǎn),過點(diǎn)B作BE⊥DP,BE交DP的延長線于點(diǎn)E.(1)求拋物線解析式;(2)若=,求點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)點(diǎn)F為第一象限拋物線上一點(diǎn),在(2)的條件下,當(dāng)∠FPD=∠DPO時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo).(1)將A(﹣3,0),C(0,9)代入拋物線y=﹣x2+bx+c,建立方程組,求解即可;(2)易證△DPO∽△BPE,所以,設(shè)OP=t(0<t<6),所以BP=6﹣t,由相似比可得,BE2=,PE2=,在Rt△BPE中,利用勾股定理建立方程可求出t的值,即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)如過點(diǎn)D作DG⊥PF于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作GN⊥x軸于點(diǎn)N,過點(diǎn)D作DM⊥GN交NG的延長線于點(diǎn)M,易證△DPO≌△DPG(AAS),所以O(shè)D=GD=4,OP=PG=2,由一線三等角可得△MDG∽△NGP,所以DG:GP=MD:GN=MG:PN=2:1,設(shè)PN=m,則MG=2m,所以GN=4﹣2m,DM=8﹣4m,由平行四邊形的性質(zhì)可得8﹣4m=2+m,解得m=,可得G,由待定系數(shù)法可求得直線PF的解析式為:,聯(lián)立直線PF的解析式和拋物線的解析式可得出點(diǎn)F的坐標(biāo).【答案】(1)(2)P(2,0)(3)F(5,4)【詳解】(1)將A(﹣3,0),C(0,9)代入拋物線y=﹣x2+bx+c,∴,解得.∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+x+9.(2)∵拋物線的解析式為:y=﹣x2+x+9,∴B(6,0),∵BE⊥DP,∴∠E=∠DOP=90°,∵∠DPO=∠BPE,∴△DPO∽△BPE,∴,,設(shè)OP=t(0<t<6),∴BP=6﹣t,∴BE2=,PE2=,在Rt△BPE中,由勾股定理可得,BE2+PE2=PB2,∴+=(6﹣t)2,解得t=58(舍)或t=2,∴P(2,0);(3)如圖,過點(diǎn)D作DG⊥PF于點(diǎn)G,過點(diǎn)G作GN⊥x軸于點(diǎn)N,過點(diǎn)D作DM⊥GN交NG的延長線于點(diǎn)M,∴∠DOP=∠DGP=90°,∵∠FPD=∠DPO,DP=DP,∴△DPO≌△DPG(AAS),∴OD=GD=4,OP=PG=2,∵GN⊥x軸,DM⊥GN,∴∠M=∠GNP=90°,∵∠DGM+∠MDG=∠DGM+∠PGN=90°,∴∠MDG=∠PGN,∴△MDG∽△NGP,∴DG:GP=MD:GN=MG:PN=2:1,設(shè)PN=m,則MG=2m,∴GN=4﹣2m,∴DM=8﹣4m,∴8﹣4m=2+m,解得m=,∴ON=2+=,GN=4﹣2×=,∴G(,),設(shè)直線PF的解析式為:y=kx+b′,∴,解得,∴直線PF的解析式為:,令=,解得x=5或x=(舍),∴F(5,4).本題屬于二次函數(shù)綜合題,涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,相似三角形的性質(zhì)與判定,全等三角形的性質(zhì)與判定,二次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí),第(2)問關(guān)鍵是利用相似三角形的面積比等于相似比的平方表達(dá)出BE2和PE2;第(3)問關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形,建立方程.1.(2022·山東菏澤·菏澤一中??寄M)如圖1,在中,,平分,連接,,.(1)求的度數(shù);(2)如圖2,連接,交于E,連接,求證:;(3)如圖3,在(2)的條件下,點(diǎn)G為的中點(diǎn),連接交于點(diǎn)F,若,求線段的長.【答案】(1)(2)見解析(3)【思路分析】(1)設(shè).則,,由平分,得到,由三角形內(nèi)角和定理,求得,進(jìn)一步即可得到答案;(2)先證明,則,則,又由得,即可得到結(jié)論;(3)由O是的中點(diǎn)及得到,再證明,得到,則,又由,即可得到答案.【詳解】(1)解:如圖1中,設(shè).∵,,∴,,∵平分,∴,∵,,∴,∴,∴,,∴.(2)證明:∵,∴,∴,∵,∴,∴,∴,∵,∴,∴.(3)解:如圖3中,連接,取O是的中點(diǎn),∵,∴或(舍去),由(1)、(2)及根據(jù)G是的中點(diǎn)可知:,,,,∴,∵,∴,∴,∴,又,∴.2.(2022·海南??凇ずD先A僑中學(xué)校聯(lián)考模擬)如圖①,在正方形中,點(diǎn)E、F、G、H分別在邊、、、上,若,(1)求證:;(2)如果把題目中的“正方形”改為“長方形”、若,(如圖②),求的值;(3)如果把題目中的“”改為“與的夾角為45°”(如圖③),若正方形的邊長為2,的長為,求的長.【答案】(1)見詳解(2)(3)【思路分析】(1)過點(diǎn)作交于,過點(diǎn)作交于,證明即可求解;(2)過點(diǎn)作交于,過點(diǎn)作交于,由(1)可得,再由,可求;(3)過作交于,過作交于,以為旋轉(zhuǎn)中心,繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到,可證明,設(shè),則,,在中,,求出,在中,求出,再由即可求解.【詳解】(1)證明:過點(diǎn)作交于,過點(diǎn)作交于,四邊形是正方形,,,,,;(2)解:過點(diǎn)作交于,過點(diǎn)作交于,由(1)可得,,∴,,,,,,;(3)解:過作交于,過作交于,以為旋轉(zhuǎn)中心,繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到,,,,與的夾角為,,,,,,,設(shè),則,,在中,,解得,,在中,,.3.(2022·河南洛陽·統(tǒng)考二模)如圖1,在四邊形中,,點(diǎn)在邊上,且,.作,交線段于點(diǎn),連結(jié).(1)求證:;(2)如圖2,若,,,求的長;(3)如圖3,若的延長線經(jīng)過的中點(diǎn),求的值.【答案】(1)見解析(2)6(3)【思路分析】(1)先根據(jù)題意得出,,再證四邊形是平行四邊形,得出,進(jìn)而得出,再由平行線性質(zhì)得,進(jìn)而證得結(jié)論;(2)先證明,得,根據(jù)四邊形是平行四邊形,得,,進(jìn)而可得,求得,,再利用,求得答案;(3)如圖3,延長、交于點(diǎn),先證明,得出,設(shè),,,則,,,可得,再利用,列方程求解即可.【詳解】(1)證明:如圖1,∵,,,,,∵,,,,,,∵,,四邊形是平行四邊形,,,在和中,,,∴;(2)解:如圖2∵,,,,,由(1)知:四邊形是平行四邊形,,,,,,,,,,即,,,,,即,;(3)解:如圖3,延長、交于點(diǎn),,均為等腰三角形,且,,,設(shè),,,則,,,,,的中點(diǎn),,,,,,,即,,,即,,解得:或(舍去),.4.(2022·寧夏吳忠·校考一模)已知:如圖,在中,,,,點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng),速度為;過點(diǎn)作,交于點(diǎn),同時(shí),點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng),速度為;當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng),連接.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,解答下列問題:(1)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形為平行四邊形?(2)設(shè)四邊形的面積為y(cm2),試確定y與t的函數(shù)關(guān)系式;(3)在運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在某一時(shí)刻t,使?若存在,請說明理由,若存在,求出t的值.【答案】(1)(2)(3)存在,2【思路分析】(1)根據(jù)勾股定理求出,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式,計(jì)算即可;(2)過點(diǎn)作,證明,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出、,根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算即可;(3)根據(jù)題意列出一元二次方程,解方程求出,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可.【詳解】(1)解:,,,,,當(dāng)時(shí),四邊形是平行四邊形,,即,解得,,答:當(dāng)時(shí),四邊形為平行四邊形;(2)解:過點(diǎn)作,垂足為,,,,,即,解得,,,,,,,即,解得,,;(3)解:若存在某一時(shí)刻,使,則,,解得,(舍去),,則為時(shí),.5.(2022·山東青島·校考二模)已知,如圖,矩形中,,,點(diǎn)以每秒個(gè)單位從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)沿著以每秒個(gè)單位從向運(yùn)動(dòng),在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的同時(shí),作交于,當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到時(shí),點(diǎn)和點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).以和為邊作平行四邊形,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.(1)幾秒時(shí),?(2)設(shè)平行四邊形的面積是,用表示;(3)當(dāng)時(shí),嗎?說明理由.(4)存不存在某個(gè)時(shí)刻,使得?若存在,求出;若不存在,說明理由.【答案】(1)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是秒時(shí),∽(2)(3),理由見解析(4)【思路分析】(1)可推出,進(jìn)而得出,進(jìn)一步得出結(jié)果;(2)設(shè)交于,根據(jù)∽表示出,根據(jù)表示出,從而表示出上的高,進(jìn)一步得出結(jié)果;(3)先表示出,根據(jù)求得的值,進(jìn)而表示出和,根據(jù)和的數(shù)量關(guān)系確定和的數(shù)量關(guān)系;(4)連接交于,延長交于,當(dāng)可推出點(diǎn)是的中點(diǎn),進(jìn)而推出點(diǎn)為的中點(diǎn),進(jìn)一步求得結(jié)果.【詳解】(1)解:,,四邊形是矩形,,,,,,,,,,;當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是秒時(shí),∽;(2)設(shè)交于,,,,,四邊形是平行四邊形,,,,,,,,,,,;(3),理由如下:當(dāng)時(shí),四邊形是矩形,,,由得,,,,,,,;(4)如圖,連接交于,延長交于,四邊形是平行四邊形,,,,,同理可得,,即:,.6.(2022·四川成都·成都市樹德實(shí)驗(yàn)中學(xué)??寄M)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與兩坐標(biāo)軸分別相交于三點(diǎn).(1)求證:;(2)點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn),交軸于點(diǎn).①求的最大值;②點(diǎn)是的中點(diǎn),若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似,求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)見解析(2)①;②或.【思路分析】(1)分別計(jì)算三點(diǎn)的坐標(biāo),再利用勾股定理求得的

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