中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸大題突破訓(xùn)練專題19 方程思想在壓軸題中的應(yīng)用（解析版）

專題19方程思想在壓軸題中的應(yīng)用方程思想在中考?jí)狠S題中的應(yīng)用非常廣泛，主要表現(xiàn)在幾何壓軸題中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，幾何、函數(shù)壓軸題中的存在性問(wèn)題以及面積問(wèn)題和相似問(wèn)題等。通過(guò)設(shè)出未知數(shù)，并用未知數(shù)表示出各線段的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理、相似三角形的性質(zhì)以及各幾何圖形的判定，列出方程，進(jìn)行求解。 （2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）平行四邊形，若為中點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．(1)若，①證明為菱形；②若，，求的長(zhǎng)．(2)以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑作圓，兩圓另一交點(diǎn)記為點(diǎn)，且．若在直線上，求的值．（1）①連接AC交BD于O，證△AOE≌△COE(SSS)，得∠AOE=∠COE，從而得∠COE=90°，則AC⊥BD，即可由菱形的判定定理得出結(jié)論；②先證點(diǎn)E是△ABC的重心，由重心性質(zhì)得BE=2OE，然后設(shè)OE=x，則BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,從而得9-x2=25-9x2，解得：x=,即可得OB=3x=3，再由平行四邊形性質(zhì)即可得出BD長(zhǎng)；（2）由⊙A與⊙B相交于E、F，得AB⊥EF，點(diǎn)E是△ABC的重心，又在直線上，則CG是△ABC的中線，則AG=BG=AB，根據(jù)重心性質(zhì)得GE=CE＝AE，CG=CE+GE=AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(AE)2=AE2,則AG=AE,所以AB=2AG=AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=AE2+（AE）2=5AE2，則BC=AE，代入即可求得的值．【答案】(1)①見解析；②(2)【詳解】(1)①證明：如圖，連接AC交BD于O，∵平行四邊形，∴OA=OC，∵AE=CE，OE=OE，∴△AOE≌△COE(SSS)，∴∠AOE=∠COE，∵∠AOE+∠COE=180°，∴∠COE=90°，∴AC⊥BD，∵平行四邊形，∴四邊形是菱形；②∵OA=OC，∴OB是△ABC的中線，∵為中點(diǎn)，∴AP是△ABC的中線，∴點(diǎn)E是△ABC的重心，∴BE=2OE，設(shè)OE=x，則BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,∴9-x2=25-9x2，解得：x=,∴OB=3x=3，∵平行四邊形，∴BD=2OB=6；(2)解：如圖，∵⊙A與⊙B相交于E、F，∴AB⊥EF，由（1）②知點(diǎn)E是△ABC的重心，又在直線上，∴CG是△ABC的中線，∴AG=BG=AB，GE=CE，∵CE=AE，∴GE=AE，CG=CE+GE=AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(AE)2=AE2,∴AG=AE,∴AB=2AG=AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=AE2+（AE）2=5AE2，∴BC=AE，∴．本題考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，重心的性質(zhì)，勾股定理，相交兩圓的公共弦的性質(zhì)，本題屬圓與四邊形綜合題目，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬是考常考題目．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)玻璃球體近似半圓為直徑，半圓上點(diǎn)處有個(gè)吊燈的中點(diǎn)為(1)如圖①，為一條拉線，在上，求的長(zhǎng)度．(2)如圖②，一個(gè)玻璃鏡與圓相切，為切點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為入射光線，為反射光線，求的長(zhǎng)度．(3)如圖③，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，為入射光線，為反射光線交圓于點(diǎn)在從運(yùn)動(dòng)到的過(guò)程中，求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．（1）由，可得出為的中位線，可得出D為中點(diǎn)，即可得出的長(zhǎng)度；（2）過(guò)N點(diǎn)作，交于點(diǎn)D，可得出為等腰直角三角形，根據(jù),可得出，設(shè)，則，根據(jù)，即可求得，再根據(jù)勾股定理即可得出答案；（3）依題意得出點(diǎn)N路徑長(zhǎng)為：，推導(dǎo)得出，即可計(jì)算給出，即可得出答案．【答案】(1)2；(2)；(3)【詳解】（1）∵∴為的中位線∴D為的中點(diǎn)∵∴（2）過(guò)N點(diǎn)作，交于點(diǎn)D，∵，∴為等腰直角三角形，即，又∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得，∴，，∴在中，；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)N也與點(diǎn)O重合．當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)T，故點(diǎn)N路徑長(zhǎng)為：．∵．∴．∴．∴，∴，∴N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為：，故答案為：．本題考查了圓的性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式、勾股定理、中位線，利用銳角三角函數(shù)值解三角函數(shù)，掌握以上知識(shí)，并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．（2022·遼寧盤錦·中考真題）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，9），點(diǎn)D在y軸正半軸上，OD＝4，點(diǎn)P是線段OB上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥DP，BE交DP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．(1)求拋物線解析式；(2)若＝，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)F為第一象限拋物線上一點(diǎn)，在（2）的條件下，當(dāng)∠FPD＝∠DPO時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．（1）將A(﹣3，0)，C(0，9)代入拋物線y＝﹣x2+bx+c，建立方程組，求解即可；（2）易證△DPO∽△BPE，所以，設(shè)OP＝t（0＜t＜6），所以BP＝6﹣t，由相似比可得，BE2＝，PE2＝，在Rt△BPE中，利用勾股定理建立方程可求出t的值，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如過(guò)點(diǎn)D作DG⊥PF于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥x軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥GN交NG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，易證△DPO≌△DPG（AAS），所以O(shè)D＝GD＝4，OP＝PG＝2，由一線三等角可得△MDG∽△NGP，所以DG：GP＝MD：GN＝MG：PN＝2：1，設(shè)PN＝m，則MG＝2m，所以GN＝4﹣2m，DM＝8﹣4m，由平行四邊形的性質(zhì)可得8﹣4m＝2+m，解得m＝，可得G，由待定系數(shù)法可求得直線PF的解析式為：，聯(lián)立直線PF的解析式和拋物線的解析式可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)P(2，0)(3)F(5，4)【詳解】(1)將A(﹣3，0)，C(0，9)代入拋物線y＝﹣x2+bx+c，∴，解得．∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+9．(2)∵拋物線的解析式為：y＝﹣x2+x+9，∴B(6，0)，∵BE⊥DP，∴∠E＝∠DOP＝90°，∵∠DPO＝∠BPE，∴△DPO∽△BPE，∴，，設(shè)OP＝t（0＜t＜6），∴BP＝6﹣t，∴BE2＝，PE2＝，在Rt△BPE中，由勾股定理可得，BE2+PE2＝PB2，∴+＝（6﹣t）2，解得t＝58（舍）或t＝2，∴P(2，0)；(3)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥PF于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥x軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥GN交NG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∴∠DOP＝∠DGP＝90°，∵∠FPD＝∠DPO，DP＝DP，∴△DPO≌△DPG（AAS），∴OD＝GD＝4，OP＝PG＝2，∵GN⊥x軸，DM⊥GN，∴∠M＝∠GNP＝90°，∵∠DGM+∠MDG＝∠DGM+∠PGN＝90°，∴∠MDG＝∠PGN，∴△MDG∽△NGP，∴DG：GP＝MD：GN＝MG：PN＝2：1，設(shè)PN＝m，則MG＝2m，∴GN＝4﹣2m，∴DM＝8﹣4m，∴8﹣4m＝2+m，解得m＝，∴ON＝2+＝，GN＝4﹣2×＝，∴G(，)，設(shè)直線PF的解析式為：y＝kx+b′，∴，解得，∴直線PF的解析式為：，令＝，解得x＝5或x＝（舍），∴F(5，4)．本題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，第（2）問(wèn)關(guān)鍵是利用相似三角形的面積比等于相似比的平方表達(dá)出BE2和PE2；第（3）問(wèn)關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，建立方程．1．（2022·山東菏澤·菏澤一中?？寄M）如圖1，在中，，平分，連接，，．(1)求的度數(shù)；(2)如圖2，連接，交于E，連接，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，若，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)見解析(3)【思路分析】（1）設(shè)．則，，由平分，得到，由三角形內(nèi)角和定理，求得，進(jìn)一步即可得到答案；（2）先證明，則，則，又由得，即可得到結(jié)論；（3）由O是的中點(diǎn)及得到，再證明，得到，則，又由，即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖1中，設(shè)．∵，，∴，，∵平分，∴，∵，，∴，∴，∴，，∴．（2）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．（3）解：如圖3中，連接，取O是的中點(diǎn)，∵，∴或（舍去），由（1）、（2）及根據(jù)G是的中點(diǎn)可知：，，，，∴，∵，∴，∴，∴，又，∴．2．（2022·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校聯(lián)考模擬）如圖①，在正方形中，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊、、、上，若，(1)求證：；(2)如果把題目中的“正方形”改為“長(zhǎng)方形”、若，（如圖②），求的值；(3)如果把題目中的“”改為“與的夾角為45°”（如圖③），若正方形的邊長(zhǎng)為2，的長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見詳解(2)(3)【思路分析】（1）過(guò)點(diǎn)作交于，過(guò)點(diǎn)作交于，證明即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作交于，過(guò)點(diǎn)作交于，由（1）可得，再由，可求；（3）過(guò)作交于，過(guò)作交于，以為旋轉(zhuǎn)中心，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，可證明，設(shè)，則，，在中，，求出，在中，求出，再由即可求解．【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)作交于，過(guò)點(diǎn)作交于，四邊形是正方形，，，，，；（2）解：過(guò)點(diǎn)作交于，過(guò)點(diǎn)作交于，由（1）可得，，∴，，，，，，；（3）解：過(guò)作交于，過(guò)作交于，以為旋轉(zhuǎn)中心，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，，，，與的夾角為，，，，，，，設(shè)，則，，在中，，解得，，在中，，．3．（2022·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖1，在四邊形中，，點(diǎn)在邊上，且，．作，交線段于點(diǎn)，連結(jié)．(1)求證：；(2)如圖2，若，，，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，若的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，求的值．【答案】(1)見解析(2)6(3)【思路分析】（1）先根據(jù)題意得出，，再證四邊形是平行四邊形，得出，進(jìn)而得出，再由平行線性質(zhì)得，進(jìn)而證得結(jié)論；（2）先證明，得，根據(jù)四邊形是平行四邊形，得，，進(jìn)而可得，求得，，再利用，求得答案；（3）如圖3，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，先證明，得出，設(shè)，，，則，，，可得，再利用，列方程求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1，∵，，，，，∵，，，，，，∵，，四邊形是平行四邊形，，，在和中，，，∴；（2）解：如圖2∵，，，，，由（1）知：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，即，，，，，即，；（3）解：如圖3，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，，均為等腰三角形，且，，，設(shè)，，，則，，，，，的中點(diǎn)，，，，，，，即，，，即，，解得：或（舍去），．4．（2022·寧夏吳忠·?？家荒＃┮阎喝鐖D，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，速度為；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，連接．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，解答下列問(wèn)題：(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形為平行四邊形？(2)設(shè)四邊形的面積為y（cm2），試確定y與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t，使？若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，若存在，求出t的值．【答案】(1)(2)(3)存在，2【思路分析】（1）根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可；（2）過(guò)點(diǎn)作，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出、，根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程求出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，，，，，當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，，即，解得，，答：當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形；（2）解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，，，，，即，解得，，，，，，，即，解得，，；（3）解：若存在某一時(shí)刻，使，則，，解得，（舍去），，則為時(shí)，．5．（2022·山東青島·?？级＃┮阎鐖D，矩形中，，，點(diǎn)以每秒個(gè)單位從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)沿著以每秒個(gè)單位從向運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，作交于，當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．以和為邊作平行四邊形，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)幾秒時(shí)，？(2)設(shè)平行四邊形的面積是，用表示；(3)當(dāng)時(shí)，嗎？說(shuō)明理由．(4)存不存在某個(gè)時(shí)刻，使得？若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是秒時(shí)，∽(2)(3)，理由見解析(4)【思路分析】（1）可推出，進(jìn)而得出，進(jìn)一步得出結(jié)果；（2）設(shè)交于，根據(jù)∽表示出，根據(jù)表示出，從而表示出上的高，進(jìn)一步得出結(jié)果；（3）先表示出，根據(jù)求得的值，進(jìn)而表示出和，根據(jù)和的數(shù)量關(guān)系確定和的數(shù)量關(guān)系；（4）連接交于，延長(zhǎng)交于，當(dāng)可推出點(diǎn)是的中點(diǎn)，進(jìn)而推出點(diǎn)為的中點(diǎn)，進(jìn)一步求得結(jié)果．【詳解】（1）解：，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，；當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是秒時(shí)，∽；（2）設(shè)交于，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，；（3），理由如下：當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，，，由得，，，，，，，；（4）如圖，連接交于，延長(zhǎng)交于，四邊形是平行四邊形，，，，，同理可得，，即：，．6．（2022·四川成都·成都市樹德實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與兩坐標(biāo)軸分別相交于三點(diǎn)．(1)求證：；(2)點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．①求的最大值；②點(diǎn)是的中點(diǎn)，若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)見解析(2)①；②或．【思路分析】（1）分別計(jì)算三點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用勾股定理求得的