2025年春八年級下冊數(shù)學(xué)北師版教學(xué)課件 1.1 第3課時 等腰三角形的判定與反證法

新知一覽等腰三角形等邊三角形的性質(zhì)三角形的證明等腰三角形的性質(zhì)線段的垂直平分線角平分線直角三角形等邊三角形的判定及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等腰三角形的判定與反證法1.1

等腰三角形第一章三角形的證明第3課時等腰三角形的判定與反證法ABC

如圖，位于海上

B、C兩處的兩艘救生船接到

A處遇險船只的報警，當(dāng)時測得

∠B=∠C.如果這兩艘救生船以同樣的速度同時出發(fā)，能不能同時趕到出事地點(不考慮風(fēng)浪因素)？問題1：等腰三角形有哪些性質(zhì)定理及推論？兩底角相等

(簡寫成“等邊對等角”).

等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡寫成

“三線合一”).等腰三角形邊角推論兩邊相等(定義)既是性質(zhì)也是判定等腰三角形的判定1前面已經(jīng)證明了等腰三角形的兩底角相等.反過來，有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎?ABC實際模型CAB數(shù)學(xué)模型回顧導(dǎo)入抽象如圖，在△ABC中，∠B=∠C，那么它們所對的邊

AB和

AC有什么數(shù)量關(guān)系?建立數(shù)學(xué)模型：CABAB=AC你能驗證你的結(jié)論嗎？方法思考：①作高AD可以嗎?②作角平分線AD呢?③作中線AD呢?在

△ABD與

△ACD中，∠B

=∠C，∴△ABD≌△ACD(AAS).∠1

=∠2，AD=

AD，∴AB=AC.過

A

作

AD

平分∠BAC交

BC于點

D.證明：CAB21D（（△ABC是等腰三角形證一證還有別的方法嗎？等腰三角形的判定定理：在△ABC中，∵∠B=∠C，

應(yīng)用格式：∴AB=AC(等角對等邊).

ACB歸納總結(jié)有兩個角相等的三角形是等腰三角形.(簡稱“等角對等邊”).ABCD21∵∠1=∠2，∴BD=DC(等角對等邊).∵∠1=∠2，∴DC=BCABCD21(等角對等邊).錯，因為都不是在同一個三角形中.辨一辨：如圖，下列推理正確嗎?例1

已知：如圖，AB=DC，BD=CA，BD與

CA相交于點

E.求證：△AED是等腰三角形.ABCDE證明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，∴△ABD≌△DCA(SSS).∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的對應(yīng)角相等).∴AE=DE(等角對等邊).∴△AED是等腰三角形.典例精析1.

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點

D，E分別是AB，AC上的點，且

DE∥BC.求證：△ADE為等腰三角形.證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠ADE=∠AED.∴△ADE為等腰三角形.練一練想一想：小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等．你認(rèn)為這個結(jié)論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?在△ABC中，

如果∠B≠∠C，

那么

AB≠

AC.ABC反證法2CAB

如圖，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此時，AB與

AC要么相等，要么不相等.假設(shè)

AB=AC，那么根據(jù)“等角對等邊”定理可得∠B=∠C，但已知條件是∠B≠∠C.“∠B=∠C”與“∠B≠∠C”相矛盾，因此

AB≠

AC.小明是這樣想的：你能理解他的推理過程嗎?

在證明時，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出與已知條件或基本事實或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明方法稱為反證法．歸納總結(jié)用反證法證題的一般步驟1.假設(shè)：

先假設(shè)命題的結(jié)論不成立；2.歸謬：

從這個假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推論方法，得出

與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果；3.結(jié)論：由矛盾的結(jié)果判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確.方法總結(jié)例3用反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是直角.

已知：△ABC．

求證：∠A，∠B，∠C中不能有兩個角是直角．【分析】按反證法證明命題的步驟，首先要假定結(jié)論“∠A，∠B，∠C中不能有兩個角是直角”不成立，即它的反面“∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角”成立，然后，從這個假定出發(fā)推下去，找出矛盾．典例精析證明：假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個角是直角，所以一個三角形中不能有兩個角是直角．這與三角形的內(nèi)角和定理矛盾，故假設(shè)不成立．∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°．不妨設(shè)∠A＝∠B＝90°，則等腰三角形的判定等角對等邊有兩個角相等的三角形是等腰三角形反證法先假設(shè)結(jié)論不成立，然后推出與已知條件或基本事實、定理相矛盾的結(jié)果，從而證明原命題成立E21ABCD72°36°③若

AD=4cm，則1.已知：如圖，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，①∠1

=

°，∠2

=

°；②圖中有

個等腰三角形；BC=

cm；723634

個等腰三角形.④若過點

D作

DE∥BC，交

AB于點

E，則圖中有52.已知：等腰三角形

ABC的底角平分線BD，CE

相交于點

O.

求證：△OBC為等腰三角形.ABCDEO證明：∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點

O，∴∠ABD＝∠DBC＝

∠ABC，

∠ACE＝∠ECB＝

∠ACB.∴∠DBC=∠ECB.∴△OBC是等腰三角形.又∵△ABC

是等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB.假設(shè)______________，那么________.證明：3.求證：在同一平面內(nèi)，如果一條直線和兩條平行直

線中的一條相交，那么和另一條也相交.已知：直線

l1，l2，l3

在同一平面內(nèi)，且

l1∥

l2

，l3

與

l1相交于點

P.求證：l3

與

l2

相交.l1l2l3·Pl3

與

l2

不相交l3∥l2這與“_________________________________