中考數(shù)學二輪復習題型訓練專題03 觀察規(guī)律歸納型（解析版）

專題03觀察規(guī)律歸納型選題介紹本題型在河南省近十年的中招試卷中考了3次，分別為2022年第9題，2019年第10題，2016年第8題。該題一般為選擇題型，分值3分。本題計算量大，難度系數(shù)中等，得分率較低。本題屬于代數(shù)范疇，考察知識分為兩類，一、數(shù)字或字母規(guī)律，探索型問題；二、幾何圖形中規(guī)律探索型問題。通過觀察、歸納、類比等活動獲得數(shù)學猜想，并能對所做出的猜想進行驗證，能進行一些簡單的嚴密的邏輯論證，并有條理的表達自己的證明。根據(jù)已有的圖像與文字提供的信息，按照以下思維過程解體：①從特殊情況入手，探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律，②綜合歸納猜想，得出結論，③驗證結論。真題展現(xiàn)2022年河南中招填空題第9題9.如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點O重合，AB∥x軸，交y軸于點P，將△OAP繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則第2022次旋轉結束時，點A的坐標為（）A.（3，-1）B.（-1，-3）C.（?3，-1）D.（1，3【答案】B【解析】本題主要考察了歸納推理，平面直角坐標系的相關知識點。【詳解】解：∵邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點O重合，∴OA=AB=2，∠BAO=60°，∵AB∥x軸，∴∠APO=90°，∴∠AOP=30°，∴AP=1,OP=3，∴A（1，3）∵將△OAP繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，可知點A2與點D重合，由360°÷90°=4可知，每4次為一個循環(huán)，∴2022÷4=505........2，∴點A2022與點A2重合，∵點A2與點A關于原點O對稱，∴A2（-1，-3）∴第2022次旋轉結束時，點A的坐標為（-1，-3）故答案為B【總結】因為題目規(guī)律的獲得在很大程度上依賴于不完全歸納，較難用數(shù)學語言精確說明歸納推理的過程，所以此類問題常以填空題或選擇題的形式考察。2019年河南中招填空題第10題10．如圖，在△OAB中，頂點O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），將△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則第70次旋轉結束時，點D的坐標為（）（10，3） B．（﹣3，10） C．（10，﹣3） D．（3，﹣10）【答案】D【解析】先求出AB＝6，再利用正方形的性質(zhì)確定D（﹣3，10），由于70＝4×17+2，所以第70次旋轉結束時，相當于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉2次，每次旋轉90°，此時旋轉前后的點D關于原點對稱，于是利用關于原點對稱的點的坐標特征可出旋轉后的點D的坐標．【詳解】解：∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB＝3+3＝6，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝AB＝6，∴D（﹣3，10），∵70＝4×17+2，∴每4次一個循環(huán)，第70次旋轉結束時，相當于△OAB與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉2次，每次旋轉90°，∴點D的坐標為（3，﹣10）．故選：D．【總結】本題考查了坐標與圖形變化﹣旋轉：圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉后的點的坐標．常見的是旋轉特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．2018年河南中招填空題第8題8．如圖，已知菱形OABC的頂點O（0，0），B（2，2），若菱形繞點O逆時針旋轉，每秒旋轉45°，則第60秒時，菱形的對角線交點D的坐標為（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，﹣1）C．（，0）D．（0，﹣）【答案】B【解析】本題主要考查坐標與圖形變化-旋轉；菱形的性質(zhì)．根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得D點坐標，根據(jù)旋轉的性質(zhì)，可得D點的坐標．【詳解】解：菱形OABC的頂點O（0，0），B（2，2），得D點坐標為（1，1）．每秒旋轉45°，則第60秒時，得45°×60=2700°，2700°÷360=7.5周，OD旋轉了7周半，菱形的對角線交點D的坐標為（﹣1，﹣1），故選：B．【總結】本題考查了旋轉的性質(zhì)，利用旋轉的性質(zhì)是解題關鍵．模擬演練1．如圖，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形的兩邊在坐標軸上，以它的對角線為邊作正方形，再以正方形的對角線為邊作正方形，以此類推、則正方形的頂點的坐標是A．， B．， C． D．，【答案】D【解析】由圖形可知，，每一個點到原點的距離依次是前一個點到原點的距離的倍，同時，各個點每次旋轉，則八次旋轉一周．頂點到原點的距離，，頂點的恰好在軸的負半軸上，頂點的坐標是，．故選：．【總結】本題主要考查了點的坐標規(guī)律探索，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關鍵．2．如圖在平面直角坐標系中，若干個半徑為2個單位長度，圓心角為的扇形組成一條連續(xù)的曲線，點從原點出發(fā)，沿這條曲線向右上下起伏運動，點在直線上的速度為每秒2個單位長度，點在弧線上的速度為每秒個單位長度，則2019秒時，點的坐標是A． B． C． D．【答案】D【解析】設第秒運動到為自然數(shù)）點，觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，，，，，，，，，為，故選：．【總結】本題考查坐標與圖形變化-平移、規(guī)律型問題等知識，解題的關鍵是學會探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型．3.如圖，在平面直角坐標系中，，以點A為圓心，OA長為半徑作圓，交x軸正半軸于點C，點D為上一動點，連接BD，以BD為邊，在直線BD的上方作正方形BDEF，若點D從點O出發(fā)，按順時針方向以每秒個單位長度的速度在上運動，則第2022秒結束時，點F的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】先根據(jù)點D的運動速度求出第2022秒結束時點D的位置，再證明，利用全等三角形的性質(zhì)求出FG，OG的長度，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴的周長為．，，∴第2022秒結束時和第6秒結束時，點D的位置相同，正方形BDEF的位置相同．∵，∴點D在x軸下方的圓弧上，且的長為．連接AD，過點F作x軸的垂線，垂足為G，如下圖所示．設，則，∴．即．∵，∴．又∵，∴．又∵∴．∴．∴，∴點F的坐標為，故選A．【總結】本題考查點的運動規(guī)律、正方形的性質(zhì)、弧長的計算、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是根據(jù)點D的運動速度求出第2022秒結束時點D的位置．4.如圖所示，在中，頂點，，．將與正方形ABCD組成的圖形繞點O逆時針旋轉，每次旋轉90°，則第2023次旋轉結束時，點A的坐標為（）A.（6，2） B.（﹣2，6） C.（6，﹣2） D.（6，﹣2）【答案】A【解析】先求出BC，再利用正方形的性質(zhì)確定A點坐標，由于2020=4×505，所以第2020次旋轉結束時，正方形ABCD回到初始位置，再繼續(xù)旋轉3次即可確定結果．【詳解】解：如圖，∵，，∴，∵四邊形ABCD為正方形，∴，∴．∵每次旋轉90°，∴4次為一個循環(huán)，∵，∴第2023次旋轉結束時與第3次旋轉后的落點相同，如圖，

∴點的坐標為（6，2）．故選A．【總結】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉，正方形的性質(zhì)，解答本題的關鍵是找出A點坐標變化的規(guī)律．5.如圖，小圓的半徑為1，，，，…，依次為同心圓的內(nèi)接正三角形和外切正三角形，由弦和弧圍成的弓形面積記為，由弦和弧圍成的弓形面積記為，…，以此下去，由弦和弧圍成的弓形面積記為，其中的面積為__________．【答案】；【解析】根據(jù)正三角形和圓的關系可依次求出弓形面積，再根據(jù)弓形面積尋找規(guī)律即可得結論，【詳解】解：如圖所示，連接，，作OD⊥于點D，則，∵是等邊三角形，∴，∵是圓心角，∴，∵，∴，∴，∴，∵OD⊥于點D，，∴，∴，∴，，，，，∴；故答案：；【總結】本題考查了正多邊形和圓、垂徑定理、三角形的外接圓與外心、扇形面積的計算、規(guī)律型,解決本題的關鍵是通過計算性質(zhì)規(guī)律.6．如圖所示，正方形的邊長為2，其面積標記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為……按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結合勾股定理以及三角形的面積公式可得出部分、、、的值，根據(jù)面積的變化即可找出變化規(guī)律“”，依此規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：如圖所示，是等腰直角三角形，，，，，即等腰直角三角形的直角邊為斜邊的倍，，，，，，，，故選：B．【總結】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的面積以及規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)面積的變化找出變化規(guī)律“”是解題的關鍵．7．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A的坐標是（0，2），以OA為邊在右側作等邊三角形，過點作x軸的垂線，垂足為點，以為邊在右側作等邊三角形，再過點作x軸的垂線，垂足為點，以為邊在右側作等邊三角形……按此規(guī)律繼續(xù)作下去，得到等邊三角形，則點的縱坐標為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)點A的坐標是（0，2），以OA為邊在右側作等邊三角形，過點作x軸的垂線，垂足為點，得點的縱坐標是2×；根據(jù)以為邊在右側作等邊三角形，過點作x軸的垂線，垂足為點，得點的縱坐標是2×；以此類推，得點的縱坐標是，從而得到答案．【詳解】解：∵點A的坐標是（0，2），以OA為邊在右側作等邊三角形，過點作x軸的垂線，垂足為點，∴∠=90°-60°=30°，=OA=2，∴＝＝2×，即點的縱坐標是2×，以為邊在右側作等邊三角形，過點作x軸的垂線，垂足為點，∴∠=90°-60°=30°，＝＝2×，∴＝＝2××，點的縱坐標是2××，即2×()2，以為邊在右側作等邊三角形，同理，得點的縱坐標是2×，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，得點的縱坐標是2×，即，故選：C．【總結】本題考查了圖形和數(shù)字規(guī)律的知識；解題的關鍵是熟練掌握直角坐標系、等邊三角形、垂線、圖形和數(shù)字規(guī)律、含30°角的直角三角形的性質(zhì)，從而完成求解．8．在平面直角坐標系中，已知點，將點向上平移1個單位，再向右平移2個單位，得到點；將點向上平移2個單位，再向右平移4個單位，得到點；將點向上平移4個單位，再向右平移8個單位，得到點，按照這個規(guī)律，則點的橫坐標是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先求出點的橫坐標，再從特殊到一般探究出規(guī)律，然后利用規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：點的橫坐標為，點的橫坐為標，點的橫坐標為，點的橫坐標為，按這個規(guī)律平移得到點的橫坐標為，∴點的橫坐標為，故選B．【總結】本題考查坐標與圖形變化-平移、規(guī)律型問題等知識，解題的關鍵是學會探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．9．如下圖，動點P在平面直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運動到點（1，1），第2次接著運動到點（2，0），第3次接著運動到點（3，2），…，按這樣的運動規(guī)律，經(jīng)過第2019次運動后，動點P的坐標是（

）A．（2019，1） B．（2019，0） C．（2019，2） D．（2019，0）【答案】C【解析】根據(jù)已知提供的數(shù)據(jù)從橫縱坐標分別分析得出橫坐標為運動次數(shù)，縱坐標為1，0，2，0，每4次一輪這一規(guī)律，進而求出即可．【詳解】根據(jù)動點P在平面直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運動到點(1,1)，第2次接著運動到點(2，0)，第3次接著運動到點(3，2)，∴第4次運動到點(4，0)，第5次接著運動到點(5，1)，…，∴橫坐標為運動次數(shù)，經(jīng)過第2019次運動后，動點P的橫坐標為2019，縱坐標為1，0，2，0，每4次一輪，∴經(jīng)過第2019次運動后，動點P的縱坐標為：2019÷4=504余3，故縱坐標為四個數(shù)中第三個，即為2，∴經(jīng)過第2019次運動后，動點P的坐標是：(2019，2)，故選：C．【總結】此題主要考查坐標的變化，解題的關鍵是熟知坐標變化的規(guī)律．10．如圖，在平面直角坐標系中，動點從點出發(fā)，由跳動至點，依次跳動至點，點，點…根據(jù)這個規(guī)律，則點的坐標是（