廣西柳州鐵一中、南寧三中2024屆高三下第五次周考數(shù)學(xué)試題

廣西柳州鐵一中、南寧三中2023屆高三下第五次周考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，每次正反面出現(xiàn)的概率相同，連續(xù)拋擲5次，至少連續(xù)出現(xiàn)3次正面朝上的概率是（）A． B． C． D．2．某幾何體的三視圖如圖所示，若圖中小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則該幾何體的體積是A． B． C． D．3．如圖所示，三國(guó)時(shí)代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個(gè)全等的直角三角形及一個(gè)小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一內(nèi)角為，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲500顆米粒（米粒大小忽略不計(jì)，?。瑒t落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（）A．134 B．67 C．182 D．1084．已知點(diǎn)、．若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則使得的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．5．已知拋物線，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)且MN為過(guò)焦點(diǎn)的弦，若，，則的面積為（）A． B． C． D．6．《聊齋志異》中有這樣一首詩(shī)：“挑水砍柴不堪苦，請(qǐng)歸但求穿墻術(shù).得訣自詡無(wú)所阻，額上墳起終不悟.”在這里，我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”：，，，，則按照以上規(guī)律，若具有“穿墻術(shù)”，則（）A．48 B．63 C．99 D．1207．已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過(guò)圓的圓心，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．28．若集合，，則（）A． B． C． D．9．如圖所示，網(wǎng)絡(luò)紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．2 B． C．6 D．810．博覽會(huì)安排了分別標(biāo)有序號(hào)為“1號(hào)”“2號(hào)”“3號(hào)”的三輛車，等可能隨機(jī)順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發(fā)奇想，設(shè)計(jì)兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號(hào)大于第一輛車的車序號(hào)，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號(hào)”車的概率分別為P1，P2，則（）A．P1?P2＝ B．P1＝P2＝ C．P1+P2＝ D．P1＜P211．?dāng)?shù)列滿足：，，，為其前n項(xiàng)和，則（）A．0 B．1 C．3 D．412．給定下列四個(gè)命題：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，則這兩個(gè)平面相互平行；②若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直．其中，為真命題的是()A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）函數(shù)的定義域是____________．14．已知函數(shù)則______.15．若函數(shù)為偶函數(shù)，則________.16．已知，則_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，如果方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍，并證明.18．（12分）某健身館為響應(yīng)十九屆四中全會(huì)提出的“聚焦增強(qiáng)人民體質(zhì)，健全促進(jìn)全民健身制度性舉措”，提高廣大市民對(duì)全民健身運(yùn)動(dòng)的參與程度，推出了健身促銷活動(dòng)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：健身時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為20元（不足l小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.現(xiàn)有甲、乙兩人各自獨(dú)立地來(lái)該健身館健身，設(shè)甲、乙健身時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)的概率分別為，，健身時(shí)間1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)的概率分別為，，且兩人健身時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí).（1）設(shè)甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和為隨機(jī)變量（單位：元），求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）此促銷活動(dòng)推出后，健身館預(yù)計(jì)每天約有300人來(lái)參與健身活動(dòng)，以這兩人健身費(fèi)用之和的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，預(yù)測(cè)此次促銷活動(dòng)后健身館每天的營(yíng)業(yè)額.19．（12分）已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為和，右頂點(diǎn)為，且，短軸長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)作垂直軸的直線，點(diǎn)為直線上縱坐標(biāo)不為零的任意一點(diǎn)，過(guò)作的垂線交橢圓于點(diǎn)和，當(dāng)時(shí)，求此時(shí)四邊形的面積.20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，平面平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面，并說(shuō)明理由；（Ⅱ）當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求直線與平面所成的角．21．（12分）在四棱錐中，是等邊三角形，點(diǎn)在棱上，平面平面．（1）求證：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值的最大值；（3）設(shè)直線與平面相交于點(diǎn)，若，求的值．22．（10分）已知曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的普通方程；（2）已知點(diǎn)，直線與曲線交于、兩點(diǎn)，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

首先求出樣本空間樣本點(diǎn)為個(gè)，再利用分類計(jì)數(shù)原理求出三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，再求出重復(fù)數(shù)量，可得事件的樣本點(diǎn)數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.【詳解】樣本空間樣本點(diǎn)為個(gè)，具體分析如下：記正面向上為1，反面向上為0，三個(gè)正面向上為連續(xù)的3個(gè)“1”，有以下3種位置1____，__1__，____1．剩下2個(gè)空位可是0或1，這三種排列的所有可能分別都是，但合并計(jì)算時(shí)會(huì)有重復(fù)，重復(fù)數(shù)量為，事件的樣本點(diǎn)數(shù)為：個(gè)．故不同的樣本點(diǎn)數(shù)為8個(gè)，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，古典概型的概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題2．B【解析】該幾何體是直三棱柱和半圓錐的組合體，其中三棱柱的高為2，底面是高和底邊均為4的等腰三角形，圓錐的高為4，底面半徑為2，則其體積為，.故選B點(diǎn)睛：由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.3．B【解析】

根據(jù)幾何概型的概率公式求出對(duì)應(yīng)面積之比即可得到結(jié)論.【詳解】解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1，則小直角三角形的邊長(zhǎng)為，

則小正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的面積，

則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為，

故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型的概率的應(yīng)用，求出對(duì)應(yīng)的面積之比是解決本題的關(guān)鍵.4．C【解析】

設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，以為底結(jié)合的面積計(jì)算出點(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程，求出方程的解，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，解得，另一方面，由點(diǎn)到直線的距離公式得，整理得或，，解得或或.綜上，滿足條件的點(diǎn)共有三個(gè)．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算，涉及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題．5．A【解析】

根據(jù)可知,再利用拋物線的焦半徑公式以及三角形面積公式求解即可.【詳解】由題意可知拋物線方程為,設(shè)點(diǎn)點(diǎn),則由拋物線定義知,,則.由得,則.又MN為過(guò)焦點(diǎn)的弦,所以,則,所以.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程應(yīng)用,同時(shí)也考查了焦半徑公式等.屬于中檔題.6．C【解析】

觀察規(guī)律得根號(hào)內(nèi)分母為分子的平方減1，從而求出n.【詳解】解：觀察各式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根號(hào)內(nèi)分母為分子的平方減1所以故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了歸納推理，發(fā)現(xiàn)總結(jié)各式規(guī)律是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7．B【解析】

求出圓心，代入漸近線方程，找到的關(guān)系，即可求解.【詳解】解：，一條漸近線，故選：B【點(diǎn)睛】利用的關(guān)系求雙曲線的離心率，是基礎(chǔ)題.8．A【解析】

用轉(zhuǎn)化的思想求出中不等式的解集，再利用并集的定義求解即可．【詳解】解：由集合，解得，則故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了并集及其運(yùn)算，分式不等式的解法，熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．9．A【解析】

先由三視圖確定該四棱錐的底面形狀，以及四棱錐的高，再由體積公式即可求出結(jié)果.【詳解】由三視圖可知，該四棱錐為斜著放置的四棱錐，四棱錐的底面為直角梯形，上底為1，下底為2，高為2，四棱錐的高為2，所以該四棱錐的體積為.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何的三視圖，由幾何體的三視圖先還原幾何體，再由體積公式即可求解，屬于?？碱}型.10．C【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321方案一坐車可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐車可能：312、321，所以，P1＝；所以P1+P2＝故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.11．D【解析】

用去換中的n，得，相加即可找到數(shù)列的周期，再利用計(jì)算.【詳解】由已知，①，所以②，①+②，得，從而，數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，且前6項(xiàng)分別為1，2，1，-1，-2，-1，所以，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查周期數(shù)列的應(yīng)用，在求時(shí)，先算出一個(gè)周期的和即，再將表示成即可，本題是一道中檔題.12．D【解析】

利用線面平行和垂直，面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對(duì)四個(gè)命題分別分析進(jìn)行選擇．【詳解】當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個(gè)平面，故①錯(cuò)誤；由平面與平面垂直的判定可知②正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面，故③錯(cuò)誤；若兩個(gè)平面垂直，只有在一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個(gè)平面垂直，故④正確．綜上，真命題是②④.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，是中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

要使函數(shù)有意義，則，即，解得，故函數(shù)的定義域是．14．【解析】

先由解析式求得（2），再求（2）．【詳解】（2），，所以（2），故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，分段函數(shù)求值關(guān)鍵是“對(duì)號(hào)入座”,屬于容易題．15．【解析】

二次函數(shù)為偶函數(shù)說(shuō)明一次項(xiàng)系數(shù)為0，求得參數(shù)，將代入表達(dá)式即可求解【詳解】由為偶函數(shù)，知其一次項(xiàng)的系數(shù)為0，所以，，所以，故答案為：-5【點(diǎn)睛】本題考查由奇偶性求解參數(shù)，求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題16．【解析】

對(duì)原方程兩邊求導(dǎo)，然后令求得表達(dá)式的值.【詳解】對(duì)等式兩邊求導(dǎo)，得，令，則.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式，考查利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化已知條件，考查賦值法，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2），證明見解析.【解析】

（1）求出，對(duì)分類討論，分別求出的解，即可得出結(jié)論；（2）由（1）得出有兩解時(shí)的范圍，以及關(guān)系，將，等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明，不妨設(shè)，令，則，即證，構(gòu)造函數(shù)，只要證明對(duì)于任意恒成立即可.【詳解】（1）的定義域?yàn)镽，且.由，得；由，得.故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，，且.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，直線與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，實(shí)數(shù)t的取值范圍是.方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，，，，，即.要證，只需證，即證，不妨設(shè).令，則，則要證，即證.令，則.令，則，在上單調(diào)遞增，.，在上單調(diào)遞增，，即成立，即成立..【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)單調(diào)性、極值、零點(diǎn)、不等式證明，構(gòu)造函數(shù)函數(shù)是解題的關(guān)鍵，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.18．（1）見解析，40元（2）6000元【解析】

（1）甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用都是0元、20元、40元三種情況，因此甲、乙兩人所付的健身費(fèi)用之和共有9種情況，分情況計(jì)算即可（2）根據(jù)（1）結(jié)果求均值.【詳解】解：（1）由題設(shè)知可能取值為0，20，40，60，80，則；；；；.故的分布列為：020406080所以數(shù)學(xué)期望（元）（2）此次促銷活動(dòng)后健身館每天的營(yíng)業(yè)額預(yù)計(jì)為：（元）【點(diǎn)睛】考查離散型隨機(jī)變量的分布列及其期望的求法，中檔題.19．（1）（2）【解析】

（1）依題意可得，解方程組即可求出橢圓的方程；（2）設(shè)，則，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消去，設(shè)，，列出韋達(dá)定理，即可表示，再根據(jù)求出參數(shù)，從而得出，最后由點(diǎn)到直線的距離得到，由即可得解；【詳解】解：（1）∵，∴解得，∴橢圓的方程為.（2）∵，∴可設(shè)，∴.∵，∴，∴設(shè)直線的方程為，∴，∴，顯然恒成立.設(shè)，，則，，∴.∴，∴，∴解得，解得，∴，，∴.∵此時(shí)直線的方程為，，∴點(diǎn)到直線的距離為，∴，即此時(shí)四邊形的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．20．（1）見解析（2）【解析】

（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連結(jié)、，得到故且，進(jìn)而得到，利用線面平行的判定定理，即可證得平面.（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得平面的法向量為，和平面的法向量，利用向量的夾角公式，求得，進(jìn)而得到為直線與平面所成的角，即可求解.【詳解】（Ⅰ）在棱上存在點(diǎn)，使得平面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．理由如下：取的中點(diǎn)，連結(jié)、，由題意，且，且，故且.所以，四邊形為平行四邊形.所以，，又平面，平面，所以，平面.（Ⅱ）由題意知為正三角形，所以，亦即，又，所以，且平面平面，平面平面，所以平面，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則由題意知，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則由得，令，則，，所以取，顯然可取平面的法向量，由題意：，所以.由于平面，所以在平面內(nèi)的射影為，所以為直線與平面所成的角，易知在中，，從而，所以直線與平面所成的角為.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和直線與平面所成角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過(guò)嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力.21．（1）證明見解析（2）（3）【解析】

（1）取中點(diǎn)為,連接,由等邊三角形性質(zhì)可得,再由面面垂直的性質(zhì)可得,根據(jù)平行直線的性質(zhì)可得,進(jìn)而求證；（2）以為原點(diǎn),過(guò)作的平行線,分別以,