全優(yōu)課堂·數(shù)學(xué)·選擇性必修第三冊(人教A版) 課后提能訓(xùn)練 試題及答案 第6章

第六章6.1第1課時(shí)A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．(2024年清遠(yuǎn)月考)市政府現(xiàn)有4個(gè)項(xiàng)目要安排到2個(gè)地區(qū)進(jìn)行建設(shè)，每個(gè)地區(qū)至少有一個(gè)項(xiàng)目，則不同的安排方式有()A．12種 B．14種C．20種 D．24種【答案】B2．(2024年江門期中)《第二十條》《熱辣滾燙》《飛馳人生2》三部賀歲片引爆了2024年春節(jié)電影市場．某電影院同時(shí)段播放這三部電影，小李和他的4位同學(xué)相約一起去看電影，每人只能選擇看其中的一場電影，則不同的選擇方案有()A．35種 B．Ceq\o\al(3,5)種C．53種 D．Aeq\o\al(3,5)種【答案】A3．(2024年梅州期中)腸粉是廣東一種非常出名的傳統(tǒng)小吃，屬于粵菜系，源于唐朝時(shí)的瀧州．已知廣東一家腸粉店制作銷售的腸粉時(shí)，先讓顧客從“放青菜”“放雞蛋”“青菜與雞蛋都不放”“青菜與雞蛋都放”中四選一，再讓顧客從牛肉、蝦仁、香菇等七種食材中選其一，則這家腸粉店的腸粉共有()A．7種 B．11種C．28種 D．32種【答案】C4．(2024年惠州月考)現(xiàn)有兩種不同顏色的顏料要對下圖中的三個(gè)部分進(jìn)行著色，其中任意有公共邊的兩部分著不同顏色的不同方法有()A．8種 B．4種C．3種 D．2種【答案】D【解析】由題意知，其中①有2種顏色可以選，②有1種，③有1種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有2×1×1＝2種不同方法．故選D．5．(2024年泰安開學(xué)考試)五一小長假前夕，甲、乙、丙三人從A，B，C，D四個(gè)旅游景點(diǎn)中任選一個(gè)前去游玩，其中甲到過A景點(diǎn)，所以甲不選A景點(diǎn)，則不同的選法有()A．60種 B．48種C．54種 D．64種【答案】B【解析】因甲不選A景點(diǎn)，應(yīng)該分步完成：第一步，先考慮甲在B，C，D三個(gè)景點(diǎn)中任選一個(gè)，有3種選法；第二步，再考慮乙和丙，從A，B，C，D中分別任選一個(gè)景點(diǎn)，有4×4＝16(種)選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同選法有3×16＝48(種).故選B．6．(多選)如圖，從A地到B地要經(jīng)過C地和D地，從A地到C地有3條路，從C地到D地有2條路，從D地到B地有4條路，則()A．從A地到D地不同走法有6種B．從C地到B地不同走法有6種C．從A地到B地不同走法有9種D．從A地到B地不同走法有24種【答案】AD【解析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，從A地到D地不同走法有3×2＝6(種)，從C地到B地不同走法有2×4＝8(種)，從A地到B地不同走法有3×2×4＝24(種).故選AD．7．(2023年太原模擬)現(xiàn)有10元、20元、50元的人民幣各一張，一共可以組成的幣值有________種．【答案】7【解析】三種幣值取一張，共有3種取法，幣值分別為10元、20元、50元；三種幣值取兩張，共有3種取法，幣值分別為10＋20＝30(元)、10＋50＝60(元)、20＋50＝70(元)；三種幣值全取，共有1種取法，幣值為10＋20＋50＝80(元).一共可以組成的幣值有3＋3＋1＝7(種).8．如圖，小圓點(diǎn)表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們由網(wǎng)線相連，連線上標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量．現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可沿不同的路徑同時(shí)傳遞．則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量是________．【答案】19【解析】若以網(wǎng)線為標(biāo)準(zhǔn)，則完成“從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息”這件事可分為四類：第1類，網(wǎng)線為12→5→3，單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量是3；第2類，網(wǎng)線為12→6→4，單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量是4；第3類，網(wǎng)線為12→6→7，單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量是6；第4類，網(wǎng)線為12→8→6，單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量是6.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量是N＝3＋4＋6＋6＝19.9．用1，5，9，13任意一個(gè)數(shù)作分子，4，8，12，16中任意一個(gè)數(shù)作分母，可構(gòu)造________個(gè)不同的分?jǐn)?shù)，可構(gòu)造________個(gè)不同的真分?jǐn)?shù)．【答案】1610【解析】從1，5，9，13中任選一個(gè)數(shù)作分子，4，8，12，16中任選一個(gè)數(shù)作分母，可構(gòu)成4×4＝16個(gè)不同的分?jǐn)?shù)．由真分?jǐn)?shù)的定義：①若1為分子，分母有4種選擇；②若5為分子，分母有3種選擇；③若9為分子，分母有2種選擇；④若13為分子，分母有1種選擇．所以真分?jǐn)?shù)共有4＋3＋2＋1＝10(個(gè)).10．(2024年西安期中)一個(gè)袋子里裝有10張不同的中國移動(dòng)手機(jī)卡(移動(dòng)卡)，另一個(gè)袋子里裝有12張不同的中國聯(lián)通手機(jī)卡(聯(lián)通卡).(1)某人要從兩個(gè)袋子中任取一張供自己使用的手機(jī)卡，共有多少種不同的取法？(2)某人手機(jī)是雙卡雙待機(jī)，想得到一張移動(dòng)卡和一張聯(lián)通卡供自己今后使用，問一共有多少種不同的取法？解：(1)從兩個(gè)袋子中任取一張卡有兩類情況：第一類：從第一個(gè)袋子中取一張移動(dòng)卡，共有10種取法；第二類：從第二個(gè)袋子中取一張聯(lián)通卡，共有12種取法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有10＋12＝22(種)取法．(2)得到一張移動(dòng)卡和一張聯(lián)通卡可分兩步進(jìn)行：第一步：從第一個(gè)袋子中任取一張移動(dòng)卡，共有10種取法．第二步：從第二個(gè)袋子中任取一張聯(lián)通卡，共有12種取法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有10×12＝120(種)取法．B級——能力提升練11．(多選)現(xiàn)有4個(gè)興趣小組，第一、二、三、四組分別有6人、7人、8人、9人，則下列說法正確的有()A．選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為30B．每組選1名組長的選法種數(shù)為3024C．若推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為335D．若另有3名學(xué)生加入這4個(gè)小組，可自由選擇小組，且第一組必有人選，則不同的選法有35種【答案】ABC【解析】對于A，選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為6＋7＋8＋9＝30，故A正確；對于B，每組選1名組長的選法種數(shù)為6×7×8×9＝3024，故B正確；對于C，2人需來自不同的小組的選法種數(shù)為6×7＋6×8＋6×9＋7×8＋7×9＋8×9＝335，故C正確；對于D，依題意，若不考慮限制，每個(gè)人有4種選擇，共有43種選擇，其中第一組沒有人選，每個(gè)人有3種選擇，共有33種選擇，所以不同的選法有43－33＝37(種)，故D錯(cuò)誤．故選ABC．12．(2024年黃岡期末)某迷宮隧道貓爬架如圖所示，B，C為一個(gè)長方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，A，B是邊長為3米的大正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成．若小貓從A點(diǎn)沿著圖中的線段爬到B點(diǎn)，再從B點(diǎn)沿著長方體的棱爬到C點(diǎn)，則小貓從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)可以選擇的最短路徑共有________條．【答案】120【解析】小貓要從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)，需要先從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，需要走3橫3豎，則可選的路徑共有20條，再從B點(diǎn)爬到C點(diǎn)的路徑共6條，用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得小貓可以選擇的最短路徑有20×6＝120條．13．標(biāo)號為A，B，C的三個(gè)口袋，A袋中有1個(gè)紅色小球，B袋中有2個(gè)不同的白色小球，C袋中有3個(gè)不同的黃色小球，現(xiàn)從中取出2個(gè)小球．(1)若取出的兩個(gè)球的顏色不同，有多少種取法？(2)若取出的兩個(gè)小球顏色相同，有多少種取法？解：(1)若兩個(gè)球顏色不同，則應(yīng)在A，B袋中各取1個(gè)，或A，C袋中各取1個(gè)，或B，C袋中各取1個(gè)，共有1×2＋1×3＋2×3＝11(種).(2)若兩個(gè)球顏色相同，則應(yīng)在B袋中取出兩個(gè)，或在C袋中取出兩個(gè)，共有1＋3＝4(種).C級——?jiǎng)?chuàng)新拓展練14．(2024年佛山期中)為了確保電子郵箱的安全，在注冊時(shí)，通常要設(shè)置電子郵箱密碼．在某網(wǎng)站設(shè)置的郵箱中，(1)若密碼為4位，每位均為0～9這10個(gè)數(shù)字中的1個(gè)，則這樣的密碼共有多少個(gè)？(2)若密碼為4～6位，每位均為0～9這10個(gè)數(shù)字中的1個(gè)，則這樣的密碼共有多少個(gè)？解：(1)設(shè)置1個(gè)4位密碼要分4步進(jìn)行，每一步確定一位數(shù)字，每一位上都可以從0～9這10個(gè)數(shù)字中任取1個(gè)，有10種取法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，4位密碼的個(gè)數(shù)是10×10×10×10＝10000.(2)設(shè)置的密碼為4～6位，每位均為0～9這10個(gè)數(shù)字中的1個(gè)，這樣的密碼共有3類．其中4位密碼、5位密碼、6位密碼的個(gè)數(shù)分別為104，105，106.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，設(shè)置由數(shù)字0～9組成的4～6位密碼的個(gè)數(shù)是104＋105＋106＝1110000.故滿足條件的密碼有1110000個(gè)．第六章6.1第2課時(shí)A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．用0，1，2，3組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)有()A．8個(gè) B．10個(gè)C．18個(gè) D．24個(gè)【答案】A2．(2024年榆林期中)如圖所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之間建有A，B，C，D，E五個(gè)水閘，若上游有充足的水源但下游沒有水，則這五個(gè)水閘打開或關(guān)閉的情況有()A．24種 B．23種C．15種 D．7種【答案】B3．若三角形三邊均為正整數(shù)，其中一邊長為4，另外兩邊長分別為b，c，且滿足b≤4≤c，則這樣的三角形有()A．10個(gè) B．14個(gè)C．15個(gè) D．21個(gè)【答案】A4．(2024年衡水月考)如圖，給7條線段的5個(gè)端點(diǎn)涂色，要求同一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)不能同色，現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法種數(shù)為()A．24 B．48C．96 D．120【答案】C【解析】若A，D顏色相同，先涂E有4種涂法，再涂A，D有3種涂法，再涂B有2種涂法，C只有1種涂法，共有4×3×2×1＝24種；若A，D顏色不同，先涂E有4種涂法，再涂A有3種涂法，再涂D有2種涂法，當(dāng)B和D相同時(shí)，C有2種涂法，當(dāng)B和D不同時(shí)，B，C只有1種涂法，共有4×3×2×(2＋1)＝72種．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有24＋72＝96種不同的涂色方法．故選C．5．(2024年東莞聯(lián)考)從4名本縣教師和2名客縣教師中選出3名教師參加某場考試的監(jiān)考工作，分別負(fù)責(zé)核對身份、指紋認(rèn)定和金屬探測儀使用的工作，要求至少有1名客縣教師，且要求金屬探測儀必須由客縣監(jiān)考教師負(fù)責(zé)使用，則不同的安排方案的種數(shù)為()A．24 B．40C．60 D．120【答案】B【解析】由題意可先選一名客縣教師負(fù)責(zé)金屬探測儀的使用，共2種選法，再從剩余的5人中，選2名監(jiān)考員，一人負(fù)責(zé)核對身份，一人負(fù)責(zé)指紋認(rèn)證，共5×4＝20種選法．所以不同的安排方案的種數(shù)為2×20＝40.故選B．6．(2024年淮安期末)(多選)用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，若十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都小，則稱這個(gè)數(shù)為“凹數(shù)”，如301，423等都是“凹數(shù)”，則下列結(jié)論中正確的有()A．組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為60B．在組成的三位數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為30C．在組成的三位數(shù)中，“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為20D．在組成的三位數(shù)中，“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為30【答案】BC【解析】對于A，因?yàn)榘傥粩?shù)上的數(shù)字不能為零，所以組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為4×4×3＝48，故A錯(cuò)誤；對于B，將所有三位數(shù)的偶數(shù)分為兩類，①個(gè)位數(shù)為0，則有4×3＝12(個(gè))，②個(gè)位數(shù)為2或4，則有2×3×3＝18(個(gè))，所以在組成的三位數(shù)中，偶數(shù)的個(gè)數(shù)為12＋18＝30，故B正確；對于C，D，將這些“凹數(shù)”分為三類，①十位為0，則有4×3＝12(個(gè))，②十位為1，則有3×2＝6(個(gè))，③十位為2，則有2×1＝2(個(gè))，所以在組成的三位數(shù)中，“凹數(shù)”的個(gè)數(shù)為12＋6＋2＝20，故C正確，D錯(cuò)誤．故選BC．7．(2024年廣州期末)一個(gè)課外活動(dòng)小組的7名同學(xué)被邀請參加一個(gè)社團(tuán)活動(dòng)．如果必須有人去，去幾個(gè)人自行決定，有________種不同的去法．(用數(shù)字作答)【答案】127【解析】7名同學(xué)被邀請參加一個(gè)社團(tuán)活動(dòng)，有27＝128種去法，沒人去的有1種，故必須有人去的去法有128－1＝127種．8．古人用天干、地支來表示年、月、日、時(shí)的次序．用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成________組．【答案】60【解析】分兩類：第一類，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，則有5×6＝30(組)不同的結(jié)果．第二類也有30組不同的結(jié)果，共可得30＋30＝60(組).9．若在如圖1的電路中，只合上一個(gè)開關(guān)可以接通電路，有________種不同的方法；在如圖2的電路中，合上兩個(gè)開關(guān)可以接通電路，有________種不同的方法. 圖1 圖2【答案】56【解析】對于圖1，按要求接通電路，只要在A中的兩個(gè)開關(guān)或B中的三個(gè)開關(guān)中合上一個(gè)即可，故有2＋3＝5(種)不同的方法．對于圖2，按要求接通電路必須分兩步進(jìn)行：第一步，合上A中的一個(gè)開關(guān)；第二步，合上B中的一個(gè)開關(guān)．故有2×3＝6(種)不同的方法．10．(2024年臺州期末)現(xiàn)有高一學(xué)生50人，高二學(xué)生42人，高三學(xué)生30人，組成冬令營．(1)若每年級各選1名負(fù)責(zé)人，共有多少種不同的選法？(2)若從中推選兩人作為中心發(fā)言人，要求這兩人要來自不同的年級，則有多少種選法？解：(1)從高一選1名負(fù)責(zé)人有50種選法；從高二選1名負(fù)責(zé)人有42種選法；從高三選1名負(fù)責(zé)人有30種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，可知共有50×42×30＝63000種選法．(2)①高一和高二各選1人作中心發(fā)言人，有50×42＝2100種選法；②高二和高三各選1人作中心發(fā)言人，有42×30＝1260種選法；③高一和高三各選1人作中心發(fā)言人，有50×30＝1500種選法．故共有2100＋1260＋1500＝4860種選法．B級——能力提升練11．(2024年長春期中)(多選)高二年級安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多個(gè)同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，下列說法正確的有()A．所有可能的方法有35種B．如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種C．如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有25種D．如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法共有20種【答案】BC【解析】對于A，安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個(gè)社區(qū)進(jìn)行暑期社會實(shí)踐活動(dòng)，每位同學(xué)只能選擇一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，且多個(gè)同學(xué)可以選擇同一個(gè)社區(qū)進(jìn)行活動(dòng)，故有5×5×5＝53種選擇方案，A錯(cuò)誤；對于B，如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有53－43＝61(種)，B正確；對于C，如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有52＝25(種)，C正確；對于D，如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個(gè)社區(qū)，再分為丙與甲、乙兩名同學(xué)在一起和不在一起兩種情況，則不同的安排方法共有5＋5×4＝25(種)，D錯(cuò)誤．故選BC．12．(2024年廣州月考)根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求，我省某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門派4位專家各自在周一、周二兩天中任選一天對某縣進(jìn)行調(diào)研活動(dòng)的種數(shù)為________，周一、周二都有專家參加調(diào)研活動(dòng)的種數(shù)為________．【答案】1614【解析】1位專家選擇調(diào)研活動(dòng)的時(shí)間有2種方法，因此4位專家任選一天進(jìn)行調(diào)研活動(dòng)的種數(shù)為24＝16；周一或周二沒有專家進(jìn)行調(diào)研活動(dòng)有2種，所以周一、周二都有專家參加調(diào)研活動(dòng)的種數(shù)為16－2＝14.13．(2024年深圳月考)用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號為1，2，…，9的九個(gè)小正方形(如圖)，使得任意有公共邊的小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號為1，5，9的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂色方法共有多少種？123456789解：第1步，涂標(biāo)號為1，5，9的三個(gè)小正方形，有3種涂法．第2步，涂標(biāo)號為2，3，6的三個(gè)小正方形：若標(biāo)號為2，6的小正方形顏色相同，則有2種涂法，此時(shí)標(biāo)號為3的小正方形也有2種涂法，共有2×2＝4種涂法；若標(biāo)號為2，6的小正方形顏色不相同，則有2種涂法，此時(shí)標(biāo)號為3的小正方形只有1種涂法，共有2×1＝2種涂法．所以對標(biāo)號為2，3，6的三個(gè)小正方形涂色，共有6種涂法．第3步，對標(biāo)號為4，7，8的三個(gè)小正方形涂色，易知共有6種涂法．故符合條件的所有涂色方法共有3×6×6＝108種．C級——?jiǎng)?chuàng)新拓展練14．(2024年深圳期中)設(shè)A＝{x|x≥10，x∈N}，B?A，且B中的元素滿足①任意一個(gè)元素的各數(shù)位的數(shù)字互不相同；②任意一個(gè)元素的任意兩個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和不等于9.(1)求B中的兩位數(shù)和三位數(shù)的個(gè)數(shù)；(2)B中是否存在五位數(shù)、六位數(shù)？(3)若從小到大排列B中元素，求第1081個(gè)元素．解：(1)對于兩位數(shù)，十位上的數(shù)字可取1，2，3，…，9，個(gè)位上的數(shù)字由于不能和十位上的數(shù)字重復(fù)，且與十位上的數(shù)字之和不能為9，故對于十位上的每一個(gè)數(shù)字，相應(yīng)的個(gè)位數(shù)字有8種取法，從而符合題意的兩位數(shù)共有9×8＝72個(gè)．對于三位數(shù)，我們先考慮百位上的數(shù)字，可取1，2，3，…，9；再考慮十位上的數(shù)字，由于不能與百位上的數(shù)字重復(fù)，且與百位上的數(shù)字之和不能為9，故有8種取法；最后考慮個(gè)位上的數(shù)字，由于不能和百位、十位上的數(shù)字重復(fù)，且和百位、十位上的數(shù)字相加都不能等于9，故有6種取法，從而符合題意的三位數(shù)有9×8×6＝432(個(gè)).(2)五位數(shù)存在，如12340就是其中一個(gè)．不存在這樣的六位數(shù)，理由如下：仿照(1)的解法，十萬位上有9種取法，萬位上有8種取法，千位上有6種取法，百位上有4種取法，十位上有2種取法，個(gè)位上有0種取法，矛盾．(3)由(1)可得符合題意的兩位數(shù)有72個(gè)，三位數(shù)有432個(gè)，符合題意的四位數(shù)有9×8×6×4＝1728個(gè)．四位數(shù)中千位上是1的有8×6×4＝192個(gè)；千位上是2，3的也各有192個(gè)，由于1081－(72＋432＋192＋192＋192)＝1.所以符合題意的數(shù)是千位上是4的最小的數(shù)，即B中第1081個(gè)元素是4012.第六章6.26.2.1A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．(多選)下列問題中，屬于排列的是()A．10本不同的書分給10名同學(xué)，每人一本B．10位同學(xué)去做該校春季運(yùn)動(dòng)會的志愿者C．10位同學(xué)參加不同項(xiàng)目的運(yùn)動(dòng)會比賽D．10個(gè)沒有任何三點(diǎn)共線的點(diǎn)構(gòu)成的線段【答案】AC2．(2024年中山期中)某運(yùn)動(dòng)會上，8名男運(yùn)動(dòng)員參加100米決賽，其中甲、乙、丙三人必須在1，2，3，4，5，6，7，8八條跑道的奇數(shù)號跑道上，則安排甲、乙、丙這3名運(yùn)動(dòng)員比賽的方式有()A．24種 B．36種C．42種 D．48種【答案】A3．(2024年長沙期中)由1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字組成的首位數(shù)字是1，且恰有三個(gè)相同數(shù)字的四位數(shù)有()A．6個(gè) B．12個(gè)C．18個(gè) D．20個(gè)【答案】B4．從1，3，5，7，9這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別記為a，b，共可得到lga－lgb的不同值的個(gè)數(shù)是()A．9 B．10C．18 D．20【答案】C【解析】lga－lgb＝lgeq\f(a,b)，從1，3，5，7，9中任取兩個(gè)數(shù)分別記為a，b，共有5×4＝20(種)，其中l(wèi)geq\f(1,3)＝lgeq\f(3,9)，lgeq\f(3,1)＝lgeq\f(9,3)，故其可得到18種結(jié)果．5．四張卡片上分別標(biāo)有數(shù)字“2”“0”“1”“1”，則由這四張卡片可組成不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．6 B．9C．12 D．24【答案】B【解析】可組成下列四位數(shù)：1012，1021，1102，1120，1201，1210，2011，2101，2110，共9個(gè)．6．(多選)下列問題是排列問題的是()A．從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做加法，其結(jié)果有多少種不同的可能B．從1，2，3，4四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做減法，其結(jié)果有多少種不同的可能C．會場有50個(gè)座位，要求選出3個(gè)座位有多少種方法D．會場有50個(gè)座位，選出3個(gè)座位安排3位客人入座，有多少種方法【答案】BD【解析】對于A，由于加法運(yùn)算滿足交換律，所以選出的兩個(gè)元素做加法求結(jié)果時(shí)，與兩個(gè)元素的位置無關(guān)，不是排列問題；對于B，列減法算式時(shí)，兩個(gè)元素誰作被減數(shù)，誰作減數(shù)不一樣，此時(shí)與位置有關(guān)，是排列問題；對于C，選出3個(gè)座位與順序無關(guān)，不是排列問題；對于D，“入座”問題同“排隊(duì)”問題，與順序有關(guān)，故選3個(gè)座位安排3位客人入座是排列問題．7．某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了________條畢業(yè)留言(用數(shù)字作答).【答案】1560【解析】根據(jù)題意，得40×39＝1560，故全班共寫了1560條畢業(yè)留言．8．8種不同的蔬菜種子，任選4種種在不同土質(zhì)的4塊地上，有________種不同的種法(用數(shù)字作答).【答案】1680【解析】將4塊不同土質(zhì)的地看作4個(gè)不同的位置，從8種不同的蔬菜種子中任選4種種在4塊不同土質(zhì)的地上，則本題即為從8個(gè)不同元素中任選4個(gè)元素的排列問題．所以不同的種法共有8×7×6×5＝1680(種).9．元旦來臨之際，某寢室四位同學(xué)各有一張賀年卡，并且要送給該寢室的其他一位同學(xué)，但每人都必須得到一張，則不同的送法有________種.【答案】9【解析】將4張賀年卡分別記為A，B，C，D，且按題意進(jìn)行排列，用樹狀圖表示如下：由此可知共有9種送法．10．(2024年重慶期中)某藥品研究所研制了5種消炎藥a1，a2，a3，a4，a5，4種退熱藥b1，b2，b3，b4，現(xiàn)從中取兩種消炎藥和一種退熱藥同時(shí)進(jìn)行療效試驗(yàn)，但a1，a2兩種藥或同時(shí)用或同時(shí)不用，a3，b4兩種藥不能同時(shí)使用，試寫出所有不同試驗(yàn)方法．解：樹狀圖如圖所示．a(chǎn)1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14種．B級——能力提升練11．(2024年廉江期中)(多選)用一顆骰子連擲兩次，投擲出的數(shù)字順次排成一個(gè)兩位數(shù)，則()A．可以排出30個(gè)不同的兩位數(shù)B．可以排出36個(gè)不同的兩位數(shù)C．可以排出30個(gè)無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)D．可以排出36個(gè)無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)【答案】BC【解析】對于A，B選項(xiàng)，兩位數(shù)中每位上的數(shù)字均為1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，共有這樣的兩位數(shù)6×6＝36(個(gè)).對于C，D選項(xiàng)，兩位數(shù)中每位上的數(shù)字均為1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字中的一個(gè)．第一步，得首位數(shù)字，有6種不同結(jié)果，第二步，得十位數(shù)字，有5種不同結(jié)果，故可得無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)有6×5＝30(個(gè)).故選BC．12．(2024年肇慶期中)將5名學(xué)生分配到A，B，C，D，E這5個(gè)社區(qū)參加義務(wù)勞動(dòng)，每個(gè)社區(qū)分配1名學(xué)生，不同的分配方法種數(shù)是________，若學(xué)生甲不能分配到A社區(qū)，則不同的分配方法種數(shù)是________．【答案】12096【解析】將5人安排到5個(gè)社區(qū)，有5×4×3×2×1＝120種分配方法．若學(xué)生甲不能分配到A社區(qū)，分2步進(jìn)行分析：①學(xué)生甲不能分配到A社區(qū)，則甲有4種安排方法；②剩下的4人安排到其余4個(gè)社區(qū)，則有4×3×2×1＝24種分配方法，則有4×24＝96種分配方法．13．某國的籃球職業(yè)聯(lián)賽共有16支球隊(duì)參加．(1)每隊(duì)與其余各隊(duì)在主客場分別比賽一次，共要進(jìn)行多少場比賽？(2)若16支球隊(duì)恰好8支來自北部賽區(qū)，8支來自南部賽區(qū)，為增加比賽的觀賞度，各自賽區(qū)分別采用(1)中的賽制決出賽區(qū)冠軍后，再進(jìn)行一場總冠軍賽，共要進(jìn)行多少場比賽？解：(1)任意兩隊(duì)之間要進(jìn)行一場主場比賽及一場客場比賽，對應(yīng)于從16支球隊(duì)任取兩支的一個(gè)排列，比賽的總場次是16×15＝240(場).(2)由(1)中的分析，比賽的總場次是8×7×2＋1＝113(場).C級——?jiǎng)?chuàng)新拓展練14．(2024年黃岡期中)由4個(gè)不同數(shù)字組成，且個(gè)位數(shù)字與千位數(shù)字之差的絕對值是2的四位正整數(shù)有多少個(gè)？解：將千位數(shù)字a與個(gè)位數(shù)字b的取值記為(a，b)，則滿足個(gè)位數(shù)字與千位數(shù)字之差的絕對值是2的所有可能的取值有(1，3)，(2，0)，(2，4)，(3，1)，(3，5)，(4，2)，(4，6)，(5，3)，(5，7)，(6，4)，(6，8)，(7，5)，(7，9)，(8，6)，(9，7)，共15種情況，百位數(shù)字和十位數(shù)字有8×7＝56種情況，所以滿足題意的四位正整數(shù)共有15×56＝840個(gè)．第六章6.26.2.2A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．(2024年廣州期中)某學(xué)校安排4位教師在星期一至星期五值班，每天只安排1位教師，每位教師至少值班1天，至多值班2天且這2天相連，則不同的安排方法共有()A．24種 B．48種C．60種 D．96種【答案】D2．若Aeq\o\al(3,2n)＝10Aeq\o\al(3,n)，則n＝()A．7 B．8C．9 D．10【答案】B3．(2024年貴陽期中)2023年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽(決賽)于2023年11月26日至12月3日在湖北省武漢市武鋼三中舉行，賽后來自某所學(xué)校的3名同學(xué)和2名老師站成一排合影，若兩名老師之間至少有一名同學(xué)，則不同的站法有()A．48種 B．64種C．72種 D．120種【答案】C4．(2024年東莞期中)回文聯(lián)是我國對聯(lián)中的一種．用回文形式寫成的對聯(lián)，既可順讀，也可倒讀．不僅意思不變，而且頗具趣味．在數(shù)學(xué)中也有這樣一類順讀與倒讀都是同一個(gè)數(shù)的自然數(shù)，稱之為“回文數(shù)”．如44，585，2662等；則用數(shù)字1，2，3，4，5，6可以組成4位“回文數(shù)”的個(gè)數(shù)為()A．15 B．30C．36 D．72【答案】C【解析】分兩類，第1類，用一個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)的回文數(shù)，有6個(gè)；第2類，用兩個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)的回文數(shù)，只需從這6個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)數(shù)字，排在前兩位(后兩位由前兩位順序確定)，有Aeq\o\al(2,6)＝30(個(gè)).故全部4位回文數(shù)共有6＋30＝36個(gè)．故選C．5．(2024年成都期中)某電子競技隊(duì)伍由1名隊(duì)長、1名副隊(duì)長與3名隊(duì)員構(gòu)成，按需要擔(dān)任第1至5號位的任務(wù)，由于隊(duì)長需要分出精力指揮隊(duì)伍，所以不能擔(dān)任1號位，副隊(duì)長是隊(duì)伍輸出核心，必須擔(dān)任1號位或2號位，則不同的位置安排方式有()A．36種 B．42種C．48種 D．52種【答案】B【解析】若副隊(duì)長擔(dān)任1號位，其他位置就沒有任何限制，有Aeq\o\al(4,4)＝24種安排方式；若副隊(duì)長擔(dān)任2號位，則從3名隊(duì)員中選1人擔(dān)任1號位，后面的3個(gè)位置無限制條件，有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝3×6＝18(種)安排方式．所以一共有24＋18＝42(種)安排方式．故選B．6．(多選)已知Aeq\o\al(m,3)－eq\f(1,2)Aeq\o\al(2,3)＋0！＝4，則m的可能取值是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】CD【解析】因?yàn)锳eq\o\al(m,3)－eq\f(1,2)Aeq\o\al(2,3)＋0?。?，所以Aeq\o\al(m,3)－eq\f(1,2)×6＋1＝4，所以Aeq\o\al(m,3)＝6，其中m∈N，m≤3，而Aeq\o\al(0,3)＝1，Aeq\o\al(1,3)＝3，Aeq\o\al(2,3)＝Aeq\o\al(3,3)＝6，所以m的值可能是2或3．故選CD．7．(2024年六安期中)高三年級某班組織元旦晚會，共準(zhǔn)備了甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)節(jié)目，出場時(shí)要求甲、乙、丙三個(gè)節(jié)目順序?yàn)椤凹?、乙、丙”或“丙、乙、甲?可以不相鄰)，則這樣的出場排序有________種(用數(shù)字作答)．【答案】40【解析】先排除甲、乙、丙三個(gè)節(jié)目剩余的2個(gè)節(jié)目有Aeq\o\al(2,5)＝5×4＝20種排法，因甲、乙、丙的排序?yàn)槎ㄐ颍挥?種排法，則根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，滿足條件的出場順序共有20×2＝40種．8．(2024年清遠(yuǎn)期中)不等式Aeq\o\al(x,6)<6Aeq\o\al(x-2,6)的解集為________．【答案】{6}【解析】由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤6，,0≤x－2≤6，))解得2≤x≤6且x∈N*．又eq\f(6！,(6－x)！)<6×eq\f(6！,(8－x)！)，即(8－x)(7－x)<6，即x2－15x＋50<0，解得5<x<10，綜上可知x＝6，故解集為{6}．9．(2023年廣州模擬)某夜市的某排攤位上共有6個(gè)鋪位，現(xiàn)有4家小吃類店鋪，2家飲料類店鋪打算入駐，若要排出一個(gè)攤位規(guī)劃，要求飲料類店鋪不能相鄰，則可以排出的攤位規(guī)劃總個(gè)數(shù)為________(用數(shù)字作答)．480【解析】先將4個(gè)小吃類店鋪進(jìn)行全排，再從這4個(gè)小吃類店鋪的5個(gè)空位選2個(gè)進(jìn)行排列，故排出的攤位規(guī)劃總個(gè)數(shù)為Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480．10．一場晚會有5個(gè)演唱節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目，要求排出一個(gè)節(jié)目單．(1)3個(gè)舞蹈節(jié)目不排在開始和結(jié)尾，有多少種排法？(2)前4個(gè)節(jié)目要有舞蹈節(jié)目，有多少種排法？解：(1)先從5個(gè)演唱節(jié)目中選兩個(gè)排在首尾兩個(gè)位置有Aeq\o\al(2,5)種排法，再將剩余的3個(gè)演唱節(jié)目、3個(gè)舞蹈節(jié)目排在中間6個(gè)位置上有Aeq\o\al(6,6)種排法，故不同的排法共有Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(6,6)＝14400(種)．(2)先不考慮排列要求，有Aeq\o\al(8,8)種排列，其中前4個(gè)節(jié)目沒有舞蹈節(jié)目的情況，可先從5個(gè)演唱節(jié)目中選4個(gè)節(jié)目排在前四個(gè)位置，然后將剩余4個(gè)節(jié)目排列在后四個(gè)位置，有Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)種排法，所以前4個(gè)節(jié)目要有舞蹈節(jié)目的排法有Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)＝37440(種)．B級——能力提升練11．(2024年湛江期中)(多選)身高各不相同的六位同學(xué)A，B，C，D，E，F(xiàn)站成一排照相，則說法正確的是()A．A，C，D三位同學(xué)從左到右按照由高到矮的順序站，共有120種站法B．A與C同學(xué)不相鄰，共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,5)種站法C．A，C，D三位同學(xué)必須站在一起，且A只能在C與D的中間，共有144種站法D．A不在排頭，B不在排尾，共有504種站法【答案】ABD【解析】對于A，將A，C，D三位同學(xué)從左到右按照由高到矮的順序站，共有eq\f(Aeq\o\al(6,6),Aeq\o\al(3,3))＝120種站法，故A正確；對于B，先排B，D，E，F(xiàn)，共有Aeq\o\al(4,4)種站法，A與C同學(xué)插空站，有Aeq\o\al(2,5)種站法，故共有Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,5)種站法，故B正確；對于C，將A，C，D三位同學(xué)捆綁在一起，且A只能在C與D的中間，有2種情況，捆綁后有Aeq\o\al(4,4)種站法，故共有2×Aeq\o\al(4,4)＝48種站法，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)A在排尾時(shí)，B隨意站，則有Aeq\o\al(5,5)＝120種站法，當(dāng)A不在排頭也不在排尾時(shí)，有Aeq\o\al(1,4)種，B有Aeq\o\al(1,4)種，剩下同學(xué)隨意站有Aeq\o\al(4,4)種，共有Aeq\o\al(1,4)×Aeq\o\al(1,4)×Aeq\o\al(4,4)＝384種，故A不在排頭，B不在排尾，共有120＋384＝504種站法，故D正確．故選ABD．12．已知0！＋Aeq\o\al(2,n)＝133，則n＝________，計(jì)算Aeq\o\al(n+3,2n)＋Aeq\o\al(n,3)＝________．【答案】12726【解析】0！＋Aeq\o\al(2,n)＝1＋n(n－1)＝133(n≥2)，即n2－n－132＝(n－12)(n＋11)＝0，所以n＝12(負(fù)值舍去).由題意可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＋3≤2n，,n≤3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n≥3，,n≤3，))所以n＝3，所以Aeq\o\al(n+3,2n)＋Aeq\o\al(n,3)＝Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(3,3)＝6×5×4×3×2×1＋3×2×1＝726．13．(2024年佛山月考)2024年5月10日是南執(zhí)高級中學(xué)藝術(shù)展演日，當(dāng)晚要進(jìn)行隆重的文藝演出．已知初三，高一，高二分別選送了3，5，7個(gè)節(jié)目，現(xiàn)回答以下問題：(用排列組合數(shù)表示，不需要合并化簡)(1)若初三的節(jié)目彼此都不相鄰，共計(jì)有多少種出場順序；(2)若初三的節(jié)目按照B1，B2，B3的順序出場(可以不相鄰)，共計(jì)有多少種出場順序；(3)高一的節(jié)目A1不能排最先出場且初三的節(jié)目B1不能最后出場，共計(jì)有多少種出場順序．解：(1)根據(jù)題意先把高一，高二的12個(gè)節(jié)目排好共有Aeq\o\al(12,12)種排列方式，再把初三的3個(gè)節(jié)目插入插空進(jìn)行排列，所以共有Aeq\o\al(12,12)·Aeq\o\al(3,13)種出場順序．(2)(方法一)初三的節(jié)目按照B1，B2，B3的順序出場，即只需把其他12個(gè)節(jié)目排好，空3個(gè)位置給B1，B2，B3即可，所以不同的排法共有Aeq\o\al(12,15)種．(方法二)把15人全排有Aeq\o\al(15,15)種情況，因?yàn)橛蠥eq\o\al(3,3)種重復(fù)，所以不同的排法共有eq\f(Aeq\o\al(15,15),Aeq\o\al(3,3))或eq\f(1,6)Aeq\o\al(15,15)種.(3)先考慮全部，則共有Aeq\o\al(15,15)種排列方式，其中A1排在最先出場共有Aeq\o\al(14,14)種，B1排在最后出場也共有Aeq\o\al(14,14)種，A1排在最先出場同時(shí)B1排在最后出場共有Aeq\o\al(13,13)種，根據(jù)題意減去不滿足題意的情況共有Aeq\o\al(15,15)－2Aeq\o\al(14,14)＋Aeq\o\al(13,13)種．C級——?jiǎng)?chuàng)新拓展練14．(2024年中山期中)《西游記》中唐僧師徒四人去西天取經(jīng)，某日路上捉了妖怪甲和妖怪乙，可是取經(jīng)路上，兇險(xiǎn)頗多，那么六位如何站位各人有自己的想法．(結(jié)果用數(shù)值表示)(1)唐僧說：“徒兒們，妖怪本性不錯(cuò)，我們六個(gè)隨便站吧．”請問一共有多少種站法？(2)八戒提出：“兩只妖怪不能站在排頭和排尾，否則他們會逃走！”那么按照八戒的想法，一共有多少種站法？(3)悟空說：“師傅！師傅！你必須和我站在一起！如果怕妖怪逃走，讓八戒和妖怪站在一起，并且八戒在妖怪中間！”按照悟空的說法，請問一共有多少種站法？解：(1)六個(gè)人隨便站，即六個(gè)人進(jìn)行全排列，故符合條件的排法共有Aeq\o\al(6,6)＝720種．(2)因總共有六個(gè)位置，兩只妖怪不能站在排頭和排尾，先將兩只妖怪排好，故有Aeq\o\al(2,4)種排法，剩下四個(gè)人四個(gè)位置，故有Aeq\o\al(4,4)種排法，故共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,4)＝288種排法．(3)先將六人分成三組，且這三組人數(shù)分別為1，2，3，并排列，故有Aeq\o\al(3,3)種排法，師傅和悟空站在一起共有Aeq\o\al(2,2)種排法，八戒站在兩只妖怪中間共有Aeq\o\al(2,2)種排法，故共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝24種排法．第六章6.26.2.3A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列說法正確的是()A．組合和排列都與元素的順序有關(guān)B．a(chǎn)，b，c和c，b，a不是同一組合C．如果一個(gè)問題是排列問題，則它一定是組合問題D．從10個(gè)人中選3個(gè)代表去開會，共有多少種選法是組合問題【答案】D2．(2024年聊城月考)現(xiàn)有男、女生共8人，從中選出男、女生各1人參加運(yùn)動(dòng)會，共有16種不同方案，那么男、女生的人數(shù)分別是()A．2，6 B．3，5C．4，4 D．5，3【答案】C3．五個(gè)工程隊(duì)承建某項(xiàng)工程的五個(gè)不同的子項(xiàng)目，每個(gè)工程隊(duì)承建1項(xiàng)，其中甲工程隊(duì)不能承建1號子項(xiàng)目，則不同的承建方案共有()A．24種 B．48種C．72種 D．96種【答案】D4．(2024年鎮(zhèn)江月考)如圖，已知面積為1的正三角形ABC三邊的中點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，則從A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)不同的點(diǎn)構(gòu)成的面積為eq\f(1,4)的三角形的個(gè)數(shù)為()A．4 B．6C．10 D．11【答案】C【解析】從A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)不同的點(diǎn)構(gòu)成的面積為eq\f(1,4)的三角形有兩類：第1類，兩個(gè)中點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形，有3×3＝9個(gè)；第2類，三個(gè)中點(diǎn)構(gòu)成的三角形，有1個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，面積為eq\f(1,4)的三角形的個(gè)數(shù)為9＋1＝10.5．4張卡片上分別寫有“中”“國”“你”“好”四個(gè)字，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的文字恰好是“中”“國”的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,6) D．eq\f(3,4)【答案】C【解析】從4張卡片中隨機(jī)抽取2張，有6種選法(例舉略)，取出的2張卡片上的文字恰好是“中”“國”只有1種，故取出的2張卡片上的文字恰好是“中”“國”的概率p＝eq\f(1,6).故選C．6．(2024年長沙期末)(多選)現(xiàn)有不同的紅球4個(gè)，黃球5個(gè)，綠球6個(gè)，則下列說法正確的是()A．從中選出2個(gè)球，正好一紅一黃，有9種不同的選法B．若每種顏色選出1個(gè)球，有120種不同的選法C．若要選出不同顏色的2個(gè)球，有31種不同的選法D．若要選出2個(gè)球分給甲、乙兩名同學(xué)，有210種不同的方法【答案】BD【解析】對于A，從中選出2個(gè)球，正好一紅一黃，有4×5＝20(種)不同的選法，A錯(cuò)誤；對于B，若每種顏色選出1個(gè)球，有4×5×6＝120(種)不同的選法，B正確；對于C，若要選出不同顏色的2個(gè)球，有4×5＋5×6＋4×6＝74(種)不同的選法，C錯(cuò)誤；對于D，若要選出2個(gè)球分給甲、乙兩名同學(xué)，有15×14＝210(種)不同的方法，D正確．故選BD．7．(2024年揭陽期中)在某次數(shù)學(xué)考試中，學(xué)號為i(i＝1，2，3，4)的同學(xué)的考試成績f(i)∈{85，87，88，90，93}，且滿足f(1)<f(2)<f(3)<f(4)，則這四位同學(xué)的考試成績的所有情況有________種(用數(shù)字作答)．【答案】5【解析】根據(jù)條件從五個(gè)成績中挑四個(gè)，易知滿足條件的所有情況有5種．8．(2024年北京海淀區(qū)期中)某社區(qū)計(jì)劃在端午節(jié)前夕按如下規(guī)則設(shè)計(jì)香囊：在基礎(chǔ)配方以外，從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中至少選擇一味添加到香囊，則不同的添加方案有________種．【答案】15【解析】從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中選一種，有4種方案；從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中選兩種，有6種方案；從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中選三種，有4種方案；佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥全選，有1種方案．所以從佩蘭、冰片、丁香、石菖蒲這四味中藥中至少選一種，則不同的添加方案共有4＋6＋4＋1＝15種．9．從1，2，3，6，9中任取兩個(gè)不同的數(shù)相乘，則乘積為偶數(shù)的取法有________種，不同的乘積結(jié)果有________個(gè)．【答案】78【解析】從五個(gè)不同的數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)共有10種不同的取法，其中乘積為偶數(shù)的取法有(1，2)，(1，6)，(2，3)，(2，6)，(2，9)，(3，6)，(6，9)，共7種．又因?yàn)?×2＝2，1×3＝3，1×6＝2×3＝6，1×9＝9，2×6＝12，2×9＝3×6＝18，3×9＝27，6×9＝54，所以不同的乘積結(jié)果有8個(gè)．10．袋中裝有大小相同、標(biāo)號不同的白球4個(gè)，黑球5個(gè)，從中任取3個(gè)球．(1)取出的3球中有2個(gè)白球，1個(gè)黑球的結(jié)果有幾個(gè)？(2)取出的3球中至少有2個(gè)白球的結(jié)果有幾個(gè)？解：(1)設(shè)“取出3球中有2個(gè)白球，1個(gè)黑球”的所有結(jié)果組成的集合為A，4個(gè)白球中選2個(gè)有6種選法(例舉略)，5個(gè)黑球選1個(gè)有5種選法，∴A共有6×5＝30種不同的結(jié)果．(2)設(shè)“取出3球中至少有2個(gè)白球”的所有結(jié)果組成集合為B，B包含的情況有2白1黑(由(1)知共有30種不同的結(jié)果)，及3白(易知有4種的不同結(jié)果)兩種情況，故有30＋4＝34(種)不同的結(jié)果．B級——能力提升練11．(2024年青島期中)(多選)有5名教師，其中3名男教師，2名女教師．下列說法正確的有()A．現(xiàn)要從中選2名教師去參加會議，有10種不同的選法B．選出2名男教師或2名女教師參加會議，有4種不同的選法C．現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有3種不同的選法D．選出3名教師去參加會議，男女都有的選法有12種【答案】ABC【解析】從5名教師中選2名去參加會議的選法種數(shù)，通過列舉法可得共有10種不同的選法，A正確；把問題分兩類情況：第1類，選出的2名是男教師，有3種選法；第2類，選出的2名是女教師，有1種選法，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有3＋1＝4(種)不同選法，B正確；從3名男教師中選2名的選法有3種，從2名女教師中選2名的選法有1種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的選法共有3×1＝3(種)，C正確；對于D，2男＋1女或1男＋2女，3×2＋3×1＝9種，D錯(cuò)誤．故選ABC．12．(2024年珠海期中)平面上有12個(gè)點(diǎn)，其中沒有3個(gè)點(diǎn)在一條直線上，也沒有4個(gè)點(diǎn)共圓，則“過這12個(gè)點(diǎn)所作圓的個(gè)數(shù)”相當(dāng)于從________個(gè)不同元素中任取________個(gè)元素的組合問題．【答案】123【解析】因?yàn)槊恳粋€(gè)圓對應(yīng)3個(gè)點(diǎn)，所以這12個(gè)點(diǎn)所作圓相當(dāng)于從12個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的組合問題．13．新課程改革后，普通高校招生方案規(guī)定：每位考生從物理、化學(xué)、生物、地理、政治、歷史六門學(xué)科中隨機(jī)選三門參加考試，某省份規(guī)定物理或歷史至少選一門，試列出該省考生所有可能的選法．解：由題意得，可分以下三種情況：(1)選物理不選歷史：物化生、物化地、物化政、物生地、物生政、物地政，共6種選法；(2)選歷史不選物理：歷化生、歷化地、歷化政、歷生地、歷生政、歷地政，共6種選法；(3)物理和歷史都選：物歷化、物歷生、物歷地、物歷政，共4種選法．物理或歷史至少選一門，那么該省份考生的選法共有6＋6＋4＝16(種)．C級——?jiǎng)?chuàng)新拓展練14．(2024年汕頭澄海期中)十二生肖是中國特有的文化符號，有著豐富的內(nèi)涵，它們是成對出現(xiàn)的，分別為鼠和牛、虎和兔、龍和蛇、馬和羊、猴和雞、狗和豬六對．現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，按照上面的配對分成六組．甲、乙、丙三位同學(xué)依次選一組作為禮物，甲同學(xué)喜歡龍和馬，乙同學(xué)喜歡牛、羊和猴，丙同學(xué)喜歡兔、馬、狗．如果甲、乙、丙三位同學(xué)選取的禮物中均包含自己喜歡的生肖，則不同的選法種數(shù)為________．【答案】12【解析】鼠和牛、虎和兔、龍和蛇、馬和羊、猴和雞、狗和豬六對分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn)，則甲喜歡C，D，乙喜歡A，D，E，丙喜歡B，D，F(xiàn).若甲選C，乙選D，則丙有2種選擇，共2種選法；若甲選C，乙不選D，則乙有2種選擇，丙有3種選擇，共6種選法；若甲選D，則乙、丙各有2種選擇，共4種選法．故共有12種不同的選法．第六章6.26.2.4A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．(2024年長治期中)已知Ceq\o\al(5,n＋1)－Ceq\o\al(6,n)＝Ceq\o\al(5,n)，則n＝()A．11 B．10C．9 D．8【答案】B2．(2024年通州期中)已知一個(gè)三位數(shù)，如果滿足個(gè)位上的數(shù)字和百位上的數(shù)字都小于十位上的數(shù)字，那么我們稱該三位數(shù)為“凸三位數(shù)”，則沒有重復(fù)數(shù)字的“凸三位數(shù)”的個(gè)數(shù)為()A．240 B．204C．176 D．168【答案】B3．(2024年咸陽月考)若Ceq\o\al(m,24)＝Ceq\o\al(m+2,24)，則Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,m)的值為()A．83 B．119C．164 D．219【答案】D4．(2024年南開期末)為豐富同學(xué)們的勞動(dòng)體驗(yàn)，增強(qiáng)勞動(dòng)技能，認(rèn)識到勞動(dòng)最光榮、勞動(dòng)最偉大，高二年級在社會實(shí)踐期間開展“打埂作畦”“移苗定植”“挑水澆園”“插架”四項(xiàng)勞動(dòng)技能比賽項(xiàng)目．某宿舍8名同學(xué)積極參加，若每名同學(xué)必須參加且只能參加1個(gè)項(xiàng)目，且每個(gè)項(xiàng)目至多三人參加，則這8個(gè)人中至多有1人參加“打埂作畦”的不同參加方法數(shù)為()A．2730 B．10080C．20160 D．40320【答案】B【解析】若沒有人參加“打埂作畦”，則有eq\f(Ceq\o\al(3,8)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝1680種不同的方法，若有一人參加“打埂作畦”，則有Ceq\o\al(1,8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＋\f(Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3),Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)))＝8400種不同的方法，所以這8個(gè)人中至多有1人參加“打埂作畦”的不同參加方法數(shù)為1680＋8400＝10080.故選B．5．(2024年滁州期末)一個(gè)大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，則這個(gè)數(shù)為質(zhì)數(shù)(primenumber)，質(zhì)數(shù)又稱素?cái)?shù)，如2，3，5，7等都是素?cái)?shù)．?dāng)?shù)學(xué)上把相差為2的兩個(gè)素?cái)?shù)叫作孿生素?cái)?shù)，如：3和5，5和7，…．如果我們在不超過31的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)是孿生素?cái)?shù)的概率為()A．eq\f(2,9) B．eq\f(2,11)C．eq\f(1,9) D．eq\f(1,11)【答案】D【解析】不超過31的素?cái)?shù)有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共11個(gè)數(shù)，從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)共有Ceq\o\al(2,11)＝55種情況，其中孿生素?cái)?shù)有，3和5，5和7，11和13，17和19，29和31，共有5種情況，由古典概型的概率公式計(jì)算可得概率為eq\f(5,55)＝eq\f(1,11)．故選D．6．(多選)若1<k<n，那么與Ceq\o\al(k,n)相等的是()A．eq\f(k＋1,n＋1)Ceq\o\al(k+1,n＋1) B．eq\f(n,k)Ceq\o\al(k-1,n－1)C．eq\f(n,n－k)Ceq\o\al(k,n－1) D．eq\f(k－1,n－1)Ceq\o\al(k-1,n－1)【答案】ABC【解析】Ceq\o\al(k,n)＝eq\f(n！,(n－k)！k！)，A中，eq\f(k＋1,n＋1)Ceq\o\al(k+1,n＋1)＝eq\f(k＋1,n＋1)·eq\f((n＋1)！,(n－k)！(k＋1)！)＝eq\f(n！,(n－k)！k！).B中，eq\f(n,k)Ceq\o\al(k-1,n－1)＝eq\f(n,k)·eq\f((n－1)！,(n－k)！(k－1)！)＝eq\f(n！,(n－k)！k！).C中，eq\f(n,n－k)Ceq\o\al(k,n－1)＝eq\f(n,n－k)·eq\f((n－1)！,(n－k－1)！k！)＝eq\f(n！,(n－k)！k！).D中，eq\f(k－1,n－1)Ceq\o\al(k-1,n－1)＝eq\f(k－1,n－1)·eq\f((n－1)！,(n－k)！(k－1)！)＝eq\f((n－2)！,(n－k)！(k－2)！)，故不相等．7．(2024年揭陽期中)將ABCDEF六位教師分配到3所學(xué)校，若每所學(xué)校分配2人，其中A，B分配到同一所學(xué)校，則不同的分配方法共有________種．【答案】18【解析】將ABCDEF六位教師分配到3所學(xué)校，每所學(xué)校分配2人，且A，B分配到同一所學(xué)校，先將A，B兩名教師看成一組，再將CDEF平均分為兩組，有eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(2,2))種分法，所以不同的分配方法共有eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(2,2))×Aeq\o\al(3,3)＝18種．8．(2024年武漢期中)若Ceq\o\al(m,19)＝Ceq\o\al(2m-2,19)，則Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,m)的值為________．【答案】69【解析】因?yàn)镃eq\o\al(m,19)＝Ceq\o\al(2m-2,19)，所以m＝2m－2或m＋2m－2＝19，解得m＝2或m＝7，因?yàn)镃eq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,m)，所以m≥3，可得m＝7，所以Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,m)＝Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,7)＝4＋10＋20＋35＝69.9．(2023年福建模擬)福廈高速鐵路于2017年開工建設(shè)，設(shè)計(jì)速度每小時(shí)350千米．為了加快推動(dòng)福廈高速鐵路重點(diǎn)項(xiàng)目進(jìn)展，即西溪特大橋、泉州灣跨海大橋、木蘭溪特大橋3個(gè)控制性工程的建設(shè)，項(xiàng)目監(jiān)管公司決定派出甲、乙等6名經(jīng)理去3個(gè)項(xiàng)目現(xiàn)場考察監(jiān)督，每個(gè)項(xiàng)目現(xiàn)場2名經(jīng)理，每位經(jīng)理只去一個(gè)項(xiàng)目現(xiàn)場，則甲、乙到不同項(xiàng)目現(xiàn)場的不同安排方案共有________種(用數(shù)字作答)．【答案】72【解析】把6人分成3組，共有eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(3,3))＝15(種)不同的分法，其中甲、乙在同一組中有eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(2,2))＝3(種)分法，所以甲、乙不在同一組中有15－3＝12(種)不同的分組，再分派到3個(gè)不同的項(xiàng)目現(xiàn)場，共有12Aeq\o\al(3,3)＝72(種)不同的方案．10．有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給班號分別為1，2，3的3個(gè)班．(1)每班至少1個(gè)名額，有多少種分配方案？(2)每班至少2個(gè)名額，有多少種分配方案？(3)可以允許某些班級沒有名額，有多少種分配方案？解：(1)因?yàn)?0個(gè)名額沒有差別，把它們排成一排，相鄰名額之間形成9個(gè)空，在9個(gè)空中選2個(gè)位置插入“隔板”，可把名額分成3份，對應(yīng)地分給3個(gè)班級，每一種插入隔板的方法對應(yīng)一種分法，共有Ceq\o\al(2,9)＝36(種)分法．(2)要求每班至少2個(gè)名額，可以先從10個(gè)名額中拿出3個(gè)，分別給各班1個(gè)名額，還剩下7個(gè)名額，此時(shí)題目轉(zhuǎn)化為將7個(gè)名額分給3個(gè)班級且每個(gè)班級至少1個(gè)名額，按照解第(1)小問的方法，可得有Ceq\o\al(2,6)＝15(種)分法．(3)增加3個(gè)名額，使得每個(gè)班級至少有1個(gè)名額，此時(shí)問題轉(zhuǎn)化為將13個(gè)名額分給3個(gè)班級且每個(gè)班級至少1個(gè)名額，按照解第(1)小問的方法，可得有Ceq\o\al(2,12)＝66(種)分法．B級——能力提升練11．(2024年棗莊期中)(多選)下列排列組合數(shù)中，正確的是()A．Aeq\o\al(1,4)＋Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(3,4)＋Aeq\o\al(4,4)＝84 B．Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,2023)＝Ceq\o\al(4,2024)C．Aeq\o\al(m,n)＋mAeq\o\al(m-1,n)＝Aeq\o\al(m,n＋1) D．mCeq\o\al(m,n)＝nCeq\o\al(m-1,n－1)【答案】BCD【解析】Aeq\o\al(1,4)＋Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(3,4)＋Aeq\o\al(4,4)＝4＋12＋24＋24＝64，故A錯(cuò)誤；Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,2023)＝Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋…＋Ceq\o\al(3,2023)＝Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,2023)＝Ceq\o\al(4,2024)，故B正確；左邊＝eq\f(n！,(n－m)！)＋m·eq\f(n！,(n－m＋1)！)＝eq\f((n－m＋1)·n！＋m·n！,(n－m＋1)！)＝eq\f((n＋1)！,[(n＋1)－m]！)＝Aeq\o\al(m,n＋1)＝右邊，故C正確；mCeq\o\al(m,n)＝m·eq\f(n！,m！(n－m)！)＝eq\f(n！,(m－1)！(n－m)！)，nCeq\o\al(m-1,n－1)＝n·eq\f((n－1)！,(m－1)！[(n－1)－(m－1)]！)＝eq\f(n·(n－1)！,(m－1)！(n－m)！)＝eq\f(n！,(m－1)！(n－m)！)，故D正確．故選BCD．12．(2024年滄州期中)“漸降數(shù)”是指每一位數(shù)字都比左邊數(shù)字小的正整數(shù)(如7431)，那么四位“漸降數(shù)”有________個(gè)，比6543大的四位“漸降數(shù)”有________個(gè)．【答案】210175【解析】四位“漸降數(shù)”的個(gè)數(shù)就是從0～9這10個(gè)數(shù)中抽取4個(gè)數(shù)的組合數(shù)，即Ceq\o\al(4,10)＝210.因?yàn)樽罡呶粸?的四位“漸降數(shù)”有Ceq\o\al(3,9)個(gè)，最高位為8的四位“漸降數(shù)”有Ceq\o\al(3,8)個(gè)，最高位為7的四位“漸降數(shù)”有Ceq\o\al(3,7)個(gè)，而6543是最高位為6的最大的“漸降數(shù)”，所以比6543大的四位“漸降數(shù)”有Ceq\o\al(3,9)＋Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(3,7)＝175個(gè)．13．已知10件不同產(chǎn)品中有4件是次品，現(xiàn)對它們進(jìn)行一一測試，直至找出所有次品為止．(1)若恰在第5次測試，才測試到第一件次品，第10次測試才找到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？(2)若恰在第5次測試后，就找出了所有4件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？解：(1)先排前4次測試，只能取正品，有Aeq\o\al(4,6)種不同的測試方法，再從4件次品中選2件排在第5和第10的位置上測試，有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝Aeq\o\al(2,4)種測試方法，再排余下4件的測試位置，有Aeq\o\al(4,4)種測試方法．所以不同的測試方法共有Aeq\o\al(4,6)·Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(4,4)＝103680(種).(2)第5次測試恰為最后一件次品，另3件在前4次中出現(xiàn)，從而前4次有一件正品出現(xiàn)，所以不同的測試方法共有Ceq\o\al(1,4)·(Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(3,3))Aeq\o\al(4,4)＝576(種).C級——?jiǎng)?chuàng)新拓展練14．(2024年南通期中)規(guī)定Ceq\o\al(m,x)＝eq\f(x(x－1)…(x－m＋1),m！)，其中x∈R，m是正整數(shù)，且Ceq\o\al(0,x)＝1，這是組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)(n，m是正整數(shù)，且m≤n)的一種推廣．(1)求Ceq\o\al(3,－15)的值．(2)設(shè)x>0，當(dāng)x為何值時(shí)，eq\f(Ceq\o\al(3,x),（Ceq\o\al(1,x)）2)取得最小值？(3)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m-1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)．是否都能推廣到Ceq\o\al(m,x)(x∈R，m是正整數(shù))的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說明理由．解：(1)Ceq\o\al(3,－15)＝eq\f((－15)×(－16)×(－17),3！)＝－680.(2)eq\f(Ceq\o\al(3,x),（Ceq\o\al(1,x)）2)＝eq\f(x(x－1)(x－2),6x2)＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)－3))，∵x>0，∴x＋eq\f(2,x)≥2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(2)時(shí)，取等號，∴當(dāng)x＝eq\r(2)時(shí)，eq\f(Ceq\o\al(3,x),（Ceq\o\al(1,x)）2)取得最小值．(3)性質(zhì)①不能推廣．例如當(dāng)x＝eq\r(2)時(shí)，Ceq\o\al(2,eq\r(2))有意義，但Ceq\o\al(eq\r(2)-2,eq\r(2))無意義．性質(zhì)②能推廣，其推廣形式是Ceq\o\al(m,x)＋Ceq\o\al(m-1,x)＝Ceq\o\al(m,x＋1)，x∈R，m是正整數(shù)．事實(shí)上，當(dāng)m＝1時(shí)，有Ceq\o\al(1,x)＋Ceq\o\al(0,x)＝x＋1＝Ceq\o\al(1,x＋1)，當(dāng)m≥2時(shí)，Ceq\o\al(m,x)＋Ceq\o\al(m-1,x)＝eq\f(x(x－1)…(x－m＋1),m！)＋eq\f(x(x－1)…(x－m＋2),(m－1)！)＝eq\f(x(x－1)…(x－m＋2),(m－1)！)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x－m＋1,m)＋1))＝eq\f(x(x－1)…(x－m＋2)(x＋1),m！)＝Ceq\o\al(m,x＋1)．第六章6.36.3.1A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．設(shè)S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，則S等于()A．x4 B．x4＋1C．(x－2)4 D．x4＋4【答案】A2．設(shè)i為虛數(shù)單位，則(1＋i)6展開式中的第3項(xiàng)為()A．－20i B．15iC．20 D．－15【答案】D3．(2024年晉城月考)若(1＋2x)10＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a10(1＋x)10，則a2＝()A．180 B．－180C．－90 D．90【答案】A4．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,x)))eq\s\up12(n)的展開式中，若常數(shù)項(xiàng)為60，則n等于()A．3 B．6C．9 D．12【答案】B【解析】Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)(eq\r(x))n－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))eq\s\up12(k)＝2kCeq\o\al(k,n)xeq\s\up6(\f(n－3k,2))．令eq\f(n－3k,2)＝0，得n＝3k．根據(jù)題意有2kCeq\o\al(k,3k)＝60，驗(yàn)證知k＝2，故n＝6．5．若(1＋3x)n(n∈N*)的展開式中，第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為6，則第四項(xiàng)的系數(shù)為()A．4 B．27C．36 D．108【答案】D【解析】Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)(3x)k，由Ceq\o\al(2,n)＝6，得n＝4，從而T4＝Ceq\o\al(3,4)·(3x)3，故第4項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(3,4)·33＝108．6．(2024年廣州期中)(多選)中國南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究．設(shè)a，b，m(m>0)為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為a≡b(modm)．若a＝Ceq\o\al(1,20)·2＋Ceq\o\al(2,20)·22＋…＋Ceq\o\al(20,20)·220，a≡b(mod10)，則b的值不可能的是()A．2018 B．2020C．2022 D．2024【答案】ACD【解析】由a＝Ceq\o\al(1,20)·2＋Ceq\o\al(2,20)·22＋…＋Ceq\o\al(20,20)·220，得a＋1＝Ceq\o\al(0,20)＋Ceq\o\al(1,20)·2＋Ceq\o\al(2,20)·22＋…＋Ceq\o\al(20,20)·220＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝Ceq\o\al(0,10)×1010－Ceq\o\al(1,10)×109＋…－Ceq\o\al(9,10)×10＋1，所以a＝Ceq\o\al(0,10)×1010－Ceq\o\al(1,10)×109＋…－Ceq\o\al(9,10)×10＝10(Ceq\o\al(0,10)×109－Ceq\o\al(1,10)×108＋…－Ceq\o\al(9,10))，即a被10除得的余數(shù)為0，結(jié)合選項(xiàng)可知只有2020被10除得的余數(shù)為0，即b的值不可能的是ACD．故選ACD．7.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x2)))eq\s\up12(7)的展開式中倒數(shù)第三項(xiàng)為________．【答案】eq\f(84,x8)【解析】由于n＝7，可知展開式中共有8項(xiàng)，∴倒數(shù)第三項(xiàng)即為第六項(xiàng)，∴T6＝Ceq\o\al(5,7)(2x)2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))eq\s\up12(5)＝Ceq\o\al(5,7)·22eq\f(1,x8)＝eq\f(84,x8).8．(2024年上海松江區(qū)月考)設(shè)(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則當(dāng)a8＝－a9時(shí)，n＝________．【答案】17【解析】(1－x)n展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)1n－r·(－x)r＝Ceq\o\al(r,n)(－1)rxr，則a8＝(－1)8·Ceq\o\al(8,n)，a9＝(－1)9·Ceq\o\al(9,n)，由a8＝－a9，可得(－1)8·Ceq\o\al(8,n)＝－(－1)9·Ceq\o\al(9,n)，即Ceq\o\al(8,n)＝Ceq\o\al(9,n)，所以n＝17．9．(2024年上海青浦區(qū)期中)已知實(shí)數(shù)m>0，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,x)))eq\s\up12(6)的二項(xiàng)展開式中，x2項(xiàng)的系數(shù)是135，則m的值為________．【答案】3【解析】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,x)))eq\s\up12(6)展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)x6-k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)))eq\s\up12(k)＝mkCeq\o\al(k,6)x6-2k，令6－2k＝2，得k＝2，所以x2項(xiàng)的系數(shù)為m2Ceq\o\al(2,6)＝15m2＝135．又m>0，所以m＝3．10．(2024年西安質(zhì)檢)已知5名同學(xué)站成一排，要求甲站正中間，乙不站在兩端，記滿足條件的所有不同的排法種數(shù)為m．(1)求m的值；(2)求二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(1,x)))eq\s\up12(\f(3m,4))的展開式中的常數(shù)項(xiàng)．解：(1)由題意可得m＝Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝12．(2)由(1)可得eq\f(3,4)m＝9，所以二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)(eq