現(xiàn)代控制理論課件：控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析5.1問題引出5.2李雅普諾夫穩(wěn)定性定義5.3李雅普諾夫穩(wěn)定性理論5.4李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用5.5李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用（略講）緒論：控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，通常有兩種定義方式：1、外部穩(wěn)定性：是指系統(tǒng)在零初始條件下通過其外部狀態(tài)，即由系統(tǒng)的輸入和輸出兩者關(guān)系所定義的外部穩(wěn)定性。有界輸入有界輸出穩(wěn)定(BIBO)。2、內(nèi)部穩(wěn)定性：指系統(tǒng)在零輸入條件下通過其內(nèi)部狀態(tài)變化所定義的內(nèi)部穩(wěn)定性。狀態(tài)穩(wěn)定。外部穩(wěn)定性只適用于線性系統(tǒng)，內(nèi)部穩(wěn)定性不但適用于線性系統(tǒng)，而且也適用于非線性系統(tǒng)。對于同一個線性系統(tǒng)，只有在滿足一定的條件下兩種定義才具有等價性。不管哪一種穩(wěn)定性，穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的一種特性，只和系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與輸入－輸出無關(guān)。穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)能否正常工作的前提條件。

為系統(tǒng)被調(diào)量偏離其平衡位置的大小，為任意小的規(guī)定量。穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)表示法：系統(tǒng)在受外界干擾后，系統(tǒng)偏差量（被調(diào)量偏離平衡位置的數(shù)值）過渡過程的收斂性，用數(shù)學(xué)方法表示為：[系統(tǒng)的穩(wěn)定性]：穩(wěn)定性：（古典意義下的穩(wěn)定，李氏下的漸近穩(wěn)定）一個自動控制系統(tǒng)當(dāng)受到外界干擾時，它的平衡狀態(tài)被破壞，但在擾動消除后,它仍有能力自動地回復(fù)到平衡狀態(tài)繼續(xù)工作，系統(tǒng)的這種性能，稱為穩(wěn)定性。第一法（間接法）2）現(xiàn)代控制理論：李雅普諾夫穩(wěn)定性：

第二法（直接法）勞斯—胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)1）古典控制理論：乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)線性定常系統(tǒng)研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法：線性、非線性；定常、時變系統(tǒng)等5.2李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義5.2.1系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動及平衡狀態(tài)1、自治系統(tǒng)：輸入為0的系統(tǒng)。如2、初態(tài)：設(shè)系統(tǒng)在給定初始條件下，有唯一解：，則稱為初態(tài)。3、平衡狀態(tài)：對所有時間t，如果滿足，稱xe為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)或平衡點。穩(wěn)定性針對平衡狀態(tài)而言。3）對任意，總可經(jīng)過一定的坐標(biāo)變換，把它化到坐標(biāo)原點（即零狀態(tài)）。一般將平衡狀態(tài)取為狀態(tài)空間原點。說明：1）對于線性定常系統(tǒng)：

A為非奇異陣時，x=0是其唯一的平衡狀態(tài)。

A為奇異陣時，系統(tǒng)有無窮多個平衡狀態(tài)。2）對于非線性系統(tǒng)，有一個或多個平衡狀態(tài)。如的平衡狀態(tài)有4）孤立平衡狀態(tài)：如果多個平衡狀態(tài)彼此是孤立的，則稱這樣的狀態(tài)為孤立平衡狀態(tài)。單個平衡狀態(tài)也是孤立平衡狀態(tài)。李氏穩(wěn)定幾何表示法：5.2.2李雅普諾夫意義下穩(wěn)定性概念（4種）1、Lyapunov意義下（穩(wěn)定與一致穩(wěn)定）設(shè)為動力學(xué)系統(tǒng)的一個孤立平衡狀態(tài)。如果對球域或任意正實數(shù)，都可以找到另一個正實數(shù)或球域，當(dāng)初始狀態(tài)滿足時，對由此出發(fā)的X的運(yùn)動軌跡有，則稱平衡狀態(tài)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的。如果與初始時刻無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。說明1：表示初始偏差都在以為半徑，以平衡狀態(tài)Xe為中心的球域里。其中表示平衡狀態(tài)偏差都在以為半徑，以平衡狀態(tài)c為中心的球域里說明2：李氏穩(wěn)定性針對平衡狀態(tài)而言，反映的是平衡狀態(tài)臨域的局部穩(wěn)定性，即小范圍穩(wěn)定性。說明3：系統(tǒng)做等幅振蕩時，在平面上描出一條封閉曲線，只要不超過，就是李氏穩(wěn)定的，而古典則認(rèn)為不穩(wěn)定。如果與初始時刻無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)xe為一致漸近穩(wěn)定。設(shè)xe為系統(tǒng)的孤立平衡狀態(tài)，如果它是李氏穩(wěn)定的，且當(dāng)t趨向于無窮大時，有：即收斂于平衡狀態(tài)xe，則稱平衡狀態(tài)xe為漸近穩(wěn)定的。漸近穩(wěn)定幾何表示法：2、漸近穩(wěn)定和一致漸近穩(wěn)定：（自由響應(yīng)有界并回到平衡狀態(tài)）說明：穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定，兩者有很大的不同。對于穩(wěn)定而言，只要求狀態(tài)軌跡永遠(yuǎn)不會跑出球域，至于在球域內(nèi)如何變化不作任何規(guī)定。而對漸近穩(wěn)定，不僅要求狀態(tài)的運(yùn)動軌跡不能跑出球域，而且還要求最終收效或無限趨近平衡狀態(tài)xe。古典的穩(wěn)定性，就是李氏意義下的漸近穩(wěn)定。3、大范圍漸近穩(wěn)定如果對狀態(tài)空間的任意點，不管初始偏差有多大，都有漸近穩(wěn)定特性，即：對所有點都成立，稱平衡狀態(tài)xe為大范圍漸近穩(wěn)定的。其漸近穩(wěn)定的最大范圍是整個狀態(tài)空間。結(jié)論：如果線性定常系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，則它一定是大范圍漸近穩(wěn)定的。必要性：整個狀態(tài)空間中，只有一個平衡狀態(tài)。（假設(shè)有2個平衡狀態(tài)，則每個都有自己的穩(wěn)定范圍，其穩(wěn)定范圍不可能是整個狀態(tài)空間。）4、不穩(wěn)定：（系統(tǒng)的自由響應(yīng)是無界的）如果對于某一實數(shù)，不論取得多么小，由內(nèi)出發(fā)的軌跡，只要有一個軌跡超出，則稱平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的。不穩(wěn)定幾何表示法：說明：雖然不穩(wěn)定的軌跡超出了，但并不一定趨向于無窮遠(yuǎn)處，有可能趨向于外的某個極限環(huán)。[本節(jié)小結(jié)]：1、平衡狀態(tài)定義、求法2、李氏穩(wěn)定性概念1）穩(wěn)定、一致穩(wěn)定。2）漸近穩(wěn)定、一致漸近穩(wěn)定、大范圍漸近穩(wěn)定。3）不穩(wěn)定。5.3李雅普諾夫穩(wěn)定性理論李雅普諾夫第一法李雅普諾夫第二法4.2.1線性系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)1、內(nèi)部穩(wěn)定性定義及判據(jù)（狀態(tài)穩(wěn)定性）線性定常連續(xù)系統(tǒng)，平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定(李氏穩(wěn)定)的充分必要條件為：A陣的所有特征值全為負(fù)實數(shù)或具有負(fù)實部的共軛復(fù)根。等同于特征方程的根全部位于s平面的左半部。也叫系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性，或稱系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性。[例4.1]

設(shè)系統(tǒng)方程為：

試確定其內(nèi)部穩(wěn)定性。[解]求系統(tǒng)的特征方程：系統(tǒng)不是內(nèi)部穩(wěn)定的。2、外部穩(wěn)定性定義及判據(jù)（輸出穩(wěn)定、BIBO穩(wěn)定）定義：如果線性系統(tǒng)在有界的輸入量或干擾量作用下，引起的輸出量的幅值是有界的，即有界輸入引起的零狀態(tài)響應(yīng)是有界的，則稱系統(tǒng)是有界輸入－有界輸出（Bouned-Input-Bounded-Output）穩(wěn)定的。否則，如果系統(tǒng)在有界輸入作用下，產(chǎn)生無界輸出，則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。說明：2、盡管在定義時提到了輸入和擾動作用，但對線性定常系統(tǒng)來說，系統(tǒng)穩(wěn)定與否完全取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的一種特性，而與輸入作用無關(guān)。輸入量不影響輸出量的瞬態(tài)項，只影響輸出量的穩(wěn)態(tài)項。線性定常連續(xù)系統(tǒng)輸出穩(wěn)定的充要條件是其傳遞函數(shù)的極點都在s的左半平面。否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的（在此，虛軸上的臨界穩(wěn)定，對應(yīng)等幅周期振蕩，控制工程上認(rèn)為是不穩(wěn)定的）。外部穩(wěn)定性或輸出穩(wěn)定性判據(jù)：穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定S平面圖解表示：[解]

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：極點位于s左半平面，s=2的極點被對消掉了。系統(tǒng)是有界輸入有界輸出穩(wěn)定的。[例4.2]

設(shè)系統(tǒng)方程為：

試確定其外部穩(wěn)定性。5.4李雅普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應(yīng)用設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，則平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是：A的特征根均具有負(fù)實部。命題4.1

矩陣的所有特征根均具有負(fù)實部，即，等價于存在對稱矩陣，使得。（證明見課本P170）5.4.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)討論：選擇二次型函數(shù)為李氏函數(shù)。目的：將李氏第二法定理來分析線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性負(fù)定正定由上一節(jié)討論的定理4.4知道系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，故有以下定理：且標(biāo)量函數(shù)就是系統(tǒng)的一個李氏函數(shù)。定理4.8：線性連續(xù)定常系統(tǒng)：在平衡狀態(tài)處漸近穩(wěn)定的充要條件是：給定一個正定對稱矩陣Q，存在一個正定實對稱矩陣P，使?jié)M足：1）因為正定對稱矩陣Q的形式可任意給定，且最終判斷結(jié)果和Q的不同形式選擇無關(guān)，所以通常取。2）該定理闡述的條件，是充分且必要的。說明：3）如果除了在時有外，

不恒等于零,則由上一節(jié)定理4.6可知，Q可取做半正定。為計算簡單，此時Q可取作如下矩陣：是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，選取由，有[解]：1）選取故系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。[例4.6]系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。所以2）判斷P的符號性正定。[例4.7]

用李氏第二法，求使下列系統(tǒng)穩(wěn)定的k值。

[解]：1、寫出狀態(tài)空間表達(dá)式

狀態(tài)空間描述為：2、用李氏第二法判穩(wěn)（令u=0）1）Q能不能取做半正定？2）計算使實對稱矩陣P為正定的k值范圍由定理4.8得：注意：P為正定實對稱矩陣。解得：根據(jù)希爾維斯特法則：如果P正定，則12-2k>0，且k>0

所以系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍為0<k<65.4.2線性時變連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)（自學(xué)）令，則由漸近穩(wěn)定性定理4.4，只要正定(即負(fù)定)，則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。定理4.9

線性時變系統(tǒng)在平衡點處大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是：對于任意給定的連續(xù)對稱正定矩陣Q(t)，必存在一個連續(xù)對稱正定矩陣P(t)，滿足黎卡提(Riccati)矩陣微分方程則系統(tǒng)的李氏函數(shù)為。設(shè)線性連續(xù)時變系統(tǒng)為，為非奇異矩陣，則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為。選取正定二次型函數(shù)為李氏函數(shù)，其中為正定實對稱矩陣，將代入，有5.4.3線性定常離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)（自學(xué)）令，則由漸近穩(wěn)定性定理4.4，只要正定(即負(fù)定)，則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。設(shè)線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為，則平衡狀態(tài)處漸近穩(wěn)定的充要條件為：G的特征根均在單位開圓盤內(nèi)。設(shè)線性定常離散時間系統(tǒng)為，G為非奇異常矩陣，則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為。選取正定二次型函數(shù)為李氏函數(shù)，其中P為正定實對稱矩陣，將代入，有[例4.8]線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，試判別其穩(wěn)定性。解：令，故原點是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。為簡單起見，可以令Q陣為單位矩陣I，則，即

因為，即各階主子式均大于零，可見，P為正定的矩陣，故原點為漸近穩(wěn)定的。定理4.10

線性離散系統(tǒng)在平衡點處漸近穩(wěn)定的充要條件是：對于任意給定的連續(xù)對稱正定矩陣Q，必存在一個連續(xù)對稱正定矩陣P，滿足。則系統(tǒng)的李氏函數(shù)為。5.4.4線性時變離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定判據(jù)（自學(xué)）設(shè)線性時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：，為非奇異矩陣，則平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件是：對于任意給定的正定實對稱矩陣，必存在一個正定的實對稱矩陣，使得：成立。并且是系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。[本節(jié)小結(jié)]：1、李氏第二法判穩(wěn)定理4.6：

注意：Q取做正定；，Q可取半正定。2、李氏第二法判穩(wěn)過程：1）寫出狀態(tài)空間描述；2）選定正定或半正定Q陣。3）由以下公式得到使P陣為正定實對稱陣的P元素滿足的條件。5.5李雅普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應(yīng)用（略講）5.5.1雅可比矩陣法(又稱克拉索夫斯基法)其中，設(shè)非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為：設(shè)是平衡狀態(tài)，f(x)對x可微，選取正定二次型函數(shù)，其中P為正定實對稱矩陣，將代入，有式中，稱為雅克比矩陣。令，則。由漸近穩(wěn)定性定理4.4，只要正定(即負(fù)定)