七年級下冊數(shù)學(xué)第五章第3節(jié)《平行線的性質(zhì)》提高訓(xùn)練題(含答案解析)

七年級下冊數(shù)學(xué)第五章第3節(jié)《平行線的性質(zhì)》提高訓(xùn)練題（35）

一、單選題

1.下列說法中，正確的個數(shù)有（）

①過兩點有且只有一條直線；②連接兩點的線段叫做兩點間的距離；③兩點之間，線段最短；④若

ZA0C=2ZB0C,則OB是NAOC的平分線.

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.如圖所示，在ABC中，點D、E、F分別是AB,BC,AC上，且EF〃AB,要使DF〃BC,還

需添加條件是（）

A.Z1=Z2B.Z1=Z3C.N3=N4D.Z2=Z4

3,下列命題中，是假命題的是（）

A.對頂角相等B.等腰三角形的兩底角相等

C.兩宜線平行，同旁內(nèi)角相等D.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

4.以下說法塔送的是（）

A.兩直線平行，內(nèi)錯角相等B.兩直線平行，同旁內(nèi)角相等

C.同位角相等，兩直線平行D.對頂角相等

二、解答題

5.真假命題的思考.

一天，老師在黑板上寫下了下列三個命題：

①垂直于同一條直線的兩條直線平行；

②若a[=b2，則。=b

③若Na和〃的兩邊所在直線分別平行，則=

小明和小麗對話如下，

小明：“命題①是真命題，好像可以證明

小麗：“命題①是假命題，好像少了一些條件

U）結(jié)合小明和小麗的對話，談?wù)勀愕挠^點.如果你認(rèn)為是真命題，請證明：如果你認(rèn)為是假命題,

請增加一個適當(dāng)?shù)臈l件，使之成真命題.

(2)請在命題②、命題③中選一個，如果你認(rèn)為它是真命題，請證明：如果你認(rèn)為它是假命題,

請舉出反例.

6.如圖，已知A3〃C￡>,AB!/EG.

(1)求證：ZBEDZB+AD=360°.

(2)若NO=145。，EF平分NBED，NGEF=20。,求DB.

7.先填空，再完成證明，

證明：平行于同一條直線的兩條直線平行，

已知：如圖，直線a、b、c中，

求證：.

證明：

8.(1)如圖1,AB〃CD,ZA=38°,ZC=50°,求NAPC的度數(shù).(提示：作PE〃AB).

(2)如圖2,AB〃DC,當(dāng)點P在線段BD上運動時，ZBAP=Za,ZDCP=Zp,求NCPA與Na,

NB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)在(2)的條件下，如果點P在段線OB上運動，請你直接寫出NCPA與Na,之間的數(shù)

(2)若AQ平分NE4C,交直線于點。，且NQ=15。，求NAC。的度數(shù).

10.如圖，在AABC中，CD±AB,EF±AB,垂足分別為D、F.

(1)若N1=N2,試說明DG〃BC.

(2)若CD平分NACB,ZA=60°,求NB的度數(shù).

11.已知，2MBe，點E是直線AC上一個動點(不與AC重合)，點尸是8C邊上一個定點，過

點E作DE//BC,交直線A8于點Z),連接8石，過點、F作FG〃BE,交直線AC于點G.

(1)如圖①，當(dāng)點E在線段AC上時，求證：/DEB=/GFC.

圖①

(2)在(1)的條件下，判斷"EC、NEGF、N3FG這三個角的度數(shù)和是否為一個定值？如果是,

求出這個值，如果不是，說明理由.

(3)如圖②，當(dāng)點E在線段AC的延長線上時，(2)中的結(jié)論是否仍然戌立？如果不成立，請直

接寫出N￡)￡C、/EGF、N8尸G之間的關(guān)系.

(4))當(dāng)點E在線段C4的延長線上時，(2》中的結(jié)論是否仍然成立？如果不成立，請直接寫出

ZDEC、/EGF、ZBFG之間的關(guān)系.

圖②

12.如圖，點0在直線AB上，OC±OD,ZEDO與N1互余.

⑴求證：ED//AB；

（2）0F平分NCOD交DE于點F,若NOFD=70。，補全圖形，并求N1的度數(shù).

13.完成下面的證明：

已知：如圖，點D,E,F分別在線段AB,BC,AC上，連接DE、EF,DM平分NADE交EF

于點M,Zl+Z2=180°.求證：ZB=ZBED.

證明：???N1+N2=18O。（已知）,

又??.21+/3石"=180。（平角定義）,

：,N2=NBEM(),

：.DM//().

AZADM=ZB(),

ZMDE=ZBED().

又?：DM平分NADE(已知)，

??.ZADM=NMDE(角平分線定義).

：,4B=NBED().

14.Zl+Z2=180°,NDAE=NBCF,DA平分NBDF.

(1)AE與FC會平行嗎？說明理由.

(2)AD與BC的位置關(guān)系如何？為什么？

(3)BC平分NDBE嗎？為什么？

(1)試判斷直線AE與BF有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若Nl=80。,求N3的度數(shù).

16.如圖，EF/7AD,Z1=Z2,ZAGD=105°,求/BAC的度數(shù).

17.如圖，在△ABC中，CD±AB,垂足為D,點E在BC上，EF±AB,垂足為F,Z1=Z2.

(2)若/B=54。，ZACD=35°,求N3的度數(shù).

18.如圖，已知AB〃CD,分別探究下面三個圖形中NP和NA,NC的關(guān)系，請你從所得三個關(guān)

系中任意選出一個，說明你探究結(jié)論的正確性.

結(jié)論：(1)________________

19.如圖1,直線G”分別交A5,CD于點E,尸(點尸在點石的右側(cè))，若/1+/2=180°

(1)求證:AB//C。；

(2)如圖2所示，點M、N在AB,CD之間,且位于E,尸的異側(cè)，連MN,若2NM=3NN,

則NA￡M,NNFQ,NN三個角之間存在何種數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

H

圖2

(3)如圖3所示，點M在線段砂上，點N在直線C。的下方，點2是直線A3上一點(在E的

左側(cè)），連接MP,PN,NF，若/MPN=2NMPB,/NFH=2N"FD,則請直接寫出4PMH與

/N之間的數(shù)量

AB

D

圖3

20.如圖，在三角形ABC中，NA=20°,點。是A8上一點，點E是三角形外上一點，且

/4CE=20°,點尸為線段。。上一點，連接所，且EF//BC.

(1)若NB=70°，求N8CE的度數(shù)；

(2)若/E=2/DCE,2/BCD=3/DCE,求D8的度數(shù)

21.學(xué)著說理由：如圖NB=NC,AB〃EF,試說明：ZBGF=ZC

???AB〃CD()

又?；AB〃EF()

??.EF〃CD()

；.NBGF=NC()

22.探究：如圖1,直線AB、BC、AC兩兩相交，交點分別為點4、B、C,點。在線段上，

試點、D作DE//BC交AC于點E,過點E作EF//AB交BC于點F.若NA5C=6O。，求NDEF

的度數(shù).請將卜面的解答過程補充完整，并填空

解：?：DE//BC，：?NDEF=.（）

-：EF//AB,A=ZABC（）

：.ZDEF=ZABC.（等量代換）

VZABC=60%???ZD￡F=°.

應(yīng)用：如圖2,直線AB、BC、AC兩兩相交，交點分別為點A、B、C,點。在線段AB的延長

線上，過點D作DE//BC交AC于點E,過點E作EF//AB交BC于點F.若NA3C=60。，求

NDE/的度數(shù)，并仿照（1）進行說明.

23.如圖，DE上EBF點E，4\=/C,DE//BC,試說明N2與NC互為余角.

24.如圖，NA=NF,ZC=ZD.求證：(1)ZD=ZI；(2)BD//CE.

25.如圖，GE分別與AB,CO相交于七，G兩點,過七點的直線E4與CO相交于點F.若

Z1=Z2=Z3=55°.

（1）AB與CD平行（填“一定”或“不一定”或‘一定不"）；

（2）求N4的度數(shù).

B

26.命題“如果PQ和A/N分別與48,CD相交于E,尸及G,H,且N1=N2,那么N3+N4=180?！?/p>

是真命題嗎？利用下圖說明理由.

27.填空：如圖，AO_LBC于點D,EFJ_BC于點E,N1=N2,ZBAC=70°,求NAGZ)的

度數(shù).

解：,：ADLBC,EFLBC(已知)

/.ZADC=90°Z/^C=90°(

AZADC=ZFEC()

/.()//()()

JN1=()()

vZ1=Z2()

AZ2=ZDAC()

???()//()()

??.ZAGO+NBAC=180。()

VZBAC=70°()

/.ZAGD=180°-()=()(等式性質(zhì))

28.已知，NAO8=90'，點。在射線。4上，CD//OE.

（1）如圖1，若NOC￡>=120°，求NBOE的度數(shù);

（2）把“乙403=900°”改為“440已=120°”，射線OE沿射線。8平移，得到。￡,其它條件

不變（如圖2所示），探究NOCDNBO'E的數(shù)量關(guān)系；

（3）在（2）的條件下，作PO'_LOB,垂足為O',與ZOCD的角平分線。尸交于點尸，若

ZBO,E=a,用含a的式子表示NCPO'（直接寫出答案）.

29.如圖，四邊形A3CD中，點E,F別在AD,BC上,G在AB延長線上，若ZD+ZGBC=180°,

AD//RC,EF//DC.求證：AR//FF.

30.如圖，AD//BC,ZA=ZC.求證：AB//DC.

31.如圖，已知AM//5N,NA=60,點尸是射線40上一動點（與點4不重合），BC、BD分別

平分NA8P和NPBN,分別交射線AM于點C、D.

（l）ZCBD=

⑵若點P運動到某處時，恰有NAC8=NA5￡）,此時AB與有何位置關(guān)系?請說明理由.

（3）在點尸運動的過程中，NAm與NADB之間的關(guān)系是否發(fā)生變化?若不變，請寫出它們的關(guān)系

并說明理由；若變化，請寫出變化規(guī)律.

32.如圖，AB//CD,定點E,r分別在直線4B,CD±,平行線AB,CD之間有一動點P.

(1)如圖1,當(dāng)P點在EF的左側(cè)時，NAEP,NEPF,NP”?滿足數(shù)量關(guān)系為,如圖

2,當(dāng)P點在所的右側(cè)時，NAEP,NEPF,NPFC滿足數(shù)量關(guān)系為

(2)如圖3,當(dāng)NEP/=90。，F(xiàn)P平分NEFC時,求證：E尸平分NAEE

(3)如圖4,QE,。尸分別平分NPE8和NPFZ),且點尸在E尸左側(cè).

①若/EP產(chǎn)=60°,則/￡Q/=

②猜想NEP尸與NEQ尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

33.如圖，三角形A8C中，。是A8上一點，E是AC上一點，N3=NC,Z1=Z2.

(1)判斷48、E尸的位置關(guān)系，試說明理由；

(2)已知N8=55。，求NDE尸的度數(shù).

34.如圖，已知NA=NC,EF//DB.說明NAM=ND的理由.

A

D

解：VZA=ZC（已知），

:.________//________（）

:.ND=NB（）

VEF//DB（）,

/.ZA￡F=ZB（）

VZD=ZB（己證），

AZAEF=ZD（）.

35.問題情境：如圖1,AB\\CDtNPA8=130°，ZPCD=120°.求ZAPC度數(shù).

小明的思路是：如圖2,過P作PE||AB,通過平行線性質(zhì)，可得zL4PC=50+60=110.

備用圖

問題遷移：

(1)如圖3,AD\\BC,點p在先線OM上運動，當(dāng)點尸在A、B兩點之間運動時，

ZADP=Za,4BCP=".NCPD、Na、N#之間有何數(shù)量關(guān)系?請說明理由；

(2)在(1)的條件下，如果點P在A、8兩點外側(cè)運動時(點P與點A、B、0

三點不重合)，請你直接寫出NCPD、4a、邛間的數(shù)量關(guān)系.

36.請在橫線上和括號內(nèi)填上推導(dǎo)內(nèi)容或依據(jù).

如圖，已知N1+N2=18O，Z3=ZB，求證：ZEDG=ZDGB.

證明：?.?N1+N2=18O(已知),

Zl+ZDFE=180()，

.\Z2=().

EF//AB().

Z3=ZADE().

VZ3=ZB(已知)，

:.ZB=ZADE().

,DE//BC().

,Z.EDG=NDGB().

37.(1)如圖，E是直線AB,CO內(nèi)部一點，AB//CD,連接E4,ED.

①當(dāng)NA=30。，ZD=40°,則44ED=°；

②猜想圖］中NAED、NA、ND的關(guān)系：

（2）如圖，射線在與平行四邊形ABC。的邊48交于點E,與邊CO交于點尸.圖2中。,力分

別是被射線在隔開的2個區(qū)域（不含邊界），P是位于以上兩個區(qū)域內(nèi)的一點，猜想NPEB，

NPFC,NEP/的關(guān)系（不要求說明理由）

B

ZPEB，/PFC,N砂廠的關(guān)系為:.

(3)如圖，AB//CD,己知NE+NG=a,/B=/3,NF+ND=.(用含有a、

少的代數(shù)式表示)

38.如圖1,AB//CD,在AB、CD自有一條折線EPF.

(1)求證：/AEP+/CFP=ZEPF.

⑵如圖2,已知—BEP的平分線與NDFP的平分線相交于點Q,試探索NEPF與/EQF之間

的關(guān)系：

(3)如圖3,已知NBEQ:,/BEP,NDFQ=』/DFP,則NP與NQ有什么關(guān)系，請說明

33

理由.

39.如圖，已知/E=4，NBAG+/AGD=180。

(1)求證：/1=/2；

(2)求證：/3=/4.

2

GD

40.如圖，已知AB//CD,AC平分/DAB，且/DCA=28°,NB=96°.

(1)求/DCE的度數(shù)；

(2)求N，D的度數(shù).

41.問題情境：如圖1,AB//CD,ZE4B=13O%ZPCD=120%求乙4PC的度數(shù).

小明的思路是：如圖2,過p作尸通過平行線性質(zhì)，可得NAPC=

問題遷移：如圖3,AD//BC,點尸在射線OM上運動，ZADP=Na,4BCP=“.

(1)當(dāng)點尸在A、8兩點之間運動時，NCPD、N。、〃之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

(2)如果點尸在A、8兩點外側(cè)運動時(點尸與點A、8、。三點不重合)，請你直接寫出NC尸。、

N。、”之間有何數(shù)量關(guān)系.

42.如圖，直線A3、CD、E尸被直線G"所截，已知A3〃C￡),Zl+Z2=180°,CD與EF

平行嗎？請說明理由.

43.如圖，已知：AB//CD,N1=N2,試說明：ZB=/C.

E

AB

D

解：因為N1=N2（已知）,

Z1=Z4（）,

所以/=Z____（等量代換），

得CE〃BF（）,

所以/=乙______（兩直線平行，同位角相等）.

由（己知）

得N3=4（）.

所以NB=NC（）.

44.如圖，已知：ABVBC,BC1CD,且N1=N2,試說明:BE//CF.

解：因為BCA.CD（）

所以ZA8C=。，/=90°（）

即N1+NEBC=9O。，Z2+ZFCZ）=90°

又因為N1=N2（已知）

所以/EBC=/FCD（）

所以H（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

45.作圖并寫出結(jié)論：如圖，直線CD與直線A8相交于點C,根據(jù)下列語句畫圖.

D

?P

(1)過點尸作尸?！–O,交AB于點、Q；

(2)過點尸作?RJ_CO,垂足為R；

(3)若NZ)C8=135。，則NP。。是多少度？請說明理由.

46.(1)請根據(jù)所給圖形回答下列問題：若N￡>EC+NAC8=180。，可以得到哪兩條線段平行？為什

么？

(2)在(1)中的結(jié)論下，如果/1=N2,CO_L4B,寫出FG與AB的位置關(guān)系；并給予證明.

下面是小明同學(xué)不完整的解答過程，請補充完整.

解：⑴,().

(2)；證明:

47.已知E、。分別在AAOB的邊。1、。3上,。為平面內(nèi)一點，DE、。戶分別是ZCDO、ZCDB

(2)如圖2,若點。在NAO8的內(nèi)部，且NDEO=NDEC,請猜想NDCE、ZAEC>/CDB

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)若點。在NAOB的外部，且NDEO=/DEC,請根據(jù)圖3、圖4直接寫出結(jié)果出NDCE、

NAEC、NCD8之間的數(shù)量關(guān)系.

三、填空題

48.如圖，已知直線A3〃CO,EF平分NCEB,若Nl=40。，則N2的度數(shù)為'

49.如圖，AB〃CD,一副三角尺按如圖所示放置，NAEG=20度，則NGFH為度.

50.如圖，直線a和b被直線c所截，Z1=11O°,當(dāng)N2=時，直線a〃b成立

51.如圖，AB/7CD,直線1交AB于點E,交CD于點F,若N2=80。，則N1等于

52.如圖，直線/分別與A3,8相交，若N1=5O。，則N2的度數(shù)為'

53.命題“如果a+b=O,那么小b互為相反數(shù)”的條件為

54.為了增強學(xué)生體質(zhì)，某學(xué)校將“抖空竹”引陽光體育一小時活動，圖1是一位同學(xué)抖空竹時的一

個瞬間，小明把它抽象成圖2的數(shù)學(xué)問題：已知48//。。,/￡48=80。,/E8=110。，則ZE的

度數(shù)是,

D

B

圖2

55.如圖，直線AB,CD交于點O,OF上AB于點O,CE//AB交CD于點C,ZDOF=60°,則/ECO

等于.度.

56.在數(shù)學(xué)課上，王老師拿出一張如圖1所示的長方形A4紙（對邊A8//CD,AD//3C,四個

角都是直角），要求同學(xué)們用直尺和量角器在AB邊上找一點E,使NAEC=150°.

（1）甲同學(xué)的做法：在48邊上任取一點E，以E為頂點，以4E為一邊，用量角器作150°角,

使另外一邊經(jīng)過點C,則NAEC即為所求.

（2）乙同學(xué)的做法：以CD為始邊,在長方形的內(nèi)部，利用量角器作NDCE=30°,射線b與

AB交于點E,則如圖2所示NAEC即為所求.

你支持同學(xué)的做法，作圖依據(jù)是.

57.一副三角尺按如圖所示疊放在一起，其中點叢。重合，若固定三角形A03,將三角形4co

繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一周，共有次出現(xiàn)三角形ACO的一邊與三角形AOB的某一邊平行.

58.如圖，直線A3、C。被直線E尸所截，AB//CD,Nl=65。，則N2=度.

59.如圖，AD//BC,￡是線段AO上任意一點，庭與AC相交于點0,若AABC的面積是5,

△EOC的面積是I,則M0C的面積是.

60.如圖，直線。、力被直線/所截，a//b,Zl=（2x-ll）°,Z2=（3x+16）°,則N2=

【答案與解析】

1.B

【解析】

分析命題的正誤，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案.

①是直線的公理，故正確；

②連接兩點的線段的長度叫兩點的距離，故錯誤；

③是線段的性質(zhì)，故正確；

④若0B在NAOC內(nèi)部，即為NAOC的平分線，若在NAOC外部則不是，故錯誤.

故選：B

本題考查的是平面圖形的基本概念或定理，判斷命題的對錯關(guān)鍵是要熟練掌握教材中的定義.

2.B

【解析】

根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行同位角相等，得出N1=N2,再利用要使DF〃BC,找出符合要求

的答案即可.

解：VEF/7AB,

??.N1=N2（兩直線平行，同位角相等），

要使DF〃BC,只要N3=N2就行，

VZ1=Z2,

???還需要添加條件N1=N3即可得至Ij/3=N2（等量替換），

故選B.

此題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定、等量替換原則，根據(jù)已知找出符合要求的答案，是比較典型

的開放題型.

3.C

【解析】

根據(jù)命題的真假性逐一判斷即可得出答案.

A：對頂角相等，故本選項是真命題，不符合題意；

B：等腰三角形的兩底角相等，故本選項是真命題，不符合題意；

C：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，故本選項是假命題，符合題意：

D：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故本選項是真命題，不符合題意；

故選：C.

本題主要考查了真假命題的判斷，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.

4.B

【解析】

根據(jù)平行線的性質(zhì)可得A正確；根據(jù)相交直線所構(gòu)成的角的關(guān)系可得B縉誤；根據(jù)平行線的判定

可得C說法正確；根據(jù)對頂角的性質(zhì)即可判定D正確；

解：A、兩條直線平行，內(nèi)錯角相等，說法正確，故此選項不合題意；

B、兩直線平行，同旁內(nèi)角相等說法錯誤，故此選項符合題意；

C、同位角相等，兩直線平行，說法正確，故此選項不合題意：

D、對頂角相等，故此選項不合題意；

故選：B.

此題考查平行線的性質(zhì)和判定，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

S.(1)見解析(2)見解析

【解析】

是假命題，②是假命題，③是假命題；

解：(1)命題①為假命題，可增加“在同一平面內(nèi)”這一條件，可使該命題成為真命題，

即：在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行；

(2)命題②為假命題，舉反例如下：當(dāng)〃=1,6=一1時，Y=6=1，但用b.

命題③為假命題，舉反例如下：

Na和”的兩邊所在直線分別平行，如圖Na+N〃=180。，但Na。//?.

本題考查了命題的相關(guān)知識；熟練掌握命題的定義及涉及到的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵

6.(1)見解析(2)105°

【解析】

(1)由平行公理的推論可得AB//EG//C。，由平行線的性質(zhì)可求解；

(2)由角的數(shù)量關(guān)系可得NZ)b=55。，由角平分線的性質(zhì)可得N8ED=U0。，即可求D3的度

數(shù).

(1)證明：AB//CD,AB//EG,

??.CDIIEG.

??.ZD+ZDEG=180°.

?；AB//EG，

???ZB+ZBEG=180°.

??.NB+ND+NDEG+NBEG=360。

即NB+ND+NBED=360°.

(2)由(1)可知NO+NDEG=180。.

??.ZDEG=180°-ZD=180°-145°=35°.

NGEF=20。,

??.ZDEF=ZDEG+ZGEF=35°-20°=55°.

VEF平分/BED,

???ABED=2^DEF=2x55°=110°.

由(1)可知4+Nn+NKEC=360°,

???ZB=360°-ZD-ZBED=360°-145°-110°=105°.

本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練運用平行線的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

7.見解析

【解析】

寫出已知，求證，利用平行線的判定定理證明即可.

己知：如圖，直線a、b、c中，bllayclla.

求證：h/1c.

證明：作直線a、b、c的截線DF,交點分別為D、E、F,

blIa,

???Z1=Z2.

又?:c//a,

???N1=N3.

:.N2=N3.

b//c.

本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型.

8.(1)88°(2)ZAPC=Za+Zp,理由見解析(3)ZAPC=Zp-Za

【解析】

(1)過點P作PE〃AB,通過平行線性質(zhì)來求NAPC.

(2)過P作PE〃AD交AC于E,推出AB〃PE〃DC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出Na=NAPE,Zp

=NCPE,即可得出答案；

(3)若P在段線OB上，畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出Na=NAPE,Zp=ZCPE,依據(jù)角

的和差關(guān)系即可得出答案.

(1)如圖1,過P作PE〃AB,

?：AB〃CD,

???PE〃AB〃CD,

AZA=ZAPE,ZC=ZCPE,

VZA=3R°,ZC=50°,

.?.NAPE=38°,ZCPE=50°,

??.NAPC=NAPE+NCPE=380+50'=88°；

(2)ZAPC=Za+Zp,

理由是：如圖2,過P作PE〃AB,交AC于E,

VAB//CD,

???AB〃PE〃CD,

??.NAPE=NPAB=Na,ZCPE=ZPCD=Zp,

??.NAPC=NAPE+NCPE=Na+Zp；

(3)如圖3,過P作PE〃AB,交AC于E,

?；AB〃CD,

??,AB〃PE〃CD,

.e.ZPAB=ZAPE=Za,ZPCD=ZCPE=Zp,

VZAPC=ZCPE-ZAPE,

.*.ZAPC=ZP-Za.

故答案為：ZAPC=Zp-Za.

本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時注意：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；作平行線構(gòu)造內(nèi)錯角是解

決問題的關(guān)鍵.

9.(1)50；(2)100°

【解析】

(1)根據(jù)A尸〃OE可知NAFG=NE,再根據(jù)8C〃GE即可求得NAFG=N1=50。,

(2)先根據(jù)三角形內(nèi)角和求出NDHQ,再根據(jù)Ab〃OE求出NFAH,根據(jù)角平分線可知NCAQ,

再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出NACQ.

解：⑴?:AFHDE,

???NAFG=NE,

vBC//GE,

AZE=Z1,

又Nl=50。，

.,.ZAFG=Zl=50°.

(2)解：在A/7。。中

??N1+NQ+NO〃Q=180。，NQ=15。，Zl=50°,

??.ZD/7Q=180°-Ze-Zl=180°-15°-50°=115°；

ZAEE與/DHQ為對頂角，

:.ZAHE=ZD//2=115°,

?/AF//EH,

??.NE4Q+NA”E=180。，

???ZMG=65O；

VA。平分NE4C,

Q

??.ZCAQ=ZFAQ=65t

??.Z/lCe=180o-ZC4Q-ZQ=180o-65o-15o=100o.

本題考查的平行線的性質(zhì)，用到的知識點為：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；

兩直線平行，同旁內(nèi)角互補等.

10.(1)證明見解析；(2)ZB=60°.

【解析】

(1)根據(jù)垂直于同一條直線的兩更線平行，先判定EF〃CD,根據(jù)兩直線平行同位角相等，得N1

=ZBCD；根據(jù)等量代換可得NDCB=N2,從而根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行得證；

(2)根據(jù)CD_LAB得出NADC的度數(shù)，從而求出NACD的度數(shù)，再根據(jù)CD平分NACB,進而

求出/ACR的度數(shù)，再根據(jù)二角形內(nèi)角和定理，可得/R的度數(shù)，.

(1)VCD±AB,EF±AB

AZEFB=90°,ZCDB=90°

/.ZEFB=ZCDB

??.EF〃CD

.*.Z1=ZBCD

VZI=Z2

Z2=ZBCD

ADG/7BC

(2)VCD1AB,

??.ZCDA=9O°,

VZA=60°,

:.ZACD=3O°,

??CD平分NACB,

.*.ZACD=—ZACB,

2

???ZACB=60°,

ZA=60°,

.?.ZB=180°-ZACB-ZA=60°.

本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系，由平行關(guān)系來尋找

角的數(shù)量關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

11.(1)證明詳見解析：(2)Z￡>ECNEGF、N8FG這三個角的度數(shù)和為一個定值，是360°，

證明詳見解析；(3)成立；(4)不成立，正確結(jié)論為：ZEGF-ZDEC+ZBFG=180°

【解析】

(1)根據(jù)兩條直線平行，內(nèi)錯角相等，得出NDEB=NEBC；兩條直線平行，同位角相等，得

出NEBC=ZGFC，即可證明NDEB=4GFC.

(2)過點G作//G//OE交BE于點H,根據(jù)平行線性質(zhì)定理，NDEC+NEGH=180"

ZHGF+ZBFG=180^即可得到答案.

(3)過點G作"G〃￡)￡,交BE于點H,得到NOEC+NEG"=180°，因為OE〃5C,所以

HG//BC,得到N/7G尸+NB/G=180°，即可求解.

(4)過點、G作HG//DE,交BE于點H,得NDEC=NEGH,因為。石〃8C,所以HG//BC,

推得NHGF+NBFG=180。，即可求解.

(1)VDE//BC

：,ZDEB=/EBC

VFG//BE

???4EBC=4GFC

??./DEB=NGFC

(2)NDEC、/EGF、這三個角的度數(shù)和為一個定值，是360°

過點G作HG//DE,交BE于點H

:./DEC+NEGH=180"

DE//BC

/.HG//BC

ZWGF+ZBFG=180°

:，/DEC+NEGH+/HGF+/BFG=360°

即ZDEC+NEGF+ABFG=360

E

n

(3)過點G作〃G〃OE,交BE于點H

AZDEC+ZEGH=\S(f

?:DE//BC

???HG/IBC

：?ZHGF+ZBFG=\80r

???/DEC+NEGH+4HGF+NBFG=360°

即/DEC+NEGF+NBFG=360°

圖②

故NOEC+NEG尸+N3FG=360°的關(guān)系仍成立

(4)過點G作HG〃。后，交BE于點H

???ZDEC=ZEGH

VDE11BC

??.HG//BC

/.ZHGF+ZBFG=180°

?；ZHGF=ZEGF-ZEGH

AZHGF=ZEGF-ZDEC

ZEGF-ZDEC+ZBFG=180°

D

A

H

B

??.(2)中的關(guān)系不成立，NEGF、N'DEC、NBFG之間關(guān)系為：ZEGF-ZDEC+ZBFG=180°

故答案為：不成立，ZEGF-ZDEC+ZBFG=180°

本題考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，正確添加輔助

線，靈活運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

12.(1)見解析；(2)圖見解析，25°

【解析】

(1)根據(jù)余角的性質(zhì)得出NEDO=NBOD,進而得出答案；

(2)利用角平分線的定義結(jié)合已知得出NCOF二：NCOD=45。，進而得出答案.

(1)證明：TNEDO與N1互余，

.*.ZEDO+Zl=90o,

VOC1OD,

/.ZCOD=90°,

/.Z1+ZBOD=90°,

/.ZEDO=ZBOD,

AEDAB：

(2)解：如圖所示:

??ED〃AB,

:.ZAOF=ZOFD=70°,

??OF平分NCOD,

/.ZCOF=—ZCOD=45°,

2

AZ1=ZAOF-ZCOF=25°.

此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，以及角平分線的作法與定義，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)

是解題關(guān)鍵.

13.見解析

【解析】

根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)、同角或等角的補角相等求解可得.

證明：???N1+N2=18O。（已知），

又?..N1+NBEM=I8O。（平角定義），

??.N2=NBEM（同角的補角相等），

???DM〃BC（同位角相等兩直線平行）.

AZADM=ZB（兩宜線平行同位角相等），

ZMDF-/RED（兩直線平行內(nèi)錯角相等）.

又?.?DM平分NADE（已知），

??.NADM=NMDE（角平分線定義）.

/.ZB=ZBED（等量代換）.

本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用，解題時注意：平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判

斷兩直線的位置關(guān)系，平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系.

14.（1）AE//FC,理由見解析；（2）AD//BC,理由見解析；（3）BC平分/DBE，理由見解

析.

【解析】

（1）先根據(jù)鄰補角的定義、等量代換可得N2=N￡>8石，再根據(jù)平行線的判定即可得；

（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得=再根據(jù)等量代換可得

ZBCF+ZADC=180°,然后根據(jù)平行線的判定即可得；

（3）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N3=NC,NC=N6,N4=N5,再根據(jù)角平分線的定義可得

N3=N4,然后根據(jù)等量代換可得N6=N5,最后根據(jù)角平分線的定義即可得.

（1）AE//FC,理由如下：

???Nl+N2=180°,Zl+NDBE=180°

:.Z2=ZDBE

:.AEHFC（同位角相等，兩直線平行）；

（2）AD//BC,理由如下：

由（1）可知，AE//FC

.-.ZZME+Z/WC=180°(兩直線皿行，同旁內(nèi)角互補)

-ZDAE=ZBCF

,-.ZBCF+ZA￡>C=180o

/.AD//BC(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行)；

(3)BC平分N￡>BE，理由如下：

如圖，.?AD//BC.AE//FC

N3=ZC,ZC=N6,Z4=Z5

.-.Z3=Z6

又?.?DA平分NB。尸

，N3=N4

.-.Z6=Z5

故RC平分NDBE.

本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義等知識點，熟記平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

15.1)AC〃BD,理由見解析；(2)50°

【解析】

(1)先根據(jù)AB〃CD得出N2=NCDF,再由N1=N2即可得出結(jié)論：

(2)先求出NECD的度數(shù)，再由角平分線的性質(zhì)求出NECF的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出

結(jié)論.

解：⑴AC〃BD.

理由：???AB〃CD,

:.Z2=ZCDF.

VZ1=Z2,

.*.Z1=ZCDF,

??.AC〃BD；

(2)VZl=80°,

?二ZECD=180°-Zl=l80°-80°=100°.

?；CF平分NECD,

.*.ZECF=—ZECD=50°.

2

VAC//BD,

/.Z3=ZECF=50°.

本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵.

16.ZBAC=75°

【解析】

依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到N2=N3,結(jié)合N1=N2,即可得出N1=N3,進而得至l」AB〃DG,依

據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到NBAC的度數(shù).

解：???EF〃AD（已知）

???N2=N3（兩直線平行，同位角相等）

又???N1=N2（已知）

AZ1=Z3（等式性質(zhì)或等量代換）

??.AB〃DG（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

Z.ZBAC+ZAGD=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）

XVZAGD=105°（已知）

:.ZBAC=75°

此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

17.（1）見解析；（2）Z3=71°.

【解析】

（1）由CD_LAB,EF_LAB即可得出CD//EF,從而得出N2二NBCD,再根據(jù)N1=N2即可得出

Z1=ZBCD,依據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”即可證出DG//BC；

（2）在RSBEF中，利用三角形內(nèi)角和為180。即可算出N2度數(shù)，從而得出NBCD的度數(shù)，再根

據(jù)BC//DG即可得出N3=NACB,通過角的計算即可得出結(jié)論.

（1）證明：???CDJ.AB,EF上AB,

:.CDUEF,

??.N2=NBCD,

N1=N2,

4=/BCD,

ADG//BC；

(3)解：在RlABEF中，

VZB=54°,

??.Z2=180o-90°-54o=36°,

又,：CDUEF

???ZBCD=Z2=36°.

??,ZACD=35°，

：.ZBCA=ZBCD+ZACD=36。+35。=71。.

又?.?BC〃DG,

/.Z3=ZBCA=71°.

本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：(1)找出N1=NBCD；(2)找出

/3=/ACR=/ACD+/RCD.本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)相等(或互

補)的角證出兩直線平行是關(guān)鍵.

18.(1)ZAPC+ZPAB+ZPCD=360°；(2)ZAPC=ZPAB+ZPCD；(3)ZPCD=ZAPC+ZPAB；

(4)ZAPC+ZPAB+ZPCD=360°,理由見解析.

【解析】

(1)過點P作PE〃AB,則AB〃PE〃CD,再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可解答；

(2)過點P作PF〃AB,則AB〃CD〃PF,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可解答；

(3)根據(jù)AB〃CD,可得出N1=NPCD,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進行解答；

(4)選擇以上結(jié)論任意一個進行證明即可.

解：(1)過點P作PE〃AB,則AB4PE〃CD,

AZl+ZPAB=180o,

Z2+ZPCD=I8O°,

/.ZAPC+ZPAB+ZPCD=360°.

故答案為：NAPC+NPAB+NPCD=360。；

(2)過點P作直線PF〃AB,

VAB/7CD,

??.AB〃PF〃CD,

??.NPAB=N1,ZPCD=Z2,

:.ZAPC=ZPAB+ZPCD.

故答案為：ZAPC=ZPAB+ZPCD：

(3)VAB/7CD,

/.Z1=ZC,

VZ1=ZPAB+ZAPC,

r.ZPCD=ZAPC+ZPAB.

故答案為：ZPCD=ZAPC+ZPAB.

(4)選擇結(jié)論NAPC+NPAB+NPCD=360。

理由：過點P作PE〃AB,則AB〃PE〃CD,

/.Z1+ZPAB=18O°,

Z2+ZPCD=I80°,

??.ZAPC+ZPAB+ZPCD=360°

故答案為：ZAPC+ZPAB+ZPCD=360°.

本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，能根據(jù)題意作出輔助線，再利用平行線的性質(zhì)進

行解答是解答此題的關(guān)鍵.

19.(1)證明過程見解析；(2)L/N=NAEM-NNFD,理由見解析；(3)-ZN+ZPMH=180°.

23

【解析】

(1)根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行即可判定AB〃CD；

(2)設(shè)NN=2a，NM=3a，ZAEM=X,ZNFD=y,過M作MP〃AB,過N作NQ〃AB可得

/PMN=3a-x,NQNM=2a-y,根據(jù)平行線性質(zhì)得到3a-x=2a-y,化簡即可得到

L/N=NAEM-/NFD；

2

(3)過點M作MI〃AB交PN于0,過點N作NQ〃CD交PN于R,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得

ZBPM=ZPMI,由已知得到NMON=NMPN+NPMI=3NPMI及

ZRFN=180°-ZNFH-ZHFD=180°-3ZHFD,根據(jù)對頂角相等得到

ZPRF=ZFNP+ZRFN=ZFNP+18O0-3ZRFM,化簡得到NFNP+2NPMI-2NRFM=I8()O-NPMH,根

據(jù)平行線的性質(zhì)得到3NPMI+NFNP+NFNH=180。及3NRFM+NFNH=18O。，兩個等式相減即可得

到NRFM-NPMI=；；NFNP，將該等式代入NFNP+2/PMI-2NRFM=18(r-NPMH,即得到！

33

ZFNP=180°-ZPMH,即，NN+NPMH=180°.

3

⑴證明：???N1=NBEF,Zl+Z2=180°

/.ZBEF+Z2=180°

AAB/ZCD.

(2)解：L/N=/AEM-/NFD

2

設(shè)NN=2a,NM=3a,ZAEM=x,ZNFD=J

過M作MP〃AB,過N作NQ〃AB

VAB//CD,MP/7AB,NQ/7AB

???MP〃NQ〃AB〃CD

/.ZEMP=x,ZFNQ=J

???NPMN=3a-x,NQNM=2a-y

二3a-x=2a-y

即a=x?y

?」NN=ZAEM-/NFD

2

故答案為工NN=NAEM-/NFD

2

(3)解：-ZN+ZPMH=180°

3

過點M作MI〃AB交PN于0,過點N作NQ〃CD交PN于R.

圖？

■:AB//CD,MI〃AB,NQ〃CD

；?AB〃MI〃NQ〃CD

AZBPM=ZPMI

■:ZMPN=2ZMPB

:.ZMPN=2ZPMI

/.ZMON=ZMPN+ZPMI=3ZPMI

ZNFH=2ZHFD

??.NRFN=180°-ZNFH-ZHFD=18O°-3ZHFD

VZRFN=ZHFD

AZPRF=ZFNP+ZRFN=ZFNP+18O0-3ZRFM

???ZMON+ZPRF+ZRFM=360°-ZOMF

即3ZPMI+NFNP+180°-3NRFM+ZRFM=3600-ZOMF

???ZFNP+2ZPMI-2ZRFM=180°-ZPMH

V3ZPM1+ZPNH=18O°

A3ZPMI+ZFNP+ZFNH=180°

V3ZRFM+ZFNH=180°

3ZPMI-3ZRFM+ZFNP=0°

即NRFM-/PMI=!ZFNP

3

NFNP+2ZPMI-2ZRFM=ZFNP-2(ZRFM-ZPMI)=180°-ZPMH

1

ZFNP-2X-ZFNP=1800-ZPMH

3

-ZFNP=1800-ZPMH

3

即!NN+/PMH=180。

3

故答案為;ZN+ZPMH=180°

本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，通過運用平行線性質(zhì)得到角

之間的關(guān)系.

20.(1)110°；(2)80°.

【解析】

(1)根據(jù)NA=/ACE得到AB〃CE,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NB+NBCE=180。，從而得到N3CE

的度數(shù)：

(2)根據(jù)ER//BC得到NE+NBCE=180。，因為NE=2/DCE,2/BCD=3NDCE,所以得到

45

ZDCE=40°,所以可以求出NBCE二一NDCE=-x40o=100。，由(1)知/B+NBCE=180。，所以

22

ZB=180°-l00°=80°.

解：(1)VZA=20\ZACE=2ti

：.ZA=ZACE

???AB〃CE

/.ZB+ZBCE=180o

?:ZB=70°

Z.ZBCE=180o-70°=110°

(2)VEF//BC

/.ZE+ZBCE=18OU

ZE=2ZDCE

.,.2ZDCE+ZBCE=180°

V2ZBCD=3ZDCE,