2025年高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)歸納第47講、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系特訓(xùn)(學(xué)生版+解析)

第47講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一．四個(gè)公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點(diǎn)在面內(nèi)的方法公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．注意：（1）此公理是確定一個(gè)平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點(diǎn)共面的依據(jù)推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面；公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．注意：（1）此公理是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)（2）此公理是判定若干點(diǎn)在兩個(gè)相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)）（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．知識(shí)點(diǎn)二．直線與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面圖形符號(hào)a∥b公共點(diǎn)個(gè)數(shù)100特征兩條相交直線確定一個(gè)平面兩條平行直線確定一個(gè)平面兩條異面直線不同在如何一個(gè)平面內(nèi)知識(shí)點(diǎn)三．直線與平面的位置關(guān)系：有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況．位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）圖形符號(hào)∥公共點(diǎn)個(gè)數(shù)無數(shù)個(gè)10知識(shí)點(diǎn)四．平面與平面的位置關(guān)系：有平行、相交兩種情況．位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直圖形符號(hào)∥，公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上知識(shí)點(diǎn)五．等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．必考題型全歸納題型一：證明“點(diǎn)共面”、“線共面”或“點(diǎn)共線”及“線共點(diǎn)”例1．（2024·山西大同·高一校考期中）如圖所示，在空間四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)，，分別在，上，且，求證：

(1)，，，四點(diǎn)共面；(2)與的交點(diǎn)在直線上．例2．（2024·陜西西安·高一?？计谥校?）已知直線，直線與，都相交，求證：過，，有且只有一個(gè)平面；（2）如圖，在空間四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，，分別是邊，上的點(diǎn)，且.求證：直線，，相交于一點(diǎn).

例3．（2024·河南信陽(yáng)·高一校聯(lián)考期中）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且.

(1)證明：四點(diǎn)共面；(2)設(shè)，證明：A，O，D三點(diǎn)共線.變式1．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且.求證：(1)E?F?G?H四點(diǎn)共面；(2)EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上.變式2．（2024·云南楚雄·高一統(tǒng)考期中）如圖，在正四棱臺(tái)中，E，F(xiàn)，G，H分別為棱，，AB，BC的中點(diǎn)．

(1)證明E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)證明GE，F(xiàn)H，相交于一點(diǎn)．變式3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在正方體中，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)．(1)求證：三線交于點(diǎn)P；(2)在（1）的結(jié)論中，G是上一點(diǎn)，若FG交平面ABCD于點(diǎn)H，求證：P，E，H三點(diǎn)共線．【解題方法總結(jié)】共面、共線、共點(diǎn)問題的證明（1）證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線（或點(diǎn)）在這個(gè)平面內(nèi)．（2）證明共線的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上．（3）證明共點(diǎn)的方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．題型二：截面問題例4．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)角線上，過點(diǎn)P作垂直于的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長(zhǎng)為y，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）

A． B． C． D．例5．（2024·北京東城·高三北京市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），

①異面直線與AF所成角可以為②當(dāng)G為中點(diǎn)時(shí)，存在點(diǎn)E，F(xiàn)使直線與平面AEF平行③當(dāng)E，F(xiàn)為中點(diǎn)時(shí)，平面AEF截正方體所得的截面面積為④存在點(diǎn)G，使點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等則上述結(jié)論正確的是（

）A．①③ B．②④ C．②③ D．①④例6．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，M，N分別為AD，的中點(diǎn)，過M，N，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面形狀為（

）A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形變式4．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，分別為，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（

）①平面；②；③直線與所成角的余弦值為④過三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為梯形A．1 B．2 C．3 D．4變式5．（2024·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，對(duì)于如下命題：①異面直線與所成角的余弦值為；②點(diǎn)P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，DP的最小值為；③過點(diǎn)，E，F(xiàn)的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為；④當(dāng)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上時(shí)，球O的體積為．則正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4變式6．（2024·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，過三點(diǎn)的截面把正方體分成兩部分，則這兩部分中大的體積與小的體積的比值為（

）A． B． C． D．變式7．（2024·新疆·校聯(lián)考二模）已知在直三棱柱中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，，，，，如圖所示，若過A、E、F三點(diǎn)的平面作該直三棱柱的截面，則所得截面的面積為（

）A． B． C． D．變式8．（2024·新疆阿克蘇·校考一模）已知，，是正方體的棱，，的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面是（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形變式9．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？计谥校┰诶忾L(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)Р是側(cè)面上的點(diǎn)，且點(diǎn)Р到棱與到棱AD的距離均為1，用過點(diǎn)Р且與垂直的平面去截該正方體，則截面在正方體底面ABCD的投影多邊形的面積是（

）A． B．5 C． D．8【解題方法總結(jié)】（1）作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點(diǎn)；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．（2）作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實(shí)3作交線；②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線．題型三：異面直線的判定例7．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）兩條直線分別和異面直線都相交，則直線的位置關(guān)系是（

）A．一定是異面直線 B．一定是相交直線C．可能是平行直線 D．可能是異面直線，也可能是相交直線例8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體，點(diǎn)在直線上，為線段的中點(diǎn)，則下列命題中假命題為（

）A．存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得C．直線始終與直線異面D．直線始終與直線異面例9．（2024·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在底面半徑為1的圓柱中，過旋轉(zhuǎn)軸作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB=2，E是弧BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，則（）A．AE=CF，AC與EF是共面直線B．，AC與EF是共面直線C．AE=CF，AC與EF是異面直線D．，AC與EF是異面直線變式10．（2024·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）已知正方體中，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線異面的是（

）A． B． C． D．變式11．（2024·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）如圖所示，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為1，點(diǎn)P、M、N分別為棱、AB、的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)Q由點(diǎn)N出發(fā)向點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過程中，以下結(jié)論中正確的是（

）A．直線與直線CP可能相交 B．直線與直線CP始終異面C．直線與直線CP可能垂直 D．直線與直線BP不可能垂直變式12．（2024·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春市第六中學(xué)?？计谀┤鐖D，在底面為正方形的棱臺(tái)中，、、、分別為棱，，，的中點(diǎn)，對(duì)空間任意兩點(diǎn)、，若線段與線段、都不相交，則稱點(diǎn)與點(diǎn)可視，下列選項(xiàng)中與點(diǎn)可視的為（

）A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】判定空間兩條直線是異面直線的方法如下：（1）直接法：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過B點(diǎn)的直線是異面直線．（2）間接法：平面兩條不可能共面（平行，相交）從而得到兩線異面．題型四：異面直線所成的角例10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖,在正方體中,點(diǎn)E,F分別是棱AD,的中點(diǎn),則異面直線與BF所成角的大小為．例11．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知正四面體ABCD中,E是AB的中點(diǎn),則異面直線CE與BD所成角的大小為．例12．（2024·新疆喀什·高三統(tǒng)考期中）如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，下列說法中，正確的序號(hào)是.（1）直線與直線相交；（2）直線與直線平行；（3）直線與直線是異面直線；（4）直線與直線成角.變式13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一小塊，八個(gè)頂點(diǎn)共截去八小塊，得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，則異面直線與所成角的大小是變式14．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）線段的兩端分別在直二面角的兩個(gè)面內(nèi)，且與這兩個(gè)面都成角，則直線與所成的角等于．變式15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，等腰梯形沿對(duì)角線翻折，得到空間四邊形，若，則直線與所成角的大小可能為.（寫出一個(gè)值即可）【解題方法總結(jié)】（1）點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體（長(zhǎng)方體、正方體）模型來判斷，常借助正方體為模型．（2）求異面直線所成的角的三個(gè)步驟一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．二證：證明作出的角是異面直線所成的角．三求：解三角形，求出所作的角．題型五：平面的基本性質(zhì)例13．（多選題）（2024·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，且，則B．若A，B，C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，，，則C．若且，則直線D．若直線，直線，則a與b為異面直線例14．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有下列命題：①經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②梯形可以確定一個(gè)平面；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面；④如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．其中正確命題是（

）A．① B．② C．③ D．④例15．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我們知道，平面幾何中有些正確的結(jié)論在空間中不一定成立．下面給出的平面幾何中的四個(gè)真命題，在空間中仍然成立的有（

）A．平行于同一條直線的兩條直線必平行B．垂直于同一條直線的兩條直線必平行C．一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)D．一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)變式16．（多選題）（2024·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學(xué)校校考階段練習(xí)）下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．空間三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面B．三角形一定是平面圖形C．若A，，，既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，則平面和平面重合D．四條邊都相等的四邊形是平面圖形變式17．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)，，，分別是正方體中棱，，，的中點(diǎn)，則（

）A． B．C．直線，是異面直線 D．直線，是相交直線變式18．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．線段上存在點(diǎn)E、F使得 B．平面ABCDC．的面積與的面積相等 D．三棱錐A-BEF的體積為定值題型六：等角定理例16．（2024·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)均相等的四面體中，為棱不含端點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A的平面與平面平行若平面與平面，平面的交線分別為，，則，所成角的正弦值的最大值為．例17．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過正方體的頂點(diǎn)在空間作直線，使與平面和直線所成的角都等于，則這樣的直線共有條．例18．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）若空間兩個(gè)角與的兩邊對(duì)應(yīng)平行，當(dāng)時(shí)，則．變式19．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)和的兩邊分別平行，若，則的大小為.變式20．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）空間四邊形的對(duì)角線互相垂直且相等，順次連接這個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)，所組成的四邊形是.變式21．（2024·江西吉安·高一校聯(lián)考期末）已知空間中兩個(gè)角，且，若，則.變式22．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考期末）已知空間中兩個(gè)角，，且角與角的兩邊分別平行，若，則．【解題方法總結(jié)】空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)本資料陳飛老師主編，可聯(lián)系微信：renbenjiaoyu2,加入陳老師高中數(shù)學(xué)永久QQ資料群下載（群內(nèi)99%以上資料為純word解析版），群內(nèi)資料每周持續(xù)更新！高一資料群內(nèi)容：1、高一上學(xué)期同步講義（word+PDF）2、高一下學(xué)期同步講義（word+PDF）3、寒暑假預(yù)習(xí)講義（word+PDF）4、專題分類匯編（純word解析版）5、全國(guó)名校期中期末考試卷（純word解析版）6、期中期末考試串講（word+PDF）…………更多內(nèi)容不斷完善高二資料群內(nèi)容：1、高二上學(xué)期同步講義（word+PDF）2、高二下學(xué)期同步講義（word+PDF）3、寒暑假預(yù)習(xí)講義（word+PDF）4、專題分類匯編（純word解析版）5、全國(guó)名校期中期末考試卷（純word解析版）6、期中期末考試串講（word+PDF）…………更多內(nèi)容不斷完善高三資料群內(nèi)容：1、高三大一輪復(fù)習(xí)講義（word+PDF）2、高三二輪沖刺講義（word+PDF）3、高三三輪押題（純word解析版）4、高考真題分類匯編（純word解析版）5、專題分類匯編（純word解析版）6、圓錐曲線專題（word+PDF）7、導(dǎo)數(shù)專題（word+PDF）8、全國(guó)名校期中期末一模二模（純word解析版）…………更多內(nèi)容不斷完善第47講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一．四個(gè)公理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點(diǎn)在面內(nèi)的方法公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．注意：（1）此公理是確定一個(gè)平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點(diǎn)共面的依據(jù)推論①：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)推論②：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；推論③：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面；公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．注意：（1）此公理是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)（2）此公理是判定若干點(diǎn)在兩個(gè)相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)）（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．知識(shí)點(diǎn)二．直線與直線的位置關(guān)系位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面圖形符號(hào)a∥b公共點(diǎn)個(gè)數(shù)100特征兩條相交直線確定一個(gè)平面兩條平行直線確定一個(gè)平面兩條異面直線不同在如何一個(gè)平面內(nèi)知識(shí)點(diǎn)三．直線與平面的位置關(guān)系：有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況．位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）圖形符號(hào)∥公共點(diǎn)個(gè)數(shù)無數(shù)個(gè)10知識(shí)點(diǎn)四．平面與平面的位置關(guān)系：有平行、相交兩種情況．位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直圖形符號(hào)∥，公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在唯一的一條直線上知識(shí)點(diǎn)五．等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．必考題型全歸納題型一：證明“點(diǎn)共面”、“線共面”或“點(diǎn)共線”及“線共點(diǎn)”例1．（2024·山西大同·高一校考期中）如圖所示，在空間四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)，，分別在，上，且，求證：

(1)，，，四點(diǎn)共面；(2)與的交點(diǎn)在直線上．【解析】（1）：：：，，，分別為，的中點(diǎn)，，，，，，四點(diǎn)共面．（2）、不是、的中點(diǎn)，，且，與必相交，設(shè)交點(diǎn)為，平面，平面，平面，且平面，平面平面，，與的交點(diǎn)在直線上．例2．（2024·陜西西安·高一?？计谥校?）已知直線，直線與，都相交，求證：過，，有且只有一個(gè)平面；（2）如圖，在空間四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，，分別是邊，上的點(diǎn)，且.求證：直線，，相交于一點(diǎn).

【解析】（1）證明：設(shè)直線與，分別交于點(diǎn)，如圖1，

因?yàn)?，所以確定一個(gè)平面，記為平面，因?yàn)辄c(diǎn)直線，點(diǎn)直線，所以，，所以直線，即平面，所以過，，有且只有一個(gè)平面；（2）在空間四邊形中，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則，且，又由，則，且，故，且，故四邊形為梯形，與交于一點(diǎn)，設(shè)與交于點(diǎn)，如圖2，

由于平面，點(diǎn)在平面內(nèi)，同理點(diǎn)在平面內(nèi)，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以點(diǎn)在直線上，故直線相交于一點(diǎn).例3．（2024·河南信陽(yáng)·高一校聯(lián)考期中）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，且.

(1)證明：四點(diǎn)共面；(2)設(shè)，證明：A，O，D三點(diǎn)共線.【解析】（1）證明：如圖，連接.

在正方體中，，所以，又，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，，所以四點(diǎn)共面；（2）證明：由，，又平面，平面，同理平面ABCD，又平面平面，，即A，O，D三點(diǎn)共線.變式1．（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且.求證：(1)E?F?G?H四點(diǎn)共面；(2)EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上.【解析】（1）∵，∴.∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，∴，且，∴，∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.（2）∵G，H不是BC，CD的中點(diǎn)，∴，∴，由（1）知，故EFHG為梯形.∴EG與FH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M，∴平面ABC，平面ACD，∴平面ABC，且平面ACD，∴，即GE與HF的交點(diǎn)在直線AC上.變式2．（2024·云南楚雄·高一統(tǒng)考期中）如圖，在正四棱臺(tái)中，E，F(xiàn)，G，H分別為棱，，AB，BC的中點(diǎn)．

(1)證明E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)證明GE，F(xiàn)H，相交于一點(diǎn)．【解析】（1）證明：連接AC，，如圖所示，

因?yàn)闉檎睦馀_(tái)，所以，又E，F(xiàn)，G，H分別為棱，，AB，BC的中點(diǎn)，所以，，則，所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．（2）因?yàn)?，所以，所以EFHG為梯形，則EG與FH必相交．設(shè)，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面平面，所以，則GE，F(xiàn)H，交于一點(diǎn)．變式3．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在正方體中，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)．(1)求證：三線交于點(diǎn)P；(2)在（1）的結(jié)論中，G是上一點(diǎn)，若FG交平面ABCD于點(diǎn)H，求證：P，E，H三點(diǎn)共線．【解析】（1）證明：連接，，正方體中，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，∴且，∵且，∴且，∴EC與相交，設(shè)交點(diǎn)為P，∵PEC，EC平面ABCD，∴P平面ABCD；又∵，平面，∴平面，∴P為兩平面的公共點(diǎn)，∵平面平面，∴，∴三線交于點(diǎn)P；（2）在（1）的結(jié)論中，G是上一點(diǎn)，F(xiàn)G交平面ABCD于點(diǎn)H，則FH平面，∴平面，又平面ABCD，∴平面平面ABCD，同理，平面平面ABCD，平面平面ABCD，∴P，E，H都在平面與平面ABCD的交線上，∴P，E，H三點(diǎn)共線．【解題方法總結(jié)】共面、共線、共點(diǎn)問題的證明（1）證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線（或點(diǎn)）在這個(gè)平面內(nèi)．（2）證明共線的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上．（3）證明共點(diǎn)的方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．題型二：截面問題例4．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)角線上，過點(diǎn)P作垂直于的平面，記這樣得到的截面多邊形（含三角形）的周長(zhǎng)為y，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】

如圖，連接，，平面，平面，則，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以，同理，，平面，平面，所以平面，因此平面與平面重合或平行，取的中點(diǎn)，連接，則，，同理可證平面，由于，，所以三棱錐是正三棱錐，與平面的交點(diǎn)是的中心，正方體棱長(zhǎng)為，則，，所以，所以，由棱錐的平行于底面的截面的性質(zhì)知，當(dāng)平面從平面平移到平面時(shí)，，即，，，顯然，

平面過平面再平移至平面時(shí)，如圖，把正方形沿旋轉(zhuǎn)到與正方形在同一平面內(nèi)，如圖，則共線，由正方形性質(zhì)得，同理，，因此此種情形下，截面的周長(zhǎng)與截面的周長(zhǎng)相等，平移平面，一直到平面位置處，由正方體的對(duì)稱性，接著平移時(shí)，截面周長(zhǎng)逐漸減少到，綜上，的值域是．故選：A.例5．（2024·北京東城·高三北京市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），

①異面直線與AF所成角可以為②當(dāng)G為中點(diǎn)時(shí)，存在點(diǎn)E，F(xiàn)使直線與平面AEF平行③當(dāng)E，F(xiàn)為中點(diǎn)時(shí)，平面AEF截正方體所得的截面面積為④存在點(diǎn)G，使點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等則上述結(jié)論正確的是（

）A．①③ B．②④ C．②③ D．①④【答案】C【解析】對(duì)①：因?yàn)?/，故與的夾角即為與的夾角，又當(dāng)與重合時(shí)，取得最大值，為；當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，設(shè)其為，則，故；又點(diǎn)不能與重合，故，故①錯(cuò)誤；對(duì)②：當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，存在分別為的中點(diǎn)，滿足//面，證明如下：取的中點(diǎn)為，連接，如下所示：

顯然//，又面面，故//面；又易得//，面面，故//面；又面，故面//面，又面，故//面，故②正確；對(duì)③：連接，如下所示：

因?yàn)?///，故面即為平面截正方體所得截面；又，故該截面為等腰梯形，又，，故截面面積，故③正確；對(duì)④：連接，取其中點(diǎn)為，如下所示：

要使得點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，只需經(jīng)過的中點(diǎn)，顯然當(dāng)點(diǎn)分別為所在棱的中點(diǎn)時(shí)，不存在這樣的點(diǎn)滿足要求，故④錯(cuò)誤.故選：C.例6．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，M，N分別為AD，的中點(diǎn)，過M，N，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面形狀為（

）A．六邊形 B．五邊形 C．四邊形 D．三角形【答案】B【解析】在上取點(diǎn)，且，取中點(diǎn)為，連接.在上取點(diǎn)，且，連結(jié).因?yàn)?，，所以，所?又，所以，所以，所以，.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，且.根據(jù)正方體的性質(zhì)，可知，且，所以，，且，所以，四邊形是平行四邊形，所以，，所以.同理可得，.所以，五邊形即為所求正方體的截面.故選：B.變式4．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，分別為，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（

）①平面；②；③直線與所成角的余弦值為④過三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為梯形A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】連接，交于點(diǎn)，則是的中點(diǎn)，連接，由于是中點(diǎn)，可得，所以四邊形是平行四邊形，所以,又平面，平面，所以平面，即①正確；連接，則，在正方體中，平面，又平面，所以,又，平面，平面，所以平面，若，則平面或平面，而與平面相交，所以與不垂直，即②錯(cuò)誤；由于，所以為直線與所成角（或補(bǔ)角），設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則,所以由余弦定理得，即③正確；因?yàn)槠矫媾c平面平行，則過三點(diǎn)的截面與這兩個(gè)平面的交線平行，由于其中一條交線是,另一交線過點(diǎn)，所以在平面內(nèi)作與平行（是靠近的四等分點(diǎn)），連接，同理作出與平行（是靠近的三等分點(diǎn)），從而得到截面，可知截面是五邊形，即④錯(cuò)誤；綜上，正確的個(gè)數(shù)是2個(gè).故選：B.變式5．（2024·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，對(duì)于如下命題：①異面直線與所成角的余弦值為；②點(diǎn)P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，DP的最小值為；③過點(diǎn)，E，F(xiàn)的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為；④當(dāng)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上時(shí)，球O的體積為．則正確的命題個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】對(duì)于①，，在中即為異面直線與所成的角，，異面直線與所成的角的余弦值為．故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，，同理可得，又面，面，面，面，面，面，又，面，面面，又面，面，軌跡為線段，在中，過作，此時(shí)取得最小值，在中，，，，在中，，，，在中，，，，如圖，在中，．故②正確；對(duì)于③，過點(diǎn)的平面截正方體，平面平面，則過點(diǎn)的平面必與、各交于一點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的平面必與與分別交于、，過點(diǎn)的平面與平面和平面分別交于與，，同理可得，如圖過點(diǎn)的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，如圖以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S?軸?軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，，，，，，，，解得，，，，，在中，，，，同理：，在中，，，，同理：在中，，，，即過點(diǎn)的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為．故③正確；對(duì)于④，如圖所示，取的中點(diǎn)，則，過作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，所以為外接球的半徑，在中，，，則，．故④正確，故選：C．變式6．（2024·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，過三點(diǎn)的截面把正方體分成兩部分，則這兩部分中大的體積與小的體積的比值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】連接，設(shè)平面與平面交于，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫媾c平面交于，則，又，則，又是棱的中點(diǎn)，則F是BC的中點(diǎn).，,，，故.故選：A.變式7．（2024·新疆·校聯(lián)考二模）已知在直三棱柱中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，，，，，如圖所示，若過A、E、F三點(diǎn)的平面作該直三棱柱的截面，則所得截面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解析：延長(zhǎng)，且與相交于，連接EG，并與相交于，連接FD，則四邊形AEDF為所求的截面.在中，由，，得.在中，由，，得.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以由平面幾何知識(shí)可知，.所以，，即為AG的中點(diǎn)，所以.又由，可得，又，，所以.在中，由，，得，所以.所以在中，有，，，即，所以.又注意到，，則四邊形AEDF的面積為.故選：B．變式8．（2024·新疆阿克蘇·?？家荒＃┮阎?，，是正方體的棱，，的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面是（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】D【解析】如圖所示，分別取，，的中點(diǎn)，，，連接，，，，，，則，.，.同理可得，.由基本事實(shí)及其三個(gè)推論得，，，，，六點(diǎn)共面，所以平面截正方體所得的截面是六邊形.故選：D.變式9．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？计谥校┰诶忾L(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)Р是側(cè)面上的點(diǎn)，且點(diǎn)Р到棱與到棱AD的距離均為1，用過點(diǎn)Р且與垂直的平面去截該正方體，則截面在正方體底面ABCD的投影多邊形的面積是（

）A． B．5 C． D．8【答案】C【解析】由題意可以作出與垂直的平面，利用面面平行可作出過點(diǎn)P且平行于平面的平面GJKLNM，則平面GJKLNM與垂直，作出點(diǎn)M，N的投影O，Q，平面AOQCKJ的面積S即為所求，已知正方體棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)Р到棱與到棱AD的距離均為1，所以點(diǎn)G，J，K，L，N，M均為各棱的三等分點(diǎn)，故選：C.【解題方法總結(jié)】（1）作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點(diǎn)；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．（2）作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實(shí)3作交線；②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線．題型三：異面直線的判定例7．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）兩條直線分別和異面直線都相交，則直線的位置關(guān)系是（

）A．一定是異面直線 B．一定是相交直線C．可能是平行直線 D．可能是異面直線，也可能是相交直線【答案】D【解析】已知直線與是異面直線，直線與直線分別與兩條直線與直線相交于點(diǎn)，

根據(jù)題意可得當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，兩條直線相交，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，兩條直線異面，所以直線的位置關(guān)系是異面或相交.故選:D．例8．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知正方體，點(diǎn)在直線上，為線段的中點(diǎn)，則下列命題中假命題為（

）A．存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得C．直線始終與直線異面D．直線始終與直線異面【答案】C【解析】正方體中，易得平面，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，為線段的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，平面，，故A正確；連接、，當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，為三角形的中位線，即，故B正確；平面，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，平面，所以直線和在同一平面內(nèi)，故C錯(cuò)誤；平面，平面，，所以直線始終與直線不相交，且不平行，所以直線與直線是異面直線，故D正確；故選：C例9．（2024·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在底面半徑為1的圓柱中，過旋轉(zhuǎn)軸作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB=2，E是弧BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，則（）A．AE=CF，AC與EF是共面直線B．，AC與EF是共面直線C．AE=CF，AC與EF是異面直線D．，AC與EF是異面直線【答案】D【解析】如圖，在底面半徑為1的圓柱中，母線，，是的中點(diǎn)，則，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，又，則，，，，在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，與是共面直線，若AC與EF是共面直線，則在同一平面，顯然矛盾，故AC與EF是異面直線故選：D．變式10．（2024·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）已知正方體中，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中，始終與直線異面的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，面，面，面，所以直線與異面；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)與重合時(shí)，因?yàn)椋?，，分別是棱，，的中點(diǎn)，所以，所以，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，連接，在正方體中，易得且，所以與相交，即當(dāng)與重合時(shí)，與相交，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，取中點(diǎn)，連交于，連，因?yàn)榍?，所以且，故?dāng)與重合時(shí)，與相交，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：A.變式11．（2024·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）如圖所示，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為1，點(diǎn)P、M、N分別為棱、AB、的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段MN上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)Q由點(diǎn)N出發(fā)向點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過程中，以下結(jié)論中正確的是（

）A．直線與直線CP可能相交 B．直線與直線CP始終異面C．直線與直線CP可能垂直 D．直線與直線BP不可能垂直【答案】B【解析】在正三棱柱中，因?yàn)辄c(diǎn)M、N分別為棱AB、的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，，，所以四點(diǎn)不共面，所以直線與直線CP始終異面，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，，若直線與直線CP垂直，則，即，所以，即，解得，因?yàn)椋圆淮嬖邳c(diǎn)使得直線與直線CP垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因平面，平面，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，所以?dāng)點(diǎn)在的位置時(shí)，直線與直線BP垂直，故D錯(cuò)誤.故選：B.變式12．（2024·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春市第六中學(xué)?？计谀┤鐖D，在底面為正方形的棱臺(tái)中，、、、分別為棱，，，的中點(diǎn)，對(duì)空間任意兩點(diǎn)、，若線段與線段、都不相交，則稱點(diǎn)與點(diǎn)可視，下列選項(xiàng)中與點(diǎn)可視的為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)棱臺(tái)的性質(zhì)可知，連接、、、、，因?yàn)?、分別為棱，的中點(diǎn)，所以，又底面為正方形，所以，所以，所以四邊形為梯形，所以與相交，與相交，故B、C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以四邊形是梯形，所以與相交，故A錯(cuò)誤；因?yàn)闉樘菪危瑸榈闹悬c(diǎn)，即，則、、、四點(diǎn)不共面，所以與不相交，若與相交，則、、、四點(diǎn)共面，顯然、、、四點(diǎn)共面，平面，所以、、、四點(diǎn)不共面，即假設(shè)不成立，所以與不相交，即點(diǎn)與點(diǎn)可視，故D正確．故選：D．【解題方法總結(jié)】判定空間兩條直線是異面直線的方法如下：（1）直接法：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過B點(diǎn)的直線是異面直線．（2）間接法：平面兩條不可能共面（平行，相交）從而得到兩線異面．題型四：異面直線所成的角例10．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖,在正方體中,點(diǎn)E,F分別是棱AD,的中點(diǎn),則異面直線與BF所成角的大小為．【答案】【解析】取中點(diǎn)為,連接,記與交點(diǎn)為,如圖所示:因?yàn)镚,F分別是棱,的中點(diǎn),所以,且,故四邊形為平行四邊形,所以,所以與BF所成角即為與所成角,因?yàn)檎襟w,E,G是棱AD,的中點(diǎn),所以,所以,即,因?yàn)?所以,所以,故與所成角為,即與BF所成角為.故答案為:例11．（2024·高三課時(shí)練習(xí)）已知正四面體ABCD中,E是AB的中點(diǎn),則異面直線CE與BD所成角的大小為．【答案】【解析】解:由題知,取中點(diǎn)為，連接如圖所示:不妨設(shè)正四面體棱為6,根據(jù)分別為中點(diǎn)得：，因?yàn)榕c為等邊三角形,所以，故，同理，在中,由余弦定理可得:，故,因?yàn)?所以異面直線CE與BD所成角，即直線CE與所成角，即,故異面直線CE與BD所成角為.故答案為:例12．（2024·新疆喀什·高三統(tǒng)考期中）如圖是一個(gè)正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，下列說法中，正確的序號(hào)是.（1）直線與直線相交；（2）直線與直線平行；（3）直線與直線是異面直線；（4）直線與直線成角.【答案】（3）（4）/(4)(3)【解析】由正方體的平面展開圖可得正方體，可得與為異面直線，故（1）錯(cuò)誤；與為異面直線，故（2）錯(cuò)誤；直線與直線是異面直線，故（3）正確；連接，，由正方體的性質(zhì)可得，所以為異面直線與直線所成的角，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，即直線與直線所成角為，故（4）正確；故答案為：（3）（4）．變式13．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一小塊，八個(gè)頂點(diǎn)共截去八小塊，得到八個(gè)面為正三角形、六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”，則異面直線與所成角的大小是【答案】【解析】如圖所示，由題可知，四邊形和均為正方形，為正三角形，，，或其補(bǔ)角為異面直線與所成角，而為正三角形，，即異面直線與所成角的大小是.故答案為：.變式14．（2024·全國(guó)·高三對(duì)口高考）線段的兩端分別在直二面角的兩個(gè)面內(nèi)，且與這兩個(gè)面都成角，則直線與所成的角等于．【答案】/【解析】如圖：

過分別作棱的垂線，垂足設(shè)為連結(jié)，由直線垂直于平面的性質(zhì)定理知，.所以.作且，則為直線與所成的角.連結(jié)，可得，，所以，所以三角形為直角三角形.設(shè)，，所以，所以.直線與所成的角等于.故答案為：.變式15．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，等腰梯形沿對(duì)角線翻折，得到空間四邊形，若，則直線與所成角的大小可能為.（寫出一個(gè)值即可）【答案】（答案在內(nèi)即可）【解析】由題意，補(bǔ)全等腰梯形為正三角形，則直線與所成角的大小為直線與所成角，易得當(dāng)?shù)妊菪窝貙?duì)角線翻折時(shí)，的軌跡為以為頂點(diǎn)，為高的圓錐側(cè)面，設(shè)，在上取使得，則直線與所成角即，故，因?yàn)椋?，故，故，故只需寫出?nèi)的角度即可，如

故答案為：（答案在內(nèi)即可）【解題方法總結(jié)】（1）點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體（長(zhǎng)方體、正方體）模型來判斷，常借助正方體為模型．（2）求異面直線所成的角的三個(gè)步驟一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．二證：證明作出的角是異面直線所成的角．三求：解三角形，求出所作的角．題型五：平面的基本性質(zhì)例13．（多選題）（2024·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，且，則B．若A，B，C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，，，則C．若且，則直線D．若直線，直線，則a與b為異面直線【答案】ABC【解析】對(duì)于A，由根據(jù)且，則是平面和平面的公共點(diǎn)，又，由基本事實(shí)3（公理2）可得，故A正確；對(duì)于B，由基本事實(shí)1（公理3）：過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，又，且，則，故B正確；對(duì)于C，由基本事實(shí)2（公理1）：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，故C正確；對(duì)于D，由于平面和平面位置不確定，則直線與直線位置亦不確定，可能異面、相交、平行、重合，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.例14．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有下列命題：①經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②梯形可以確定一個(gè)平面；③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面；④如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．其中正確命題是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】BC【解析】對(duì)于①，經(jīng)過不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故①不正確；對(duì)于②，因?yàn)樘菪蔚膬傻走吰叫?，?jīng)過兩條平行直線確定一個(gè)平面，故②正確；對(duì)于③，當(dāng)三條直線交于不同的三點(diǎn)時(shí)，三條直線只確定一個(gè)平面；當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時(shí)，三條直線最多確定三個(gè)平面，故③正確；對(duì)于④，當(dāng)兩個(gè)平面的三個(gè)公共點(diǎn)在一條直線上時(shí)，這兩個(gè)平面相交于這條直線，不一定重合，故④不正確.故選：BC例15．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）我們知道，平面幾何中有些正確的結(jié)論在空間中不一定成立．下面給出的平面幾何中的四個(gè)真命題，在空間中仍然成立的有（

）A．平行于同一條直線的兩條直線必平行B．垂直于同一條直線的兩條直線必平行C．一個(gè)角的兩邊分別平行于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)D．一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)【答案】AC【解析】根據(jù)線線平行具有傳遞性可知A正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線，位置關(guān)系可能是異面、相交、平行，故B錯(cuò)誤；根據(jù)定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)可知C正確；如圖，且，則但和的關(guān)系不確定，故D錯(cuò)誤.故選：AC變式16．（多選題）（2024·重慶沙坪壩·高三重慶市第七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．空間三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面B．三角形一定是平面圖形C．若A，，，既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，則平面和平面重合D．四條邊都相等的四邊形是平面圖形【答案】ACD【解析】對(duì)于A：若空間中三點(diǎn)共線，則無法確定平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：三角形一定是平面圖形，故B正確；對(duì)于C：若A，，，既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，則此四點(diǎn)可能在平面與平面的交線上，無法確定平面和平面是否重合，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：四條邊都相等的四邊形可能是空間四邊形，故D錯(cuò)誤；故選：ACD變式17．（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)，，，分別是正方體中棱，，，的中點(diǎn)，則（

）A． B．C．直線，是異面直線 D．直線，是相交直線【答案】BD【解析】如圖，取棱的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，，，，在正方體中，∵，∴，，，四點(diǎn)共面，同理可得，，，四點(diǎn)共面，，，，四點(diǎn)共面，∴，，，，，六點(diǎn)共面，均在平面內(nèi)，∵，，，，平面，∴與是相交直線．由正方體的結(jié)構(gòu)特征及中位線定理可得，∴，即．故選：BD．變式18．（多選題）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．線段上存在點(diǎn)E、F使得 B．平面ABCDC．的面積與的面積相等 D．三棱錐A