山東省濟南市萊蕪區(qū)萊蕪區(qū)勝利中學2023-2024學年九年級上學期期末數學模擬試題（八）（解析版）

2023—2024學年上學期九年級數學期末模擬試題八時間：120分鐘，分數：150分一．選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）1.一個幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，若這個幾何體最多有a個小正方體組成，則a值為（）A.4 B.5 C.6 D.72.已知函數，當，且時，則函數y的取值范圍是（）A. B. C.或 D.3.如圖，數學實踐活動小組要測量學校附近樓房的高度，在水平地面處安置測角儀測得樓房頂部點的仰角為，向前走20米到達處，測得點的仰角為，已知測角儀的高度為1米，則樓房的高度為（）（）A. B. C. D.4.從，，0，4中任取兩個數，記為m，n，則滿足的概率是（）A. B. C. D.5.已知的半徑為2，點到圓心的距離為1.5，則點在（）A圓外 B.圓上 C.圓內 D.不能確定6.關于二次函數y＝（x﹣2）2+1，下列說法中錯誤的是（）A.圖象的開口向上B.圖象對稱軸為x＝2C.圖象與y軸交于點（0，1）D.圖象可以由y＝x2的圖象向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度得到7.如圖，分別經過原點和點動直線，夾角，點是中點，連接，則的最大值是（）A. B. C. D.8.反比例函數與一次函數y＝﹣mx+m（m≠0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A. B. C. D.9.如圖是一張圓心為O，半徑為4cm的圓形紙片，沿弦AC所在直線折疊，使得經過點O，將紙片展平后，作半徑，則圖中陰影部分的面積等于（）A. B.C. D.10.二次函數圖象如圖．下列結論：①；②；③若為任意實數，則有；④；⑤若，且，則．其中正確的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二．填空題（共6小題，滿分20分）11.若點，在反比例函數的圖象上，，則與的大小關系是______．12.已知點P（x1，y1）和Q（2，y2）在二次函數y＝（x+k）（x﹣k﹣2）的圖象上，其中k≠0，若y1＞y2，則x1的取值范圍為_____．13.某班有6名女生和4名男生報名參加學校組織的進博會志愿者活動，現從中任選1人，則選中男生的可能性是_________．14.如圖所示，海面上有一座小島A，一艘船在B處觀測A位于西南方向20km處，該船向正西方向行駛2小時至C處，此時觀測A位于南偏東，則船行駛的路程約為_____．（結果保留整數，，，）15.如圖，已知反比例函數y1＝，y2＝在第一象限的圖象，過y2上任意一點P作x軸的垂線交y1于點A，交x軸于點B，過點P作y軸的垂線交y1于點C，y軸于點D，連接AC，BD，則＝_____．16.如圖，已知正方形的邊長為4，對角線，交于點，分別以，為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為________．三．解答題（共10小題，滿分52分）17.計算：．18.如圖，一次函數y=kx+bk≠0的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點，且與反比例函數的圖象在第一象限相交于C點，作軸于D點，若，，．（1）求反比例函數的解析式；（2）的面積為________．19.如圖，在地面上離旗桿底部10米處，用測角儀測得旗桿頂端的仰角為，已知測角儀的高為1.5米，求旗桿的高（參考數據：，精確到0.1米）．20.在中，半徑垂直于弦，垂足為，，為弦所對的優(yōu)弧上一點．（1）如圖①，求和的大?。唬?）如圖②，與相交于點，，過點作的切線，與的延長線相交于點，若，求的長．21.用抽簽的方法從三名同學中選一名參加音樂會，事先準備三張相同的紙條，并在一張紙條上畫上記號，其余2張不畫，把三張紙條放在一個盒子中搖勻，然后讓三名同學去摸紙條，摸到有標記的紙條的那位同學將被選中，這個游戲公平嗎？通過畫樹狀圖的方法計算每個人中簽的概率來說明．22.2019年6月5日我國航天首次完成海上發(fā)射，用長征十一號運載火箭將七顆衛(wèi)星送入太空，這標志著我國火箭發(fā)射技術達到了一個嶄新的高度．如圖，運載火箭從海面發(fā)射站點M處垂直海面發(fā)射，當火箭到達點A處時，海岸邊N處的雷達站測得點N到點A的距離為8千米，仰角為，火箭繼續(xù)直線上升到達點B處，此時海岸邊N處的雷達測得B處的仰角增加．（結果精確到0.1千米，參考數值，）（1）求發(fā)射站點M到海岸邊雷達站N的距離．（2）求此時火箭所在點A處上升到B處的距離．23.某超市銷售一種商品，成本價為20元/千克，經市場調查，每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間關系如圖所示，規(guī)定每千克售價不能低于30元，且不高于80元．設每天的總利潤為w元．（1）根據圖象求出y與x之間的函數關系式；（2）請求出w與x之間的函數關系式，當銷售單價定為多少元時，該超市每天的利潤最大？最大利潤是多少元？（3）若該超市銷售該商品所獲利潤不低于2800元，請直接寫出x的取值范圍．24.如圖，在三角形ABC中，AB＝10，AC＝BC＝13，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，直線DF⊥AC，于點F，交CB的延長線于點E．（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）求cos∠ADF的值．25.如圖1，四邊形為正方形，點A在y軸上，點B在x軸上，且，反比例函數在第一象限的圖象經過正方形的頂點C．（1）求點C的坐標；（2）如圖2，將正方形沿x軸向右平移得到正方形，點恰好落在反比例函數的圖象上，求此時點的坐標；（3）在（2）的條件下，點P為y軸上一動點，平面內是否存在點Q，使以點O、、P、Q為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．26.如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c過點A(3,0)、點B(0,3)．點M(m,0)在線段OA上（與點A、O不重合），過點M作x軸的垂線與線段AB交于點P，與拋物線交于點Q，聯(lián)結BQ．（1）求拋物線表達式；（2）聯(lián)結OP，當∠BOP＝∠PBQ時，求PQ的長度；（3）當△PBQ為等腰三角形時，求m的值．

2023—2024學年上學期九年級數學期末模擬試題八時間：120分鐘，分數：150分一．選擇題（共10小題，滿分40分，每小題4分）1.一個幾何體的主視圖和俯視圖如圖所示，若這個幾何體最多有a個小正方體組成，則a值為（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】D【解析】【分析】考查學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，關鍵是根據對空間想象能力方面解答．易得這個幾何體共有2層，由俯視圖可得第一層立方體的個數，由主視圖可得第二層立方體的可能的個數，相加即可．【詳解】解：結合主視圖和俯視圖可知，左邊后排最多有3個，左邊前排最多有3個，右邊只有一層，且只有1個，所以圖中的小正方體最多7塊，結合主視圖和俯視圖可知，左邊后排最少有1個，左邊前排最多有3個，右邊只有一層，且只有1個，所以圖中的小正方體最少5塊，所以，故選：D．2.已知函數，當，且時，則函數y的取值范圍是（）A. B. C.或 D.【答案】C【解析】【分析】當時，，根據反比例函數的增減性，求出y的取值范圍即可．本題主要考查反比例函數的性質，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．【詳解】解：當時，，∴當時，則有y的取值范圍為，當時，則有y的取值范圍為；綜上所述：或；故選：C．3.如圖，數學實踐活動小組要測量學校附近樓房的高度，在水平地面處安置測角儀測得樓房頂部點的仰角為，向前走20米到達處，測得點的仰角為，已知測角儀的高度為1米，則樓房的高度為（）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用，由題意得出，設米，則米，米，再解直角三角形求出的值即可得解．【詳解】解：如圖，，中，，∴，設米，則米，米，在中，，解得：，∴樓房的高度為米，故選：C．4.從，，0，4中任取兩個數，記為m，n，則滿足的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據題意先畫出表格，求出總的情況數，再求出符合條件的情況數，最后根據概率公式進行計算即可．【詳解】解：根據題意列表如下：042020000040共有12種情況，其中滿足的有4種結果，所以滿足的概率是．故選：B．【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．5.已知的半徑為2，點到圓心的距離為1.5，則點在（）A.圓外 B.圓上 C.圓內 D.不能確定【答案】C【解析】【分析】根據點與圓的位置關系即可得．【詳解】解：∵⊙O的半徑為2，點P到圓心O的距離為1.5，且1.5<2，∴點P在圓內，故選：C．【點睛】本題考查了點與圓的位置關系，熟練掌握點與圓的位置關系是解題關鍵．6.關于二次函數y＝（x﹣2）2+1，下列說法中錯誤的是（）A.圖象的開口向上B.圖象的對稱軸為x＝2C.圖象與y軸交于點（0，1）D.圖象可以由y＝x2的圖象向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度得到【答案】C【解析】【分析】根據二次函數的性質判斷A，B選項；根據當x＝0時，y＝5判斷C選項；根據圖象的平移規(guī)律判斷D選項．【詳解】解：A選項，a＝1＞0，開口向上，故該選項不符合題意；B選項，圖象的對稱軸為x＝2，故該選項不符合題意；C選項，當x＝0時，y=5，圖象與y軸交于點（0，5）故該選項符合題意；D選項，圖象可以由y＝x2的圖象向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度得到，故該選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數的性質，二次函數的圖象和幾何變換，掌握二次函數的圖象與坐標軸交點的求法是解題的關鍵．7.如圖，分別經過原點和點的動直線，夾角，點是中點，連接，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據已知條件，，得出的軌跡是圓，取點，則是的中位線，則求得的正弦的最大值即可求解，當與相切時，最大，則正弦值最大，據此即可求解．【詳解】解：如圖所示，以為邊向上作等邊，過點作軸于點，則，則的橫坐標為，縱坐標為，∴，取點，則是的中位線，∴，∵，∴點在半徑為的上運動，∵是的中位線，∴，∴，當與相切時，最大，則正弦值最大，在中，，過點作軸，過點作于點，過點作于點，則∵與相切，∴，∴，∴，∴，∴設，,則∴∴∴解得：∴

∴的最大值為，故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，求正弦，等邊三角形的性質。圓周角定理，得出點的軌跡是解題的關鍵．8.反比例函數與一次函數y＝﹣mx+m（m≠0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據一次函數的性質判斷出m取值，再根據反比例函數的性質判斷出m的取值，二者一致的即為正確答案．【詳解】解：A、由函數的圖象可知m＜0，由函數的圖象可知m＞0，相矛盾，故A錯誤；B、由函數的圖象可知m>0，由函數的圖象可知m＞0，故B正確；C、由函數的圖象可知m＜0，但是直線與y的正半軸有交點矛盾，故C錯誤；D、由函數的圖象可知m>0，但是直線與y的負半軸有交點矛盾，故D錯誤；故選：B.【點睛】本題主要考查了反比例函數的圖象性質和一次函數的圖象性質，要掌握它們的性質才能靈活解題．9.如圖是一張圓心為O，半徑為4cm的圓形紙片，沿弦AC所在直線折疊，使得經過點O，將紙片展平后，作半徑，則圖中陰影部分的面積等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】作OD⊥AC交圓于點D、交AC于點E，根據垂徑定理，OD平分和，又因為AC是對折線，所以OD與AC互相垂直平分，所以ODCO組成的圖形面積是與組成的圖形面積的一半，也就等于ADCEA組成圖形面積，此部分面積可用扇形OAC的面積減去△OAC面積求出，再用求出的面積減去扇形ODB的面積即得陰影部分面積．【詳解】作OD⊥AC交圓于點D，交AC于點E，連接OC，如圖，∴OD垂直平分弦AC，平分和，∵AC是向圓內的折線，且弦AC折疊后經過點O，∴點O是點D關于AC的對稱點，即OD與AC互相垂直平分，∴OE=DE=OD設與弦AC構成的圖形面積為SADC，與構成的圖形面積為SADCO，與和線段OD構成的圖形面積為SODC，則SADC=SADCO，SODC=SADCO，∴SODC=SADC，∵OD、OA都是圓O的半徑，半徑為4cm，∴OE=OD=OA=，∴∠OAE=30°，∴∠AOE=90°-30°=60°，∴∠AOC=2∠AOE=2×60°=120°，∴S扇形OAC==(cm2)，∵AC=2AE=cm，∴S△OAC=(cm2)，∴SADC=S扇形OAC-S△OAC=（）(cm2)，∴SODC=（）(cm2)，∵OB⊥OA，∠AOE=60°，∴∠BOD=∠AOB-∠AOE=90°-60°=30°，∴S扇形OBD=(cm2)，∴S陰影=SODC-S扇形OBD==（）(cm2)，故選A．【點睛】本題考查了求扇形和弓形面積、垂徑定理、折疊問題及三角形的知識，解題的關鍵是要能通過對稱看出SODC=SADC=SADCO，以及S陰影=SODC-S扇形OBD，再分別求出各部分面積就能求解．10.二次函數圖象如圖．下列結論：①；②；③若為任意實數，則有；④；⑤若，且，則．其中正確的有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】D【解析】【分析】由拋物線的開口方向判斷的大小，根據拋物線與軸的交點判斷的大小，根據對稱軸和拋物線與軸的交點情況進行推理，對結論逐一判斷，即可解答．【詳解】解：圖象的開口向下，與軸交于正半軸，對稱軸在軸右邊，可得：，，故①錯誤；根據對稱軸為直線，拋物線與軸的交點在的左邊，可得：拋物線與軸的另一個交點在和之間，當時，，故②正確；當時，函數具有最大值為，，即，故③正確；根據，可得，由②得，故④正確；設在二次函數上，，，關于對稱軸直線對稱，根據中點公式可得，，故⑤正確，綜上所述，正確的有4個，故選：D．【點睛】本題考查了圖象與二次函數系數之間的關系，會利用對稱軸求得與的關系，以及熟練掌握二次函數與方程、不等式之間的轉化，是解題的關鍵．二．填空題（共6小題，滿分20分）11.若點，在反比例函數的圖象上，，則與的大小關系是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，利用反比例函數的性質求解更簡便．根據反比例函數的性質判斷出、的正負情況，然后比較大小即可．【詳解】解：反比例函數的，反比例函數圖象位于第一、三象限，，，，．故答案為：．12.已知點P（x1，y1）和Q（2，y2）在二次函數y＝（x+k）（x﹣k﹣2）的圖象上，其中k≠0，若y1＞y2，則x1的取值范圍為_____．【答案】x1＞2或x1＜0．【解析】【分析】將二次函數的解析式化為頂點式，然后將點P、Q的坐標代入解析式中，然后y1＞y2，列出關于x1的不等式即可求出結論．【詳解】解：y＝（x+k）（x﹣k﹣2）＝（x﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2，∵點P（x1，y1）和Q（2，y2）在二次函數y＝（x+k）（x﹣k﹣2）的圖象上，∴y1＝（x1﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2，y2＝﹣2k﹣k2，∵y1＞y2，∴（x1﹣1）2﹣1﹣2k﹣k2＞﹣2k﹣k2，∴（x1﹣1）2＞1，∴x1＞2或x1＜0．故答案為：x1＞2或x1＜0．【點睛】此題考查的是比較二次函數上兩點之間的坐標大小關系，掌握二次函數的頂點式和根據函數值的取值范圍求自變量的取值范圍是解決此題的關鍵．13.某班有6名女生和4名男生報名參加學校組織的進博會志愿者活動，現從中任選1人，則選中男生的可能性是_________．【答案】【解析】【分析】根據概率公式求解即可．本題考查可能性的大小，一般方法為：如果一個事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現種可能，那么事件的概率．【詳解】解：某班有6名女生和4名男生報名參加學校組織的進博會志愿者活動，現從中任選1人，共有19種情況，其中男生被選中的有4種結果，選中男生的可能性是，故答案為：．14.如圖所示，海面上有一座小島A，一艘船在B處觀測A位于西南方向20km處，該船向正西方向行駛2小時至C處，此時觀測A位于南偏東，則船行駛的路程約為_____．（結果保留整數，，，）【答案】39km【解析】【分析】作于，則，，得出，，則可算出BD和CD的長，即可得出BC．【詳解】解：作于，則，，，，；故答案為：．點睛】本題考查了解直角三角形的應用；作出輔助線是解題的關鍵．15.如圖，已知反比例函數y1＝，y2＝在第一象限的圖象，過y2上任意一點P作x軸的垂線交y1于點A，交x軸于點B，過點P作y軸的垂線交y1于點C，y軸于點D，連接AC，BD，則＝_____．【答案】【解析】【分析】設點P的坐標，根據兩個解析式表示出點C，A，B，D的坐標，并證明，，根據相似圖形的面積比等于相似比的平方，得到的比值．【詳解】解：設∵過y2上任意一點P作x軸的垂線交y1于點A，交x軸于點B，過點P作y軸的垂線交y1于點C，y軸于點D，∴C的縱坐標為，A的橫坐標為將C，A坐標代入中得，∴則，∵∴∴故填：．【點睛】本題考查了反比例函數與幾何圖形的綜合，熟知幾何條件與函數條件的轉化是解題的關鍵．16.如圖，已知正方形的邊長為4，對角線，交于點，分別以，為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為________．【答案】【解析】【分析】半圓的面積減去△ABE的面積，然后乘以2即可求得陰影部分的面積．【詳解】半圓的面積是：；

則△ABE是等腰直角三角形，面積是：．

則陰影部分的面積是：．故答案為：．【點睛】本題屬于求組合圖形面積的問題，這種類型的題目主要明確組合圖形是由哪些基本的圖形構成的，然后看是求幾種圖形的面積和還是求面積差，然后根據面積公式解答即可．三．解答題（共10小題，滿分52分）17.計算：．【答案】37【解析】【分析】本題考查了實數的混合運算，先計算二次根式、絕對值、特殊角的三角函數值、零指數冪、負整數指數冪，再計算乘法，最后計算加減即可，熟練掌握運算順序以及運算方法是解此題的關鍵．【詳解】解：．18.如圖，一次函數y=kx+bk≠0的圖象與x軸、y軸分別交于A，B兩點，且與反比例函數的圖象在第一象限相交于C點，作軸于D點，若，，．（1）求反比例函數的解析式；（2）的面積為________．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據題意求出，，及，代入，即可求解，（2）將A-2,0，，代入一次函數，求出一次函數解析式，當時，求出的長度，即可求解，本題考查了求反比例函數解析式，求一次函數解析式，解題的關鍵是：熟練掌握反比例函數．【小問1詳解】解：∵，，，∴，，∴，∵點C在反比例函數的圖象上，∴，∴反比例函數為：；【小問2詳解】解：將A-2,0，，代入一次函數，，解得：，∴一次函數的解析式為：，當時，，∴，∴的面積為：，故答案為：．19.如圖，在地面上離旗桿底部10米的處，用測角儀測得旗桿頂端的仰角為，已知測角儀的高為1.5米，求旗桿的高（參考數據：，精確到0.1米）．【答案】約為14.3米【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．過點作，垂足為，根據題意可得：米，米，，然后在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，從而利用線段的和差關系進行計算，即可解答．【詳解】解：過點作，垂足為，由題意得：米，米，，在中，（米，（米，旗桿的高約為14.3米．20.在中，半徑垂直于弦，垂足為，，為弦所對的優(yōu)弧上一點．（1）如圖①，求和的大??；（2）如圖②，與相交于點，，過點作的切線，與的延長線相交于點，若，求的長．【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）由垂徑定理得到，因此得出，求出，再由圓周角定理即可得解（2）求出，再由正切的定義即可得解．【小問1詳解】解：∵半徑垂直于弦，∴，∴，∴，∵，∴；【小問2詳解】解：如圖，連接，∵半徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵切圓于，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理、切線性質、等腰三角形的性質、解直角三角形、三角形外角的定義及性質等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．21.用抽簽的方法從三名同學中選一名參加音樂會，事先準備三張相同的紙條，并在一張紙條上畫上記號，其余2張不畫，把三張紙條放在一個盒子中搖勻，然后讓三名同學去摸紙條，摸到有標記的紙條的那位同學將被選中，這個游戲公平嗎？通過畫樹狀圖的方法計算每個人中簽的概率來說明．【答案】這個游戲公平，理由見解析【解析】【分析】本題主要考查的是用列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知識點為：概率等于所求情況數與總情況數之比，畫樹狀圖得出所有等可能的結果數，再從中找到符合條件的結果數，然后再用概率公式求解即可．【詳解】解：這個游戲公平，理由如下：假設這3位同學抽簽的順序依次為：甲第一、乙第二、丙第三．畫樹狀圖得：則所有可能出現的結果有：，，，，，共6種．甲中簽的結果有2種，P（甲中簽）；乙中簽的結果有2種，P（乙中簽）；丙中簽的結果有2種，P（丙中簽）．因此先抽的人與后抽的人中簽的概率相同，即這個游戲公平．22.2019年6月5日我國航天首次完成海上發(fā)射，用長征十一號運載火箭將七顆衛(wèi)星送入太空，這標志著我國火箭發(fā)射技術達到了一個嶄新的高度．如圖，運載火箭從海面發(fā)射站點M處垂直海面發(fā)射，當火箭到達點A處時，海岸邊N處的雷達站測得點N到點A的距離為8千米，仰角為，火箭繼續(xù)直線上升到達點B處，此時海岸邊N處的雷達測得B處的仰角增加．（結果精確到0.1千米，參考數值，）（1）求發(fā)射站點M到海岸邊雷達站N的距離．（2）求此時火箭所在點A處上升到B處的距離．【答案】（1）距離為6.9千米；（2）此時火箭所在點A處上升到B處的距離為2.9千米．【解析】【分析】（1）利用已知結合銳角三角函數關系即可得出的長；（2）在中，由銳角三角函數關系可求得，證得為等腰直角三角形得到，有線段的和差即可求得結果．本題考查解直角三角形的應用仰角俯角問題，能夠借助仰角構造直角三角形是解題的關鍵．【小問1詳解】解：由題意得：在中，，，由得：，（千米），所以發(fā)射站點到海岸邊雷達站的距離為6.9千米；【小問2詳解】解：在中，，，，（千米），又在中，，為等腰直角三角形，（千米），（千米），此時火箭所在點處上升到處的距離為2.9千米．23.某超市銷售一種商品，成本價為20元/千克，經市場調查，每天銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）之間的關系如圖所示，規(guī)定每千克售價不能低于30元，且不高于80元．設每天的總利潤為w元．（1）根據圖象求出y與x之間的函數關系式；（2）請求出w與x之間的函數關系式，當銷售單價定為多少元時，該超市每天的利潤最大？最大利潤是多少元？（3）若該超市銷售該商品所獲利潤不低于2800元，請直接寫出x的取值范圍．【答案】（1）（2）；80元；6000元（3）【解析】【分析】（1）設與之間的函數關系式為，由待定系數法求解即可；（2）利用總利潤等于每千克的利潤乘以銷售量列出函數關系，將關于的二次函數寫成頂點式，根據二次函數的性質及自變量的取值范圍可得答案．（3）當時，得或，根據二次函數的性質和題目中x滿足的條件綜合得出x的取值范圍．【小問1詳解】解：設與之間的函數關系式為，將；分別代入得：，解得：，與之間的函數關系式為；【小問2詳解】由題意得：，；，，拋物線開口向下，對稱軸為直線，當時，隨的增大而增大，當時，有最大值，此時，當銷售單價定為80元時，該超市每天的利潤最大，最大利潤是6000元．【小問3詳解】，當時，，解得，或，拋物線開口向下時，，【點睛】本題考查了二次函數與一次函數在銷售問題中的應用，理清題中的數量關系并熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．24.如圖，在三角形ABC中，AB＝10，AC＝BC＝13，以BC為直徑作⊙O交AB于點D，交AC于點G，直線DF⊥AC，于點F，交CB的延長線于點E．（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）求cos∠ADF的值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）連接OD和CD，根據圓周角定理求出∠BDC＝90°，根據等腰三角形的性質求出AD＝BD，根據三角形的中位線求出OD∥AC，求出OD⊥EF，根據切線的判定得出即可；（2）根據余角的性質得到∠ADF＝∠ODC，等量代換得到∠ADF＝∠ODC，根據勾股定理得到CD＝12，根據三角函數的定義即可得到結論．【詳解】（1）證明：連接OD，CD，∵BC為⊙O的直徑，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，∵AC＝BC，AB＝10，∴AD＝BD＝5，∵O為BC中點，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥EF，∵OD過O，∴直線DF是⊙O的切線；（2）∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ODF＝90°，∴∠ADF＝∠ODC，∴OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ADF＝∠ODC，∵BD＝5，BC＝13，∴CD＝12，∴＝＝．【點睛】本題考查了切線的判定，求一個角的三角函數值，（1）要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可；（2）求一個角的三角函數值，要把這個角放入直角三角形中或作垂直，也可以根據等角的三角函數值相等進行轉化．25.如圖1，四邊形為正方形，點A在y軸上，點B在x軸上，且，反比例函數在第一象限的圖象經過正方形的頂點C．（1）求點C的坐標；（2）如圖2，將正方形沿x軸向右平移得到正方形，點恰好落在反比例函數的圖象上，求此時點的坐標；（3）在（2）條件下，點P為y軸上一動點，平面內是否存在點Q，使以點O、、P、Q為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）點Q的坐標為或或或．【解析】【分析】（1）過點C作軸，交于點H，設，則，根據正方形的性質及各角之間的關系得出，利用全等三角形的判定和性質得出，，即可確定點C的坐標；（2）利用（1）中方法確定，由點恰好落在反比例函數圖象上，確定函數圖象的平移方式即可得出點的坐標；（3）根據題意進行分類討論：當時；當時；當為對角線時；分別利用菱形的性質及等腰三角形的性質求解即可．【小問1詳解】解：過點C作軸，交于點H，∵，∴設，則，∵四邊形是正方形，∴