2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：立體幾何初步（三大考向） 專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)考二輪專題復(fù)習(xí)-第九講-立體幾何初步（三大考向）-專項(xiàng)訓(xùn)練

一：考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

2022?新高考□卷，

4

2023?新高考□卷，

14

2024?新高考□卷，

柱、錐、臺(tái)體的表面積與體5

1.高考對(duì)立體幾何初步的考

積2022?新高考口卷，

查，重點(diǎn)是掌握基本空間圖形

11

及其簡(jiǎn)單組合體的概念和基本

2023?新高考□卷，

特征、解決多面體和球體的相

9

關(guān)計(jì)算問(wèn)題。同時(shí)需要關(guān)注異

2023?新高考□卷，

面直線的判定和成角問(wèn)題、空

14

間點(diǎn)線面的位置關(guān)系問(wèn)題、夾

2022?新高考□卷，

角距離問(wèn)題、截面問(wèn)題。這些

8

問(wèn)題對(duì)考生的空間想象能力要

2023?新高考□卷，

求有所提升，需要考生有強(qiáng)大球的切接問(wèn)題

12

的邏輯推理能力。

2022?新高考□卷，

7

2022?新高考□卷，

9

夾角問(wèn)題

2024?新高考□卷，

7

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷考查了圓柱、圓錐表面積、體積的綜合應(yīng)用，口卷考查了

以棱臺(tái)為背景的線面角的求法，總的來(lái)說(shuō)，基本立體圖形的表面積和體積屬于?？?/p>

點(diǎn)，難度一般是較易和適中，掌握基本的公式和提升計(jì)算能力比較重要。預(yù)計(jì)2025年

高考還是主要考查基本立體圖形的表面積和體積，可以多多關(guān)注臺(tái)體的表面積和體積

計(jì)算。

三：試題精講

一、單選題

1.（2024新高考口卷-5）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高

均為6,則圓錐的體積為（）

A.2出nB.3君無(wú)C.6VD.9出兀

52

2.（2024新高考口卷-7）已知正三棱臺(tái)ABC-的體積為了，AB=6,=2,

則4A與平面N3C所成角的正切值為（）

A.1B.1C.2D.3

高考真題練

一、單選題

1.（2022新高考口卷4）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一

部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為MQOkn?；水

位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為18O.Okm2,將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看

作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升至Ij157.5m時(shí)，增加的水量約為

（77?2.65）（）

A.1.0x109m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

2.（2022新高考□卷-8）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球

的體積為36萬(wàn)，且3WE36，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

■811「27811-「27641,f

A.18,—B.-C.—D.r[1o8,27]

_4JL44JL43_

3.（2022新高考□卷-7）已知正三棱臺(tái)的高為I,上、下底面邊長(zhǎng)分別為3后和4石,

其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）

A.IOOTTB.128TIC.144兀D.192兀

二、多選題

4.（2022新高考口卷-9）已知正方體ABC。-44GR，則（）

A.直線BG與0A所成的角為90。B.直線BG與CA所成的角為90。

C.直線2G與平面班QD所成的角為45。D.直線BG與平面/BCD所成的角為

45°

5.（2023新高考□卷T2）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方

體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長(zhǎng)均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

6.（2022新高考□卷T1）如圖，四邊形ABCD為正方形，瓦＞，平面ABCD,

FB//ED,AB=ED=2FB,記三棱錐E—AC。，F(xiàn)-ABC,尸-ACE的體積分別為

V%,%,則（）

A.匕=2%B.B=K

C.匕=匕+匕D.2匕=3匕

7.（2023新高考口卷-9）已知圓錐的頂點(diǎn)為尸，底面圓心為。，Z3為底面直徑，

ZAPB=120°,上4=2,點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P-AC—O為45。，則（）.

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為4班兀

C.AC=2&D.APAC的面積為6

三、填空題

8.（2023新高考□卷T4）在正四棱臺(tái)ABC。-A耳GA中，AB=2,4g=1,A4,=應(yīng)，則

該棱臺(tái)的體積為.

9.（2023新高考□卷T4）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去

一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為.

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、棱柱、棱錐、棱臺(tái)

1、棱柱：兩個(gè)面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都

互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.

（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；

（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；

（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；

（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；

（5）直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體；

（6）長(zhǎng)方體：底面是矩形的直平行六面體；

（7）正方體：棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體.

2、棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成

的多面體叫做棱錐.

（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心;

（2）正四面體：所有棱長(zhǎng)都相等的三棱錐.

3、棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái),

由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái).

簡(jiǎn)單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系如圖所示.

正

四

棱柱棱

柱

凸

多

面長(zhǎng)方體

體

正

方

體

二、圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球、組合體

1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體

叫做圓柱.

2、圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所

圍成的幾何體叫做圓錐.

3、圓臺(tái)：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái).

4、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，

簡(jiǎn)稱為球（球面距離：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長(zhǎng)度）.

5、由柱體、錐體、臺(tái)體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體.

三、表面積與體積計(jì)算公式

1、表面積公式

S直棱柱=+2s底

柱體

S斜棱柱=c，l+2s底(c‘為直截面周長(zhǎng))

2"

S圓錐=2萬(wàn)產(chǎn)+2萬(wàn)力=2兀y(r+/)64

S正棱錐+S底

錐體

表

S圓錐=冗卜+7irl=兀r(r+Z)坯

面4b

積

S正棱臺(tái)="+a')h+S上+S卜.a

臺(tái)體

22

S圓臺(tái)=欣r'+r+r'l+rl)0M

球

S=4兀R?B

2、體積公式

/1

柱體4=S〃

體國(guó)

積

錐體vw=^sh

臺(tái)體%=g(S+后'+S.

?

43

球

3

四、空間幾何體的直觀圖

1、斜二測(cè)畫法

斜二測(cè)畫法的主要步驟如下：

（1）建立直角坐標(biāo)系.在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的Ox,Oy,建立直

角坐標(biāo)系.

（2）畫出斜坐標(biāo)系.在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對(duì)應(yīng)圖形.在已知圖形平行于

x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于。％,O'y',使/才。y=45（或135）,它們確定

的平面表示水平平面.

（3）畫出對(duì)應(yīng)圖形.在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于》軸的線

段，且長(zhǎng)度保持不變；在已知圖形平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y軸，

且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一般.可簡(jiǎn)化為“橫不變，縱減半”.

（4）擦去輔助線.圖畫好后，要擦去犬軸、y'軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）.被

擋住的棱畫虛線.

注：直觀圖和平面圖形的面積比為也:4.

五、四個(gè)基本事實(shí)

基本事實(shí)1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點(diǎn)在面內(nèi)的方法

基本事實(shí)2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

注意：（1）此公理是確定一個(gè)平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點(diǎn)共面的依據(jù)

推論□:經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；

注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)

（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

推論□:經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；

推論□:經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面；

基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的

公共直線.

注意：（1）此公理是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)

（2）此公理是判定若干點(diǎn)在兩個(gè)相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點(diǎn)共線、三線

共點(diǎn)）

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

六、直線與直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面

圖形/ZX7zS7工

符號(hào)ab-PaHbaa=A,b<^a,A^b

公共點(diǎn)個(gè)100

數(shù)

特征兩條相交直線確定一個(gè)平兩條平行直線確定一個(gè)平面兩條異面直線不同在如何

面一個(gè)平面內(nèi)

七、直線與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）

圖形

//

符號(hào)lualf]a=P/□“

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)數(shù)個(gè)10

八、平面與平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直

圖形

三a

LJ

a/3=1

符號(hào)a工B,aP=1

公共點(diǎn)個(gè)0無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在

數(shù)唯一的一條直線上唯一的一條直線上

九、等角定理

1、定義：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

十、直線和平面平行

1、定義

直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱此直線/與平面a平行，記作/口a

2、判定方法（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果平面外的一條直線和這個(gè)平l//lx

面內(nèi)的一條直線平行，那么這條6ua>=>/〃a

線口線nN__/IUa

直線和這個(gè)平面平行（簡(jiǎn)記為

線口面

“線線平行n線面平行

如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)一&

a"B

平面內(nèi)的所有直線都平行于另一aua

面口面n

個(gè)平面

線口面

3、性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果一條直線和一l//a

個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)lu0>=>i//r

a/3=

這條直線的平面和

線□面n線□線

這個(gè)平面相交，那

么這條直線就和交

線平行

■*一、兩個(gè)平面平行

1、定義

沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫作平行平面，用符號(hào)表示為：對(duì)于平面a和夕，若

a/?=0,則a口,

2、判定方法（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

判定定如果一個(gè)平面內(nèi)有aua,bua,ab=P

理線口兩條相交的直線都

allB，b〃B=a〃0

面n面平行于另一個(gè)平//

面，那么這兩個(gè)平

□面

面平行（簡(jiǎn)記為“線

面平行n面面平行

線，面如果兩個(gè)平面同垂2_____/_L，

n7>=>a□/?

n面口直于一條直線，那

面么這兩個(gè)平面平行

3、性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

如果兩個(gè)平面平

面〃面=>

行，那么在一個(gè)平

a11B

線〃面面中的所有直線都>=>〃//

au%

平行于另外一個(gè)平

面

如果兩個(gè)平行平面

同時(shí)和第三個(gè)平面

a//，

相交，那么他們的

性質(zhì)定理aRiy=a'=a〃b.

交線平行（簡(jiǎn)記為

/Bny=b

“面面平行=>線面

平行”）

如果兩個(gè)平面中有

面〃面=>

一個(gè)垂直于一條直/tva11[3

/./I.La

線，面線，那么另一個(gè)平

面也垂直于這條直

線

十二、直線與平面垂直

1、直線與平面垂直的定義

如果一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個(gè)平面相互垂

直.

2、判定定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

一條直線與?

1

一個(gè)平面內(nèi)

的兩條相交a,bua

aLI

判斷定理直線都垂7=>/_La

bU

直，則該直acb=P

線與此平面

垂直

兩個(gè)平面垂

直，則在一

a工B

面口面口線口個(gè)平面內(nèi)垂a(~\[3-a

1>=b_La

面直于交線的bu/3

bLa

直線與另一

個(gè)平面垂直

一條直線與

____L

平行與垂直

兩平行平面a!1(3}n

aLa]

的關(guān)系中的一個(gè)平二口

面垂直，則

該直線與另

一個(gè)平面也

垂直

兩平行直線ab

中有一條與

平行與垂直平面垂直，

的關(guān)系則另一條直a

線與該平面

也垂直

3、性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

垂直于同一平ab

aLa\

性質(zhì)定理面的兩條直線

bLa]

平行

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

垂直于同一___a

垂直與平行a-La]

直線的兩個(gè)a11/3

aL/3}

的關(guān)系/

平面平行J

如果一條直

線垂直于一

線垂直于面?zhèn)€平面，則

的性質(zhì)該直線與平二

面內(nèi)所有直

線都垂直

十三、平面與平面垂直

1、平面與平面垂直的定義

如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的

兩條交線互相垂直.（如圖所示，若acQ=CD,C"y,且

acy=AB,0cy=BE,ABLBE,貝Ua_L尸）

一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂

直.

2、判定定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

判定定理一個(gè)平面過(guò)另一b.La]

>=a_L尸

一個(gè)平面的垂

線，則這兩個(gè)

平面垂直

知識(shí)點(diǎn)6：性質(zhì)定理（文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言）

文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，則a工B

ac。=a

一個(gè)平面內(nèi)垂直于}=匕J_a

bup

交線的直線與另一blaJ

個(gè)平面垂直

十四、直線與平面所成的角

1、定義

□斜線和斜足：如圖，一條直線/與一個(gè)平面a相交，但不與這個(gè)平面垂直，這條直線

叫做這個(gè)平面的

斜線，斜線和平面的交點(diǎn)/叫做斜足.

□斜線在平面上的射影：如圖，過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)尸向平面a引垂線P。，過(guò)垂

足。和斜足力的

直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.

□斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直

線和這個(gè)平面所

成的角.

2、直線與平面所成的角的范圍

□一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說(shuō)它們所成的角是0。.

□一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角是90。.

□與平面相交且不垂直于此平面的直線和此平面所成的角。的范圍是0。<6><90。.

□直線與平面所成的角。的取值范圍是0。WOW90。.

十五、二面角

1、二面角的定義

□半平面：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常叫做半平面.

口二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面

角的棱，這兩個(gè)

半平面叫做二面角的面.

2、二面角的表示

□棱為面分別為a,￡的二面角記作二面角如果棱記作/，那么這個(gè)二

面角記作二面角a

-I邛，如圖(1).

□若在a,￡內(nèi)分別取不在棱上的點(diǎn)尸，Q,這個(gè)二面角可記作二面角尸-48-。，如果棱

記作/,那么這

個(gè)二面角記作二面角P-/-0,如圖(2).

⑴

3、二面角的平面角

□自然語(yǔ)言

在二面角a-1-P的棱I上任取一點(diǎn)O,以點(diǎn)0為垂足，在半平面a和夕內(nèi)分別作垂直于

棱/的射線0A和

0B,則射線0/和0B構(gòu)成的口4。3叫做二面角的平面角.

□圖形語(yǔ)言

□符號(hào)語(yǔ)言

an/3=l,OEI,0A(Za,0BU/3,OALl,OBLn口/03叫做二面角a-//的

平面角.

4、二面角大小的度量

□二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面

角是多少度.平面

角是直角的二面角叫做直二面角.

□當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面重合時(shí)，規(guī)定二面角的大小是0。；當(dāng)二面角的兩個(gè)半平面合

成一個(gè)平面時(shí)，

規(guī)定二面角的大小是180。.所以二面角的平面角'的范圍是0。WaW180。.

名校模擬練

一、單選題

1.（2024?重慶?三模）若圓錐的母線長(zhǎng)為2,且母線與底面所成角為則該圓錐的側(cè)

4

面積為（）

A.叵iB.2兀C.2正兀D.4兀

2.（2024?河北秦皇島?三模）已知加，幾表示兩條不同的直線，。表示平面，則（）

A.若根cc,n//a,則B.若加a,m^_n,則〃_La

C.若根_La,mVn,貝!j〃〃aD.若zn_La,幾u(yù)a,則機(jī)_L〃

3.（2024?新疆喀什三模）已知底面邊長(zhǎng)為2的正四棱柱A5CQ-AAG2的體積為

16,則直線AC與A出所成角的余弦值為（）

卜返B亞c叵D3M

'55'7（7'10

4.（2024?山東濰坊?三模）某同學(xué)在勞動(dòng)課上做了一個(gè)木制陀螺，該陀螺是由兩個(gè)底面

重合的圓錐組成.已知該陀螺上、下兩圓錐的體積之比為1:2,上圓錐的高與底面半徑

相等，則上、下兩圓錐的母線長(zhǎng)之比為（）

AVioR1「應(yīng)NA/15

5225

5.（2024?陜西?三模）黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國(guó)國(guó)家博物館的一件明代國(guó)寶級(jí)瓷

器.該龍紋盤敞口，弧壁，廣底，圈足.器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并

填綠彩，美不勝收.黃地綠彩云龍紋盤可近似看作是圓臺(tái)和圓柱的組合體，其口徑

22.5cm,足徑14.4cm,高3.8cm,其中底部圓柱高0.8cm,則黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面

積約為（）（附：兀的值取3,J25.4025-5）

A.300.88cm2B.311.31cm2C.322.24cm2D.332.52cm2

6.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）我們把所有頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫做擬柱

體，在這兩個(gè)平行平面內(nèi)的面叫做擬柱體的底面，其余各面叫做擬柱體的側(cè)面，兩底

面之間的垂直距離叫做擬柱體的高，過(guò)高的中點(diǎn)且平行于底面的平面截?cái)M柱體所得的

截面稱為中截面.已知擬柱體的體積公式為V=g〃（S+4S°+S）,其中分別是上下

底面的面積，S。是中截面的面積，//為擬柱體的高.一堆形為擬柱體的建筑材料，其兩

底面是矩形且對(duì)應(yīng)邊平行（如圖），下底面長(zhǎng)20米，寬10米，堆高1米，上底的長(zhǎng)

寬比下底的長(zhǎng)寬各少2米.現(xiàn)在要徹底運(yùn)走這堆建筑材料，若用最大裝載量為5噸的

卡車裝運(yùn)，則至少需要運(yùn)（）（注：1立方米該建筑材料約重1.5噸）

A.51車B.52車C.54車D.56車

7.（2024?天津河西?三模）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，E,尸分別為43,4C的中

點(diǎn)，平面石4G廠將三棱柱分成體積為匕，匕兩部分，則匕：%=（）

A.1D1B.4D3C.6D5D.7D5

8.（2024?新疆?三模）設(shè)四棱臺(tái)ABC。-A4GA的上、下底面積分別為耳，邑，側(cè)面積

為S,若一個(gè)小球與該四棱臺(tái)的每個(gè)面都相切，則（）

2

A.S=S&B.S=St+S2

C.S-2邪也D.直=￡+病

9.（2024?天津北辰?三模）中國(guó)載人航天技術(shù)發(fā)展日新月異.目前，世界上只有3個(gè)國(guó)家

能夠獨(dú)立開展載人航天活動(dòng).從神話“嫦娥奔月”到古代“萬(wàn)戶飛天”，從詩(shī)詞“九天攬?jiān)隆?/p>

到壁畫“仕女飛天”……千百年來(lái)，中國(guó)人以不同的方式表達(dá)著對(duì)未知領(lǐng)域的探索與創(chuàng)

新.如圖，可視為類似火箭整流罩的一個(gè)容器，其內(nèi)部可以看成由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱

組合而成的幾何體.圓柱和圓錐的底面半徑均為2,圓柱的高為6,圓錐的高為4.若將其

內(nèi)部注入液體，已知液面高度為7,則該容器中液體的體積為（）

―3257r

C215兀D.------

,916

10.（2024?山東泰安?二模）已知四面體的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若

AB=BC=CD=DA=BD=4y[3,平面ABD_L平面BCD,則該球的表面積是（）

A.40TIB.80TIC.IOO71D.160兀

11.（2024?天津?二模）在如圖所示的幾何體中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為4的正方形，

AA,,BG,CG,均與底面ABCD垂直，且朋=。6；=￡>2=236=46，點(diǎn)&F

分別為線段BC、CG的中點(diǎn)，記該幾何體的體積為V,平面AFE將該幾何體分為兩部

分，則體積較小的一部分的體積為（）

7

cD.

小22

12.（2024?江西鷹潭?三模）在菱形ABC。中，AB=2,AC=2?將一ABC沿對(duì)角線

AC折起，使點(diǎn)區(qū)到達(dá)&的位置，且二面角"-AC-。為直二面角，則三棱錐夕-ACD

的外接球的表面積為（）

A.5兀B.1671C.20兀D.100兀

二、多選題

13.（2024?山西?三模）將一個(gè)直徑為10cm的鐵球磨制成一個(gè)零件，能夠磨制成的零件

可以是（）

A.底面直徑為8cm,高為6cm的圓柱體B.底面直徑為8cm,高為8cm的圓錐

體

C.底面直徑為7cm,高為9cm的圓錐體D.各棱長(zhǎng)均為8cm的四面體

14.（2024?浙江?二模）正方體ABCD-44CQ中，E,P分別為棱AD和。2的中點(diǎn),

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.A。//平面3EF

B.BCJ■平面

C.異面直線42與斯所成角為60°

D.平面3EF截正方體所得截面為等腰梯形

15.（2024?河南三門峽?模擬預(yù)測(cè)）已知正方體A8CD-ABGR的棱長(zhǎng)為1,尸為8a的中

點(diǎn)，。為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，貝IJ（）

A.異面直線AP與AR所成角為30

B.4"平面APB

C.平面平面叫

D.三棱錐A-QCtD的體積為定值

16.（2024?湖南長(zhǎng)沙?三模）已知一圓錐的底面半徑為G，該圓錐的母線長(zhǎng)為2,A,B

為底面圓的一條直徑上的兩個(gè)端點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.其側(cè)面展開圖是圓心角為后的扇形

B.該圓錐的體積為兀

C.從/點(diǎn)經(jīng)過(guò)圓錐的側(cè)面到達(dá)3點(diǎn)的最短距離為2A

D.過(guò)該圓錐的頂點(diǎn)作圓錐的截面，則截面面積的最大值為2

17.（2024?河北保定?二模）如圖1,在等腰梯形ABCD中，AB//CD,EFYAB,

CF=EF=2DF=2,AE=3,EB=4,將四邊形AEFD沿用進(jìn)行折疊，使AD到達(dá)

AD位置，且平面AZXFE_L平面3CFE,連接AB,D,C,如圖2,貝I］（）

A.BE±AD'B.平面A'￡B〃平面ZXFC

jr

C.多面體AEBCD，尸為三棱臺(tái)D.直線AD與平面BCFE所成的角為:

4

三、填空題

3

18.（2024?重慶?二模）將一個(gè)半徑為￡cm的鐵球熔化后，澆鑄成一個(gè)正四棱臺(tái)形狀的

鐵錠，若這個(gè)鐵錠的底面邊長(zhǎng)為1cm和2cm,則它的高為cm.

19.（2024?浙江?三模）已知圓臺(tái)的上底面半徑為1,下底面半徑為5,側(cè)面積為30無(wú)，

則圓臺(tái)的高為.

20.（2024?貴州黔東南?二模）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為4,用一個(gè)平行于該圓錐底面

的平面截圓錐，若截得的小圓錐的底面半徑為2,則截得的小圓錐的側(cè)面積與截得的圓

臺(tái)的側(cè)面積之比為.

21.（2024?上海奉賢二模）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型，如圖所

示.該模型為長(zhǎng)方體ABCD-ABGA中挖去一個(gè)四棱錐O-EFG”,其中。為長(zhǎng)方體的

中心，E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=4cm,M=2cm,3D打印所

用原料密度為0.9g/cn?.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為

S.

22.（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）在直三棱柱A4G—A8C中，AB±BC,ACl=2AAl=4,則

該三棱柱的體積的最大值為.

23.（2024?四川?三模）已知正四棱臺(tái)ABC。-A4GA的上下底面邊長(zhǎng)分別為4,6,若

正四棱臺(tái)的外接球的表面積為104兀，則正四棱臺(tái)ABCD-ABGP的體積—

24.（2024?重慶?三模）已知一個(gè)表面積為4兀的球與正三棱柱的各個(gè)面都相切，則此正

三棱柱的體積為.

25.（2024?山東濟(jì)南?二模）將一個(gè)圓形紙片裁成兩個(gè)扇形，再分別卷成甲乙兩個(gè)圓

錐的側(cè)面，甲乙兩個(gè)圓錐的側(cè)面積分別為S甲和S乙，體積分別為%和4.若薩=2,

則I.

26.（2024?河北秦皇島?二模）已知正三棱臺(tái)A8C-A4G的所有頂點(diǎn)都在表面積為65萬(wàn)

的球O的球面上，且AB=2A4=46，則正三棱臺(tái)ABC-的體積為

參考答案與詳細(xì)解析

:考情分析

命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)

2022?新高考口卷，

4

2023?新高考口卷,

14

2024?新高考口卷，

柱、錐、臺(tái)體的表面積與體5

1.高考對(duì)立體幾何初步的考

積2022?新高考口卷，

查，重點(diǎn)是掌握基本空間圖形

11

及其簡(jiǎn)單組合體的概念和基本

2023?新高考口卷，

特征、解決多面體和球體的相

9

關(guān)計(jì)算問(wèn)題。同時(shí)需要關(guān)注異

2023?新高考□卷，

面直線的判定和成角問(wèn)題、空

14

間點(diǎn)線面的位置關(guān)系問(wèn)題、夾

2022?新高考口卷，

角距離問(wèn)題、截面問(wèn)題。這些

8

問(wèn)題對(duì)考生的空間想象能力要

2023?新高考□卷，

求有所提升，需要考生有強(qiáng)大球的切接問(wèn)題

12

的邏輯推理能力。

2022?新高考口卷，

7

2022?新高考□卷，

9

夾角問(wèn)題

2024?新高考口卷，

7

二：2024高考命題分析

2024年高考新高考口卷考查了圓柱、圓錐表面積、體積的綜合應(yīng)用，口卷考查了

以棱臺(tái)為背景的線面角的求法，總的來(lái)說(shuō)，基本立體圖形的表面積和體積屬于常考

點(diǎn)，難度一般是較易和適中，掌握基本的公式和提升計(jì)算能力比較重要。預(yù)計(jì)2025年

高考還是主要考查基本立體圖形的表面積和體積，可以多多關(guān)注臺(tái)體的表面積和體積

計(jì)算。

三：試題精講

一、單選題

1.（2024新高考口卷-5）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高

均為6,則圓錐的體積為（）

A.2扃B.3后C.6石兀D.9扃

【答案】B

【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為「，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑，?的方程，求

出解后可求圓錐的體積.

【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為「，則圓錐的母線長(zhǎng)為尸口，

而它們的側(cè)面積相等，所以2ax百=7irxg+/即2百=,3+5，

故r=3,故圓錐的體積為；畛9乂若=3石T.

故選：B.

52

2.（2024新高考口卷-7）已知正三棱臺(tái)ABC-的體積為石，AB=6,A耳=2,

則AA與平面/3C所成角的正切值為（）

A.1B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】解法一：根據(jù)臺(tái)體的體積公式可得三棱臺(tái)的高〃=遞，做輔助線，結(jié)合正三

3

棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求得AM=乎，進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三

棱臺(tái)ABC-A與G補(bǔ)成正三棱錐P-ABC,AA與平面ABC所成角即為B4與平面ABC

所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得/…c=18,進(jìn)而可求正三棱錐P-ABC的高，即可得結(jié)果.

【詳解】解法一：分別取BC6G的中點(diǎn)則AD=3"AR=6,

可知5板=］6、6、*9"54烏"*2、君=6

設(shè)正三棱臺(tái)ABC-A與G的為跖

WOVABC-^BJC,=g（9A+6+,9代+6）/7=/,解得〃

如圖，分別過(guò)A，2作底面垂線，垂足為M,N,設(shè)AM=X,

貝（J招=JAM2+4M2=y+與,DN=AD-AM-MN=26-x,

222

可得OR=ylDN+DtN=J（2V3-x）+y,

結(jié)合等腰梯形BCC再可得BB；［等［+DD；,

即/+g=（2右一尤『+g+4,解得尤=孚，

所以AA與平面ABC所成角的正切值為tan?AA。41M=1;

解法二：將正三棱臺(tái)ABC-A與G補(bǔ)成正三棱錐P-ABC,

則4A與平面ABC所成角即為總與平面ABC所成角,

/—ABC1

因?yàn)?，則

PAAB3^P-ABC27

可知匕BC-AB1G=2y^P-ABC=,則力-枷=18,

設(shè)正三棱錐P-ABC的高為d,貝！lL.c=*x；x6x6x#=18,解得d=2指,

取底面ABC的中心為。，貝!)尸?！沟酌鍭BC,且AO=2右,

PO

所以2與平面ABC所成角的正切值tanNPAO=^=L

故選：B.

高考真題練

一、單選題

1.(2022新高考口卷4)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一

部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km，水

位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km2,將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看

作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上