2025年高考數(shù)學重難點專項復習：導數(shù)?？冀?jīng)典壓軸小題全歸類【十大題型】原卷版

重難點08導數(shù)常考經(jīng)典壓軸小題全歸類【十大題型】

【新高考專用】

導數(shù)是高考數(shù)學的重要內(nèi)容，是高考必考的重點、熱點內(nèi)容，主要涉及導數(shù)的運算及幾何意義，利用

導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，函數(shù)零點問題、不等式恒（能）成立問題等，考查分類討論、數(shù)形

結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想.

從近幾年的高考情況來看，導數(shù)的運算和幾何意義是高考命題的熱點，多以選擇題、填空題形式考查,

難度較??；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值多在選擇題、填空題靠后的位置考查，難度中等偏上,

屬綜合性問題，解題時要靈活求解.

?知識梳理

【知識點1導數(shù)的運算的方法技巧】

1.導數(shù)的運算的方法技巧

(1)求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導.

(2)抽象函數(shù)求導，恰當賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.

(3)復合函數(shù)求導，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導，必要時要進行換元.

【知識點2切線方程的求法】

1.求曲線“在"某點的切線方程的解題策略：

①求出函數(shù)y次0在x=xo處的導數(shù)，即曲線y=/(x)在點(xo於0))處切線的斜率；

②在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為ro+/Go)(X-Xo).

2.求曲線“過”某點的切線方程的解題通法：

①設(shè)出切點坐標?(xo加()))(不出現(xiàn)為)；

②利用切點坐標寫出切線方程：y=/(xo)+/7(xo)(^-^o)；

③將已知條件代入②中的切線方程求解.

【知識點3導數(shù)中函數(shù)單調(diào)性問題的解題策略】

1.確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟；

(1)確定函數(shù)於)的定義域；

⑵求於)；

(3)解不等式f(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；

(4)解不等式f(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

2.含參函數(shù)的單調(diào)性的解題策略：

(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論.

(2)若導函數(shù)為二次函數(shù)式，首先看能否因式分解，再討論二次項系數(shù)的正負及兩根的大小；若不能因

式分解，則需討論判別式△的正負，二次項系數(shù)的正負，兩根的大小及根是否在定義域內(nèi).

3.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路：

(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：尸危)在(。必上單調(diào)，則區(qū)間(。,6)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.

(2依)為增(減)函數(shù)的充要條件是對任意的x€(a,6)都有小巨0(戊加0)，且在(。⑼內(nèi)的任一非空子區(qū)間上,

/(x)不恒為零，應(yīng)注意此時式子中的等號不能省略，否則會漏解.

(3)函數(shù)在某個區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問題.

【知識點4函數(shù)的極值與最值問題的解題思路】

1.運用導數(shù)求函數(shù)Kx)極值的一般步驟：

(1)確定函數(shù)作)的定義域；

(2)求導數(shù)/(X)；

⑶解方程了(x尸0,求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；

(4)列表檢驗/(x)在/(x)=0的根X。左右兩側(cè)值的符號；

(5)求出極值.

2.根據(jù)函數(shù)極值求參數(shù)的一般思路：

已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，要注意：根據(jù)極值點的導數(shù)為0和極值這兩個條件列方

程組，利用待定系數(shù)法求解.

3.利用導數(shù)求函數(shù)最值的解題策略：

（1）利用導數(shù)求函數(shù)｛x）在可上的最值的一般步驟：

①求函數(shù)在（a,b）內(nèi)的極值；

②求函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值八°）,啊;

③將函數(shù)人x）的各極值與八.）,人6）比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.

（2）求函數(shù)在無窮區(qū)間（或開區(qū)間）上的最值的一般步驟：

求函數(shù)在無窮區(qū)間（或開區(qū)間）上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和

極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值.

【知識點5導數(shù)的綜合應(yīng)用】

1.導數(shù)中函數(shù)的零點（方程的根）的求解策略

（1）利用導數(shù)研究方程根（函數(shù)零點）的技巧

①研究方程根的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等.

②根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標明函數(shù)極（最）值的位置.

③利用數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn).

（2）已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的常用方法

①分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建

關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.

②分類討論法：結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標準，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意,

將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍.

2.導數(shù)中恒成立、存在性問題的求解策略

恒成立（或存在性）問題常常運用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最值問題.

如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進行分類討論，利用函數(shù)性質(zhì)求解，常見的是利用函數(shù)

單調(diào)性求解函數(shù)的最大、最小值；當不能用分離參數(shù)法或借助于分類討論解決問題時，還可以考慮利用函

數(shù)圖象來求解，即利用數(shù)形結(jié)合思想解決恒成立（或存在性）問題，此時應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象，

利用導數(shù)來求解.

3.導數(shù)中的雙變量問題

導數(shù)中的雙變量問題往往以雙參數(shù)不等式的形式呈現(xiàn)，要想解決雙變量問題，就需要掌握破解雙參數(shù)

不等式的方法：

一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的

不等式；

二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；

三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.

?舉一反三

【題型1導數(shù)的運算】

【例1】（2024?湖北?一模）已知函數(shù)f（久）=9一r（1）居則（）

A./（1）=-fB.r⑴=-］

C.f（2）=e2-eD.f（2）=e2-e

【變式1-1］（2024?全國?模擬預測）已知函數(shù)久久）的定義域為R,若/（2久-1）+3,廣（%-2）都是奇函數(shù)，且

「2025

廣（1）=-2f（一1）,則乙=尸）=（）

A.6B.-9C.3D.-12

【變式1-2］（2024?山東,二模）已知f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，設(shè)r（x）為/（久）的導函數(shù)，若/（%）=/（2-x）

+4x-4,貝，（2023）=（）

A.1B.-2023C.2D.2023

【變式1-3］（2024?山西晉中?模擬預測）已知函數(shù)/⑺=2%（比一2）（尤—22）（%_23）（＞—24）（x—25）Q—26）,則

尸（0）=（）

A.220B.221C.222D.223

【題型2函數(shù)的切線問題】

【例2】（202?江西景德鎮(zhèn)?一模）過點4（0,1）且與曲線/。）=/+2尤-1相切的直線方程是（）

A.y-5x+1B.y=2x+l

C.y=%+1D.y=-2x+1

【變式2-1］（2024?山東?模擬預測）若過點（1即）可以作y=（x+1）9的三條切線，則實數(shù)小的取值范圍是

（）

A.（-4e-2,0）B.（-6e-3,0）C.（-6e-3,2e）D.（e,2e）

【變式2-2］（2024?廣東佛山?一模）若直線y=kx與曲線y=lnx+《相切，則/c=.

【變式2-3］（2024?四川成者B?模擬預測）己知函數(shù)丫=正的圖象與函數(shù)y=aln久的圖象在公共點處有相同的

切線，則公共點坐標為.

【題型3導數(shù)中函數(shù)的單調(diào)性問題】

【例3】（2024?黑龍江佳木斯?模擬預測）若函數(shù)久久）=32_3久-41nx,則函數(shù)久久）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.(4,+oo)B.(0,1)C.(0,4)D.(1,4)

【變式3-1](2024?湖北?一模)已知函數(shù)/(%)=。%2_]口％+2%是減函數(shù)，則a的取值范圍為()

A.(-oo/O]B.(-00,-1]C.(-ooj]D.(-00,-1]

、.IQ1

【變式3-2](2024?吉林長春?模擬預測)已知a=sin§力==3一"貝|()

A.c<b<aB.a<c<b

C.a<b<cD.b<a<c

(QX——%2+3a0V]<2

2

【變式3-3](2024?河南?模擬預測)若函數(shù)f(%)=|ex+￡x2_2aA>2'在(。,+8)上單調(diào)遞增，則實數(shù)

a的取值范圍是()

A-[-f'e]B,[_p°]c-[_f-°]D-[-pf]

【題型4導數(shù)中函數(shù)的極值問題】

【例4】(2024?遼寧?模擬預測)已知函數(shù)f(x)=x?宇一c)2在“處有極大值,則c=()

A.1B.2C.3D.4

【變式4-1](2024?吉林?模擬預測)若函數(shù)/(x)=alnx+g-x既有極大值也有極小值，則實數(shù)a的取值范圍

為()

A.(0,2旬B.(-co-2V3)U(2V3,+oo)

C.(—8,—2A/^)D.(2^/3^,+8)

【變式4-2](2024?陜西銅川?模擬預測)已知函數(shù)聶2一3一42恰有兩個極值點，則。的取值范

圍是()

A.[0,1]B.(0,1)C.[1,+oo)D.(1,+oo)

【變式4-31(2024?江西宜春?模擬預測)已知函數(shù)/'(久)=e*+e2f+a(x-l)2有3個極值點燈,尤2,刀3,則無i+

x2+x3=()

A.2aB.3aC.2D.3

【題型5導數(shù)中函數(shù)的最值問題】

【例5】(2024?陜西西安?二模)函數(shù)/(久)=品在[-3,3]上的最大值和最小值分別是()

【變式5-1](2024?陜西渭南?模擬預測)已知函數(shù)f(x)=xex+a在區(qū)間[0,1]上的最小值為1,則實數(shù)a的

值為()

A.-2B.2C.-1D.1

【變式5-2](2024?寧夏固原?一模)函數(shù)/(%)=5也%-(％+2)8$%-1在區(qū)間[0,2司上的最小值、最大值分別

為()

A.—2ir-3,H+1B.-2TC—3,—3C.-3,n+1D.-3,2

【變式5-3](2024?福建?三模)函數(shù)/(%)的定義域為(0,+8),r(x)為/(幻的導函數(shù)，滿足2(〃>)+/)=乂

(廣(久)+x),/(1)=-|，則/(%)的最小值為()

A.-eB.eC.—e2D.——

【題型6利用導數(shù)解不等式】

【例6】(2024?四川瀘州?一模)已知函數(shù)/'(%)=e*+x,則滿足/(久)>的x的取值范圍是()

A.(—8,—1)B.(—8,1)C.(-1,+8)D.(1,+8)

【變式6-1](2024?吉林長春?一模)已知定義在(0,+8)上的函數(shù)/(久)/Q)是/(久)的導函數(shù)，滿足x/

(x)-2/(x)<0,且/(2)=4,則不等式/(2，)—平>。的解集是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,+8)D.(-oo,l)

【變式6-2](2024?廣東佛山?一模)設(shè)尸(%)是函數(shù)f(x)的導數(shù),/(l-x)+/(l+x)=0,f(2)=0,當x>1

時，>0,則使得/(尤)<0成立的x的取值范圍是()

A.(0,1)U(1,2)B.(0,1)U(2,+oo)C.(-oo,0)U(1,2)D.(-00,0)U(2,+00)

【變式6-3](2024?海南海口?模擬預測)已知定義在[-3,3]上的函數(shù)/(久)=9一6一，-2%+1,若/(62)+/

(6-2)W2,則m的取值范圍是()

A.[-2,1]B.[—1,2]

c.[-1,V3]D.[-1,1]

【題型7導數(shù)中的函數(shù)零點(方程根)問題】

【例7】(2024?黑龍江大慶?三模)已知函數(shù)f(x)=|ln久|-依-2有2個零點，則實數(shù)k的取值范圍是()

A-(-e淄)B.[O,?C.(-1,0]u{1}D.(-e.0]U{±}

【變式7-1](2024?河北衡水?模擬預測)已知函數(shù)/(%)=ln%+l-a%有兩個零點久1,久2，且％i<%2，則下列

命題正確的是()

2

A.a>1B.%i+%2

C.x1-x2<1D.次-

f13—2x|+l,x>0,「

【變式7-2]（2024?四川?模擬預測）已知函數(shù)/（%）=區(qū)縣,xwo,若函數(shù)y=[/（為產(chǎn)一好（久）有5個不

Iexf—,

同的零點，貝la的取值范圍是（）

A.（0,1]B.（1,4]C.（1,4）D.（1,+oo）

【變式7-3]（2024?四川南充?一模）已知函數(shù)/（*）=1nx—1+2卜m（0<小<3）有兩個不同的零點燈，x2

（%1<X2），下列關(guān)于久1，%2的說法正確的有（）個

①爵<e2m②%1>高③譚<%2④%62>1

A.1B.2C.3D.4

【題型8導數(shù)中的不等式恒成立問題】

【例8】（2024?陜西銅川?模擬預測）已知函數(shù)/（%）=?—InQ—l）—Ina+1,若/（%）20對任意的％e（1,+8）

恒成立，貝M的取值范圍是（）

A.(0,加B.(0,e]C.0盧D.(0,e2]

【變式8-1]（2024?河南?模擬預測）已知0,對任意的%>1,不等式e2雙-（lne3）ln%>0恒成立，則實

數(shù)a的取值范圍為（）

A.1,+8)B.2,+8)

C.[2e,+oo)D.[e,+8)

【變式8?2】（2024?陜西商洛?三模）已知4>0,對任意的久>1,不等式e2初—穿20恒成立，貝U的取值范

圍為（）

A.[2e,+8)B.長，+8)C.[e,+8)D.2，+8)

13

【變式8-3]（2024?甘肅蘭州?三模）已知函數(shù)/（%）=%,對于任意的xe（1,2],不等式/（合）+f

ex+l

t+1<1恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為（）

(%—l)2(x—6)

A.(1,+co)B.[-1,1]C.(-00,-1]D.(-00,-1)

【題型9導數(shù)中的能成立問題】

【例9】（2024?全國?模擬預測）若關(guān)于x的不等式（6-1）（11^+以）2m收一1在％69,1]內(nèi)有解，則正實數(shù)a

的取值范圍是（）

A.(0,2+21n2]B.住,e]c.(0,4]D,裊〕

LVe」

【變式9-1］（2024?重慶?模擬預測）已知函數(shù)/（%）=工,g（x）=axe-a。若存在句e（0,1）,久26（-8,0）使得

，（比1）=9（^2），則實數(shù)a的取值范圍為（）

A.(—8,—2)B.(—2,—1)C.(―1,+oo)D.(0,+oo)

【變式9-2］（2024?吉林延邊?一模）若對任意XE（e,+8）,存在實數(shù)九使得關(guān)于x的不等式In。-e）

+1>0成立，則實數(shù)a的最小值為.

【變式9-3］（2024?浙江?模擬預測）已知函數(shù)/（%）=2+2%2,=2m-lnx,若關(guān)于久的不等式/（%）4工g

（%）有解，則血的最小值是.

【題型10雙變量問題】

【例10】（23-24高二下?福建福州?期末）已知居y為正實數(shù)，Inx+lny=^-x,則（）

A.x>yB.x<yC.%+y>1D.%+y<1

【變式10-1】（2024?四川廣安?模擬預測）已知0<%<yVn,且eYsin%=e'siny,其中e為自然對數(shù)的底

數(shù)，則下列選項中一定成立的是（）

A.cosx+cosy<0B.cosx+cosy>0

C.cosx>sinyD.sin%>siny

【變式10-2］（23-24高二下?四川遂寧?期中）已知函數(shù)/'（%）=lnx,g（x）=/+1,若/（犯）=。（功），則久1一

久2的最小值為.

【變式10-3］（2024?湖南郴州?模擬預測）已知函數(shù)/⑺=聶2+（1一或式一比In*有兩個極值點處,工2（>1<x2）,

則實數(shù)a的取值范圍為；若3勺>x2,貝！|ln%i+lnx2+2a的最大值為.

?課后提升練（19題

一、單選題

1.（202+河南新鄉(xiāng)?一模）函數(shù)/（久）=乂3-2^-1+5的圖象在點（1）（1））處的切線方程是（）

A.y-5x—1B.y—x+\C.y——x+5D.y—x+3

2.（2024?山西呂梁?二模）已知可導函數(shù)/（x）的定義域為R/C-1）為奇函數(shù)，設(shè)9（%）是fO）的導函數(shù)，若

g（2x+l）為奇函數(shù)，且g（0）=：,則>kg（2k）=（

3.（2024?山東?模擬預測）“a21”是“函數(shù)/（久）=。2『之容打,n在R上單調(diào)遞增''的（）

Ia人Lc?乙，人u

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.(2024?四川眉山?一模)若函數(shù)高節(jié)在x=2時取得極小值，則/(久)的極大值為()

13

A.-B.1C.PgD.e

e8

5.(2024?河北邯鄲?模擬預測)已知f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，若f(x+l)為偶函數(shù)，a=f(e，，b=f

A.a>c>bB.a>b>cC.c>b>aD.c>a>b

o_|_y

6.(2024洞南?模擬預測)已知/0)=久3]11了:？貝!]/'(%+2)>/'(3%-2)的解集為()

A.(-3,3)B.C.(0,2)D.(0,1)

7.(2024?黑龍江大慶?一模)已知函數(shù)f(K)=21n久一ax+6-1,若對任意的％6(0,+8),/(%)<0,則匕一2a

的最大值為()

A.21n2-lB.3-21n2C.l-21n2D.21n2-3

8.(2024?湖南郴州?模擬預測)已知/(X)=meE-lnxO20),若/'(x)有兩個零點，則實數(shù)小的取值范圍為

()

A.(。，9B.(0,1)

Cg，+8)D.g,+8)

9.(2024?陜西安康?模擬預測)若存在xe(0,+8),使得不等式02/+久20數(shù)2+1112萬成立，則實數(shù)a的取

值范圍為()

A-￡+8)B.匕，+8)C.(一8,1D.(―8,1

10.(2024?四川成都?模擬預測)已知函數(shù)/(%)=%3一%+1,則()

A./(乃有三個極值點B./(%)有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=/(%)的對稱中心D.直線y=2%是曲