2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：指數(shù)函數(shù)+對(duì)數(shù)函數(shù)+函數(shù)與方程（共8大考點(diǎn)）（原卷版）

專題04指數(shù)函數(shù)+對(duì)數(shù)函數(shù)+函數(shù)與方程

T模塊導(dǎo)航一

考點(diǎn)聚焦：核心考點(diǎn)+高考考點(diǎn)，有的放矢

重點(diǎn)專攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺

難點(diǎn)強(qiáng)化：難點(diǎn)內(nèi)容標(biāo)注與講解，能力提升

提升專練：真題感知+精選專練，全面突破

O>題型聚焦------------------------------------------

【考點(diǎn)1］求指數(shù)（對(duì)數(shù)）型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【考點(diǎn)2］根據(jù)指數(shù)（對(duì)數(shù)）型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

【考點(diǎn)3】求指數(shù)（對(duì)數(shù)）型復(fù)合函數(shù)的值域（最值）

【考點(diǎn)4］比較指數(shù)黑的大小

【考點(diǎn)5】由指數(shù)（對(duì)數(shù)）型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【考點(diǎn)6】零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題

【考點(diǎn)7】零點(diǎn)代數(shù)和問(wèn)題

【考點(diǎn)8］新定義問(wèn)題

重點(diǎn)專攻-----------------------------------------

知識(shí)點(diǎn)1:指數(shù)函數(shù)的定義域與值域

1、定義域：

（1）指數(shù)函數(shù)了=1（?！?且awl）的定義域?yàn)镠

（2）y=afM（a>0且a豐1）的定義域與函數(shù)V=/（%）的定義域相同

（3）y=/（優(yōu)）的定義域與函數(shù)y=7（%）的定義域不一定相同.

2、值域

（1）指數(shù)函數(shù)v=a\a>0且a手1）的值域?yàn)椋?,+oo）

（2）求形如y=a/⑺的函數(shù)的值域，先求/（幻的值域，然后結(jié)合y=/（a〉0且awl）得性質(zhì)確定

y=afM的值域

(3)求形如y=/(優(yōu))的值域，轉(zhuǎn)化為先求f=a'(a>0且awl)的值域，再將f的取值范圍代入函數(shù)

y=/?)中.

知識(shí)點(diǎn)2：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)

函數(shù)y=a\a>0,且aw1)的圖象和性質(zhì)如下表:

知識(shí)點(diǎn)3：函數(shù)零點(diǎn)的概念

對(duì)于一般函數(shù)y=/(x),我們把使/(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/(%)的零點(diǎn).

幾何定義:函數(shù)y=/(%)的零點(diǎn)就是方程/(%)=0的實(shí)數(shù)解,也就是函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸的公共點(diǎn)

的橫坐標(biāo).

這樣：方程于(x)=0有實(shí)數(shù)解o函數(shù)y=于(X)有零點(diǎn)o函數(shù)y=/(x)的圖象與%軸有公共點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)4：函數(shù)零點(diǎn)存在定理及其應(yīng)用

1、函數(shù)零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［a,切上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有/(a)/S)<0,那么函數(shù)y=/(x)

在區(qū)間(。/)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在cc(a,?,使得/(c)=0,這個(gè)c也就是方程/(x)=0的解.

提升專練------------------------------------------

，題型歸納

【考點(diǎn)11求指數(shù)(對(duì)數(shù))型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

1.（2024?河北?三模）函數(shù)"無(wú)）=log02（l-爐）的遞增區(qū)間為（）

A.（-1,0]B.（-1,1）C.[0,1）D.[0,4w）

2.（23-24高三上?廣西桂林?階段練習(xí)）函數(shù)/（x）T°gJf+2犬-3）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

3

A.（-8,-3）B.（-00,-1）

C.（1,+8）D.（3,+00）

3.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）函數(shù)y=l°gj（-/+4無(wú)+12）的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

3

A.（-8,2）B.（2,+co）C.（-2,2）D.（-2,6）

4.（24-25高一上?江西宜春?階段練習(xí)）函數(shù)y=log2（6+x-2x2）的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是（）

【考點(diǎn)2]根據(jù)指數(shù)（對(duì)數(shù)）型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

1.（24-25高一上?重慶?階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)=3蟲田在區(qū)間（0,2）上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.（-oo,0]B.[T,0）C.（0,4]D.[4,+co）

/]\x（a-x）

2.（24-25高三上?黑龍江哈爾濱?期中）已知函數(shù)L在區(qū)間（-1,0）上單調(diào)遞增，則。的取值范

圍是（）

A.[0,+oo）B.[-2,+oo）C.（-℃,0]D.（-oo,-2]

3.（24-25高一上?廣東東莞?期中）已知函數(shù)/'（x）=ln（7+2"-f）在區(qū)間[fl]上單調(diào)遞減，則。的取值

范圍為（）

A.-1B.aN—1C.―3<aW—1D.——1

4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)=log/d一依2+*_2勾（°>。且。x1）在區(qū)間（1,+8）上單調(diào)遞減,

則”的取值范圍是（）

A.^0,—B.。（1，2]D.[2,+1?）

【考點(diǎn)3】指數(shù)（對(duì)數(shù)）型復(fù)合函數(shù)的值域（最值）

1.（2024?寧夏銀川?二模）已知函數(shù)〃司=4。2--1,xe[0,3],則其值域?yàn)?

2.（23-24高一上?廣東廣州）已知函數(shù)/工一.*+1（-1v*V1,°>0且°r1）.

（1）若a=2,左=1,求函數(shù)/（尤）的值域；

（2）若Me[-2,2],%使成立，求a的取值范圍.

3.（23-24高一上?吉林）設(shè)函數(shù)門＞）=履，-叱（〃＞0且，awl,JteR）,若〃x）是定義在R上的奇函

數(shù)且了⑴弓3

⑴求左和a的值；

⑵判斷其單調(diào)性（無(wú)需證明），并求關(guān)于f的不等式/'⑵-1）＜/（產(chǎn)-4）成立時(shí)，實(shí)數(shù)f的取值范圍；

（3）函數(shù)g（尤）=02*+。0一4/（尤）,xetl,2],求g（x）的值域.

4.（24-25高一上?江蘇南京?階段練習(xí)）已知函數(shù)/。）=1哂》（“＞。,且。Q，若函數(shù)/（無(wú)）在區(qū)間[L4]上的

最大值與最小值之和為2.

⑴求函數(shù)fM解析式，并求出關(guān)于x的不等式〃士：）＜1的解集；

（2）求函數(shù)g（x）=/（：）"（2尤），xe[1,4]的值域，并求出取得最值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值.

5.（23-24高一上?湖北恩施?期末）已知函數(shù)"x）=1號(hào)為奇函數(shù).

⑴解不等式〃X）＞去

⑵設(shè)函數(shù)g（x）=log2”g2；+〃7,若對(duì)任意的一”[2,4],總存在.”[0,1],使得8（石）=/伍）成立，求實(shí)

數(shù)機(jī)的取值范圍.

【考點(diǎn)4］比較指數(shù)幕的大小

1.（2024?四川雅安?一模）下列不等式成立的是（）

23I-

A.B.log25<log412C.log73>y-D.

2.（2024?北京順義?二模）已知。=log42,b=,c=/，則（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

0

3.（2024?福建寧德?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)。=1唱0.3,二=1叱4,c=0.4\則a,3c的大小關(guān)系為（）

2

A.a<b<cB.c>a>bC.b<c<aD.a<c<b

4.（2024?天津河北?二模）若。=3°5,。=108053,°=0.32,則a,b,。的大小關(guān)系為（）

A.b<a<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<c<a

【考點(diǎn)5］由指數(shù)（對(duì)數(shù)）型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式

1.（24-25高一上?河北石家莊?階段練習(xí)）已知函數(shù)“xhlogzlEj+l；g（x）=-2z

⑴求證：〃尤）為奇函數(shù)；

（2）解關(guān)于x的不等式g（x）-g（2-x）W2x-2

⑶若2傘）-左Ng（x）恒成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍;

2.（24-25高一上?福建福州?期中）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)7'（》）=■+6是奇函數(shù)，且/⑴=

⑴求實(shí)數(shù)6的值；

（2）試判斷的單調(diào)性，并用定義證明；

⑶解關(guān)于x的不等式〃2x-3）+〃x-1）<0.

3.（24-25高一上?山東淄博?期中）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)〃司=展11是奇函數(shù).

⑴求實(shí)數(shù)。的值.

⑵試判斷的單調(diào)性(無(wú)需證明)，并求〃x)的值域.

(3)解關(guān)于x的不等式f(4，)+f(4-5x2，)<0.

4.(24-25高三上?河南?期中)已知函數(shù)/(x)=log2(七為奇函數(shù).

⑴求a的值；

(2)求滿足f(x)<log?(x+2)-log也x的x的取值范圍.

5.(24-25高一上?江蘇蘇州?期中)已知函數(shù)無(wú))是定義在R上的奇函數(shù)，g("是定義在R上的

偶函數(shù)，當(dāng)尤20時(shí)，g(x)=x2+x+l.

⑴求/⑺和g(x)的解析式，并判斷在區(qū)間(-2,2)上的單調(diào)性(胃事證明)；

⑵若對(duì)Vxe[T,2],都有g(shù)(〃尤))<g(logc),求實(shí)數(shù)機(jī)的取值集合.

6.(22-23高一上?湖南長(zhǎng)沙?期末)已知/(x)=log。資(?>0,且。wl).

⑴求函數(shù)〃尤)的定義域；

(2)當(dāng)(其中年(-1,1),且，為常數(shù))時(shí)，f(x)是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶當(dāng)a>1時(shí)，求滿足不等式〃x-2)+〃4-3x)>0的實(shí)數(shù)x的取值范圍.

【考點(diǎn)6]零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題

1.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)"%)=『:一;曬二。(0<“<1),函數(shù)g(x)=/(〃尤))一/(尤)一1,

則函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

2.(2024?廣東湛江?一模)函數(shù)〃x)=lg(x+l)-,零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

X

A.0B.1C.2D.3

【考點(diǎn)7】零點(diǎn)代數(shù)和問(wèn)題

1.(2024?貴州六盤水?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=2'+x,g(%)=log2x+x,/z(x)=%3+%的零點(diǎn)分另|J為a,b,

c,貝1)a+b+c=()

A.0B.2C.4D.6

2X+a,x<0,

2.(2024?廣東珠海?一模)已知函數(shù)〃x)=log](尤+l)+a,x>o,(aeR)在R上沒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值

、2

范圍是()

A.(fT)U｛。｝B.C.(-l,+oo)D.(0,+oo)

3.(2024?四川綿陽(yáng)?一模)已知函數(shù)/(x)=|ln|x+2||-加，山為正的常數(shù)，則/(x)的零點(diǎn)之和為.

4.(2024?天津紅橋?一模)設(shè)函數(shù)/(x)=11°g￡T"'：C,若/(幻=4有四個(gè)實(shí)數(shù)根

[(x-4)2,x>3

1/\1

且％1<當(dāng)<%4，貝!)^(玉+%4)再十不的取值范圍.

5.(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知。＞1,函數(shù)f(x)=aAi+x-3,g(x)=logttx+x-2.

(1)若/(Xo)=g(xo)=—1，求/的值；

(2)若%,馬分別為f(尤),g(x)的零點(diǎn)，求占+%的值.

6.(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))設(shè)a>0且awl,函數(shù)f(x)=log"(x—l),g(x)=log“(2x+f)QeR).

⑴當(dāng)f=l時(shí)，求不等式2〃x)Vg(x)的解集；

⑵若函數(shù)"(x)=a/(x)+4+2f+2在區(qū)間(1,3］上有零點(diǎn)，求f的取值范圍.

【考點(diǎn)8］新定義問(wèn)題

1.(2024?上海?二模)對(duì)于函數(shù)f(x),若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)%,滿足/(-%)=-/(%),則稱/(X)為"”類

函數(shù)

⑴已知函數(shù)"x)=2cos，-1］,試判斷/(x)是否為類函數(shù)”？并說(shuō)明理由；

(2)設(shè)/W=4T-m--3是定義域R上的"M類函數(shù)"，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

⑶若“尤)=卜為其定義域上的類函數(shù)"，求實(shí)數(shù)"7取值范圍.

-2,%<3

2.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)和g(x)的定義域分別為2和2,若對(duì)任意的尤…A都存在

〃個(gè)不同的實(shí)數(shù)看,程不，…/eA，使得g(G"(豌))(其中i=l,2,3,…",〃eN+),則稱g(同為/(x)的“"

重覆蓋函數(shù)

⑴試判斷g（x）=|玳-2VXV2）是否為〃x）=l+sinx（xeR）的“2重覆蓋函數(shù)”？請(qǐng)說(shuō)明理由；

-1

（2）求證：g（%）=cosx（0<x<4兀）是f（x）=1^（%eR）的,4重覆蓋函數(shù)〃；

+

（3）若g（尤）=H丁色二3）x+LxV1為/（%）=logj|^1的”重覆蓋函數(shù)"，求實(shí)數(shù)0的取值范圍.

[log2X,X>1]2+1

?過(guò)關(guān)檢測(cè)

一、單選題

1.（2024?貴州六盤水?模擬預(yù)測(cè)）聲強(qiáng)級(jí)乙（單位：dB）由公式4=101g看給出，其中/為聲強(qiáng)（單位:

W/m2）,若某人交談時(shí)的聲強(qiáng)級(jí)為60dB,則其聲強(qiáng)約為（）

A.1018W/m2B.106W/m2

C.10^W/m2D.10-72W/m2

2.（2024?四川宜賓?一模）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又（。,+”）在是增函數(shù)的是（）

A./（x）=ex+e-xB./（x）=ex-e-xC.f（x）-x~3D.f（x）=xin\x\

x2-lax+a,x<0

3.（2024?湖南郴州?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（尤）=1在R上單調(diào)遞減，貝！I”的取值范圍是（）

——ln（x+l）,x>0

lex

A.（-8,0]B.[-1,0]

C.[-1,1]D.[1,4w）

4.（2024?廣東湛江?一模）函數(shù),/'（力=坨（犬+1）-1零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

5.（2024?吉林?模擬預(yù)測(cè)）已知3"'=4,4m-fl=4,2m-b=2,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.a<bB.a>b

C.a=bD.a=—b

6.（2024?四川眉山?一模）若。=1嗚9口，4=1*02,。=4叫則（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

7.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃力=/0，記a=〃log32）S=〃log53）?c=〃log75）,則（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

8.（2024?江西景德鎮(zhèn)?一模）函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,/（2x+l）是奇函數(shù)，x>l/（%）=log2（2^-1）,

則/（x）N0的解集是（）

A.[0』）u[2,+s）B.[0,l]u[2,+a>）

C.（-00,0）32,+8）D.（-oo,0]u[2,+oo）

9.（2024?河北石家莊?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且在[0,行）上單調(diào)遞減，滿足

/（log??）-/dogi?）<2/（3）,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

2

A.（0，BB.1,8C.（0,8]D.[8,+co）

10.（2024?寧夏?模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的奇函數(shù)“幻滿足：/（x）=/（x-6）,且當(dāng)0。43時(shí)，

/、Q+lOgn/x+1）,0<X<1

〃x）=/槃,不（“為常數(shù)），貝！1/（z2。23）+/（2025）的值為（）

A.-2B.0C.1D.2

二、多選題

11.（2024?陜西寶雞?二模）已知函數(shù)〃x）=lnx+ln（2-x）,則（）

A./（x）在（0,1）單調(diào)遞增B.y=f（尤）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,0）對(duì)稱

C.y=f（M）的圖象關(guān)于直線尤=1對(duì)稱D.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)

12.（2024?貴州銅仁?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)/（X）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)于VxeR恒有/（x+2）=/（x）,已

知當(dāng)xe[0,l]時(shí)，〃x）=2i,則下列判斷正確的是（）

A.〃x）的周期是2

B.在。,2）上遞減，在（2,3）上遞增

C.f（x）的最大值是2,最小值是1

D.當(dāng)xe（3,4）時(shí),f（x）=T-3

13.（24-25高三上?貴州六盤水?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,且〃x）=〃2-x）,〃x+2）的

圖象關(guān)于（0,0）對(duì)稱.當(dāng)了W0』時(shí)，〃x）=ae*+b,若〃2）+/（3）=l-e,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.的周期為4B.〃尤）的圖象關(guān)于（4,0）對(duì)稱

C.”2025）=1—eD.當(dāng)xe（l,2]時(shí)，〃力=j1一1

三、填空題

[ox-2,x<2,/、

14.（2024?四川瀘州?一模）已知函數(shù)〃zx）x=,對(duì)任意實(shí)數(shù)左，方程〃力=左有解，則。的取

IIVJg’vA/,乙

值范圍是.

/、{-X+4,x<3,

15.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?三模）已知函數(shù)/%=,°（a>0且awl）,若>=/（尤）有最小值，

[log。劉x>3

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

x<2

16.（2024?廣東廣州?三模）函數(shù)〃x）=";二”，，其中。>0且。*1,若函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，則a

依2-13x+31,尤>2

的一個(gè)可能取