2025年江蘇數學理科試題及答案

江蘇數學理科試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共20分）

1.已知函數f(x)=x^2-4x+3，其圖像的對稱軸為：

A.x=2

B.x=-2

C.y=2

D.y=-2

2.若a>b，則下列不等式中正確的是：

A.a^2>b^2

B.a^3>b^3

C.a^2<b^2

D.a^3<b^3

3.在直角坐標系中，點A(2,3)關于y軸的對稱點為：

A.(-2,3)

B.(2,-3)

C.(-2,-3)

D.(2,3)

4.若等差數列{an}的首項為a1，公差為d，則第n項an可以表示為：

A.a1+(n-1)d

B.a1-(n-1)d

C.a1+nd

D.a1-nd

5.下列函數中，定義域為全體實數的是：

A.f(x)=1/x

B.f(x)=√x

C.f(x)=|x|

D.f(x)=x^2

二、填空題（每題5分，共20分）

6.若等比數列{an}的首項為a1，公比為q，則第n項an可以表示為______。

7.若函數f(x)=ax^2+bx+c的圖像開口向上，則a______。

8.在直角坐標系中，點P(1,2)到直線y=3x-2的距離為______。

9.若等差數列{an}的前n項和為Sn，則Sn=______。

10.若函數f(x)=log2(x+1)的圖像過點(1,0)，則a______。

三、解答題（每題20分，共60分）

11.已知函數f(x)=x^3-3x^2+4x-6，求f(x)的極值。

12.已知等差數列{an}的首項為2，公差為3，求前10項的和。

13.已知函數f(x)=2x^2-4x+3，求f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。

四、證明題（每題20分，共40分）

14.證明：若函數f(x)=x^3-3x+2在區(qū)間[0,2]上是增函數，則f(x)在該區(qū)間上的最小值為f(0)。

15.證明：對于任意實數a和b，都有(a+b)^2≥4ab。

五、應用題（每題20分，共40分）

16.某工廠生產一批產品，計劃每天生產x個，已知生產一個產品需要t小時，且生產時間為t=0.5x小時。若要生產100個產品，求每天需要生產多少個產品才能在5天內完成。

17.已知某商品的成本為每件200元，售價為每件300元。若要使利潤達到最大，每天至少需要賣出多少件商品？

六、綜合題（每題20分，共40分）

18.已知函數f(x)=x^2-4x+5，求函數f(x)的圖像與x軸的交點。

19.已知等差數列{an}的首項為3，公差為2，求前n項和為100的n值。

試卷答案如下：

一、選擇題答案：

1.A.x=2

解析思路：根據二次函數的頂點公式，對稱軸為x=-b/(2a)。將函數f(x)=x^2-4x+3的系數代入，得到對稱軸為x=2。

2.B.a^3>b^3

解析思路：由于a>b，根據不等式的性質，當兩邊同時乘以正數時，不等號的方向不變。因此，a^3>b^3。

3.A.(-2,3)

解析思路：點A(2,3)關于y軸的對稱點，橫坐標取相反數，縱坐標保持不變。

4.A.a1+(n-1)d

解析思路：等差數列的通項公式為an=a1+(n-1)d，其中a1為首項，d為公差。

5.C.|x|

解析思路：絕對值函數的定義域為全體實數，即所有實數x的集合。

二、填空題答案：

6.a1q^(n-1)

解析思路：等比數列的通項公式為an=a1q^(n-1)，其中a1為首項，q為公比。

7.a>0

解析思路：二次函數的圖像開口向上，當且僅當二次項系數a大于0。

8.1

解析思路：點到直線的距離公式為d=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)，其中點P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0的距離。將點P和直線方程代入公式計算得到距離為1。

9.n(a1+an)/2

解析思路：等差數列的前n項和公式為Sn=n(a1+an)/2，其中a1為首項，an為第n項。

10.a=1

解析思路：由于函數f(x)=log2(x+1)的圖像過點(1,0)，將點(1,0)代入函數得到0=log2(1+1)，解得a=1。

三、解答題答案：

11.極大值f(1)=-2，極小值f(2)=1

解析思路：求導數f'(x)=3x^2-6x+4，令f'(x)=0，解得x=1或x=2。由于f''(x)=6x-6，當x=1時，f''(1)<0，為極大值；當x=2時，f''(2)>0，為極小值。計算得到極大值f(1)=-2，極小值f(2)=1。

12.前10項和S10=170

解析思路：等差數列的前n項和公式為Sn=n(a1+an)/2，其中a1為首項，an為第n項。將a1=3，d=2，n=10代入公式計算得到S10=170。

13.最大值f(3)=2，最小值f(2)=3

解析思路：由于函數f(x)=2x^2-4x+3在區(qū)間[1,3]上，可以求導數f'(x)=4x-4，令f'(x)=0，解得x=1。由于f''(x)=4，當x=1時，f''(1)>0，為最小值。計算得到最大值f(3)=2，最小值f(2)=3。

四、證明題答案：

14.證明：由f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，解得x=1。由于f''(x)=6x-6，當x=1時，f''(1)<0，為極大值。因此，f(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值為f(0)=5。

15.證明：由平方差公式(a-b)^2=a^2-2ab+b^2，得到(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，即(a+b)^2≥4ab。

五、應用題答案：

16.每天需要生產20個產品

解析思路：根據題意，生產100個產品需要5天，每天生產的產品數為100/5=20個。

17.每天至少需要賣出50件商品

解析思路：利潤為售價減去成本，即利潤=(300-200)*x=100x。要使利潤最大，需要求x的最大值，即x=50。

六、綜合題答案：

18.交點為(2,0)和(1,0)

解析思路：令f(x)=0，解得x^2-4x+5=0，由于判別式Δ=(-4)^2-4*1*