湖南省湖湘教育三新探索協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

湖南省湖湘教育三新探索協(xié)作體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三四總分評(píng)分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出得四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求得．1．已知集合A={x|x2?4≤0}A．{x|?2<x<?1} B．{x|?2≤x<3}C．{x|?2≤x≤2} D．{x|?1<x≤2}2．已知i為虛數(shù)單位，若2?aii+1為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=A．1 B．2 C．3 D．43．根據(jù)x與y之間的一組數(shù)據(jù)求得兩個(gè)變量之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=1.5x+0.8A．2.6 B．2.3 C．1.8 D．1.54．已知a,b為正實(shí)數(shù)，且滿足a+2b=1，則A．42 B．4+22 C．85．P是圓C:(x+1)2+A．2 B．22 C．2+2 6．井字棋起源于古希臘，是一種在3×3格子上進(jìn)行的連珠游戲，其玩法與五子棋類似．兩名玩家分別持不同棋子輪流在九個(gè)格子中落子，直到某位玩家的三顆棋子在同一條直線上后游戲結(jié)束，該玩家獲勝．小明與小紅進(jìn)行井字棋游戲，小明執(zhí)黑棋先下，小紅執(zhí)白棋．若當(dāng)棋盤(pán)上剛好下滿5個(gè)棋子時(shí)游戲結(jié)束，則棋盤(pán)上的棋子的分布情況共有幾種（）A．144 B．120 C．96 D．907．雙曲線C:x2a2?y2b2=1的左、右焦點(diǎn)分別為FA．2 B．7 C．3 D．28．已知P(t,t2)，過(guò)點(diǎn)P可作曲線f(x)=x?lnx的兩條切線，切點(diǎn)為(xA．(?1,0) B．[?1,0) C．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知數(shù)列{an}的前nA．等差數(shù)列{an}，若m+n=p+q，則B．等比數(shù)列{an}，若amC．若{an}D．若{an}10．已知f(x)=(A．a(chǎn)1+a2C．a(chǎn)0,a1,11．正方體ABCD?A1B1C1D1，棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)A．當(dāng)λ+μ=1時(shí)，|AP|的最小值為6B．當(dāng)D1P與面BCC1B1C．當(dāng)λ=μ時(shí)，|CP|+|D1D．當(dāng)λ=12時(shí)，過(guò)B三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知隨機(jī)變量X～N(2,σ2)，且P13．長(zhǎng)期用嗓所致的慢性咽喉炎，一直是困擾教師們的職業(yè)?。畵?jù)調(diào)查，某校大約有40%的教師患有慢性咽喉炎，而該校大約有40%的教師平均每天沒(méi)有超過(guò)兩節(jié)課，這些人當(dāng)中只有10%的教師患有慢性咽喉炎．現(xiàn)從平均每天超過(guò)了兩節(jié)課的教師中任意調(diào)查一名教師，則他患有慢性咽喉炎的概率為．14．已知{an}是正項(xiàng)數(shù)列，其前n項(xiàng)的和為Sn，且滿足2Sn=an四、解答題：本題共5小題，共77分．解答過(guò)程應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15．如圖，已知BC為圓柱底面圓的直徑，A為下圓周上的動(dòng)點(diǎn)，AD,（1）證明：平面BDE⊥平面ABD；（2）若點(diǎn)D到平面BCE的距離為3,AC=3AB，四棱錐B?ACDE的體積為16316．已知a=(2cosωx,f(x)?sin2ωx),b=(3（1）求函數(shù)f(x)的解析式與單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角△ABC中，內(nèi)角A,B,C對(duì)邊分別是a,b,c,f(A)=3，點(diǎn)17．如圖，點(diǎn)P在圓x2+y2=9上運(yùn)動(dòng)且滿足DP⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，點(diǎn)M在線段DP上，且|DM|（1）求曲線τ的方程；（2）已知A(?3,0),B(3,0)，過(guò)C(1,0)的動(dòng)直線L交曲線τ于E,F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在x軸上方）18．二項(xiàng)分布是離散型隨機(jī)變量重要的概率模型，在生活中被廣泛應(yīng)用．現(xiàn)在我們來(lái)研究二項(xiàng)分布的簡(jiǎn)單性質(zhì)，若隨機(jī)變量X～B(n,（1）證明：（ⅰ）kCnk=nCn?1k?1（ⅱ）隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=np；（2）一盒中有形狀大小相同的4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出一個(gè)球且不放回，直到摸到黑球?yàn)橹?，記事件A表示第二次摸球時(shí)首次摸到黑球，若將上述試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行10次，記隨機(jī)變量Y表示事件A發(fā)生的次數(shù)，試探求E(Y)的值與隨機(jī)變量Y最有可能發(fā)生次數(shù)的大小關(guān)系．19．英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)f(x)在x=0處的n(n∈N*)階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，f(x)=f(0)+f'(0)x+f″(0)2!x2+f(3)(0)3!x3+?+f（1）利用泰勒公式求e0（2）設(shè)x∈(0,+∞)，證明：（3）證明：g'(1

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A={B={所以A∩B={x|?1<x≤2}．故答案為：D.【分析】分別求出A,2．【答案】B【解析】【解答】解：2?aii+1=(2?ai)(1?i)(i+1)(1?i)=故答案為·：B.【分析】由復(fù)數(shù)除法計(jì)算2?aii+13．【答案】A【解析】【解答】解：將x=1.2代入回歸直線方程y故答案為：A.【分析】直接根據(jù)回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)即可求y.4．【答案】C【解析】【解答】解：2當(dāng)且僅當(dāng)ab=4b故答案為：C.【分析】利用“1”的妙用即可得解．5．【答案】D【解析】【解答】解：C:(x+1)2+(y+1由3y?kx?3+k=0，可得3(y?1所以圓心到直線的最大距離為|CA|=22，圓上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的最大距離為2故答案為：D.【分析】求出圓心和半徑，直線l恒過(guò)定點(diǎn)A(1,1)，圓心到直線的最大距離為6．【答案】B【解析】【解答】解：當(dāng)棋盤(pán)中恰好有5顆棋子時(shí)游戲結(jié)束，則說(shuō)明贏方的三顆棋子連成了一條直線，共有8種情況．（橫三種，縱三種，斜兩種），棋盤(pán)上剩余6個(gè)空格，其中兩個(gè)空格要放輸方的白棋，共有C6所以棋盤(pán)上的棋子的分布情況共有8×C故答案為：B.【分析】根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，確定贏方的棋子分布情況，再確定輸方的棋子分布情況即可.7．【答案】B【解析】【解答】解：如圖，|PF所以|QF1|=2a，又有|QF2|=2a+|QF1|=4a，

因?yàn)镾△P由余弦定理知12=|P故答案為：B.【分析】由雙曲線的定義和三角形面積公式，可得|QF1|，|QF2|，8．【答案】A【解析】【解答】解：f'(x)=1?1x，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為因?yàn)镻(t,t2則方程t+1?t2=令g(x)=t易知t≤0時(shí)，g(x)單調(diào)遞增不合理，所以t>0．當(dāng)t>0時(shí)，g'(t)=0，當(dāng)x∈(0,t)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，x∈(t,要使t+1?t2=tx令h(t)=t2?t+lnt又因?yàn)閔(1)=0，所以0<t<1易知x1又因?yàn)閤1,x2為代入得x1x2故答案為：A.【分析】求導(dǎo)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，確定切線方程，參變分離得方程t+1?t2=tx+lnx有兩個(gè)不同解x1,x2，構(gòu)造函數(shù)9．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、這是等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)，故A正確；B、當(dāng){aC、設(shè)d為公差，((所以SD、當(dāng)an=(?1)故答案為：AC.【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可.10．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、當(dāng)x=1時(shí)，a0當(dāng)x=0時(shí)，可得a0=1，故B、f(?1)=3除最后一項(xiàng)外，其余項(xiàng)都可以被5整除，故余數(shù)為1，故B正確；C、二項(xiàng)式系數(shù)an=C8nD、f'(x)=?16(故答案為：BC.【分析】賦值可求得a1+a2+?+a811．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、如圖1所示，當(dāng)λ+μ=1時(shí)，P點(diǎn)在CB1上運(yùn)動(dòng)，正|AP|的最小值為B1C邊上的高，故最小值為B、如圖2所示，當(dāng)D1P與平面BCC1B故∠D1PC1為D故P的軌跡為CB1，長(zhǎng)度為C、如圖3，當(dāng)λ=μ時(shí)，P在線段BC1上運(yùn)動(dòng)，將平面AD1C如圖4，此時(shí)|CP|+|D1P|在三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，P為D過(guò)點(diǎn)C作AD1的垂線，垂足為|CP|+|DD、如圖5，P點(diǎn)在正方形BCC1B1的邊將截面補(bǔ)充完整，截面為面BMD1NS=2S△BND1=|BD1當(dāng)N在C或C1處時(shí)，N到BD1當(dāng)N在CC1中點(diǎn)或B1故截面面積的范圍是[26故答案為：ABD.【分析】A、P在CB1上運(yùn)動(dòng)，最小值為B1C邊上的高，；B、易知D1C1⊥C1P，可得P的軌跡為CB1，求解即可；C、將平面AD1C112．【答案】0.4【解析】【解答】解：由隨機(jī)變量X~N(2,σP故答案為：0.4.【分析】由正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算即可.13．【答案】0.6【解析】【解答】解：設(shè)所求的概率為x，由全概率公式得，0.4=0.故答案為：0.【分析】利用全概率公式得0.14．【答案】[【解析】【解答】解：當(dāng)n=1時(shí)，2S1當(dāng)n≥2時(shí)，2S變形得Sn2=Sn?1所以Sn2=12①當(dāng)n=k2,k為正整數(shù)時(shí)，②當(dāng)n=(k+1)2?a當(dāng)a=1時(shí)，(k+1)2?ak有最大值，此時(shí)t≥綜上所述，t的范圍為[3故答案為：[3【分析】當(dāng)n≥2時(shí)，可得Sn2=Sn?115．【答案】（1）因?yàn)锽C為直徑，所以AB⊥AC，因?yàn)锳D,即AD⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以AC⊥AD，又AB∩AD=A，AB,AD?平面所以AC⊥平面ABD，又AD//CE且AD=CE，所以ACED為平行四邊形，所以DE//AC，所以DE⊥平面ABD，而DE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABD.（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC，交BC于點(diǎn)F，因?yàn)锳D//EC，AD?平面BCE，EC?平面BCE，所以AD//平面BCE，因?yàn)镈點(diǎn)到平面BCE的距離為3，所以A點(diǎn)到平面BCE的距離為3，又CE⊥平面ABC，AF?平面ABC，所以CE⊥AF，BC∩EC=C，BC,EC?平面BCE，所以AF⊥平面所以A到BC的距離為3，即AF=3因?yàn)锳C=3AB，所以在Rt△ABC中，tan∠ABC=ACAB在Rt△ABC中，AF=ABsin∠ABC=3，所以AB=2，則AC=2設(shè)圓柱的母線長(zhǎng)為h，則四棱錐體積VB?ACDE=16在底面內(nèi)以A為原點(diǎn)，AB,AC,則D(0,0,4)，C(0,則DE=(0設(shè)平面BDE的法向量為n1則n1?DE=0n設(shè)平面BCE的法向量為n2則n2?CE=0n因此cosn所以平面BDE與平面BCE夾角的余弦值為155【解析】【分析】（1）易得AB⊥AC，AC⊥AD，可得AC⊥平面ABD，因?yàn)镈E//AC，所以DE⊥平面ABD，即可得面面垂直；（2）過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC，交BC于點(diǎn)F，即可得到AF=3，從而求出AB、AC16．【答案】（1）因?yàn)閍⊥b，所以即23所以f(x)=3因?yàn)閒(x)的周期為π,故ω=1，所以f(x)=2sin(2x+π由?π2故單調(diào)遞增區(qū)間為：[?5π（2）因?yàn)閒(A)=3且A即f(A)=2sin(2A+π故A=π3或又因?yàn)槿切螢殇J角三角形，故A=π因?yàn)镾△ABC=S所以12即3bc=2(b+c)由余弦定理可得cosA=b即b2代入3bc=2(b+c)可得(b+c解得b+c=33或?故△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=3+33【解析】【分析】（1）由向量數(shù)量積運(yùn)算以及三角恒等變換化簡(jiǎn)f(（2）由f(A)=3結(jié)合（1）可求出A，利用角平分線得S△ABC=17．【答案】（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)，點(diǎn)P(x則由題可得x=x0y=∵點(diǎn)P在圓x2+y即τ的軌跡方程為x（2）易知直線L的斜率不為0，設(shè)L方程為x=my+1，由x=my+1x29設(shè)E(x1,直線AE的方程y=y1x直線BF的方程y=y2x由此得，|OG||OH|又因?yàn)閥1y2所以|OG||OH|所以存在實(shí)數(shù)λ=12，使得【解析】【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)M坐標(biāo)，由|DM||DP|=53寫(xiě)出點(diǎn)（2）設(shè)直線L的方程為x=my+1并與曲線τ的方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)的關(guān)系，計(jì)算出|OG||OH|18．【答案】（1）（?。┮?yàn)閗C且nC所以kC（ⅱ）因?yàn)閄～B(n,p)，可得E=k=1令k?1=m，則E(（2）由題意可知：P(A)=4又因?yàn)殡S機(jī)變量Y～B(10,27因?yàn)镻(Y=k)=C假設(shè)Y=k時(shí)，其概率最大，則C10k×可知k=3，所以其數(shù)學(xué)期望小于最有可能發(fā)生的次數(shù)．【解析】【分析