數(shù)學(xué)物理方法常微分方程的本征值問題

一、Sturm–Liouville型方程它與一定線性齊次邊界條件或周期性條件或自然邊界條件能夠組成本征值問題，稱為S-L型本征值問題。稱為本征值稱為權(quán)函數(shù)1第1頁二、幾個(gè)常見S-L型本征值問題1、而①②兩種情況下，求解S-L型本征值問題2第2頁①本征值本征函數(shù)3第3頁②本征函數(shù)本征值4第4頁2、Bessel方程本征值問題5第5頁3、Legendre方程本征值問題6第6頁這個(gè)本征值問題來自量子力學(xué)中諧振子問題4、Hermite方程本征值問題7第7頁這個(gè)本征值問題來自量子力學(xué)中氫原子問題5、Laguerre方程本征值問題8第8頁三、正交函數(shù)系1、正交函數(shù)定義：假如兩個(gè)函數(shù)滿足，則稱它們在區(qū)間上正交假如函數(shù)是復(fù)函數(shù)，則寫為2、歸一化定義：由正交定義，對一本征函數(shù)系當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，9第9頁稱為歸一化因子。則有稱為正交歸一函數(shù)系10第10頁3、完備性條件4、完備性定義：在對應(yīng)敬意上滿足狄里赫利條件任意函數(shù)能夠用正交完備函數(shù)系展開成傅里葉級數(shù)，即：可用正交歸一條件求得，即11第11頁狄里赫利條件：在上只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，且只有有限個(gè)極值點(diǎn)。四、S—L型本征值問題性質(zhì)1、條件①及其導(dǎo)數(shù)在中連續(xù)；②在中連續(xù)，在區(qū)間端點(diǎn)連續(xù)或最多有一階極點(diǎn)；12第12頁③中，在區(qū)間端點(diǎn)處可能有一階零點(diǎn)。2、性質(zhì)①結(jié)論1：全部本征值都是實(shí)數(shù)，且非負(fù)，即②結(jié)論2：存在無窮多個(gè)實(shí)本征值，成一遞增數(shù)列對應(yīng)有沒有窮多個(gè)本征函數(shù)稱為本征函數(shù)系，同一本征值對應(yīng)本征函數(shù)可能不止一個(gè)。13第13頁③結(jié)論3：對應(yīng)于不一樣本征值本征函數(shù)，在區(qū)間上帶權(quán)函數(shù)正交，即：展開為絕對且一致收斂，即：廣義傅里葉級數(shù)。③結(jié)論4：本征函數(shù)系在區(qū)間組成一個(gè)完備系，即任意一個(gè)含有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)函數(shù)，只要它滿足本征值問題中邊界條件，均能夠