2025屆河北省部分學校高三上學期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省部分學校2025屆高三上學期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，解得，所以.故選：B.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，所以，解得，可知；所以.故選：A.3.已知橢圓的離心率為，則（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】A【解析】橢圓的半焦距為，又離心率為，所以半長軸為2，所以，，故選：A.4.已知平面向量，，若在方向上的投影向量為，則（）A.2 B. C.0 D.1【答案】D【解析】由投影向量的幾何意義，，所以.故選：D.5.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意，，則，，所以.故選：B.6.若函數(shù)的極小值點為，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】，依題意，所以或，當時，，為極大值點，當時，，符合題意，故，故選：D.7.已知正項數(shù)列的前項積為，若，則（）A.4049 B.4048 C.2025 D.2024【答案】A【解析】依題意，當時，，所以，當時，，所以，所以，所以數(shù)列為公差為2，首項為3的等差數(shù)列，所以，.故選：A.8.從正十邊形的各頂點中任選3個，則選中的3個點能構(gòu)成直角三角形的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】從正十邊形的個頂點中任選3個點，共有種選法，將正十邊形看成一個圓的內(nèi)接正十邊形，則選中的3個點能構(gòu)成直角三角形，即直角所對邊為直徑，則任選圓的一條直徑共有種選法，直角頂點有種選法，所以選中的3個點能構(gòu)成直角三角形的概率為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，其中，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，，則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的極差一定相等 B.兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等C.兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的方差可能相等【答案】BCD【解析】取原樣本數(shù)據(jù)為，，，，則新樣本數(shù)據(jù)為，，，，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的極差不一定相等，中位數(shù)有可能相等，所以A選項錯誤，C選項正確；因為，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等，B選項正確；取原樣本數(shù)據(jù)為，，，，則新樣本數(shù)據(jù)為，，，，兩組樣本數(shù)據(jù)的方差可能相等，D選項正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，且，則（）A. B.是奇函數(shù)C.的圖象關(guān)于對稱 D.一定為的極小值點【答案】AC【解析】依題意，為的一個極值點，所以，所以，故A正確；由A可知，，所以為偶函數(shù)，故B錯誤；，所以為圖象的一個對稱中心，故C正確；因為的正負未知，所以無法判斷是否為極小值點，故D錯誤，故選：AC.11.已知棱長為1的正方體，空間內(nèi)的動點滿足，其中，，，且到棱的距離和到平面的距離相等，則（）A.當時，的軌跡長度為B.當時，四面體的體積為定值C.存在點，使得D.直線與平面所成角的正弦值最大為【答案】ABD【解析】由題設(shè)知，點在正方體的內(nèi)部或表面上.當時，點在平面內(nèi)運動，所以其到平面的距離始終為1，到棱的距離也為1.又因為到棱的距離即為到的距離，所以的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，且在正方體內(nèi)部或表面的部分，軌跡長度為，故A選項正確；當時，如圖，，，，分別為，，，的中點，點在平面內(nèi)，而對于三棱錐，若以為底面，則其體積，其中為到平面的距離.因為平面，平面平面，所以到平面的距離等于平面和平面的距離，為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B選項正確；因為到棱的距離和到平面的距離相等，所以，，故C選項錯誤；因為是平面的一個法向量，所以與平面所成角的正弦值等于，由C知，而，所以原式.因為，所以原式，當，，時等號成立，故D選項正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為第一象限角，若，則______.【答案】或【解析】依題意，為第一象限角，則，所以.故答案為：.13.若實數(shù)，滿足，則的最小值為______.【答案】1【解析】因，則，由，當且僅當，時等號成立，即當，時，取得最小值2，又因單調(diào)增函數(shù)，故此時取得最小值為1.故答案為：1.14.已知雙曲線的左，右焦點分別為，，是上位于第一象限的一點，，直線與圓交于，兩點，若，則的離心率為______.【答案】【解析】設(shè)，，且，，設(shè)到直線的距離為，過作直線的垂線，易知，所，整理得，，因為，所以，，由余弦定理，，所以，的離心率為.故答案：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，.（1）求的面積；（2）設(shè)在邊上，平分，若，求.解：（1）在中，由及余弦定理，得，而，則，由及正弦定理，得，則，所以的面積為.（2）設(shè)，則，在中，由正弦定理得，則，整理得，解得，所以.16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，為等邊三角形，平面平面，.（1）證明：平面平面；（2）設(shè)點為棱的中點，求二面角的余弦值.（1）證明：取的中點，為等邊三角形，，平面平面，且平面平面，平面，平面，平面，，為正方形，，又，平面，平面.平面，平面平面.（2）解：取的中點，由（1）知平面平面，平面平面，平面，平面，如圖，建立空間直角坐標系，有，，，，.，，，設(shè)平面的一個法向量為，則有令，得，.設(shè)平面的一個法向量為，則有令，得，，.，由圖知二面角為銳角，即二面角余弦值為.17.設(shè)函數(shù).（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，，求的取值范圍.解：（1）當時，，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增；（2），令，解得或，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，在處取得極大值，，當，即時，在處取得最大值，，解得，，當時，在或處取得最大值，解得，，的取值范圍是.18.在直角坐標系中，已知動圓過定點，且截軸所得的弦長為2.（1）求動圓圓心的軌跡方程；（2），為曲線上的兩個動點，過，中點且與軸平行的直線交曲線于點，曲線在點處的切線交軸于點.（i）證明：；（ii）若點在直線上，求面積的最大值.（1）解：設(shè)動圓圓心坐標為，動圓過定點，截軸所得弦長為2，，整理得，即動圓圓心的軌跡方程.（2）（i）證明：如圖：不妨設(shè)，，，由題滿足，兩式作差得，，即，過點與軸平行的直線交曲線于點，，，即，，，即.（ii）解：在直線上，，為，中點，在曲線內(nèi)部，，解得，由（i），點到直線的距離即為平行線和間距離，直線，即，直線，即，平行線和間距離為，，，，，令，，令，解得或，，，單調(diào)遞增；，，.單調(diào)遞減，最大值為，面積的最大值為.19.設(shè)為正整數(shù)，集合，集合為的一個非空子集，記，其中.（1）若，，求的取值的集合；（2）證明：的所有可能取值個數(shù)為；（3）是否存在，使得的所有可能取值從小到大排列成等差數(shù)列，若存在，求；若不存在，說明理由.（1）解：當時，或，，，，，的可能取值為，，，的取值集合為.（2）證明：設(shè)集合，，與中相同的元素不予考慮，其中，，假設(shè)，則，，，，即不存在兩個不同的子集，，使得，的所有可能取值個數(shù)為的非空子集個數(shù)，為.（3）解：，，，為的所有可能取值中最小的三個，，解得；當時，易知為偶數(shù)，且最大值為，最小值為2，由（2）可知的所有可能取值個數(shù)為，區(qū)間中偶數(shù)個數(shù)恰為，的所有可能取值集合為，該集合中任何一項均能寫成形式，進而可構(gòu)成首項為2，公差為2的等差數(shù)列，存在，使得的所有可能取值從小到大排列成等差數(shù)列.河北省部分學校2025屆高三上學期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，解得，所以.故選：B.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，所以，解得，可知；所以.故選：A.3.已知橢圓的離心率為，則（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】A【解析】橢圓的半焦距為，又離心率為，所以半長軸為2，所以，，故選：A.4.已知平面向量，，若在方向上的投影向量為，則（）A.2 B. C.0 D.1【答案】D【解析】由投影向量的幾何意義，，所以.故選：D.5.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依題意，，則，，所以.故選：B.6.若函數(shù)的極小值點為，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】，依題意，所以或，當時，，為極大值點，當時，，符合題意，故，故選：D.7.已知正項數(shù)列的前項積為，若，則（）A.4049 B.4048 C.2025 D.2024【答案】A【解析】依題意，當時，，所以，當時，，所以，所以，所以數(shù)列為公差為2，首項為3的等差數(shù)列，所以，.故選：A.8.從正十邊形的各頂點中任選3個，則選中的3個點能構(gòu)成直角三角形的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】從正十邊形的個頂點中任選3個點，共有種選法，將正十邊形看成一個圓的內(nèi)接正十邊形，則選中的3個點能構(gòu)成直角三角形，即直角所對邊為直徑，則任選圓的一條直徑共有種選法，直角頂點有種選法，所以選中的3個點能構(gòu)成直角三角形的概率為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，其中，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)，，，，則（）A.兩組樣本數(shù)據(jù)的極差一定相等 B.兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等C.兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能相等 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的方差可能相等【答案】BCD【解析】取原樣本數(shù)據(jù)為，，，，則新樣本數(shù)據(jù)為，，，，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的極差不一定相等，中位數(shù)有可能相等，所以A選項錯誤，C選項正確；因為，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定相等，B選項正確；取原樣本數(shù)據(jù)為，，，，則新樣本數(shù)據(jù)為，，，，兩組樣本數(shù)據(jù)的方差可能相等，D選項正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，且，則（）A. B.是奇函數(shù)C.的圖象關(guān)于對稱 D.一定為的極小值點【答案】AC【解析】依題意，為的一個極值點，所以，所以，故A正確；由A可知，，所以為偶函數(shù)，故B錯誤；，所以為圖象的一個對稱中心，故C正確；因為的正負未知，所以無法判斷是否為極小值點，故D錯誤，故選：AC.11.已知棱長為1的正方體，空間內(nèi)的動點滿足，其中，，，且到棱的距離和到平面的距離相等，則（）A.當時，的軌跡長度為B.當時，四面體的體積為定值C.存在點，使得D.直線與平面所成角的正弦值最大為【答案】ABD【解析】由題設(shè)知，點在正方體的內(nèi)部或表面上.當時，點在平面內(nèi)運動，所以其到平面的距離始終為1，到棱的距離也為1.又因為到棱的距離即為到的距離，所以的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，且在正方體內(nèi)部或表面的部分，軌跡長度為，故A選項正確；當時，如圖，，，，分別為，，，的中點，點在平面內(nèi)，而對于三棱錐，若以為底面，則其體積，其中為到平面的距離.因為平面，平面平面，所以到平面的距離等于平面和平面的距離，為定值，所以三棱錐的體積為定值，故B選項正確；因為到棱的距離和到平面的距離相等，所以，，故C選項錯誤；因為是平面的一個法向量，所以與平面所成角的正弦值等于，由C知，而，所以原式.因為，所以原式，當，，時等號成立，故D選項正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為第一象限角，若，則______.【答案】或【解析】依題意，為第一象限角，則，所以.故答案為：.13.若實數(shù)，滿足，則的最小值為______.【答案】1【解析】因，則，由，當且僅當，時等號成立，即當，時，取得最小值2，又因單調(diào)增函數(shù)，故此時取得最小值為1.故答案為：1.14.已知雙曲線的左，右焦點分別為，，是上位于第一象限的一點，，直線與圓交于，兩點，若，則的離心率為______.【答案】【解析】設(shè)，，且，，設(shè)到直線的距離為，過作直線的垂線，易知，所，整理得，，因為，所以，，由余弦定理，，所以，的離心率為.故答案：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，.（1）求的面積；（2）設(shè)在邊上，平分，若，求.解：（1）在中，由及余弦定理，得，而，則，由及正弦定理，得，則，所以的面積為.（2）設(shè)，則，在中，由正弦定理得，則，整理得，解得，所以.16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，為等邊三角形，平面平面，.（1）證明：平面平面；（2）設(shè)點為棱的中點，求二面角的余弦值.（1）證明：取的中點，為等邊三角形，，平面平面，且平面平面，平面，平面，平面，，為正方形，，又，平面，平面.平面，平面平面.（2）解：取的中點，由（1）知平面平面，平面平面，平面，平面，如圖，建立空間直角坐標系，有，，，，.，，，設(shè)平面的一個法向量為，則有令，得，.設(shè)平面的一個法向量為，則有令，得，，.，由圖知二面角為銳角，即二面角余弦值為.17.設(shè)函數(shù).（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，，求的取值范圍.解：（1）當時，，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增；（2），令，解得或，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，在處取得極大值，，當，即時，在處取得最大值，，解得，，當時，在或處取得最大值，解得，，的取值范圍是.18.在直角坐標系中，已知動圓過定點，且截軸所得的弦長為2