2025屆青海省部分學校高三上學期1月聯(lián)考數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1青海省部分學校2025屆高三上學期1月聯(lián)考數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則中所有元素之和（）A.18 B.20 C.22 D.24【答案】C【解析】∵，∴，∴，該集合中所有元素之和為22．故選：C.2.已知是拋物線上的兩點，的焦點為，則（）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】A【解析】因為點在拋物線上，所以，解得．又因為，所以．故選：A.3.設正項等比數(shù)列的前項和為，已知，則（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】設公比為，由，當時，，顯然不滿足題意；則，根據(jù)公式可得，由于，所以解得．又因為，解得，所以.故選：C.4.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵，∴，由題意得，對恒成立，則對恒成立．∵函數(shù)在上為減函數(shù)，∴，∴，即的取值范圍為．故選：D.5.中，，點在線段上，，則（）A3 B. C.6 D.【答案】D【解析】在中，由余弦定理可得，則．在中，由正弦定理可得，則．故選：D.6.已知某圓臺的軸截面是等腰梯形，，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得上底面圓的半徑，下底面圓的半徑，設圓臺的高為，則，所以該圓臺的體積.故選：B.7.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以．由，得，得，所以．因為時，，又，所以，解得，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以的取值范圍為．故選：A.8.若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的任意連續(xù)三個交點的連線構(gòu)成一個等腰直角三角形，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】．令，得．不妨取，得三個連續(xù)的交點依次為．設線段的中點為，則，因為是等腰直角三角形，所以．由，得故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數(shù)，則（）A.B.C.D.在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限【答案】BD【解析】因為，所以在復平面內(nèi)對應的點為，位于第一象限，故A，C錯誤，B，D正確．故選：BD.10.一次期中考試后，某校高三年級選取了（1）班，（2）班，（3）班進行成績分析，經(jīng)統(tǒng)計得到這三個班每班學生的數(shù)學成績的優(yōu)秀率（成績不低于120分的學生人數(shù)與該班學生總?cè)藬?shù)之比）如表所示：班級（1）（2）（3）優(yōu)秀率則下列結(jié)論正確的是（）A.（3）班學生的數(shù)學成績的優(yōu)秀率最高B.這三個班學生的數(shù)學成績的優(yōu)秀率為C.（2）班學生的人數(shù)一定最多D.若把（1）班和（3）班學生的數(shù)學成績放在一起統(tǒng)計，得到優(yōu)秀率為，則（1）班人數(shù)比（3）班人數(shù)少【答案】AD【解析】對于A，顯然（3）班學生的數(shù)學成績的優(yōu)秀率最高，A正確；對于B，這三個班學生的數(shù)學成績的優(yōu)秀率為這三個班成績優(yōu)秀的學生人數(shù)與總?cè)藬?shù)之比，由于各班人數(shù)不確定，所以不能計算這三個班學生的數(shù)學成績的優(yōu)秀率，B錯誤；對于C，（2）班學生的數(shù)學成績的優(yōu)秀率最低，不能說是因為班級人數(shù)最多，C錯誤；對于D，由于將（1）班和（3）班學生的數(shù)學成績合并起來計算得到的優(yōu)秀率更偏向（3）班學生的數(shù)學成績的優(yōu)秀率，所以（3）班學生的人數(shù)更多，D正確．故選：AD.11.如圖，在長方體中，，分別是棱的中點，點在棱上，則下列說法正確的是（）A.存在點，使得B.點到平面的距離是C.存在點，使得平面D.過CF作該長方體外接球的截面，所得截面面積的最小值是【答案】ABD【解析】以為原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．設，則，所以．由，得，解得，故A正確；設平面的法向量為，則，令，得，所以點到平面的距離是，故B正確；當平面時，，所以，即，此方程組無解，故C錯誤；設該長方體外接球的球心為，則，所以，所以點到直線的距離．設該截面圓的半徑為，則，所以所得截面面積的最小值是，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量滿足，且，則的夾角的余弦值為______．【答案】或【解析】設向量的夾角為，因為，所以，解得．故答案為：.13.已知雙曲線的左，右焦點分別為，雙曲線上存在一點，使得為等腰三角形，且，則雙曲線的離心率為______．【答案】【解析】因為，所以，又為等腰三角形，所以，在中，由余弦定理可得，解得．因為，即，所以，雙曲線的離心率為．故答案為：．14.已知為奇函數(shù)，對于任意的，都有，且，則不等式的解集為______．【答案】【解析】因為，所以．設，因為，所以，則是增函數(shù)，且．因為為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以，．不等式可轉(zhuǎn)化為，即，所以，即的解集為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.設函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，求的單調(diào)區(qū)間以及極值．解：（1）當時，，則，則曲線在點處的切線斜率為，因為，所以曲線在點處的切線方程為．（2）的定義域為．當時，，所以．令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因此，有極大值，無極小值．16.某學校為了了解學生平時的運動時長情況，現(xiàn)從全校500名學生中隨機抽取20名學生，統(tǒng)計出他們的運動時長（單位：分鐘），將這些運動時長按分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求出a的值，并估計全校學生中運動時長超過30分鐘的人數(shù)；（2）在上述選取的20名學生中任意選取2名學生，設Y為運動時長超過30分鐘的人數(shù)，求Y的分布列與期望；（3）現(xiàn)將運動時長高于35分鐘的學生稱為“熱愛運動者”，現(xiàn)從樣本中任意選取4名學生，求恰有2名學生是“熱愛運動者”的概率．解：（1）．全校學生運動時長超過30分鐘的人數(shù)約為．（2）由圖可知，運動時長超過30分鐘的人數(shù)為，運動時長不超過30分鐘的人數(shù)為，由題意可知的可能取值為0，1，2，則，，，所以的分布列為012所以．（3）運動時長超過35分鐘的人數(shù)為，運動時長不超過35分鐘的人數(shù)為，所以從樣本中任意選取4名學生，恰有2名學生是“熱愛運動者”的概率．17.如圖，已知和都是等邊三角形，，平面平面，點在線段上（不含線段的端點）．（1）證明：；（2）點、分別在線段、上，且，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因為是的中點，是等邊三角形，所以．又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面．因為平面，所以．（2）解：因為平面，以為坐標原點，、的方向分別為、軸的正方向，平面內(nèi)過點且垂直于的直線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則，因為點、分別在線段、上，且，則、、，則，．設平面的法向量為，由，令，得．設平面的法向量為，由上知，．則，令，得．設平面與平面的夾角為，則．因此，平面與平面夾角的余弦值為.18.已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．（1）求橢圓的方程；（2）設斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，與軸交于點，證明：為定值．（1）解：因為橢圓的離心率為，所以，解得．又橢圓經(jīng)過點，所以，所以，解得，所以橢圓的方程為．（2）證明：設，易知，則直線的方程為．聯(lián)立方程組，消去得，由，得，所以．，所以，所以．19.若數(shù)列的首項，對任意的，都有（為常數(shù)，且），則稱為有界變差數(shù)列，其中為數(shù)列的相鄰兩項差值的上界．已知數(shù)列是有界變差數(shù)列．（1）當時，證明：．（2）設數(shù)列的前項和為，若對任意的恒成立，求的最大值．（3）若，數(shù)列的前項和為，且對任意的，都有，求的取值范圍．（1）證明：當時，，則．當時，，滿足，故，當且僅當時，等號成立．（2）解：因為，所以，當時，滿足上式，則．因為，所以，整理得．因為，所以．因為，所以當且僅當時，等號成立．因為，所以．（3）解：由（2）可得，則．設，則，所以，所以，即．因為對任意的，都有，所以，即．當為奇數(shù)時，，所以，易證為遞減數(shù)列，則；當為偶數(shù)時，，所以，易證為遞增數(shù)列，則．綜上，的取值范圍為．青海省部分學校2025屆高三上學期1月聯(lián)考數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則中所有元素之和（）A.18 B.20 C.22 D.24【答案】C【解析】∵，∴，∴，該集合中所有元素之和為22．故選：C.2.已知是拋物線上的兩點，的焦點為，則（）A.11 B.12 C.13 D.14【答案】A【解析】因為點在拋物線上，所以，解得．又因為，所以．故選：A.3.設正項等比數(shù)列的前項和為，已知，則（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】設公比為，由，當時，，顯然不滿足題意；則，根據(jù)公式可得，由于，所以解得．又因為，解得，所以.故選：C.4.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵，∴，由題意得，對恒成立，則對恒成立．∵函數(shù)在上為減函數(shù)，∴，∴，即的取值范圍為．故選：D.5.中，，點在線段上，，則（）A3 B. C.6 D.【答案】D【解析】在中，由余弦定理可得，則．在中，由正弦定理可得，則．故選：D.6.已知某圓臺的軸截面是等腰梯形，，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得上底面圓的半徑，下底面圓的半徑，設圓臺的高為，則，所以該圓臺的體積.故選：B.7.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以．由，得，得，所以．因為時，，又，所以，解得，因為在上單調(diào)遞增，所以，所以的取值范圍為．故選：A.8.若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的任意連續(xù)三個交點的連線構(gòu)成一個等腰直角三角形，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】．令，得．不妨取，得三個連續(xù)的交點依次為．設線段的中點為，則，因為是等腰直角三角形，所以．由，得故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知復數(shù)，則（）A.B.C.D.在復平面內(nèi)對應的點位于第一象限【答案】BD【解析】因為，所以在復平面內(nèi)對應的點為，位于第一象限，故A，C錯誤，B，D正確．故選：BD.10.一次期中考試后，某校高三年級選取了（1）班，（2）班，（3）班進行成績分析，經(jīng)統(tǒng)計得到這三個班每班學生的數(shù)學成績的優(yōu)秀率（成績不低于120分的學生人數(shù)與該班學生總?cè)藬?shù)之比）如表所示：班級（1）（2）（3）優(yōu)秀率則下列結(jié)論正確的是（）A.（3）班學生的數(shù)學成績的優(yōu)秀率最高B.這三個班學生的數(shù)學成績的優(yōu)秀率為C.（2）班學生的人數(shù)一定最多D.若把（1）班和（3）班學生的數(shù)學成績放在一起統(tǒng)計，得到優(yōu)秀率為，則（1）班人數(shù)比（3）班人數(shù)少【答案】AD【解析】對于A，顯然（3）班學生的數(shù)學成績的優(yōu)秀率最高，A正確；對于B，這三個班學生的數(shù)學成績的優(yōu)秀率為這三個班成績優(yōu)秀的學生人數(shù)與總?cè)藬?shù)之比，由于各班人數(shù)不確定，所以不能計算這三個班學生的數(shù)學成績的優(yōu)秀率，B錯誤；對于C，（2）班學生的數(shù)學成績的優(yōu)秀率最低，不能說是因為班級人數(shù)最多，C錯誤；對于D，由于將（1）班和（3）班學生的數(shù)學成績合并起來計算得到的優(yōu)秀率更偏向（3）班學生的數(shù)學成績的優(yōu)秀率，所以（3）班學生的人數(shù)更多，D正確．故選：AD.11.如圖，在長方體中，，分別是棱的中點，點在棱上，則下列說法正確的是（）A.存在點，使得B.點到平面的距離是C.存在點，使得平面D.過CF作該長方體外接球的截面，所得截面面積的最小值是【答案】ABD【解析】以為原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．設，則，所以．由，得，解得，故A正確；設平面的法向量為，則，令，得，所以點到平面的距離是，故B正確；當平面時，，所以，即，此方程組無解，故C錯誤；設該長方體外接球的球心為，則，所以，所以點到直線的距離．設該截面圓的半徑為，則，所以所得截面面積的最小值是，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量滿足，且，則的夾角的余弦值為______．【答案】或【解析】設向量的夾角為，因為，所以，解得．故答案為：.13.已知雙曲線的左，右焦點分別為，雙曲線上存在一點，使得為等腰三角形，且，則雙曲線的離心率為______．【答案】【解析】因為，所以，又為等腰三角形，所以，在中，由余弦定理可得，解得．因為，即，所以，雙曲線的離心率為．故答案為：．14.已知為奇函數(shù)，對于任意的，都有，且，則不等式的解集為______．【答案】【解析】因為，所以．設，因為，所以，則是增函數(shù)，且．因為為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以，．不等式可轉(zhuǎn)化為，即，所以，即的解集為．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.設函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，求的單調(diào)區(qū)間以及極值．解：（1）當時，，則，則曲線在點處的切線斜率為，因為，所以曲線在點處的切線方程為．（2）的定義域為．當時，，所以．令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因此，有極大值，無極小值．16.某學校為了了解學生平時的運動時長情況，現(xiàn)從全校500名學生中隨機抽取20名學生，統(tǒng)計出他們的運動時長（單位：分鐘），將這些運動時長按分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求出a的值，并估計全校學生中運動時長超過30分鐘的人數(shù)；（2）在上述選取的20名學生中任意選取2名學生，設Y為運動時長超過30分鐘的人數(shù)，求Y的分布列與期望；（3）現(xiàn)將運動時長高于35分鐘的學生稱為“熱愛運動者”，現(xiàn)從樣本中任意選取4名學生，求恰有2名學生是“熱愛運動者”的概率．解：（1）．全校學生運動時長超過30分鐘的人數(shù)約為．（2）由圖可知，運動時長超過30分鐘的人數(shù)為，運動時長不超過30分鐘的人數(shù)為，由題意可知的可能取值為0，1，2，則，，，所以的分布列為012所以．（3）運動時長超過35分鐘的人數(shù)為，運動時長不超過35分鐘的人數(shù)為，所以從樣本中任意選取4名學生，恰有2名學生是“熱愛運動者”的概率．17.如圖，已知和都是等邊三角形，，平面平面，點在線段上（不含線段的端點）．（1）證明：；（2）點、分別在線段、上，且