2025年上海市黃浦區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

2025年上海市黃浦區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)是正確的,

選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上

1.（4分）已知線段a=2c，w,b=3cm,如果線段c是線段。和b的比例中項(xiàng)（）

A.6cmB.V6cirC.-A/6cirD.±A/6CIT

2.（4分）已知電=2,那么下列等式中成立的是（）

b3

Ba+1=3_5

A.2〃=3Z?C.=D.以=J.

b+l4b3b3

3

3.（4分）在RtZXABC中，已知/C=90°,*cosAA=v,那么sinB的值為（）

4

A.3B.Ac.旦D.A

4355

4.（4分）在△A8C中，點(diǎn)。、E分別在邊AB、AC上，如果AD=1,那么下列條件中能夠推得。E〃8C

的是（）

ADE1RDE1rEC2nAE1

BC3BC4AC3AC4

5.（4分）已知拋物線>=辦2+。龍+。（.WO）的圖象如圖所示，那么下列各式中（）

A.QVOB./?<0C.C>0D.a-Z?+c=O

6.（4分）某學(xué)習(xí)小組研究問(wèn)題“如圖，已知。、E、尸分別是△ABC的邊BC、CA.AB的中點(diǎn)，求證:

△DEF-AABC."經(jīng)過(guò)小組討論得到以下方法（）

A

一

BDC

A.可證叫空工，進(jìn)而證得△。跖s△人與。

ABBCAC

B.可證/2=/尸￡￡>,NC=/EFD,進(jìn)而證得△DEf'saAgc

C.可證/B=/FED,組里_,進(jìn)而證得

EFED

D.可證△FB￡）SZ\OEF,AFBD^AABC,進(jìn)而證得△￡>￡1〃/4ABC

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.（4分）（a+b）+3（-ya-2b）=-----------------------

8.（4分）如果兩個(gè)三角形是相似三角形，其中一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為65°和80°,那么另一個(gè)三

角形中最小內(nèi)角的度數(shù)為°.

9.（4分）如果一個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)均擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，那么這個(gè)等腰三角形底邊上的高擴(kuò)大為原

來(lái)的倍.

10.（4分）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)P（3,1）,那么OP與x軸正半軸夾角的余弦值

是.

H.（4分）如果一傳送帶和地面所成斜坡的坡比為1：2.4,要把物體從地面送到離地面10米高的地方，

物體所經(jīng)過(guò)的路程為米.

12.（4分）某拋物線的最高點(diǎn)在y軸上，且與尤軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這個(gè)拋物線的表達(dá)式可以

是.

13.（4分）如圖，已知梯形ABC。中，E、尸分別是腰48、C。上的點(diǎn)，如果AD：EF：BC=2：3：5,

那么AE：AB=.

14.（4分）如圖，在四邊形4BCD中，E是BD上的點(diǎn)，DC=DE,AB^AC

15.（4分）如圖，已知點(diǎn)。是△ABC的重心，5O_LCO,tm/CBC）/，那么點(diǎn)A、O的距離為

AB

16.（4分）體育課上投擲實(shí)心球活動(dòng).如圖，小明某次投擲實(shí)心球，實(shí)心球出手后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中距離地面

的高度y（米）（米）的函數(shù)解析式為y=」x2+bx+c，當(dāng)實(shí)心球運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)米?

8

17.（4分）如圖，將矩形ABC。平移到矩形E/GH的位置（點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)E,點(diǎn)8對(duì)應(yīng)點(diǎn)R點(diǎn)。對(duì)應(yīng)點(diǎn)

G）,邊EH與CD交于點(diǎn)M,其中DM：MC=3：2,BN：CN=3：2,那么A、E兩點(diǎn)的距離

為.（用含〃的代數(shù)式表示）

HG

M

D

EF

N

AB

18.（4分）將一張矩形紙片進(jìn)行如圖所示的操作：①沿對(duì)角線AC折疊，得到折痕AG②折疊紙片使邊

CQ落在折痕AC上，得到折痕CM；③過(guò)點(diǎn)M折疊紙片，展開得到折痕MN.如果矩形MDCN是一個(gè)

黃金矩形，其中蛇XI二1

CD2

D

C

三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）

分)計(jì)算:2cot600

19.(10sin450+sin30

2cos300+tan60

20.(10分)已知拋物線yn/+bx+c(aWO)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,6)、B(1,-2)(0,1).

（1）求該拋物線的表達(dá)式及其對(duì)稱軸/；

（2）如果點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱軸/對(duì)稱，聯(lián)結(jié)48、BD,求△A3。的面積.

21.（10分）如圖，在四邊形ABC。中，AD//BC,BC=5,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)、E.

（1）設(shè)前=Z，BD=b）試用Z、E的線性組合表示向量位;

（2）已知AO_LC￡>,tan/DAC」，求sin/ABC的值.

D

BC

22.（10分）某校初三學(xué)生開展主題為“測(cè)量校園內(nèi)樹木高度的方案設(shè)計(jì)”的數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng).

甲、乙、丙三位同學(xué)制作出一個(gè)簡(jiǎn)易測(cè)高儀.取兩根小木條釘在一起，使它們互相垂直，其中木條A8

長(zhǎng)40cm,OB長(zhǎng)20c機(jī)（接頭處忽略不計(jì)）.為了便于校正豎直位置，如圖1所示，這樣就制作出一個(gè)簡(jiǎn)

易測(cè)高儀.

任務(wù)：測(cè)量校園內(nèi)某棵大樹的高度（樹頂端M與樹根部N的距離）.

工具：簡(jiǎn)易測(cè)高儀、卷尺（如圖2所示）.

要求：測(cè)量得到的長(zhǎng)度用字母a,b,c…表示.

第一次實(shí)踐

實(shí)踐操甲手持測(cè)高儀，C端朝上。端朝下，從測(cè)高儀的點(diǎn)A經(jīng)過(guò)點(diǎn)C望向樹頂端使得點(diǎn)“恰好

作與點(diǎn)C、A在一條直線上，然后標(biāo)記鉛垂線的下端剛好接觸地面的點(diǎn)E的位置

示意圖獲取數(shù)據(jù)乙負(fù)責(zé)測(cè)量,得到點(diǎn)B到地面的垂

3直距離BE=acm,還需要測(cè)量得

到的相關(guān)數(shù)據(jù)有：____________.

解決問(wèn)題利用得到的數(shù)據(jù)表示樹MN的高

度：MN=_______________cm.

反思：這種方法需要能夠一直走到大樹的底下，有時(shí)因?yàn)橛姓系K物，無(wú)法走到大樹底卜.于是三位同學(xué)

討論如果不走到大樹底下也可以測(cè)量出大樹的高度，具體如下:

第二次實(shí)踐

實(shí)甲重復(fù)第一次實(shí)踐操作，然后將測(cè)高儀的。端朝上C端朝下，從測(cè)高儀的點(diǎn)A經(jīng)過(guò)點(diǎn)。望向樹頂

踐端M,使得點(diǎn)M恰好與點(diǎn)D,A在一條直線上，然后標(biāo)記鉛垂線的下端剛好接觸地面的點(diǎn)F的位置.丙

操提醒甲注意：兩次測(cè)量時(shí)點(diǎn)8到地面的垂直距離保持不變，如圖4所示.

作

決

問(wèn)

題

nA

D\BC

（圖1）

（圖2）

23.(12分)已知在△ABC中，CD平分NAC8,￡是C。延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，尸是AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CF.

(1)證明：ACEAsACDB；

(2)如果CF〃AE,求證：幽①.

ADCF

24.(12分)在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，已知拋物線y=-/+4x+c(c>0)與x軸交于A、8兩點(diǎn)，(點(diǎn)A

在點(diǎn)B的右側(cè))與y軸交于點(diǎn)C,直線PC與x軸交于點(diǎn)D

(1)用含c的代數(shù)式表示點(diǎn)尸及點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)將該拋物線進(jìn)行上下、左右兩次平移，所得的新拋物線的頂點(diǎn)P'落在線段PC的延長(zhǎng)線上，新拋

物線與y軸交于點(diǎn)E

①求該拋物線兩次平移的方向和距離；

②點(diǎn)A在新拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A,如果被y軸平分，求原拋物線的表達(dá)式.

25.(14分)已知平行四邊形ABC。中，AB=9,BC=5,sinB=A,過(guò)點(diǎn)P作尸交射線于點(diǎn)

5

E,尸是PE上的點(diǎn)，身上，聯(lián)結(jié)CF.

PC3

(1)求證：ZBAC^ZPCF；

(2)當(dāng)△APCsZXEFC時(shí)，求線段的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)包場(chǎng)。時(shí)，求膽的值.

^APHC3AC

2025年上海市黃浦區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

題號(hào)123456

答案BCADBC

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)是正確的,

選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上

1.（4分）已知線段a=2c，w,b=3cm,如果線段c是線段。和b的比例中項(xiàng)（）

A.6cmB.A/6cirC.cirD.±V6cir

【解答】解：?.?線段c是線段〃和人的比例中項(xiàng)，

?\c2=ab=2X5=6,

解得。=土旄，

又??,線段的長(zhǎng)是正數(shù)，

??c=y12cm.

故選：B.

2.（4分）己知曳=2,那么下列等式中成立的是（）

b3

A.2a=3bB.史11=2C.至曳=互D.三"=工

b+14b3b3

【解答】解：A.因?yàn)橐?2,故A不符合題意；

b3

B.因?yàn)榈?旦史1/3,故8不符合題意；

b3b+54

C.因?yàn)榍?3生也=$,故C符合題意；

b3b3

D.因?yàn)榘?2亙竺=-9；

b3b3

故選：C.

3.（4分）在Rt^ABC中，已知NC=90°,cosA=J-,那么sin8的值為（）

4

A.3B.Ac.gD.A

4355

【解答】解：ABC中，ZC=90°,

；.NA+NB=90°,

o

/.sinB=cosA=—.

4

故選：A.

4.（4分）在△ABC中，點(diǎn)、D、E分別在邊A3、AC上，如果4。=1,那么下列條件中能夠推得。E〃BC

的是（）

ADE1pDE1rEC2nAE1

BC3BC4AC3AC4

【解答】解：?..點(diǎn)。、E分別在邊A8,AD=\,

：.AB=AD+BD=l+3=4,

AD-15,

AB

AE1

AC-4-

AD

AB

-A-E

AC

,.?NA=NA,

???AADE^AABC,

：.ZADE=ZB,

：.DE//BC,

故。符合題意；

由地DE=A,ZA=ZA,

AB4BC8

...不能證明NAOE=ZB,

，不能推得。E〃8C,

故A不符合題意；

由膽=?1,些=_L,ZA=ZA,

AB4BC4

不能證明/AOE=NB,

不能推得。E〃BC,

故3不符合題意；

-

25,

EC

AC

AE-13,

AC

ADAE

ABW-

AC

?..由熊3々二〃

...不能證明NA￡>E=NB,

二不能推得。E〃BC,

故C不符合題意,

故選：D.

5.（4分）已知拋物線y=o?+bx+c（a-0）的圖象如圖所示，那么下列各式中（）

A.〃V0B.b<0C.c>0D.a-b+c=O

【解答】解：；拋物線y=o?+a+cQWO）的圖象開口向下,

故A選項(xiàng)不符合題意；

?.?拋物線y=a^+bx+c的對(duì)稱軸者>8，

：.b>0,

故8選項(xiàng)符合題意；

:拋物線y=ax2+bx+c的圖象與y軸的正半軸相交，

：.c>l,

故C選項(xiàng)不符合題意；

,拋物線y=G^+bx+c的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,7）,

當(dāng)x=-1時(shí)，y=O,

即〃-b+c=8,

故。選項(xiàng)不符合題意，

故選：B.

6.（4分）某學(xué)習(xí)小組研究問(wèn)題“如圖，已知。、E、尸分別是△A8C的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，求證:

△DEFsAABC."經(jīng)過(guò)小組討論得到以下方法（）

ABBCAC

B.可證NC=NEFD,進(jìn)而證得△OEESAABC

C.可證/2=/尸即，型_晝_,進(jìn)而證得△DEPS/VIBC

EFED

D.可證MBDSLABC,進(jìn)而證得△OEF'S/VIBC

【解答】解：E、產(chǎn)分別是AABC的邊BC、的中點(diǎn)，

J.DE//AB,且。E=_l,EF//BC1.BC,且尸￡)=」，

224

???DE=EF=FD=1,

ABBCAC2

:.ADEFsAABC,

故A不符合題意；

"JDE//BF,EF//BD,

四邊形BDEF是平行四邊形，

：.ZB=ZFED,

同理四邊形CDFE是平行四邊形，

：.ZC=ZEFD,

:.△DEFS^ABC,

故B不符合題意；

'."AB//ED,

：.AABCsAEDC,

?AB=BC

"ED而’

,:DC=EF,

?AB=BC

"ED麗’

.?.旭=電不成立，

EFED

:.由NB=NFED,空=也，不能證得

EFED

故c符合題意；

VDE//AB,EF//BC,

：.ZBFD=ZEDF,ZBDF=ZEFD,

：./\FBD^/\DEF,

'：FD//AC,

，叢FBDsAABC,

:.△DEFsAABC,

故。不符合題意，

故選：C.

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.（4分）（a+b）+3Qa-2b）=—匯匕一-

【解答】解：原式=a+b+a-6ba-5b，

故答案為：3a_5b.

8.（4分）如果兩個(gè)三角形是相似三角形，其中一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為65°和80°,那么另一個(gè)三

角形中最小內(nèi)角的度數(shù)為35°.

【解答】解：???一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別為65°、80°,

，另一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：180°-65°-80°=35°.

..?兩個(gè)三角形相似，

...另一個(gè)三角形中最小的內(nèi)角為35°.

故答案為：35.

9.（4分）如果一個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)均擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，那么這個(gè)等腰三角形底邊上的高擴(kuò)大為原

來(lái)的10倍.

【解答】解：：一個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)均擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，

這兩個(gè)等腰三角形相似，相似比是10,

1/相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的把比定義相似比，

這個(gè)等腰三角形底邊上的高擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，

故答案為：10.

10.（4分）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)尸（3,1）,那么OP與x軸正半軸夾角的余弦值是3項(xiàng)

一10—

:點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（3,1）,

:.PM=7,OM=3.

在RtAPOAf中,

OP=714+32=V10,

AcosZPOM=里=&.

OPVToio

故答案為：漢邊.

10

11.（4分）如果一傳送帶和地面所成斜坡的坡比為1：2.4,要把物體從地面送到離地面10米高的地方，

物體所經(jīng)過(guò)的路程為26米.

【解答】解：.物體的鉛直高度是10米，斜坡的坡比為1：2.4,

，物體的水平寬度是：10X2.4=24米，

由勾股定理得：物體所經(jīng)過(guò)的路程為：.（）2+242=26（米），

故答案為：26.

12.（4分）某拋物線的最高點(diǎn)在y軸上，且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這個(gè)拋物線的表達(dá)式可以是y=-27+3

（答案不唯一）.

【解答】解：???拋物線的最高點(diǎn)在y軸上，

.?.拋物線的頂點(diǎn)為（0,c）,

當(dāng)c>0時(shí)，拋物線與無(wú)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

.?.拋物線的表達(dá)式為>=-2尤2+6；

當(dāng)cVO時(shí)，拋物線與X軸有兩個(gè)交點(diǎn),

，〃〉0,

，拋物線的表達(dá)式為y=2?-3；

故答案為：y=-87+3（答案不唯一）.

13.（4分）如圖，已知梯形ABCZ）中，E、尸分別是腰A3、CD上的點(diǎn)，如果A。：EF：BC=2：3：5,

那么AE：AB=1：3

【解答】解：延長(zhǎng)84、CD交于點(diǎn)、H,

:梯形ABC。中，E、尸分別是腰48,AD//EF,

：.AD//BC,

J.EF//BC,

：.AHADs△HBC,AHEFs△HBC,

,：AD：EF：BC=2：3：7,

???AH-AD-2,EH_EF_2,

BHBC5BHBC5

:.AH=2BH3BH,

75

:.AE=EH-AH=2BH-2LBH~5H=3,

55552

?AE5_=1

??=——9

AB8

b

：.AE：AB=1：3,

故答案為：8：3.

14.（4分）如圖，在四邊形ABC。中，E是3。上的點(diǎn)，DC=DE,AB=AC72：2

【解答】解：?.?設(shè)AC交30于點(diǎn)R作交80于點(diǎn)H,

：.ZCDE=ZCAB=90°,

ZACD+ZCFD=90°,ZABH+ZAFB=90°,

9

：ZCFD=ZAFBf

：.ZACD=/ABH,

在△AC。和△AB"中，

<ZACD=ZABH

<AC=AB，

ZCAD=ZBAH

AACD^AABH(ASA),

：.AD=AH,DC=HB,

?：DC=DE,

:.HB=DE,

:.HB+HE=DE+HE,

22

BE=DH=7AD+AH=MAD,

?AD=V2

"BE~

：.AD：BE=a：2,

故答案為：V2：8.

15.（4分）如圖，已知點(diǎn)。是AABC的重心，BOLCO,tan/CBO那么點(diǎn)A、。的距離為10

【解答】解：連接AO并延長(zhǎng)交8c于點(diǎn)E,在AE的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)H,連接AH,延長(zhǎng)CO交AB于

點(diǎn)、F

\'BO±CO,tan/C80=3,

4

.?.在RtZ\80C中，tan/CBO=區(qū)■=1,

0B4

：OB=8,

...oc=旦。2=6,

4

由勾股定理得：BC=-K）B=+8=10,

:點(diǎn)。是△ABC的重心，

是△ABC的中線，CF是△ABC的中線，

：.BE=CE,AF=BF,

又,：EH=EO,

四邊形BHCO是平行四邊形，

-：BO1CO,

平行四邊形3HCO是矩形，

：.CF//BH,OH=BC=10,

'：AF=BF,

二。廠是△ABH的中位線，

：.AO=OH=10,

.?.點(diǎn)A、。的距離為10.

故答案為：10.

16.（4分）體育課上投擲實(shí)心球活動(dòng).如圖，小明某次投擲實(shí)心球，實(shí)心球出手后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中距離地面

的高度y（米）（米）的函數(shù)解析式為y=4x2+bx+c，當(dāng)實(shí)心球運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)3—米.

8

【解答】解：???實(shí)心球運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)5（3,3.125）時(shí)達(dá)到最高點(diǎn),

,s19

??4X（*）Xc-b）

----------------=3.125

|4X（得）

fb=l

解得4,

c=2

二次函數(shù)的解析式為y=-尹+%2,

令y=3,貝ij-工產(chǎn)+三什7=0,

84

解得尤1=4,XI--2,

/.實(shí)心球的落地點(diǎn)C與出手點(diǎn)A的水平距離OC為8米.

故答案為：8.

17.（4分）如圖，將矩形A2CD平移到矩形EFG8的位置（點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)E,點(diǎn)B對(duì)應(yīng)點(diǎn)R點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)

G）,邊EW與CD交于點(diǎn)M,其中。M：MC=3：2,BN：CN=3：2,那么A、E兩點(diǎn)的距離為3。.（用

一2一

含a的代數(shù)式表示）

H,---------------------1G

A1---------------------'B

【解答】解：延長(zhǎng)FE交AD于點(diǎn)3連接AE,則MN=a,

:四邊形ABC。是矩形，

AZD=ZDAB=ZB=ZC=90°,

ZMEL=90°

由平移得/班戶=/D48=90°,EH//AD,

；./ELD=/DAB=90°,NALN=ND=90°,

，四邊形LDME和四邊形ABNL都是矩形，

：.DM=EL,BN=LA,

'：DM-.MC=3：2,BN-.CN=5：2,

:.EL：MC=3：2,LA；CN=3：2,

???EL一_L,A_5——,

MCCN2

VZALE=ZC=90°,

AALEs^NCM,

?AE-LA-3

MNCN5

:.AE=3MN=&a,

22

；.A、E兩點(diǎn)的距離為旦

8

故答案為：3a.

2

H,---------------------1G

----------'B

18.（4分）將一張矩形紙片進(jìn)行如圖所示的操作：①沿對(duì)角線AC折疊，得到折痕AC；②折疊紙片使邊

CD落在折痕AC上，得到折痕CN；③過(guò)點(diǎn)M折疊紙片，展開得到折痕MN.如果矩形MDCN是一個(gè)

黃金矩形，其中皿西二11.

CD2-2一

M

AD

P、、、

B

NC

【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)“作MT〃AC交CD于點(diǎn)T.

A

B

由翻折變換的性質(zhì)可知，ZMCD=ZMCAf

'：MT//AC,

：.ZTMC=ZMAC,

；./TMC=/MCD,

：.TM=TC,

設(shè)TM=TC=y,

..MDV5-1

?---=------，

CD5

.,.可以假設(shè)(V5-1)k,

:四邊形ABC。是矩形，

AZD=90°,AB=CD,

：.Mf'^DM1+DTL,

：./=(2k-y)2+[(A/6-1)k]1,

.?.產(chǎn)

2_

：.DT=6k-5r立F,

26

,JMT//AC,

:.八DMTs叢DAC,

?DT=DM

"DCDA，

Vs-i

.CD=DT=3k=7

"DADM(V5-l)k2

'：AB=CD,AD=BC,

.AB=1

"BC

故答案為：1.

2

三、解答題：(本大題共7題，滿分78分)

19.(10分)計(jì)算：24F0------空辿------—+■-0■

smr4b2cos300+tan60°Sin3U

2o

【解答】解：sin450-——容則——-+sin30

Sin4b2cos30°+tan60°Sin3U

VL

=2——3_+3

22X^W32

返

=l-3+1

4V3W35

返

=1一3.1

22V52

=A-1+1

222

=_8

20.(10分)已知拋物線y=o?+6x+c(aWO)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,6)、8(1,-2)(0,1).

(1)求該拋物線的表達(dá)式及其對(duì)稱軸/；

(2)如果點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱軸/對(duì)稱，聯(lián)結(jié)A3、BD,求的面積.

【解答】解：(1)將A(-1,6),-7),1)代入y=o?+bx+c,

a-b+c=5

得：＜a+b+c=-2，

c=l

"a=4

解得：＜b=-4，

c=l

所以y=/-4x+l,

對(duì)稱軸為直線尤==§-=5；

2X1

(2)由題意知點(diǎn)。坐標(biāo)為(5,6),

則AD=2,

△A3。的面積為＞1x6義[6-(-2)]=24.

2

21.(10分)如圖，在四邊形A8C。中，AD//BC,BC=5,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)E.

(1)設(shè)前=Z，麗=總試用;、E的線性組合表示向量其；

(2)已知AO_LCD,tan/DAC-^求sin/ABC的值.

【解答】解：(1)-：AD//BC,

???AD~ED,

BCBE

9：AD=4,8C=5,

?,?黑-|，ED^BD'

15II*5/

■:BC=a，BD=b?

AD^-a,ED=[b，

□y

VAE=AD-ED，

?—?4f4一

,?AEt-arb；

49

(2)方法5：過(guò)點(diǎn)A作A/垂足為點(diǎn)凡

在RtAADC中，ADA.CD,tan/DAC=4",

.*.0)=3,

\9AD//BC,

：.ZFAD=9Q°,

又7mh

???四邊形ADC尸是矩形,

：.AF=CD=2,AD=FC=4f

?；BC=5,

：.BF=1,

???AB=V5,

../iRrAF2276

-sinZABC-?

方法2：YAraCDtanNDAC-1'

??.tan/DAC端卷，

,?工。=4,

：.CD=2,

7AC=VCD8+AD2>

，AC=2我，

,JAD//BC,

：.ZDAC=ZACB,

??AD=AC=2,

.'.△DAC^AACB,

：.ZBAC=ZD=90°,

，sin/ABC嗡

22.（10分）某校初三學(xué)生開展主題為“測(cè)量校園內(nèi)樹木高度的方案設(shè)計(jì)”的數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng).

甲、乙、丙三位同學(xué)制作出一個(gè)簡(jiǎn)易測(cè)高儀.取兩根小木條釘在一起，使它們互相垂直，其中木條AB

長(zhǎng)40cm,長(zhǎng)20c%（接頭處忽略不計(jì)）.為了便于校正豎直位置，如圖1所示，這樣就制作出一個(gè)簡(jiǎn)

易測(cè)高儀.

任務(wù)：測(cè)量校園內(nèi)某棵大樹的高度（樹頂端M與樹根部N的距離）.

工具：簡(jiǎn)易測(cè)高儀、卷尺（如圖2所示）.

要求：測(cè)量得到的長(zhǎng)度用字母a,6,c…表示.

第一次實(shí)踐

實(shí)踐操甲手持測(cè)高儀，C端朝上。端朝下，從測(cè)高儀的點(diǎn)A經(jīng)過(guò)點(diǎn)C望向樹頂端M,使得點(diǎn)M恰好

作與點(diǎn)c、A在一條直線上，然后標(biāo)記鉛垂線的下端剛好接觸地面的點(diǎn)E的位置

示意圖3M獲取數(shù)據(jù)乙負(fù)責(zé)測(cè)量,得到點(diǎn)B到地面

K___________________

的垂直距離BE—acm,還需

要測(cè)量得到的相關(guān)數(shù)據(jù)有：

BH的長(zhǎng)度.

解決問(wèn)題利用得到的數(shù)據(jù)表示樹MN

的iWi度：MN—(6Z+/?+40)

cm.

反思：這種方法需要能夠一直走到大樹的底下，有時(shí)因?yàn)橛姓系K物，無(wú)法走到大樹底下.于是三位同學(xué)

討論如果不走到大樹底下也可以測(cè)量出大樹的高度，具體如下:

第二次實(shí)踐

實(shí)甲重復(fù)第一次實(shí)踐操作，然后將測(cè)高儀的。端朝上C端朝下，從測(cè)高儀的點(diǎn)A經(jīng)過(guò)點(diǎn)。望向樹頂

踐端使得點(diǎn)M恰好與點(diǎn)。、A在一條直線上，然后標(biāo)記鉛垂線的下端剛好接觸地面的點(diǎn)尸的位

操置.丙提醒甲注意：兩次測(cè)量時(shí)點(diǎn)2到地面的垂直距離保持不變，如圖4所示.

作

示獲取數(shù)據(jù)：點(diǎn)B到地面的垂直距離BE

*-=acm,乙還需要測(cè)量得到的相關(guān)數(shù)據(jù)

圖有：還需要測(cè)量出AB1的長(zhǎng)度.

4

解利用得到的數(shù)據(jù)表示樹的高度.(寫出求解過(guò)程)

決

問(wèn)

題

nA

土c

(圖1)

(圖2)

【解答】解：第一次實(shí)踐：還需要測(cè)量出8〃的長(zhǎng)度.

由題意知，四邊形BENH是矩形，HM±AH,

:.HN=BE=acm,BC//HM,

：.△ABCs^AHM,

?AB=BC；

"AH市’

設(shè)BH=bcm,

AB=40cm,CD—6Qcm,

BC=40cm,AH=(6+40)cm,

?40=40

"b+40前

HM—(b+40)cm,

MN—(a+b+40)cm,

故答案為:的長(zhǎng)度,(a+b+40)；

第二次實(shí)踐：還需要測(cè)量出ABi的長(zhǎng)度.

設(shè)ABi=c,

由題意知,BC1.AH,BADI±AH,

：.BC//BiDe//MH,

：.AABCSAAHM,△481。2s

由第一次實(shí)踐得HM=BH+40；

,：AAIB4Z)I^AAIW,

ABBD

.51=21

"AjH-HM)

?40=20,

"40+c+40+BH而

(80+BH+c),

7

：.BH+40=l(80+BH+c),

2

：.BH=c+4Q,

：.HM^8Q+c,

MN=(a+c+80)cm.

故答案為：還需要測(cè)量出A85的長(zhǎng)度.

23.(12分)已知在△ABC中，C￡)平分NAC2,E是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，尸是AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CE

(1)證明：ACEAs4CDB；

(2)如果CF〃AE,求證：

ADCF

【解答】證明：(1)???。。平分NACB,E是。。延長(zhǎng)線上一點(diǎn),

ZACE=ZBCD,/ADE=NCDB,

'：AE=ADf

：.NADE=/E,

；./E=NCDB,

：.ACEA^/\CDB.

(2),:ACEAsXCDB,

：.ZCAE=ZCBDf至=幽=坦

BCBDBD

ABCBD,

**AC=而'

9：CF//AE,

：.ZACF+ZCAE=180°,

VZCBF+ZCBD=180°,

：.ZCBF=ZACF,

VZF=ZF,

/.△CBF^AACF,

???BC.-B-F,

ACCF

???BD=BF?

ADCF

24.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知拋物線y=-7+4x+c(c>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)、,(點(diǎn)A

在點(diǎn)B的右側(cè))與y軸交于點(diǎn)C,直線PC與x軸交于點(diǎn)D

(1)用含c的代數(shù)式表示點(diǎn)P及點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)將該拋物線進(jìn)行上下、左右兩次平移，所得的新拋物線的頂點(diǎn)P落在線段PC的延長(zhǎng)線上，新拋

物線與y軸交于點(diǎn)E

①求該拋物線兩次平移的方向和距離；

②點(diǎn)A在新拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A',如果。A被y軸平分，求原拋物線的表達(dá)式.

【解答】解：(1)y--X2+4X+C=-(x-8)2+4+C,

頂點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(2,4+c),

當(dāng)x—0時(shí)，y—c,

...點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,c),

設(shè)直線PC的解析式為y=kx+c,

2k+c=4+c,解得k=8,

直線PC的解析式為y=2x+c,

當(dāng)y=0時(shí)，3—2x+c,

解得乂=上，

2

...點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-7,0)；

(2)①該拋物線向右平移機(jī)個(gè)單位，向上平移〃個(gè)單位，4+c+n),

?'?y=~X2+4X+C=-(尤-2)2+4+C,

新拋物線的解析式為y'—~(x-2-m)3+4+C+W,

當(dāng)x=0時(shí)，y'=-m7-4m+c+n,

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,-m4-4m+c+n),

設(shè)直線P'P的解析式為y=kix+b5,

2k]+b/4+c

(2+m)k3+bp4+c+n