2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義：幾何綜合（3題型+7類型+解題模板+技巧講義）解析版

壓軸題解題模板04

幾何綜合

目錄

?題型剖析?精準(zhǔn)提分

題型一線段最值問題

①動(dòng)點(diǎn)路徑問題

②“胡不歸”問題

③“將軍飲馬”問題

④“造橋選址”問題

題型二：面積平分問題

題型三面積最值問題

好題必刷?強(qiáng)化落實(shí)

題型剖析?精準(zhǔn)提分

幾何綜合

題型一線段最值問題題型二面積平分㈣題

①動(dòng)點(diǎn)路徑問題①三角形

②"胡不歸"問題②不規(guī)則圖形

③"將軍飲馬'］問題

④"造橋選址”問題題型三面積最值問題

下圖為二次函數(shù)圖象性質(zhì)與幾何問題中各題型的

題型解讀：

考查熱度.

幾何綜合問題在中考中以填空題和解答題

幾何綜合

的形式出現(xiàn)，考查難度較大.此類問題在中考中

多考查面積平分、面積最值和幾何變換的綜合問

題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似

三角形、圓、銳角三角函數(shù)、勾股定理、圖形變

換的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值等相關(guān)知識(shí)，以及分

類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.此

類題型常涉及以下問題：①幾何圖形中的線段最

值問題②探究圖形面積的分割問題；③探究圖形

面積的最值問題.右圖為幾何綜合問題中各題型

的考查熱度.

題型一線段最值問題

分類：①動(dòng)點(diǎn)路徑問題②“胡不歸”問題③“將軍飲馬”問題④“造橋選址”問題

解題模板:

①動(dòng)點(diǎn)路徑問題

【例1】(山東濟(jì)寧-中考真題)研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題.

(1)閱讀材料

立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角.

例如，正方體ASCD-AB'C'D'(圖1).因?yàn)樵谄矫鍭4'C'C中，CCHAN,AA與相交于點(diǎn)A,所以直

線A5與A4'所成的NR4A就是既不相交也不平行的兩條直線AB與CC所成的角.

解決問題

如圖1,已知正方體ABCD-AB'C'D,求既不相交也不平行的兩條直線與AC所成角的大小.

(2)如圖2,M,N是正方體相鄰兩個(gè)面上的點(diǎn).

①下列甲、乙、丙三個(gè)圖形中，只有一個(gè)圖形可以作為圖2的展開圖，這個(gè)圖形是」

②在所選正確展開圖中，若點(diǎn)M到AB,8C的距離分別是2和5,點(diǎn)N到BO,BC的距離分別是4和3,

尸是上一動(dòng)點(diǎn)，求PM+/W的最小值.

丙

【答案】(1)60°；(2)①丙；②10

【分析】(1)連接BC',則△ABC為等邊三角形，即可求得既不相交也不平行的兩條直線胸與AC所成

角的大?。?/p>

(2)①根據(jù)正方體側(cè)面展開圖判斷即可；

②根據(jù)對(duì)稱關(guān)系作輔助線即可求得PM+PN的最小值.

【詳解】解：(1)連接3C',

,/AC//AC,BA與AC相交與點(diǎn)A,

即既不相交也不平行的兩條直線及V與AC所成角為NBA'。',

根據(jù)正方體性質(zhì)可得：AB=BC=AC,

.??△ABC'為等邊三角形，

?.ZBAC=6O°,

即既不相交也不平行的兩條直線BA與AC所成角為60。；

(2)①根據(jù)正方體展開圖可以判斷，

甲中與原圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置不符，

乙圖形不能拼成正方體，

故答案為丙；

②如圖：作M關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)M',

連接MW',與4B交于點(diǎn)尸，連接

貝ljPM+PN=PN+PM'=NM',

過點(diǎn)N作BC垂線，并延長(zhǎng)與Af肘交于點(diǎn)E,

,點(diǎn)M到BC的距離是5,點(diǎn)N到BC的距離是3,

NE=8,

:點(diǎn)M到AB的距離是2,點(diǎn)N到BD的距離是4,

二EM，=6,

""NM'=EM'2+NE2=V62+82=10,

故尸M+PN最小值為10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、正方體的側(cè)面展開圖、根據(jù)對(duì)稱關(guān)系求最短距離、勾股定理等知識(shí)

點(diǎn)，讀懂題意，明確尸河+PN最小時(shí)的情況是解題的關(guān)鍵.

【變式1T】(山東日照-中考真題)如圖，R3ABC中，/C=90。，以A3為邊在A2上方作正方形

過點(diǎn)。作。交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R連接BE.

(1)求證：AABgABDF；

(2)P,N分別為AC,BE上的動(dòng)點(diǎn)，連接AN,PN,若。P=5,AC=9,求AN+PN的最小值.

CPA

【答案】(1)見解析；(2)14

【分析】⑴根據(jù)正方形的性質(zhì)得出BD=AB,/DBA=90。,進(jìn)而得出NDBF=NCAB,因?yàn)?C=/DFB=90。.根

據(jù)AAS即可證得結(jié)論；

(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)AN=DN,如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一條直線上，根據(jù)垂線段最短,

作DP」AC,交BE于點(diǎn)Ni,垂足為Pi,則AN+PN的最小值等于DPi=FC=14.

【詳解】(1)證明：?.,RSA8C中，ZC=90°,DFLCB,

；./C=NDFB=90°.

???四邊形是正方形，

：.BD=AB,/DBA=90°,

VZDBF+ZABC^90°,ZCAB+ZABC^90°,

：.ZDBF=ZCAB,

:.△ABWABDF(AAS)；

(2)解：,:AABC出ABDF,

：.DF=BC=5,BF=AC=9,

：.FC=BF+BC=9+5=14.

如圖，連接ON,

：BE是正方形頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)D的對(duì)稱軸，

：.AN=DN.

如使得AN+PN最小，只需。、N、P在一條直線上，

由于點(diǎn)尸、N分別是AC和BE上的動(dòng)點(diǎn)，

作。尸/LAC,交BE于點(diǎn)、Ni,垂足為尸/,

所以，4V+PN的最小值等于。P/=FC=14.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短路線問題，熟練掌握正方形的性

質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式1-2】（江蘇連云港-中考真題）如圖，四邊形ABCO為平行四邊形，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使班=加）,

且

（1）求證：四邊形O3CE為菱形；

（2）若△D3C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)P、M、N分別在線段BE、BC、CE上運(yùn)動(dòng)，求PM+/W的

最小值.

【答案】（1）證明見解析

⑵百

【分析】（1）先根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形的性質(zhì)和DE=AD證明四邊形D3CE為平行四邊形，再根

據(jù)即可得證；

（2）先根據(jù)菱形對(duì)稱性得，得到R0+PN=PM+7W',進(jìn)一步說明尸河+PN的最小值即為菱形的高，再

利用三角函數(shù)即可求解.

【詳解】（1）證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

AAD//BC,AD=BC,

?：DE=AD,

DE=BC,

又：點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，

DE//BC,

.?.四邊形DBCE為平行四邊形，

又：BE1DC,

，四邊形DBCE為菱形.

（2）解：如圖，由菱形對(duì)稱性得，點(diǎn)N關(guān)于8E的對(duì)稱點(diǎn)V在DE上,

PM+PN=PM+PN',

當(dāng)尸、M、V共線時(shí)，

PM+PN=PM+PN'=MN',

過點(diǎn)。作D”_L3C,垂足為

DE//BC,

：.MN'的最小值即為平行線間的距離?！钡拈L(zhǎng)，

:△￡>3c是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

,在的中，ZDBC=60°,DB=2,sinZ￡>BC=—,

DB

DH=DB.sinZDBC=2x—=5/3,

2

/.PM+PN的最小值為￡-

【點(diǎn)睛】本題考查了最值問題，考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí),

運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想方法.將最值問題轉(zhuǎn)化為求菱形的高是解答本題的關(guān)鍵.

【變式1-3］（2023-四川自貢-中考真題）如圖1,一大一小兩個(gè)等腰直角三角形疊放在一起，M,N分別

是斜邊￡）石，AB的中點(diǎn)，。石=2,AB=4.

(1)將ACDE繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M,N距離的最大值和最小值;

(2)將ACDE繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。(如圖2),求肱V的長(zhǎng).

【答案】(1)最大值為3,最小值為1

⑵近

【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線，得出CM,CN的值，進(jìn)而根據(jù)題意求得最大值與最小值即可求

解；

(2)過點(diǎn)N作NP1MC,交MC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得ZMCN=12伊,進(jìn)而得出ZNCP=60°,

進(jìn)而可得CP=1,勾股定理解RtANCRRtAMCP,即可求解.

【詳解】(1)解：依題意，CM=^-DE=1,CN=^AB=2,

22

當(dāng)聞r在NC的延長(zhǎng)線上時(shí)，的距離最大，最大值為CM+C7V=l+2=3,

當(dāng)M在線段CN上時(shí)，的距離最小，最小值為OV-C0=2—1=1；

(2)解：如圖所示，過點(diǎn)N作NPLMC,交MC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸,

A

N

D

圖2

：ACDE繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,

NBCE=120°,

ZBCN=ZECM=45°,

ZMCN=NBCM-ZECM=ZBCE=120°,

ZNCP=6O°,

：.NCNP=30°,

CP=-CN=1,

2

在RMOVP中，NP=NNC2—C產(chǎn)=如，

在Rt&WNP中，MP=MC+CP=\+\=2,

MN=^NP2+MP-=V3+4=A/7-

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角

三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

②“胡不歸”問題

【例2】（2023-江蘇泰州-三模）如圖，已知RtAABC中，NC=90°,AC=6,AB=9,E是A3上的一點(diǎn)，8E=5,

點(diǎn)。是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿AO折疊AACZ）,點(diǎn)C與C'重合，連接3C'.

A

DB

(1)求證：△AEC'S^AC§；

2

⑵若點(diǎn)產(chǎn)是BC上一點(diǎn)，且2尸=石，求的最小值.

【答案】（1）見解析

⑵|病

ApAC'

【分析】（1）折疊，得到AC/C=6,根據(jù)鉆。的值，求出位的值’進(jìn)而得到記=方‘再根據(jù)

ZEAC=ZEAB,即可得證;

27

（2）根據(jù)相似的性質(zhì)得到—BC'=C'E,得到八7+—8<7'=尸。'+￡0￡/，得到當(dāng)E',C/'三點(diǎn)共線時(shí),

33

2

八7'+§2。'的值最小為E尸的長(zhǎng)，過點(diǎn)E作EH工BC于點(diǎn)H,易得ABHES^CA,求出EH的長(zhǎng)，禾U用勾

股定理求出E尸的長(zhǎng)即可.

【詳解】（1）解：???沿M折疊AAQ,點(diǎn)C與C'重合,

AC'=AC=6,

;AB=9,BE=5,

：.AE=4,

..AE42AC62

AC'~6~3'AB~9~3

.AEAC

ACAB

又/EAC'=/EAB,

：.AAECSAACB；

(2)AAEC^AACB,

.ECAE2

'BC7-AC7-!

2

:.-BC'=EC',

3

2

??.FC+-BC=FC+EC>EF

3

2

???當(dāng)點(diǎn)E,點(diǎn)C,點(diǎn)尸三點(diǎn)共線時(shí)，/+有最小值為石尸的長(zhǎng),

如圖，過點(diǎn)E作EHJ.BC于H,

VZC=90°,AC=6fAB=9,

?*-BC=JAB2—AC2=\81-36=3百，

VZACB=ZEHB=9Q09ZABC=NEBH,

：.AABC^AEBH,

.BEEH_BH

**AB-AC-BC

?_5__E__H___B_H_

*'9-V3Z/5；

?F*l°RW575

33

/.HF=BH-BF=—,

3

EF=-JEH2+HF2=2A/30,

3

尸c+ggc的最小值Ia.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理.解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角

形的判定定理，證明三角形相似.

【變式2TX2023-廣東廣州-二模）如圖①，在四邊形A3CD中，AB=BC=AD,ZABC=90°,ZBAD=60°.

圖1圖2圖3

⑴求/ACD的度數(shù)；

(2)如圖②，/為線段CD的中點(diǎn)，連接5F,求證：2BF=CD+戊AB;

(3)如圖③，若O8=SA8=2,線段3C上有一動(dòng)點(diǎn)連接OM,將AOAW沿所在直線翻折至△<?尸河

的位置，尸為B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接B4,PC,請(qǐng)直接寫出4PC+B4的最小值.

【答案】⑴30。

(2)見解析

(3)ioVi7

【分析】⑴如圖1中，連接80.求出NACB=45。，ZBCD=75。,可得結(jié)論；

(2)如圖2中，連接3。，延長(zhǎng)即到G,4吏得尸G=B尸,在FG上取一點(diǎn)E,使得DE=DC,連接EC.證

明AADC之A3OE(5AS),推出AC=8E=&AB,再證明ZEDG=Z￡GD=15。，推出ED=EG,可得結(jié)論；

(3)如圖3中，在A0上取一點(diǎn)K,使得0K=1連接CK.0C.證明/OKSAAOP,推出與=器=:,

推出KP=：PA,推出PC+[PA=PC+PK,由PC+PK2CK,推出當(dāng)點(diǎn)尸與P'重合時(shí)，JAP+PC的值最小，

444

進(jìn)而可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：如圖1中，連接BD.

A

圖1

-,-AB=AD,NR4D=60。，

「.△ABD是等邊三角形，

:.ZABD=60°,BD=AB,

?;AB=BC,ZABC=90°,

/.ZDBC=90°-60°=30°,ZACB=ZBAC=45°,BD=BC,

/BCD=ABDC=|x(180°-30°)=75°,

ZACD=ZBCD-ZBCA=75°-45°=30°；

(2)證明：如圖2中，連接30,延長(zhǎng)正到G,使得FG=B尸,在FG上取一點(diǎn)石，使得。石=OC,連接

EC.

A

BFLCD,

:.ED=EC=CD,

.?.△EDC是等邊三角形,

..ZADB=ZCDE=60°,

二ZADC=NBDE,

\DA=DB,DC=DE,

/.△ADC^ABDE(5AS),

/.AC=BE=^/2AB，

DF=FC,FB=FG,

，四邊形3DGC是平行四邊形，

BGLCD,

，四邊形3DGC是菱形，

..ZBDC=ZCDG=75°,

?.?ZCDE=60°,

/.ZEDG=15°,ZEGD=15°,

ZEDG=ZEGD=15°,

ED=EG,

;.2BF=BG=BE+EG=AC+CD=?AB+CD;

(3)解：如圖3中，在AO上取一點(diǎn)K,使得OK=；,連接CK,OC

圖3

■：OB=^AB=2,

：.AB=BC=10,OA=8,

■,OB=OP=2,

.??點(diǎn)尸在B尸上運(yùn)動(dòng)，設(shè)CK交圓弧于點(diǎn)P,連接OP.

?;OP=2,OK=\,AO=8,

2

1.OP?=OKOA,

.OP_OA

一~6K~~OP，

?.?ZPOK=ZAOP,

:APOKS小AOP,

.KPOK

-AP-OP-4'

:.KP=-PA,

4

:.PC+-PA=PC+PK,

4

-：PC+PK>CK,

當(dāng)點(diǎn)P與P重合時(shí)，；AP+PC的值最小，

CK=y/BK2+BC2=^|J+102=,

■■■4PC+PA=4CK=IOA/17

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形

的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題.

【變式2-2](2023-廣東廣州-二模)如圖，菱形ABCD中，ZA=60°,AB=4,點(diǎn)￡、產(chǎn)分別為線段8、

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G為邊A8的中點(diǎn)，連接￡F,FG.

⑴求8。的長(zhǎng)；

(2)連接BE,若NCEB=2NDEF,求證：EB=CE+DF；

G)若CE=6BF,試求EF+&FG的最小值.

【答案】(1)4

(2)見解析

(3)5夜-卡

【分析】(1)證明△ABD是等邊三角形，即可求解；

(2)延長(zhǎng)30至N,使得DN=EC,在CB上取CM=EC,連接證明AOCM2ABCE,可得

ZCDM=ZEBCfDM=EB,證明四邊形EMDN是平行四邊形，可得DM=NE,即可得出=進(jìn)

而證明NE=NF,即可得證；

(3)將△￡FG繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AOPG,連接P尸，則以］后尸G，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，

EF+42FG=QP+FP=QF,此時(shí)EF+0/G取得最小值，G為A3的中點(diǎn)，當(dāng)產(chǎn)為05的中點(diǎn)時(shí)(或者設(shè)

其他點(diǎn)為中點(diǎn)，再證明尸為中點(diǎn))，過點(diǎn)尸作于點(diǎn)H,勾股定理解直角三角形，即可求解.

【詳解】(1)解：,??菱形ABCQ中，ZA=60°,

:.AB=AD,

;NA=60。，

???△ABO是等邊三角形，

又丁AB=4,

BD=AB=4；

(2)解：如圖所示，延長(zhǎng)3。至N,使得DN=￡C,在CB上取CM=EC,連接班

AGB

在ADCM與ABCE中，

DC=BC

<zc=zc

CM=CE

：.小DCM%小BCE

：?NCDM=NEBC,DM=EB

???△AO民"CD是等邊三角形，

：.EM=ND=EC,ZECM=ZCDB=60°,

：.DN//EM,

???四邊形EMDN是平行四邊形，

ANE//DM,DM=NE,

:?EB=EN,

ZCEB=2ZDEF,

設(shè)ZCEB=2ZDEF=2a,則ZD￡F=e

在ACEB中，Z.EBC=180?！?(z-60°=120°-2a,

NEBD=60°-ZEBC=2a-60°,

ZMDC=ZEBC=120°-2a

NE//DM

：.ZNEF=ZEDM=120°-2a,

ZNEF=ZNED+ZDEF=120°-2a+a=120°-a

在AAEF中，ZA7^=180-Z^-ZAEF=180o-(2?-60o)-(120o-a)=120°-a

ZNEF=ZNFE,

：.NE=NF,

：.ND+DF=EC+DF=EB■,

(3)如圖所示，連接EG,PC,過點(diǎn)/作Ef/LDC于點(diǎn)b,

將AEFG繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AQPG,連接尸F(xiàn),

則PF=y[2FG，

當(dāng)Q,P,P三點(diǎn)共線時(shí)，EF+y/2FG=Qp+FP=QF,此時(shí)EF+&FG取得最小值,

△PbG是等腰直角三角形，

ZGPF=45°,

vQI*三點(diǎn)共線

NQPG=135。，

ZEFG=135°,

為AB的中點(diǎn)，當(dāng)廠為的中點(diǎn)時(shí)，

GF//AD,FB=DB,則C^_LD3,

:.FG=FB,CF=yj3FB.

,/CE=yj3BF

：.CF=CE,

ZDCF=30°

1QQO_3Q。

???ZDFE=ZCFD-ZCFE=90°--------------=15°

2

5LGF//AD,ZADB=60°

：.ZGFD=120°,

：.NG莊=135。，

???當(dāng)尸是30的中點(diǎn)時(shí)，。，尸，尸三點(diǎn)共線,

過點(diǎn)尸作出LCO于點(diǎn)H,

HF=—DF=y[3,EC=FC=—BC=2yj3,HC=—FC=3

222

/.EH=EC-HC=2y/3-3,

222

在RtZXEEH中,EF=>]EH+HF=J（26-3）+MJ=,24-12坦=3也-屈,

'：FG=-AD=2,

2

FQ=EF+V2FG=372-76+2V2=572-76,

即￡尸+應(yīng)歹6的最小值為5應(yīng)-?.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3】（廣東廣州-中考真題）如圖，在菱形ABC。中，ZBAD=120°,AB=6,連接8。.

⑴求3。的長(zhǎng)；

（2）點(diǎn)E為線段8。上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8,。重合），點(diǎn)F在邊上，且BE=^DF,

①當(dāng)CELAB時(shí)，求四邊形所的面積；

②當(dāng)四邊形A8EF的面積取得最小值時(shí)，CE+gCF的值是否也最??？如果是，求CE+bCF的最小值；如

果不是，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴BD=66；

(2)①四邊形ABE尸的面積為7vL②最小值為12

【分析】(1)證明AABC是等邊三角形，可得2。=3內(nèi)，即可求解；

(2)過點(diǎn)E作AZ)的垂線，分別交AZ)和8c于點(diǎn)M,N,根據(jù)菱形的面積可求出MN=36,設(shè)BE=x,

則EN=；x,從而得到EM=MN-EW=36-gx,再由8￡=代。尸，可得。F=*彳，從而得到四邊形

的面積s=S/ABO-S/OEF=普卜-3石『+與1,①當(dāng)CELAB時(shí)，可得點(diǎn)E是△ABC重心，從而得到

BE=CE=|B(9=|X3目=2G,即可求解；②作CHLAD于X,可得當(dāng)點(diǎn)￡和F分別到達(dá)點(diǎn)。和點(diǎn)X位置時(shí),

CF和CE分別達(dá)到最小值；再由5=哈1-3石丁+^^,可得當(dāng)尤=30，即8￡=3超時(shí)，s達(dá)到最小值,

從而得到此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)0的位置，而點(diǎn)P也恰好在點(diǎn)H位置，即可求解.

【詳解】(1)解：連接AC,設(shè)AC與3。的交點(diǎn)為O,如圖，

:四邊形ABCD是菱形，

：.AC±BD,OA=OC,AB//CD,AC平分NOAB,

VZBAD=120°,

N042=60。，

AABC是等邊三角形，

.".BO=AB-sin60°=6x婦=3百，

2

BD=2BO=6A/3；

(2)解：如圖，過點(diǎn)E作AO的垂線，分別交AZ)和3c于點(diǎn)M,N,

「△ABC是等邊三角形，

：.AC=AB=6,

由（1）得：BD-6A/3;

菱形A8CO中，對(duì)角線30平分NA8C,AB//CDfBC=AB=6,

:.MNLBC,

VZBAD=120°,

???ZABC=60°,

JNEBN=3U。；

：.EN=^BE

S^ABCD^AC-BD=MN-BC,

:.MN=3E，

設(shè)限X,貝|JEN=L,

2

JEM=MN-EN=3V3--X,

2

**S菱形ABCD=AD?MN=6x3y/3=18\/3,

**?S』ABD=5S菱形ABCD=9A/3,

?：BE=6DF,

.BEA/3

??Dk=—i==——x,

V33

2

SADEF=DF>EM=--—x（3y/3--x]=-^-x+-x,

22312J122

記四邊形ABEB的面積為s,

：.s=SAABD-SADEF=9y/3-=*1-3河

:點(diǎn)E在2。上，且不在端點(diǎn)，；.0＜8氏以），即0＜》＜6君;

①當(dāng)CEL4B時(shí)，

OBLAC,

...點(diǎn)E是△ABC重心，

22r-r-

JBE=CE=-BO=—x3百=2百，

33

止匕時(shí)S=^（26-36『+^^=76，

當(dāng)CELAB時(shí)，四邊形ABEF的面積為;

②作C//L4Z）于H,如圖，

VCOLBD,CHLAD,而點(diǎn)E和尸分別在2。和AZ）上，

/.當(dāng)點(diǎn)E和尸分別到達(dá)點(diǎn)。和點(diǎn)H位置時(shí)，CB和CE分別達(dá)到最小值;

在菱形ABCD中，AB//CD,AD=CD,

'：ZBAD=12.0°,

：.ZADC=6Q°,

△ACD是等邊三角形，

：.AH=DH=3,

:.CH=38

2AL27港

$一]2（%/4

???當(dāng)X=，即BE=3百時(shí)，S達(dá)到最小值,

YBEfDF,

：.DF=3,

此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)。的位置，而點(diǎn)尸也恰好在點(diǎn)H位置，

二當(dāng)四邊形ABEF面積取得最小值時(shí)，CE和CF也恰好同時(shí)達(dá)到最小值,

/.CE+V3CF的值達(dá)到最小，

其最小值為co+@CH=3+石X36=12.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解直

角三角形等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解

直角三角形等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

③“將軍飲馬”問題

【例3】

【變式3-1](23-24九年級(jí)上-黑龍江大慶-期中)如圖，以矩形Q4BC的頂點(diǎn)。為原點(diǎn)，所在的直線為無

軸，0C所在的直線為V軸，建立平面直角坐標(biāo)系.已知Q4=3,OC=2,點(diǎn)E是A8的中點(diǎn)，在。4上取

一點(diǎn)、D,將△3D4沿翻折，使點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)尸處.

(1)直接寫出點(diǎn)E、尸的坐標(biāo)；

(2)連接EF交8。于點(diǎn)G,求△BGE的面積.

(3)在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N,使得四邊形的周長(zhǎng)最??？如果存在，求出周長(zhǎng)的最小值

和直線的函數(shù)解析式；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴E(3,1)；F(1,2)

(2)A3GE的面積為g

⑶在x軸、y軸上存在點(diǎn)M、N,使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最??；

35

四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小為5+直線肱V的函數(shù)解析式：y=―-x+--

44

【分析】(1)根據(jù)。4=3,OC=2,點(diǎn)E是A3的中點(diǎn)，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；利用折疊性質(zhì)可得M="=2,

CF=1,即可得到點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

FGDF2

(2)利用折疊性質(zhì)可以得到AB=AD=BF=DF=2,DF〃BE,從而得到△DFG^ABEG,-=—,

EGBE1

利用比例性質(zhì)可以得到，利用同高可以得到上班=；,根據(jù)S△舸=1即可求出ABGE的面積；

1、2BEG1

(3)如圖，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為E，，點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為尸，連接￡尸，E尸與x軸、V軸上

交于點(diǎn)M、點(diǎn)N,此時(shí)的點(diǎn)M、N使得四邊形跖VFE的周長(zhǎng)最小，利用勾股定理求出EF'=5,EF=^[5,

即可得到四邊形MM花的周長(zhǎng)最小值；將點(diǎn)后(3,-1),點(diǎn)r(-1,2),代入>=依+》，利用待定系數(shù)法即可求

出直線的函數(shù)解析式；

【詳解】(1)解：；0A=3,OC=2,

.?.點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)C(0,2),點(diǎn)3(3,2),

丁點(diǎn)E是的中點(diǎn)，

，點(diǎn)E(3,l)；

將ABDA沿3D翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)尸處.

/.BF=BA=2,CF=1,

點(diǎn)尸(L2)；

(2)沿8。翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)尸處.

/.ZABD=ZFBD=-x90°=45°,

2

:.AB=AD=BF=DF=2,DF〃BE,

即：/DGF=NBGE,ZFDB=ZGBE

：.ADFGS*EG

FGDF_2

EG~BE

...竺=3,即：*

EG1SABEG1

,?,5A^=|BE-BF=1X1X2=1,

?<_lc_1

??>/\BGE_31ABEF~3，

/.△3GE的面積為1；

(3)在X軸、y軸上存在點(diǎn)M、N,使得四邊形跖VFE的周長(zhǎng)最??；

如圖，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為二，點(diǎn)尸關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為尸，連接E戶，Eb與無軸、y軸上交于

點(diǎn)/、點(diǎn)N,此時(shí)的點(diǎn)M、N使得四邊形正的周長(zhǎng)最??；

''七

由對(duì)稱性可知：點(diǎn)E'(3,-l),點(diǎn)F(-l,2),ME=ME',NF=NF',

在RtABE尸中，

：BE'=2—(—1)=3,M'=3_(—l)=4,

E'F'=5,

：.ME+MN+NF=ME'+MN+NF'=E'F'=5,

又：EF=y/BE2+BF2=A/12+22=,

BE+MN+NF+EF=5+y/5■,

四邊形MNEE的周長(zhǎng)最小為：5+5,

設(shè)直線MN的函數(shù)解析式、=履+》，

?.?直線經(jīng)過點(diǎn)已(3,-1),點(diǎn)/(-1,2),代入得：

3k+b=-l

一k+b=2,解得：

35

直線MN的函數(shù)解析式…+“

【點(diǎn)睛】本題考查線段長(zhǎng)度與點(diǎn)的坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，折疊的性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)及同高轉(zhuǎn)化面積比，

待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，線段和最小問題的基本解題思路是利用對(duì)稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問題，綜合

性較強(qiáng)，熟練掌握折疊性質(zhì)及線段和最小的方法是解決本題的關(guān)鍵.

【變式3-2]（天津西青-一模）如圖①，將一個(gè)矩形紙片。4BC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3,0）,

點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0,2）,點(diǎn)。的坐標(biāo)是（0,0）,點(diǎn)E是的中點(diǎn)，在。4上取一點(diǎn)。，將AB/M沿80翻折，

使點(diǎn)A落在3c邊上的點(diǎn)尸處.

（2）如圖②，若點(diǎn)尸是線段ZM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)。，A重合），過點(diǎn)P作;WLD3于點(diǎn)H,設(shè)OP

的長(zhǎng)為無，△。尸”的面積為S,請(qǐng)求出S關(guān)于x的關(guān)系式；

（3）如圖③，在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)"、N,使得四邊形跖VFE的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，請(qǐng)求出四

邊形AfiVFE周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由

【答案】（1）點(diǎn)E的坐標(biāo)是（3,1）,點(diǎn)尸坐標(biāo)為（1,2）；（2）S=；_]+：（l<x<3）；（3）存在，在無軸、V

軸上分別存在點(diǎn)N（0,￡|,使得四邊形跖VFE的周長(zhǎng)最小，最小值為5+百.

【分析】（1）求出CF和AE的長(zhǎng)度即可寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）用x表示出PD長(zhǎng)度，結(jié)合三角函數(shù)進(jìn)一步表示DH,PH的長(zhǎng)度，運(yùn)用三角形面積公式即可求解；

（3）作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F,點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)日，連接EF交y軸于點(diǎn)N,交x軸于點(diǎn)M,此

時(shí)四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小，求出E，和F的坐標(biāo)直接求線段長(zhǎng)度即可.

【詳解】解：（1）???點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3,0）,點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0,2）,

???OA=3,002,

卞艮據(jù)矩形OABC知AB=OC=2,BC=OA=3,

由折疊知DA=DF=OC=2,

AOD=OA-DA=1,

???點(diǎn)F坐標(biāo)為（1,2）,

???點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

.\EA=1,

???點(diǎn)E的坐標(biāo)是（3,1）；

(2)如圖2

?.,將ABDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，

，BF=AB=2,

.".OD=CF=3-2=1,

若設(shè)OP的長(zhǎng)為x,

則，PD=x-l,

在RtAABD中，AB=2,AD=2,

/.ZADB=45°,

在RtzxPDH中，PH=DH=DPX2^=^(X-1),

22

.?.S=:xDHxPH=!x巫(x-1)x走(x-1)=---+-(l<x<3)；

2222424

(3)如圖3

作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F,點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)日，連接EF交y軸于點(diǎn)N,交x軸于點(diǎn)M,此時(shí)四

邊形MNFE的周長(zhǎng)最小，

可求，點(diǎn)F(1,2)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F(-1,2),點(diǎn)E(3,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)日(3,-1),

用兩點(diǎn)法可求直線EF的解析式為：y=-=3x+；5,

44

當(dāng)x=0時(shí)，y=|-,當(dāng)y=0時(shí)，x=g,

N(0,—),M(—,0),

43

此時(shí)，四邊形MNFE的周長(zhǎng)=EF+EF=J（—1—3）2+（2+iy+J2?+12=5+6;

...在x軸、y軸上分別存在點(diǎn)M、N,使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小，最小為5+6.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及利用軸對(duì)稱求最短路線和勾股定

理等知識(shí)，掌握根據(jù)對(duì)稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離的問題是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3】（陜西寶雞）問題提出

（1）在圖1中作出點(diǎn)8關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)Q

問題探究

（2）如圖2,在AABC中，AB=AC=6,ABAC=120°,。為AC的中點(diǎn)，P為線段上一點(diǎn)，求AP+DP

的最小值.

問題解決

（3）如圖3,四邊形A5CD為小區(qū)綠化區(qū)，DA=DC,NADC=90。，A3=6+6括，BC=12,ZB=30°,

AC是以。為圓心，ZM為半徑的圓弧.現(xiàn)在規(guī)劃在AC，邊BC和邊AC上分別取一點(diǎn)尸，E,F,使得

尸+PE+EF+PR為這一區(qū)域小路，求小路長(zhǎng)度的最小值.

【答案】（1）見解析；（2）36；（3）645+2g

【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱性即可作圖；

（2）作點(diǎn)A關(guān)于3C的對(duì)稱點(diǎn)4,連接4。交于點(diǎn)尸，此時(shí)AP+DP值最小，連接4C,根據(jù)圖形的

特點(diǎn)及等邊三角形的性質(zhì)即可求解；

（3）因?yàn)?。尸為定值，所以即求PE+EF+EP的最小值，連接。尸，BP,分別以AB,BC所在的直線為對(duì)

稱軸作點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)匕，尸2,連接4心，此時(shí)PE+￡F+政的值最小，即為《心長(zhǎng)，根據(jù)圖形的特點(diǎn)、等

邊三角形的性質(zhì)與勾股定理即可求解.

【詳解】解：（1）如圖1所示，點(diǎn)8'即為所求.

BC

圖1

(2)如圖2,作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)4,連接4D交BC于點(diǎn)尸，此時(shí)AP+DP值最小，連接4c.

ZBAC=120°,

/.ZA'AC=60°.

*/A4垂直平分8C,

AAVC為等邊三角形.

?點(diǎn)。為中點(diǎn)，

A'DIAC,

：.AP+DP=A'D=3y/3.

A

圖2

(3)要求DP+PE+EF+FP的最小值，因?yàn)镺P為定值，

所以即求PE+EF+FP的最小值.

如圖，連接OP,BP,分別以相，BC所在的直線為對(duì)稱軸作點(diǎn)〃的對(duì)稱點(diǎn)P2,連接耳鳥，此時(shí)

尸￡+￡F+EP的值最小，即為耳舄長(zhǎng).

"?ZABC=30°,

：.NRBP]=60°,

.?.△印8鳥為等邊三角形，即片鳥=期.

BR=BP=BP?,

PyP2=BP,

/.DP+PE+EF+FP的最小值為DP+BP.

當(dāng)。，P,3三點(diǎn)共線時(shí)值最小，

由題知3c=12,AB=6+6也,ZABC=3Q°,

：.AD=DC=6,

DB=而+(6+6圾2=645+2百.

【點(diǎn)睛】此題主要考查軸對(duì)稱的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知對(duì)稱性、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用.

④“造橋選址”問題

【例4】（23-全國(guó)）有一條以互相平行的直線a,6為岸的河流，其兩側(cè)有村莊A和村莊B,現(xiàn)在要在河上建

一座橋梁MN（橋與河岸垂直），使兩村莊之間的路程最短，從作圖痕跡上來看，正確的是（）

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線，即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，過村莊8作河岸的垂線并且等于河的寬度,

然后與村莊A連接與河岸a相交于一點(diǎn)M,

過點(diǎn)Af作4亞_!_。與6相交于點(diǎn)N,

連接AM、BN,則⑷W+ACV+3N即為最短路徑,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問題，利用的原理為平行四邊形的對(duì)邊相等，難度較大.

【變式4-1】（湖北黃石）已知，在河的兩岸有A,B兩個(gè)村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離

AB=10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計(jì)劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，

M點(diǎn)為靠近A村莊的河岸上一點(diǎn)，則AM+BN的最小值為（）

A.2屈B.1+3括C.3+歷D.屈

【答案】A

【分析】作BB，垂直于河岸，使BB，等于河寬，連接AB，，與靠近A的河岸相交于M,作MN垂直于另一條

河岸，則MN〃:BB，且MN=BB1于是MNBB，為平行四邊形，故MB，=BN；根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短"，AB,

最短，即AM+BN最短，此時(shí)AM+BN=ABl

【詳解】解：如圖，作BB，垂直于河岸，使BB，等于河寬，連接AB，，與靠近A的河岸相交于M,作MN垂

直于另一條河岸，

則MN〃BB，且MN=BB,,

于是MNBB，為平行四邊形，故MB，=BN.

根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，AB，最短，即AM+BN最短.

：AB=10千米，BC=l+3+4=8千米，

二在RTAABC中，AC=7AB2-BC2=6，

在RTAABC中，B，C=1+3=4千米，

AB，=7AC2+BC2=2V13千米；

故選A.

c

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱一最短路徑問題，要利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，但許多實(shí)際問題沒這么簡(jiǎn)單，需

要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問題.目前，

往往利用對(duì)稱性、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

【變式4-2］（23-24全國(guó)）如圖所示，某條護(hù)城河在CC處角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從A處到達(dá)B處，須經(jīng)過兩

座橋（橋?qū)挷挥?jì)，橋與河垂直），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北走向的，恰當(dāng)?shù)卦鞓蚩墒笰到B的路

程最短，請(qǐng)確定兩座橋的位置.

【分析】由于含有固定線段“橋”，需要將點(diǎn)A向下平移至點(diǎn)尸，點(diǎn)B向右平移至點(diǎn)G,構(gòu)造平行四邊形進(jìn)

行求解即可.

【詳解】解：如圖所示，

將點(diǎn)A向下平移至點(diǎn)尸，使"的長(zhǎng)等于河寬，將點(diǎn)B向右平移至點(diǎn)G,使3G的長(zhǎng)等于河寬；連接G尸，

與河岸相交于點(diǎn)E'，D0；過點(diǎn)作DDUCD于點(diǎn)。，過點(diǎn)E'作EEUCE于點(diǎn)E,則DD',EE'即為兩橋

的位置.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱一最短路徑問題，由于有固定的長(zhǎng)度的線段，常用的方法通過平移，構(gòu)造平行

四邊形，將問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形的問題解答.

【變式4-3】已知，在河的兩岸有A,B兩個(gè)村莊，河寬為1千米，卜、2兩村莊的直線距離42=10千米,

A、8兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計(jì)劃在河上修建一座橋垂直于兩岸，M點(diǎn)為靠近A

村莊的河岸上一點(diǎn)，求AM+BN的最小值.

【答案】屈.

【分析】作32'垂直于河岸，使28'等于河寬，連接與靠近A的河岸相交于M,作MN垂直于另一條

河岸，則〃比T且于是夕為平行四邊形，故MB，=BN；根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短“，AB'

最短，即AM+BN最短，此時(shí)AM+BN=A8.

【詳解】作8B'垂直于河岸，使88'等于河寬，連接48',與靠近A的河岸相交于作MN垂直于另一

條河岸，

則MN〃BB'且MN=BB'，于是為平行四邊形，

故MB'=BN,

當(dāng)時(shí)，AM+BN最小，

"：AB=10,BC=l+3+l=5,

...在RdABC中，AC=JAB?-BC2=5若，

在RdAB'C中，B'C=5—1=4千米，

AB=VAC2+BC2=A/91.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱最短路徑問題，要利用“兩點(diǎn)之間線段最短”,但許多實(shí)際問題沒這么簡(jiǎn)單,

需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問題.目前，

往往利用對(duì)稱性、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

題型二：面積平分問題

解題模板:

根據(jù)癱判獻(xiàn)題所屬的面積平分模型

利用模型技巧構(gòu)造面積平分線

分析幾何特征并根據(jù)數(shù)量關(guān)系列式計(jì)算

技巧精講

1:利用中線平分圖形面積的方法

類別問題情境圖示作法

過的頂點(diǎn)力作一條直線，平

過點(diǎn)A作△從8c的中線4。,直線40即為所求直線

分三角形的面積

B小IDC

三角形

A

過△ABC的AC邊上的點(diǎn)F作一條過點(diǎn)A作△AB。的中線4E,連接EF,作40〃EF,

直線，平分三角形的面積連接0F,直線DF即為所求直線

B/DEC

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