2025年新高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專練:不等式月考、期中、期末復(fù)習(xí)十三大題型(解析版)_第1頁
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文檔簡(jiǎn)介

重難點(diǎn)05不等式月考、期中、期末復(fù)習(xí)十三大題型匯總

題型解讀

滿分技巧/

技巧一.比較不等式的大小時(shí),一般可采用以下幾個(gè)方法:

(1)作差比較法;若。-b20,則a2b;

(2)利用作商比較法.當(dāng)a>0,6>0,且牌1時(shí),a26.

技巧二.不等式性質(zhì)的判斷題

一般我們判斷此類問題主要采用兩種方法:

其一:按照性質(zhì)進(jìn)行判斷,此種方法要求我們對(duì)不等式性質(zhì)有一個(gè)全面熟練的掌握。

其二:采用賦值法/特殊值法進(jìn)行判斷,此種方法對(duì)于證明假命題非常適用;

技巧三.不等式的性質(zhì)

(1)如果a>b,那么b<a,該性質(zhì)稱為對(duì)稱性;

(2)如果a>b,b>c,那么a>c,該性質(zhì)稱為傳遞性;

(3)如果a>b,則a+c>6+c,反之也成立,該性質(zhì)稱為可加性;

(4)如果a>b,c>0,貝!]ac>be;如果a>b,c<0,貝!Jac<be;

(5)如果a>b,c>d,貝!]a+c>b+d;

(6)如果a>b>0,c>d>0,貝(Jac>bd;

(7)如果a>b>0,ri22,貝!!a”>bn.

技巧四解一元二次不等式的常見方法

0圖象法:

①化不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式:ax2+bx+c>0佃>0)或ax2+bx+c<0(a>0);

②求方程ax2+bx+c=OgO)的根,并畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的簡(jiǎn)圖;

③由圖象得出不等式的解集.

⑵代數(shù)法:將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解.

2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合,分類討論.

3.常見誤區(qū):當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)小于0時(shí),需兩邊同乘-1,化為正的.

技巧五.含參一元二次不等式的解法有以下幾種:

1、當(dāng)A=b2-4ac1時(shí),二次三項(xiàng)式,ax2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)根,那么ax2+bx+c=0,總可分解為a(x-x!)(x-x2)

的形式。這樣,解一元二次不等式就可歸結(jié)為解兩個(gè)一元一次不等式組。一元二次不等式的解集,就是這

兩個(gè)一元一次不等式組的解集的交集。

2、用型方法解一元二次不等式。

3、通過一元二次函數(shù)圖象進(jìn)行求解,二次函數(shù)圖象與X軸的兩個(gè)交點(diǎn),然后根據(jù)題目所需求的“<0"或">0"

而推出答案。

4、數(shù)軸穿根:用根軸法解高次不等式時(shí),就是先把不等式一端化為零,再對(duì)另一端分解因式,并求出它的零

點(diǎn),把這些零點(diǎn)標(biāo)在數(shù)軸上,再用一條光滑的曲線,從X軸的右端上方起,依次穿過這些零點(diǎn)。

5、這大于零的不等式的解對(duì)應(yīng)這曲線在x軸上方部分的實(shí)數(shù)x得起值集合,小于零的這相反。這種方法叫

做序軸標(biāo)根法。

技巧六對(duì)含參數(shù)的一元二次不等式的討論,

一般可分為以下三種情形:(1)當(dāng)含參數(shù)的一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù),但不知道與之對(duì)

應(yīng)的一元二次方程是否有解時(shí)需要對(duì)判別式進(jìn)行討論。(2)當(dāng)含參數(shù)的一元二次不等式的二

次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù),且與之對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩解,但不知道兩個(gè)解的大小,因此需要對(duì)解的大

小進(jìn)行比較。(3)當(dāng)含參數(shù)的一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)時(shí),首先要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行

討論,其次,有時(shí)要對(duì)判別式進(jìn)行討論,有時(shí)還要對(duì)方程的解的大小進(jìn)行比較。

技巧七.解含絕對(duì)值不等式的基本思路:

一是從定義出發(fā),直接去掉絕對(duì)值符號(hào);二是根據(jù)絕對(duì)值的定義通過分類討論,特別是對(duì)不等式中對(duì)參數(shù)

的討論去掉絕對(duì)值符號(hào),將原不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的不等式求解;三是數(shù)形結(jié)合,利用函數(shù)圖象求解;

四是將較復(fù)雜的絕對(duì)值不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)單的絕對(duì)值不等式求解。

技巧八.基本不等式求最值時(shí),要注意其必須滿足的三個(gè)條件:

(1)"一正二定三相等""一正"就是各項(xiàng)必須為正數(shù);

(2)"二定"就是要求和的最小值,必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值;要求積的最大值,則必須把構(gòu)

成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值;

(3)"三相等"是利用基本不等式求最值時(shí),必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件,若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是

所求的最值,這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方

A3*題型提分練

題型1等式與不等式性質(zhì)

【例題1](2022秋?全國?高一期末)近來豬肉價(jià)格起伏較大,假設(shè)第一周、第二周的豬肉價(jià)格分別為a元

/斤、b元/斤,甲和乙購買豬肉的方式不同,甲每周購買20元錢的豬肉,乙每周購買6斤豬肉,甲、乙兩次

平均單價(jià)為分別記為四,m2,則下列結(jié)論正確的是()

A.=m2B.>m2

C.m2>m1D.他,啊的大小無法確定

【答案】C

【分析】分別計(jì)算甲、乙購買豬肉的平均單價(jià),作商法,結(jié)合基本不等式比較它們的大小.

【詳解】甲購買豬肉的平均單價(jià)為:叫=奈絳=d=震,

-a-1b-an—bCLiD

乙購買豬肉的平均單價(jià)為:加2=誓=手,

顯然血1>0,m2>0,

2ab

日小1_a+b_4ab_4ab4ab_1

m生助(a+b)2a2+2ab+b2~2ab+2ab1

22

當(dāng)且僅當(dāng)a=匕時(shí)取,

因?yàn)閮纱钨徺I的單價(jià)不同,即a*6,

所以巾1<m2,

即乙的購買方式平均單價(jià)較大.

故選:C.

【變式1-1]1.(2023秋?安徽蚌埠?高一統(tǒng)考期末)已知。<x<1,則下列不等式成立的是()

AB.i>x2>xC.x>i>x2D.i>x>x2

【答案】D

【分析】利用作差法判斷即可.

【詳解】因?yàn)?<x<1,貝亞一x>0,所以:一x=p=〉o,所以,>x,

又%—x2=x(l—x)>0,所以%>x2,

所以:>x>x2.

故選:D

【變式1-1]2.(多選)(2023秋?湖北襄陽?高一宜城市第一中學(xué)校考階段練習(xí))下列命題中,為真命題

的是()

A.Va,bER,ab<B.若a>6,c>d,貝—c>b—d

C.若a<6<0,貝!]a?<ab<b2D.若a<6<0,貝耳>~

【答案】AD

【分析】利用作差法比較大小判斷A;舉例說明判斷B;利用不等式的性質(zhì)判斷CD作答.

【詳解】對(duì)于A,a,beR,M—色普=一寸40,貝W公誓,A正確;

對(duì)于B,顯然2>1,3>0,有2—3<1—0,B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,a<b<0,貝UM>ab,ab>b2,即M>ab>b2,C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,a<b<0,則£<三,即乙>丸D正確.

ababab

故選:AD

【變式1-1]3.(多選)(2023秋?河北廊坊?高一校考期末)設(shè)a<b<0,則下列不等式中恒成立的是()

f\.ab>b2B.-<-C.i<iD.—<1

ababb

【答案】AB

【分析】利用作差比較逐一判斷即可.

22

【詳解】A:因?yàn)閍<b<0t所以ab—b=6(a—b)>0=>ab>bt因此本選項(xiàng)正確;

B:因?yàn)閍<b<0,所以2一?="警2<0=2<?,因此本選項(xiàng)正確;

ababab

:因?yàn)?所以工一:=->=工>因此本選項(xiàng)不正確;

Ca<b<0abab0aLb

D:因?yàn)閍<b<0,所以——1=£>o=彳〉1,因此本選項(xiàng)不正確,

故選:AB

【變式1-U4.(多選)(2023秋?江蘇淮安?高一統(tǒng)考期末)下列結(jié)論中正確的有()

A.若a>b>0,貝!J/>爐

B.若a<b<0,貝UM>ab>b2

C.若a>6>0,則*>-

i'八a+2匕b

D.若a>0,b>0,且a+b=1,貝!],+(的最小值為4

【答案】ABD

【分析】對(duì)于A、B,利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷;對(duì)于C,利用作差比較法進(jìn)行判斷;對(duì)于D,利用基本

不等式結(jié)合"V的妙用進(jìn)行判斷.

【詳解】對(duì)于A,若a>b>0,則a?>川成立,故A正確;

對(duì)于B,若a<b<0,則a?>ab,ab>b?成立,即a?>ab>爐成立,故B正確;

對(duì)于C,由a>>>0以及選項(xiàng)A,亞一巴=(2。+,"-弋。+2〃)=盧彳<。,即應(yīng)〈區(qū)成立,故C錯(cuò)誤;

1

'八八「人'a+2bb(a+2b)b(a+2匕)匕'a+2bb'('人口內(nèi),

對(duì)于口,若a>0,6>0,且0+6=1,則工+:="+竽=2+2+224,當(dāng)。=/7=為寸取等號(hào),則工+:

ababab2ab

的最小值為4,故D正確.

故選:ABD.

【變式1-1]5.(2022秋?廣西百色?高一統(tǒng)考期末)已知實(shí)數(shù)a,4c,其中a>b>l,則下列關(guān)系中恒成立

的是()

/\.ab>b2B.ac2>be2

C.ci-c>b—cD.aH—a>b+b

【答案】ACD

【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)可判斷A,C;舉反例判斷B;利用作差法判斷D.

【詳解】對(duì)于A,由于a>b>1,故a>力兩邊同乘以b,BPah>b2,A正確;

對(duì)于B,當(dāng)。=0時(shí),ac2>be?不成立,B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由于a>b,故a-c>b-c,C正確;

對(duì)于D,因?yàn)閍>b>1,貝(]a—b>O,ab—l>0,

故a+[—(b+》=(a-b),黑>0,故a+:>>+1,D正確,

故選:ACD

題型2比較大小

【例題2】(多選)(2021秋?重慶沙坪壩?高一重慶八中校考期末)十六世紀(jì)中葉,英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪

智石》一書中首先把"="作為等號(hào)使用,后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用和">"符號(hào),并逐漸

被數(shù)學(xué)界接受,不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若小融從家到學(xué)校往返的速度分別為a和6(0<a<

b),其全程的平均速度為u,則下列選項(xiàng)正確的是()

A.a<v<y[abB.u=Vab

C.信〈”等D.”篝

【答案】AD

【分析】設(shè)兩地的距離為s,計(jì)算出全程的平均速度u=會(huì),然后利用基本不等式得出"與而和^的大小

a+b2

關(guān)系,再利用作差法比較"與a的大小關(guān)系,從而得出正確選項(xiàng).

【詳解】設(shè)甲、乙兩地之間的距離為s,則全程所需的時(shí)間為三a+:b,

2s2ab

V=c-s=---

-a4-fb-a+b

■.-b>a>0,由基本不等式可得而<學(xué),

2ab2ab

.??v=——<

a+b2\[ab=yj~ab,

2ab

----<2'(哨=空

又Ua+ba+b2

2abab-a2>a2-a2

所以"CL=----CL=

a+ba+ba+b=o,

-?v>a,

所以a<v<4ab,

故選:AD.

【變式2-1]1.(2021春?四川南充?高一統(tǒng)考期末)已知a片1且aeR,試比較義與1+a的大小.

【答案】答案見解析

【分析】利用"作差法",通過對(duì)a分類討論即可得出.

【詳解】三一(1+。)=牝?

①當(dāng)a=0時(shí),——=0,——=1+a.

l-al-a

2-1

②當(dāng)aV1且aW0日寸t-n->0,,—>1+a.

1—Q1—Cl

③當(dāng)a>1時(shí)t—<C0—<1+a.

l-azl-a

綜上所述,當(dāng)a=0時(shí),^=1+Q;

i-u

當(dāng)a<1且aW。時(shí)>14-a;

fl-a

當(dāng)a>1時(shí),」一<1+a.

【點(diǎn)睛】本題考查〃作差法〃比較兩個(gè)數(shù)的大小、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法,屬于中檔題.

【變式2-1]2.(2021春?黑龍江鶴崗?高一統(tǒng)考期末)已知a>0,b>0,試比較常與鬻的值的大小.

【答案】若a>b,則/>鋁;若a<b,則吐<W;若a=匕,/=在.

az+bza+baz+bza+baz+bza+b

【分析】利用作差法,結(jié)合分類討論,比較。與胃的大小即可.

az+oza+b

「、皇卸j[a2一82Q,—b2ab(a—b)

‘'a2+b2a+b(a2+Z?2)(a+b)z

當(dāng)a>b>。時(shí),a-b>。,所以:2;:2-:;>0,即:表>:;:;

當(dāng)。<a。時(shí),ai<。,所以算:高<。,即

當(dāng)。<a=b時(shí),a-=。,所以:2;:2-:;>0,即力;;:.

【變式2-1]3.(2022秋?河北邯鄲?高一武安市第一中學(xué)??计谀﹛eR,比較Q+1)(/+;+i)與(久+

3(/+x+i)的大小.

【答案】(%+1)評(píng)+;+°>1+0(x2+x+1)

【分析】利用作差法比較(久+1)(/+|+1)與O++%+1)的大小關(guān)系,化簡(jiǎn)整理即可.

【詳解】由(X+l)(x2+:+1)-(x+-)(x2+%4-1)

=(爐+|/+|“+1)一(/+|/+|"+”>()

++

所以(X+X

題型3代數(shù)式取值范圍

【例題31(2023秋?四川眉山?高一眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)??计谀?已知1<%<3,-3<y<l,則x-3y

的取值范圍是()

A.(0,12)B.(-2,10)C.(-2,12)D.(0,10)

【答案】C

【分析】利用不等式的性質(zhì)得到-3y的范圍,再和x的范圍相加即可.

【詳解】-3<y<1,

-3<—3yV9,又1<%<3,

—2<%—3y<12

故選:c

【變式3-1]1.(2023秋?江蘇?高一校聯(lián)考期末)已知2Wa-6W3且3Wa+6W4,求4a-2b的取值范

圍()

A.(9,13)B.[9,13]C.(-00,9)U(13,+00)D.(-00,9]U[13,+00)

【答案】B

【分析】利用待定系數(shù)法,結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)4a-2b=m(a-b)+n(a+b)={_;一墨':八二{:二:,

因?yàn)?<a—b<3,

所以6<3(a-b)<9z所以9<4a-2h<13r

故選:B

【變式3-l】2.(2023秋福建寧德?高一福建省霞浦第一中學(xué)校考期末圮知實(shí)數(shù)x,y滿足-4<%-y<-l,

—1W2x—yW5,則y的取值范圍是()

A.{y|0<y<9}B.{y|-5<y<4}

C.{y|l<y<13]D.{y|0<y<13}

【答案】C

【分析】令"一y=爪、2比—y=ri得0"n_2m,利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算即可得答案.

y—yt_-vyi

【詳解】令x-y=m,2久-y=n,則{、=n_2m-

-,>—4<x—y<—1,—l<2x—y<5,即—4<m<-1,—l<n<5,

,2<—2m<8,貝[]1<n-2m<13,即1<y<13.

故選:C

【變式3-1]3.(2021春?廣西玉林?高一陸川中學(xué)??计谀?已知1<a<2<b<4,則a?+b的取值范

圍為()

A.(3,6)B.(2,6)C.(3,8)D.(4,8)

【答案】C

【詳解】分析:利用不等式的基本性質(zhì),易得結(jié)果.

詳解:<a<2,.'.I<a2<4,又2<6<4

.,.3<a2+b<8

故選C

點(diǎn)睛:本題考查了不等式的基本性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.

【變式3-1】4.(2021春?安徽六安?高一六安一中??计谀?已知a,/?滿足,則a+3£的

取值范圍是

A.[1,7]B.[-5,13]C.[-5,7]D.[1,13]

【答案】A

【詳解】分析:該問題是已知不等關(guān)系求范圍的問題,可以用待定系數(shù)法來解決.

詳解:設(shè)a+3p=A(a+p)+v(a+邛)

=(A+v)a+(入+2v邛.

比較a、B的系數(shù),得,

從而解出A=-1,v=2.

分別由①、②得-14-a邛41,2<2a+4P<6,

兩式相加,得l<a+3p<7.

故a+3p的取值范圍是[1,7].

故選A

點(diǎn)睛:本題考查待定系數(shù)法,考查不等式的基本性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題

【變式3-1]5.(多選)(2023秋廣東佛山?高一統(tǒng)考期末)已知1<"2,3<635,則()

A.a+b的取值范圍為[4,7]B.b-a的取值范圍為[2,3]

C.ab的取值范圍為[3,10]D.黃勺取值范圍為e,|]

【答案】AC

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)依次討論各選項(xiàng)即可得答案;

【詳解】解:因?yàn)?<a<2,3<b<5,

所以4<u+/)<7,—2<—a<—1,1<b—a<4,

所以,a+b的取值范圍為[4,7],b-a的取值范圍為[1,4],

故A選項(xiàng)正確,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

因?yàn)?<a<2,3<b<5,

所以,3WMW10,1瀉,瀉w|,

所以,ab的取值范圍為[3,10],耨勺取值范圍為L(zhǎng)|]

故C選項(xiàng)正確,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選:AC

題型4一元二次不等式

【例題4](2023秋?河南新鄉(xiāng)?高一校聯(lián)考期末)已知集合4="I/一2%-8<0},B={x|x21},則

>1nB=()

A.{%|1<%<2}B.{x|l<x<4}

C.{x|-2<%<4}D.{x\x>—2}

【答案】B

【分析】先解一元二次不等式,可求出集合4,再根據(jù)集合間的運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)榱?{x\x2-2%-8<0},所以4={x|-2<%<4},

所以2nB={x|l<%<4].

故選:A.

【變式4-1]1.(2023秋?江西吉安?高一井岡山大學(xué)附屬中學(xué)??计谀?已知全集為U=R,M=

{x|/一久>0},N={x]?<o},則有()

A.MUN=RB.MCN=0

C.CuN=MD.C(jNcM

【答案】B

【分析】分別解不等式/-久〉。和巳1<0,利用數(shù)軸進(jìn)行集合的運(yùn)算.

【詳解】M={x\X2—x>0}={x\x>1或x<0},

N={"<。}={4?x(x—1)<0}={%I0<x<1},

MUN-{xIxeR且x豐0且久豐1),所以A錯(cuò)誤;

MC\N={x\x>1或%<0}n{%|0<%<1]=0,所以B正確;

CuN=(x\x<0或久所以C錯(cuò)誤;

CuN={x\x<?;?>1}3Mz所以D錯(cuò)誤.

故選:B.

【變式4-1]2.(2022秋?云南曲靖?高一??计谀?已知a<0,則不等式/—2ax-3a2<0的解集

【答案】(3a,—a)/[x\3a<x<-d]

【分析】將不等式%2-2ax-3a2<。化為(%-3a)(%+a)<0,判斷3a,-a的大小,即可確定答案.

【詳解】不等式/—2ax—3a2<0即(%—3a)(x+a)<0,

因?yàn)閍<0,故3a<—a,

故由(第—3a)(x+a)<0可得3a<x<—a,

則不等式%2-lax-3a2<。的解集為(3a,-a),

故答案為:(3a,-a)

【變式4-1J3.(2022秋?江蘇揚(yáng)州?高一期末港集合4=[x\x-5y+6>0},B=3|三|22},則(CRA)U

B=

【答案】{x|x<1或4WxW9}

【分析】先解兩個(gè)集合中的不等式,再利用集合基本運(yùn)算求解.

【詳解】'-tA=[x\x—Syjx+6>0}={x|0<%<4或%>9},??.CR4=[x]x<0或4<x<9]

8={*22}={x|-3<x<1},

;?(CR4)UB=[x\x<1或4<x<9}.

故答案為:{x|x<1或4WxW9}.

【變式4-1】4.(2022秋?上海浦東新?高一上海市進(jìn)才中學(xué)??计谀┮阎坏仁絘/—3%+6〉4的解集

為{x|x<1或x>b].

⑴求a,b;

(2)解關(guān)于x的不等式a--(ac+b)x+be<0.

【答案】(l)a=1,6=2

(2)答案見解析

【分析】(1)根據(jù)不等式的解集,結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系列出方程即可得到結(jié)果.

(2)由題意得到不等式對(duì)應(yīng)的方程的兩根,然后根據(jù)兩根的大小討論即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)椴坏仁絘——3x+6>4的解集為{0尤<1或x>b},

所以勺=1與尤2=b是方程a/-3久+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且b>1.

由根與系數(shù)的關(guān)系,得1,解得;;

l-b=-3=2

Ia

(2)原不等式化為:/—(c+2)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0,

①當(dāng)c>2時(shí),不等式的解集為{m2<x<c],②當(dāng)c<2時(shí),不等式的解集為{x|c<%<2]

③當(dāng)c=2時(shí),不等式的解集為0.

題型5分式、絕對(duì)值不等式

【例題5](2023秋?江蘇常州?高一常州市北郊高級(jí)中學(xué)??计谀?不等式二<。成立的充分不必要條件

%+5

可以是()

A.{x\x>6}B.{x|-5<%<6]

C.{x|—5<%<6}D.{x|—5<x<6]

【答案】B

【分析】先求出不等式的解集,然后根據(jù)充分不必要條件的定義分析判斷即可

【詳解】由鬻W0,得產(chǎn)-露-°,解得-5<%<6,

所以不等式的解集為{幻-5<%<6},

對(duì)于A,因?yàn)閧x|-5<%<6}n{%|x>6}={6},所以{x|x>6}是不等式成立的既不充分也不必要條件,

所以A錯(cuò)誤,

對(duì)于B,因?yàn)閧x|-5<x<6}{x|-5<x<6},所以{幻-5<x<6}是不等式成立的充分不必要條件,所

以B正確,

對(duì)于C,因?yàn)閧x|-5〈比W6}不等式的解集,所以{m-5<xW6}是不等式成立的充要條件,所以C錯(cuò)誤,

對(duì)于D,因?yàn)閧劃一5<久W6}{%|-5<%<6],所以—5WxW6}是不等式成立的必要不充分條件,

所以D錯(cuò)誤,

故選:B

【變式5-1]1.(2023秋?山東濰坊?高一統(tǒng)考期末)設(shè)%eR,則"|x-1|<1"是"二<0"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】解不等式反-1|<1、=<0,利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.

X—5

【詳解】由國一1|<1可得一1<x-1<1,解得0<x<2,

由晝<。可得一4<%<5,

因?yàn)閧久|0<x<2}{x|—4<%<5},

因此,"伏-i|<1"是"妥<0"的充分不必要條件.

X—5

故選:A.

【變式5-1]2.(2015春?北京東城?高一統(tǒng)考期末)下列選項(xiàng)中,使x<;</成立的x的取值范圍是

A.(-00,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+00)

【答案】A

x<-'八J<0x<-l,^O<x<l

【詳解】?-?原不等式可化為{屋>{(一春.).?.{_,:=<T?故選A.

<x

~“-------X----->Ux>1,<0

考點(diǎn):該題主要考查不等式的解法,不等式的性質(zhì)以及計(jì)算能力.

【變式5-1]3.(2021秋?上海浦東新?高一上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校??计谀?求下列不等式的解集:

(1)—>5

(2)|2x-3|<3%-2

【答案】⑴(1,8)

(2)(1)+00)

【分析】(1)根據(jù)分式不等式及一元二次不等式的解法求解集.

(2)應(yīng)用公式法求絕對(duì)值不等式的解集.

【詳解】(1)竺?>5=匕1<0=(乂一1)0-8)<0,故解集為(L8);

X—1X~1

(2)|2x—3|<3x—2=-3%+2<2,x—3V3x—2,

故解集為(L+8).

【變式5-1]4.(2022春?四川成都?高一統(tǒng)考期末)解不等式:x>彳F

【答案】{x|x>1或XW-1}

【分析】首先不等式變形為筆>0,再按照分式不等式求解.

X-1

【詳解】

x-1x-1=x-1

即{(“+1)(彳二?2。,解得:%>i或xw一1,

所以不等式的解集{劃%>1或XW-1}.

題型6高次不等式

【例題6】(2021春?陜西榆林?高一校考期末)不等式(乂-1)("+1)(久-3)>0的解集為()

A.(-1,1)U(3,+8)B.(1,3)C.(―%—1)u(1,3)D.(3,+8)

【答案】A

【分析】求出(%-1)(%+1)(%-3)=。的根,根據(jù)所得根為界點(diǎn),討論%范圍判斷題設(shè)不等式是否成立即可

得解集.

【詳解】令(%一1)(%+1)(%-3)=0,則%=-1或%=1或%=3,

當(dāng)%>3時(shí),x-l>0,x+l>0,x-3>0,滿足不等關(guān)系;

當(dāng)1<%<3時(shí),%—1>0,%+1>0,第一3V0,貝(](%—1)(%+1)(%—3)<0不滿足;

當(dāng)一1V%V1時(shí),x-l>0,x+l<0,x-3<0,滿足不等關(guān)系;

當(dāng)%<—1時(shí),%—l<O,x+l<O,x—3<0,則(蒐—1)(%+1)(%—3)<0不滿足;

而X=-1或x=l或x=3時(shí),原不等式左側(cè)等于0,不滿足;

綜上,解集為(—1,1)U(3,+oo).

故選:A

【變式6-1]1.(2021秋?上海浦東新?高一上海市進(jìn)才中學(xué)??计谀?已知藍(lán)<久t,則實(shí)數(shù)%取值范圍

【答案】(-00,-1)U(0,1)

【分析】將不等式兩邊同時(shí)取3次方,可得%<2,再移項(xiàng)、通分、因式分解,根據(jù)一元高次不等式的解法

計(jì)算可得;

132

【詳解】解:因?yàn)樗{(lán)<X-1,所以依?<(%-),gp%<X-3,即久<A所以X—專<0tgp(x+l)(x-l)(x+l)<0,

解得久<—1或0<x<1,即原不等式的解集為(—8,-1)u(0,1)

故答案為:(―°°,—1)U(0,1)

【變式6-1]2.(2021秋?上海?高一格致中學(xué)??计谀?不等式小葛<。的解集為

【答案】(-8,-3)U(1,|]

【分析】將分式不等式化為42%—甲([I2:一?4°,利用一元高次不等式和一元二次不等式的解法可

IXI2%30

求得解集.

2□C(2x—3)(%+3)(x—1)<0

【詳解】缶w°等價(jià)于f(2X-3)(X+2X-3)<0即nI(x+3)(%-1)^0

/+2%—3W0

解得:%<-3或1<x<|.?不等式的解集為(-%-3)U(1,|]

故答案為(-8,-3)U(1.

【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的求解,涉及到一元高次不等式和一元二次不等式的求解,關(guān)鍵是能夠?qū)⒎?/p>

式不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.

【變式6-1]3.(2020?浙江杭州?高一期末)設(shè)。eR,若x>0時(shí)均有[(a-1)%一1](/一。久一1)2o,則

【詳解】當(dāng)a=1時(shí),代入題中不等式顯然不成立

當(dāng)a豐1時(shí),令為=(a-l)x-1,丫2=--a久一1,都過定點(diǎn)(0,1)

考查函數(shù)月=(a-l)x-1,令y=0,貝!=白

Q—1

71=(a-1)%-1與%軸的交點(diǎn)為(六,0)

x>0時(shí),均有[(a—1)%—l](x2—ax-1)>0

2

y2=x-ax-1也過點(diǎn)(三■,())

解得a=|或a=0(舍去),

【變式6-1]4.(2023秋?河北保定?高一校考期末)已知集合4={久|(久+3)(%-l)2(x-2)3>0},B=

Q)求集合A,B;

(2)求集合4nB.

【答案】⑴4=(一8,-3]U{1}U[2,+00),B=(-co,-4]U(1,+oo)

(2)4r\B=(—oo,—4]U[2,+8)

【分析】(1)解不等式求得4B.

(2)根據(jù)交集的知識(shí)求得AnB.

【詳解】(1)由(x+3)(%-l)2(x-2尸>0解得x<一3或%=1或x>2,

所以力=(-00,—3]U{1}U[2,+oo).

由巴生>1彳導(dǎo)過一1=2X+3T+1

=X+4>Q

X-1—X-lX-lX-1—,

所以自+丫二產(chǎn)。,解得“針堿>1,

所以B=(-00,-4]U(1,+00).

(2)由(1)得AnB=(—8,-4]U[2,+oo).

題型7一次、絕對(duì)值、分式不等式與參數(shù)

【例題7】2023秋?江蘇無錫?高一統(tǒng)考期末)已知p:實(shí)數(shù)x滿足(%-a)(3a-x)>0,q:實(shí)數(shù)x滿足案<0,

當(dāng)a<0時(shí),若q是p的充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(—2,—1)B.[—2,—1)

C.[—2,—1]D.(—8,—2)U(—1,+8)

【答案】B

【分析】先解一元二次不等式以及分式不等式,然后根據(jù)充分條件的知識(shí)求得正確答案.

【詳解】對(duì)于P,由于a<0,所以由(%-a)(3a-x)>。解得3a<x<a;

對(duì)于q<0Q產(chǎn)卡北三W0,所以一3<%<-2;

若q是p的充分條件,則產(chǎn):7?,解得-2<a<-l.

故選:B

【變式7-1]1.(2022秋?重慶合川?高一重慶市合川中學(xué)校考期末)已知集合4={用£22},B=

{久|0<久<a},若AUB,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.[3,+co)B.(3,+oo)C.(1,+oo)D.(4,+co)

【答案】B

【分析】先求出分式不等式的解集化簡(jiǎn)集合4,再利用集合的包含關(guān)系求解即可.

【詳解】因?yàn)槎?2,所以二一2=土干=三20,

X—1X—1X—1X—1

即(3-x)(x-1)>0且久豐1,解得1<x<3,

所以4={%|1<%<3},

又因?yàn)锽={x|0<x<a],AQB,所以a>3,

故選:B

【變式7-1]2.(2022秋?江蘇揚(yáng)州?高一期末)關(guān)于x不等式ax+b<。的解集為{加>3},則關(guān)于x的不

等式若%N0的解集為

xz-4x-5

【答案】(-8,-1)u[3,5)

【分析】根據(jù)不等式的解集,可得方程的根與參數(shù)a與零的大小關(guān)系,利用分式不等式的解法,結(jié)合穿根法,

可得答案.

【詳解】由題意,可得方程a%+b=0的解為%=3,且a<0,

由不等式件^>0,等價(jià)于產(chǎn)+6)(%J-4X-5)>0整理可得廠ax--":丁°,解得

2

X2-4X-5(X-4%-50((%-5)(%4-1)0

(―8,-1)u[3,5),

故答案為:(一8,-1)U[3,5).

【變式7-1]3.(2021秋?上海浦東新?高一上海市建平中學(xué)校考期末)已知關(guān)于%的不等式*>1在[2,5]

有實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

【答案】aE(|,+8)

【分析】根據(jù)題意,分析可得原問題轉(zhuǎn)化為a>二在[2,5]上能夠成立,設(shè)/(?=空,求出/(x)的最小值,

分析可得答案.

【詳解】解:根據(jù)題意,不等式青>1在[2,5]有實(shí)數(shù)解,即aX言〉1在[2,5]上能夠成立,

又由xG[2,5],則a>二在[2,5]上能夠成立,

X—1

設(shè)f0)=*,則-x)=1+2,在區(qū)間[2,5]上為減函數(shù),其最小值為/(5)=|,

若a>二在[2,5]上能夠成立,貝必>|;

故a的取值范圍是{a|a>|);

故答案為:ae(|,+8),

【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的解法,關(guān)鍵是將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式進(jìn)行分析.

【變式7-114.(2021春?四川眉山?高一統(tǒng)考期末)設(shè)關(guān)于久的不等式:2”吃zz<0的解集是一

x+(a+4a-5)x-a+4a-7

些區(qū)間的并集,且這些區(qū)間的長(zhǎng)度和(規(guī)定:區(qū)間(a,b)的長(zhǎng)度為b-a)不小于12,則a的取值范圍為()

A.a<-1或a>5B.a<-1或a>5

C.a<-2或a>3D.a<-2或a>3

【答案】A

【分析】由已知結(jié)合二次不等式的解集端點(diǎn)與二次方程根的關(guān)系確定不等式的解集端點(diǎn),然后結(jié)合新定義

求出不等式的解集,再求出a的取值范圍

2222

【詳解】設(shè)%2+(2a+2)x—a+4a—7=0的根分別為%i,%2且%i<%2+(^+4a—5)x—a+4a—

7=0的兩個(gè)根分別為%3*4/且%3V%4,貝!J

22

xrx2=x3x4=-a+4a—7=—(a—2)—3<0,

久i+%2-(%3+%4)=-2a2—2+a2+4a—5=—a2+4a—7=-(a—2)2—3V0,

所以%i<x3<x2<x4,

所以不等式的解集為U(%2,%4)/

由題意得%3—+(%4—X2)日12,

即a?-4a+7212,解得a>5或a<-1,

所以a的取值范圍為a>5或a<-1,

故選:A

【變式7-1]5.(2023秋遼寧本溪?高一校考期末)若關(guān)于x的不等式ax+b<0的解集為(-2,+8),則

關(guān)于的不等式a—+bx-3a>。的解集為

【答案】(-3,1)

【分析】根據(jù)一元一次不等式的解集得到a<。且b=2a,從而得到/+2%-3<0,解出答案即可.

【詳解】由題意得:ax<,貝!1%>,可知a<0且b=2a,

a

則a/+bx—3a>0變形為a/+2ax—3a>0,

不等式兩邊同除以a得:/+2x—3<。,

解得:一3<x<1,

不等式的解集為(-3,1).

故答案為:(-3,1)

題型8一元二次不等式與參數(shù)

【例題8](2020春?安徽合肥?高一統(tǒng)考期末)若關(guān)于x的不等式產(chǎn)+px+q<。的解集為儂2<%<3},

則關(guān)于x的不等式駕黑>。的解集是()

X—Z.X—O

A.(2,3)B.(-oo,-2)U(4,+oo)

C.(—2,2)U(3,4)D.(—8,—2)U(2,3)U(4,+oo)

【答案】D

【分析】根據(jù)關(guān)于X的不等式/+px+q<0的解集為{工|2<%<3},利用韋達(dá)定理得到p=-5,q=6,則

等式爭(zhēng)號(hào)>。轉(zhuǎn)化為言二>0再利用穿根法求解.

x2-2x-8x2-2x-8

【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式/+px+q<。的解集為{x[2<x<3},

所以由韋達(dá)定理得:p=-5,q=6,

sx2+px+qX2-5X+6

所m以l%2_2%-8>0,即為>0,

X2-2X-8

即為容盥言>°,即為0-2)0-3)0-4)(X+2)>0

(1X-1%十Z)

用穿根法得不等式的解集為:(-8,-2)U(2,3)U(4,+00),

故選:D

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解集的應(yīng)用以及穿根法求高次不等式,屬于中檔題.

【變式8-1】1.(多選)(2023秋?遼寧葫蘆島?高一校考期末)已知函數(shù)y=ax2+bx-3,則下列結(jié)論正

確的是()

A.關(guān)于x的不等式a/+.一3<0的解集可以是(%|x>-3}

B.關(guān)于%的不等式a/+b%一3V0的解集可以是{%|%>2或%<1}

C.函數(shù)y=ax2+bx-3的圖象與%軸有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),必有廣+12a=0

D.”關(guān)于久的方程a/+-3=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的充要條件是"a>0

【答案】ABD

【分析】根據(jù)不等式的解集求出參數(shù)的值,即可判斷A、B,利用特殊值判斷C,根據(jù)根的分布、充要條件

的定義可判斷D.

【詳解】對(duì)于A:若關(guān)于%的不等式a/+b久-3<0的解集是{x|x>-3},

貝?。輆=0且一36-3=0,得b=—1

當(dāng)a=0,6=—1時(shí),不等式a/+bx—3<0,即一x-3<0,解得x>-3,符合題意,故A正確;

對(duì)于B:若關(guān)于x的不等式a/+匕久一3<。的解集是{x|%>2或x<1},

a+b-3=0CL=--3

2

則a<。且1、2為方程a/+力%_3=0的兩根,所以4a+2b-3=0,解得9,故B正確;

b=-

a<02

對(duì)于C:當(dāng)a=0,bW。時(shí)函數(shù)y=ax2+bx-3的圖象與%軸有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)廣+12a>0,故C錯(cuò)誤;

(a0

對(duì)于D:若關(guān)于%的方程a/+卜%_3=。有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根,貝“<0/解得。>0,

【a

若a>0,貝必=b2+12a>0,故關(guān)于%的方程a/+歷;-3=0有兩個(gè)不等的實(shí)根%口不,

且%62=-5V0,即關(guān)于%的方程a/+力%-3=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根.

因此〃關(guān)于%的方程a/+bx-3=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根〃的充要條件是%>0〃,故D正確.

故選:ABD.

【變式8-1]2.(多選)(2023秋?河南鄭州?高一鄭州市第四十七高級(jí)中學(xué)校考期末)已知關(guān)于%的不等式

ax2+hx+c>0解集為{%Ix<-3或%>4],則下列結(jié)論正確的有()

A.a>0

B.不等式b%+c>。的解集為{%I%<-6}

C.a+b+c>0

D.不等式c/一匕%+0v0的解集為{%|久<一]或%>

【答案】AD

【分析】根據(jù)不等式a/+hx+c>0解集為{%[%<-3或%>4],可判斷a的正負(fù),確定-3,4是a/+力%+

c=0的兩根,從而求出二,a,由此一判斷每個(gè)選項(xiàng),可得答案.

【詳解】關(guān)于%的不等式a%?+b%+c>o解集為{%?x<一3或%>4]z

結(jié)合二次函數(shù)y=a/+族+°和一元二次方程以2+bx+c=。以及不等式的關(guān)系,

可得a>0,且一3,4是a/+fox+c=0的兩根,A正確;

h

-3+4=—(卜__n

則J,故{J1;,

-3x4=-9=-12a

a

所以b%+c>0即—a%—12a>0,x<-12,即b%+c>0的解集

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