2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練：全等三角形模型之婆羅摩笈多模型解讀與提分訓(xùn)練（解析版）

專(zhuān)題16全等三角形模型之婆羅摩笈多模型

婆羅摩笈多(Brahmagupta)是七世紀(jì)時(shí)的印度數(shù)學(xué)家，在世時(shí)間約是公元598年?660年。

他編著了《婆羅摩修正體系》《肯達(dá)克迪迦》?！镀帕_摩修正體系》中有關(guān)數(shù)學(xué)的部分涉及到有關(guān)三角

形、四邊形、零、負(fù)數(shù)、一階和二階方程的研究，《肯達(dá)克迪迦》則是天文方面的著作，研究了關(guān)于

月食、日食、行星的合等問(wèn)題。他提出的一些概念在世界數(shù)學(xué)史上也有很高的地位，比如負(fù)數(shù)。以

他命名的婆羅摩笈多定理又稱(chēng)“布拉美古塔“定理。本專(zhuān)題我們講的就是由婆羅摩笈多定理演化而來(lái)的“婆羅

摩笈多，，模型。

目錄導(dǎo)航

例題講模型-

1.........................................................................................................................................................2

模型1.“婆羅摩笈多”模型.....................................................................2

習(xí)題練模型］

.......................................................................................................................................................15

大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中

提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每

一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！

例題講模型

模型1.“婆羅摩笈多”模型

模型解讀

婆羅摩笈多定理：如果一個(gè)圓內(nèi)接四邊形（即對(duì)角互補(bǔ)的四邊形）的對(duì)角線互相垂直且相交，那么從

交點(diǎn)向某一邊所引垂線的反向延長(zhǎng)線必經(jīng)過(guò)這條邊對(duì)邊的中點(diǎn)（反之亦能成立）。

模型特征：（1）ABCP和是兩個(gè)等腰直角三角形，且直角頂點(diǎn)重合.

模型1）知中點(diǎn)證垂直

條件：分別以三角形/8C的邊/8、4c為邊,向三角形外側(cè)外做正方形和正方形/C歹G,N

為EG的中點(diǎn)，M、4、N三點(diǎn)共線。結(jié)論：AM±BC；BC=2AN；S“BC=S“EG。

證明：（倍長(zhǎng)中線法）延長(zhǎng)NN到憶NW=NA,連接￡火。

在△用EN和A/GN中，NW=NA（已作），ZWNE=ZANG（對(duì)頂角）,EN=GN（已知）

AWEN^\AGJV（SAS）,：.EW=GA,ZEWN=ZGANo

'：ZEWN=ZGAN：.EWIIGA,N用以+NE4G=180。（平行線同旁?xún)?nèi)角）。

VZGAC=90°,ZEAB=90°,：.ZEAG+ZCAB=180°,：.ZWEA=ZCABo

"：EW=GA,y.'：GA=AC,：.EW=AC.

在AEJE4和A/C8中：EA=AB,ZWEA=ZCAB,EW=AC,：.\EWA^ACB(SAS).

：.WA=CB,ZEAW=AABC,"：NABCKEAW,:.S&EWA=SAACB。

AWEN=AAGN,S\WEN=S\AGN>?-S\ACB=S\EWA=S\AEN+S\EWN=S\AEN+S\AGN=SAAEGO

VWN=AN,：.BC=2AN,"：ZWAB=ZEAB+ZEAWo

又；/WAB=/ABM+/AMB(三角形外角性質(zhì)),：.ZEAB+ZEAW=ZABM+ZAMB.

'：ZEAW=ZABC(ZABC即AABM),：.ZEAB+Z.ABM=ZABM+ZAMBo

AZEAB=ZAMB,：,ZAMB=90°,即NA/_L5C。

模型2)知垂直證中點(diǎn)

條件：分別以zVLBC的邊48、/C為邊，向二角形外側(cè)外做正方形和正方形/CFG,AMLBC.

結(jié)論：N為EG的中點(diǎn)；BC=2AN；SAABC=SAAEG。

證明：(法1:平行線法)作￡%7/G,交/N的延長(zhǎng)線于憶\'EW//AG,：.ZWEA+ZEAG=ISO°,

；/E/2和/G/C為正方形的角，所以?xún)蓚€(gè)角均為90。，ZEAG+ZBAC=1SQ°,

：.ZWEA=ZBAC,'：EWHAG,：.ZEWN=ZGAN,

VZGAN+ZMAC=9Q°,,：AMLBC,：.ZMAC+ZMCA=90°,：.ZMCA=ZGAN,：.ZMCA=ZEWN,

在A/8C和△￡/少中，ZBCA=ZAWE,ZCAB=ZWEA,AB=EA,：.\ABCAEAW(AAS),

：.AW=BC,：.WE=CA,'：CA=AG,：.WE=AG,'：EWHAG,：.ZWEN=ZAGN,

在△腔N和MGN中，ZWEN=ZAGN,WE=AG,ZENW=GNA,：.AWEN^AAGN(ASA),

：.EN=GN,即N為EG的中點(diǎn)，WN=AN,：.BC=AW=2AN,

AABC以AEAW,：.SAEWA=SAACB,"：AWEN義^AGN,：.S^EN=SAAGN,

S\ACB=S\EWA=S\AEN+SAEWN=SAAEN+SAAGN=SAAEG。

(法2:三垂直模型法)作￡X_LNN,交/N的延長(zhǎng)線于X,作GY_L/N,將NN于九

"：AMLBC,：.ZABM+ZBAM=9Q°,VZEAB=9Q°,：.ZEAN+ZBAM=90°,：.ZABM=ZEAN

在Rt\ABM和Rt\EAX中，：NABM=/EAN,：.ZAEX=ZBAM；

在Rt\ABM和Rt\EAX中，ZBAM=ZAEX,AB=EA,ZABM=ZEAX；

J.RtNABM^RtAEAX(4"),：.AM=EX,同理可證：：.Rt\AYG^RtACMA(ASA),：.GY=AM；

"：AM=EX,：.GY=EX,在和MAGKV中，ZENX=ZGNY,ZEXN=ZGYN,EX=GY；

：.RtAEXN且RtNGYN(AAS),：.EN=GN,即N為EG的中點(diǎn)；

RtAABM義Rt\EAX,SAABM=SAEAX,BM=AX,'：RtAAYGgRt\CMA,SAAYG=SACMA,CM=AY；

RtAEXN烏RtNGYN,：.SREXN=SAGYN,XN=YN；

SAABC=SAABM+S\CMA=S^EAX+SAAYG=S\EAN+SAENX+SXANG-SAGNY=SNAEG;

：.BC=BM+CM=AX+AY=AN+NX+AN-YN=2AN.

其實(shí)該模型也可以模仿模型1)中的倍長(zhǎng)中線法，有興趣的同學(xué)們可以自己去嘗試以下哦！

模型運(yùn)用

例1.（24-25九年級(jí)上?江蘇南通?階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6,0）,點(diǎn)B為V軸的負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

分別以08,N8為直角邊在第三、第四象限作等腰Rt^OBF、等腰連接跖交N軸于P點(diǎn)，當(dāng)

點(diǎn)8在V軸上移動(dòng)時(shí)，則P8的長(zhǎng)度為（）

【答案】C

【分析】本題考查圖形與坐標(biāo)，涉及全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形的定義、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，作EN_Ly軸于N,求出=證AAB0咨ABEN,求出

ZOBF=ZFBP=ZBNE=90°,詼xBFP為NEP,推出=即可得出答案.主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用

性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，有一定的難度，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,

全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等.

【詳解】解：作丁軸于N,如圖所示：

?.?等腰Rt^OB尸、等腰Z.OB=BF,AB=BE,AABE=ZOBF=90°,

AENB=ZBOA=ZABE=90°,NOBA+NNBE=9Q°,ZOBA+ZOAB=90°,ANBE=ABAO,

ZAOB=ZBNE

在AABO和&BEN中，\ZBAO=ZNBE,:△ABO%BEN(AAS),：.OB=NE=BF.

AB=BE

ZFPB=ZEPN

在ABFP和ANEP中,,NFBP=ZENP=90P,FBFP%ANEP(A0,：,BP=NP,

BF=NE

又?點(diǎn)A的坐標(biāo)為(6,0),.?.O4=JBN=6,，臺(tái)尸二沏二？，故選C.

例2.(2024?重慶渝中?二模)如圖，以V/BC的邊NC、8c為邊向外作正方形/CDE和正方形8CGF,連

接4G、AD相交于點(diǎn)O,連接CO、DG,取48中點(diǎn)M,連接并延長(zhǎng)交。G于點(diǎn)N.下列結(jié)論：①

AG=BD；②MNJLDG；③CO平分NDCG；?S^ABC^S^CDG；⑤入1OC=45。.其中正確的結(jié)論有

(填寫(xiě)編號(hào)).

【答案】①②④⑤.

【分析】由“S4S'可證A/CGg△DC2,可得/G=3。，故①正確，通過(guò)證明點(diǎn)。，點(diǎn)4,點(diǎn)C,點(diǎn)。四點(diǎn)共

圓，可得N4DC=N/OC=45。，故⑤正確；由角的和差關(guān)系可得C。不一定平分入DCG,故③錯(cuò)誤；由

可證A8CM之4ACH會(huì)ACDG,可得S/2C=S-CTtS.COG,ZACH=ZCDG,故④正確；由余角

的性質(zhì)可求NCrm/OCN=90。，可得MN_LOG,故②正確；即可求解.

【詳解】解:如圖，連接N。，延長(zhǎng)CM至“，使M7=CM,連接/〃，

:四邊形/CDE是正方形，四邊形8CGF是正方形，

：.AC=CD,BC=CG,ZACD=ZBCG=90°,ZADC=45°,AZACG=ZBCD,

：.AACG^ADCB(SAS),：.AG=BD,ZCAG=ZCDB,NDBC=NAGC,故①正確；

'：ZCAG=ZCDB,.?.點(diǎn)。，點(diǎn)/,點(diǎn)C,點(diǎn)。四點(diǎn)共圓，

AZDOA=ZACD=90°,ZADC=ZAOC=45°,故⑤正確；

ZBOC=45°=ZAOC,：.ZAGC+ZOCG=ZDCO+ZODC,

???△ZC8是任意三角形，二/。不一定等于8C,即。C與8C不一定相等，

...NCD8與N/GC不一定相等，.../。。0與/6。0不一定相等，；.CO不一定平分NOCG,故③錯(cuò)誤；

丁點(diǎn)M是48的中點(diǎn)，:.AM=BM,又?：CM=MH,ZCMB=ZAMH,:.叢BCMQ叢AHM(SAS),

：.AH=BC=CG,ZH=ZBCH,ZABC=ZHAM,SABCM=SMMH,：.S^ABC=SAACH,

VZDCG+ZACM+ZBCM=ISO°,ZH+ZCAH+ZACM=180°,：.ZCAH=ZDCG,

又；AC=DC,CG=AH,：./XACH^/XCDGCSAS),

：.SAACH=SACDG,ZACH=ZCDG,：.S^ABC=SACDG,故④正確；

VZACD=90°,ZDCN+ZACM=9Q°,：.ZCDN+ZDCN=90°,

：.MN±DG,故②正確，故答案為①②④⑤.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，余角的性質(zhì)

等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵.

例3.（2024?山東泰安?中考真題）如圖1,在等腰Rt448C中，NABC=90°,AB=CB,點(diǎn)、D,E分別在

C2上，DB=EB,連接/E,CD,取/E中點(diǎn)尸，連接8F.

（1）求證：CD=2BF,CDLAP；（2）將ADBE繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置.

①請(qǐng)直接寫(xiě)出3尸與的位置關(guān)系：；②求證：CD=2BF.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）①5尸，CD；②見(jiàn)解析

【分析】（1）先證明也ACBD得到/E=CD,ZFAB=ZBCD,根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得到

CD=AE=2BF,根據(jù)等邊對(duì)等角證明NFS/=/SCO,進(jìn)而可證明AF_LCD；

（2）①延長(zhǎng)3尸到點(diǎn)G,使尸G=BF,連結(jié)/G,延長(zhǎng)8E到M,使BE=3〃，連接并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)

N.同（1）證明△NG3四△BDC得到/ABG=/BC。，然后利用三角形的中位線性質(zhì)得到8尸〃/N,則

ZABG=ZBAN=ZBCD,進(jìn)而證明/N_LCD即可得到結(jié)論；

②延長(zhǎng)5尸到點(diǎn)G,使FG=BF,連接/G.先證明A/G廠名AEB尸，得至"NF4G=NFEB,AG=BE,進(jìn)而

AG//BE,AG=BD.證明A/GB四△8DC得到CD=3G即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）證明：在AA8E和△CBD中，VAB=BC,AABE=ZCBD=90°,BE=BD,

:.AABE%CBD[SAS）,AE=CD,NFAB=/BCD.

?.?尸是RtZ\48E斜邊ZE的中點(diǎn)，AE=2BF,CD=2BF,

■：BF=-AE=AF,NFAB=NFBA.:.NFBA=NBCD,

2

ZFBA+ZFBC=90°,ZFBC+ZBCD=90°./.BFLCD■,

（2）解：①BFLCD；理由如下：延長(zhǎng)3尸到點(diǎn)G,使.FG=BF,連結(jié)/G,延長(zhǎng)BE到M,使BE=BM,

連接AM并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)、N.

證明AAGB義/XBDC（具體證法過(guò)程跟②一樣）.二NABG=ZBCD,

?.?尸是4E中點(diǎn)，8是EAf中點(diǎn)，二8廠是中位線，:.BF//AN,

ZABG=ZBAN=ZBCD,:./ABC=NANC=90°,AN1CD,

BF//AN,BFLCD.故答案為：BF_LCD；

②證明：延長(zhǎng)3尸到點(diǎn)G,使尸G=AF,連接NG.

VAF=EF,FG=BF,NAFG=NEFB,-.^AGF^EBF（SAS）,

ZFAG=ZFEB,AG=BE,:.AG//BE,：.ZGAB+ZABE=180°,

ZABC=ZEBD=90°,/4BE+/DBC=18。°,ZGAB=ZDBC.

---BE=BD,:.AG=BD.在A/G3和ABDC中，

AG=BD,ZGAB=ZDBC,AB=CB,:.^AGB^ABDC（SAS）,CD=BG,

■：BG=2BF,CD=2BF.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角

形的中位線性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與

運(yùn)用，靈活添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵.

例4.（23-24八年級(jí)上?陜西西安?階段練習(xí)）（1）如圖1于N,3BC是等腰直角三角形，ZACB=90°,

等腰直角A/BC的頂點(diǎn)。、8分別在射線MN,射線N。上滑動(dòng)（頂點(diǎn)。、3與點(diǎn)N不重合）在滑動(dòng)過(guò)程中,

點(diǎn)/到直線的距離/&CN（填“>”、“<”或

（2）如圖2,在（1）的條件下，等腰直角中，ZECF=90°,且△￡€下的頂點(diǎn)C、尸也分別在射線

NM、射線酒上滑動(dòng)（頂點(diǎn)C、/與點(diǎn)N不重合），連接NE交于點(diǎn)。，試探究/D與ED的數(shù)量關(guān)系,

并證明你的結(jié)論.

（3）如圖2,AB=4cm,EF=6cm,在和A/BC保持原來(lái)滑動(dòng)狀態(tài)的過(guò)程中，的面積是否有

最大值？若有，請(qǐng)求出△NCE的最大面積并求此時(shí)8尸的長(zhǎng)度；若的面積沒(méi)有最大值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)求出//CH=/C8N,證明ZUS絲△CBN即可得到4F/=CN；

(2)同(1)可證絲△CBN,4ECI沿4CFN,然后可得N〃=CN=E/,利用AAS證明△￡7D烏△/〃￡>

即可得到AD=ED；(3)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明S“CE=S“CH+S.ECI=S^CBN+$&CFN=S&CFB，過(guò)點(diǎn)歹作

F7J_2C交8c延長(zhǎng)線于T,可得F0FT,則當(dāng)FC=F7=3也，即FC與2C垂直時(shí)，&皿最大，然后可

求出面積的最大值，最后利用勾股定理求出8尸即可.

【詳解】解：(1);△48C是等腰直角三角形，ZACB=90°,：.AC=BC,ZACH+ZBCN=9Q°,

■:MN1PQ于N,：.ZMNQ=90°,ZBCN+ZCBN=9Q°,：.ZACH=ZCBN,

ZACH=ACBN

在44cH和4CBN中，<NAHC=NCNB=9S,；.AACH”ACBN(AAS),；.AH=CN,故答案為：=；

AC=BC

(2)AD=ED,證明：過(guò)點(diǎn)/作于點(diǎn)”，過(guò)點(diǎn)￡作￡/?于點(diǎn)/,

同(1)可證△/CH■四△CBN,XECI%ACFN,：.AH=CN,EI=CN,：.AH=EI,

又,：NEDI=/ADH,NEID=/AHD=90。,：.4EID沿4AHD(AAS),:.AD=ED；

(3)V^5=4cm,￡F=6cm,.?.由勾股定理可得8c=2&，CF=372,

如圖，也△?ACHCBN，

CBN,KECI^/XCFN,:S.=S.S^ECI=S^CFN,

?^EID=i^AHDy..S*EID=S*AHD，?,S&ACE=S?ACH+SaECI=S.CBN+SaCFN=^^CFE,

過(guò)點(diǎn)F作FTIBC交BC延長(zhǎng)線于T,則S^CFB=^BC-FT,

'：FC>FT,，當(dāng)FC=FT=3C，即尸C與8C垂直時(shí)，$.用最大，

此時(shí)S.CFB=；BC.FC=；x2JIx36=6,

的最大面積為6,此時(shí)夕尸=+FC?=J(2亞『+(3白『=726.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積計(jì)算，勾股定

理等知識(shí)，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵.

例5.（2024?湖北?二模）【特例發(fā)現(xiàn)】如圖1,在△ASC中，/GL2C于點(diǎn)G,以/為直角頂點(diǎn)，分別以48,

NC為直角邊，向A/8C外作等腰和等腰MA/CF,過(guò)點(diǎn)￡、/作射線G/的垂線，垂足分別為P、

Q.求證：EP=FQ.

【延伸拓展】如圖2,在ZU8C中，/6,8。于點(diǎn)6,以/為直角頂點(diǎn)，分別以/C為直角邊，向A/BC

外作用■和必A/CF,射線G/交跖于點(diǎn)X.若AB=kAE,AC=kAF,請(qǐng)思考/ffi與//F之間的數(shù)量關(guān)

系，并直接寫(xiě)出你的結(jié)論.

【深入探究】如圖3,在A/BC中，G是邊上任意一點(diǎn)，以N為頂點(diǎn)，向A/BC外作任意A/8E和

射線G/交于點(diǎn)〃若/E4B=/AGB,ZFAC=ZAGC,AB=kAE,AC=kAF,上一問(wèn)的結(jié)論還成立嗎？

并證明你的結(jié)論.

【應(yīng)用推廣】在上一間的條件下，設(shè)大小恒定的角分別與的兩邊NE、/尸分別交于點(diǎn)M、N,

若△4BC為腰長(zhǎng)等于4的等腰三角形，其中/A4c=120。，且/IHJ=/AGB=9=6Q°,k=2；

求證：當(dāng)/〃力在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AEMH、AffiWN和AFW均相似，并直接寫(xiě)出線段九W的最小值（請(qǐng)?jiān)诖痤}

卡的備用圖中補(bǔ)全作圖）.

【答案】（1）證明參見(jiàn)解析；（2）HE=HF；（3）成立，證明參見(jiàn)解析；（4）證明參見(jiàn)解析，兒W最小值為1.

【分析】特例發(fā)現(xiàn)：易證4AFQ2ACAG,即可求得EP=/G,FQ=AG,即可解題；

延伸拓展：②易證△/CGSZ\E4。，得至I］尸￡=；/G,FQ=^-AG,即可求解；

深入探究：判斷得至AAQF^ACGA,FQ=,得至|J尸0=J/G,再判斷△EPH/

kk

△FQH,即可；

應(yīng)用推廣：由前一個(gè)結(jié)論得到a4防為正三角形，再依次判斷△M77NS△mWs/XAffi”,即可.

【詳解】特例發(fā)現(xiàn)解：VZPEA+ZPAE=90°,ZGAB+ZPAE=90°,：.ZPEA=ZGAB,

VZEPA=ZAGB,AE=AB,:.△PEA妾/\G4B,：.PE=AG,

同理，4QE4/AGAC,：.FQ=AG,：.PE=FQ；

延伸拓展過(guò)點(diǎn)E作EPLHG于P,過(guò)點(diǎn)尸作FQLHG于。，

B

VZPEA+ZPAE=90°,ZGAB+ZPAE=90°,：.ZPEA=ZGAB,

PEAE

：.ZEPA=ZAGB,.??△PEAS^GAB,：.——=——,

AGAB

PEAE1FOAF

,:AB=kAE,----=------,:?PE=—AG,同理,LQFA^/\GAC,—,

AGkAEk?AQAC

■:AC=kAF,：.FQ=-AG,：.PE=FQ；

k

深入探究如圖2,在直線ZG上取一點(diǎn)尸，使得/EP4=/4GB,作EQJIPE,

VZEAP+ZBAG=\SO°-ZAGB,ZABG+ZBAG=1SO°-ZAGB,：.ZEAP=ZABGf

PEAE1

VZEPA=ZAGB,:?△APES^BGA,：.——=——,?：AB=kAE,:?PE=—AG,

AGABk

FOAF

由于4FQZ=N￡4C=N4GC=1800-NZG5,同理可得，"QFsACGA,：.-=——，

AGC

?:AC=kAF,:?FQ=；AG,：?EP=FQ,?:EP〃F。,：.ZEPH=ZFQH.

k

■:/PHE=/QHF,:?△EPHmAFQH,：.HE=HF；

應(yīng)用推廣如圖3,在前面條件及結(jié)論，得到，點(diǎn)、H是EF中點(diǎn)、，：.4E=4F,

:NEAB=NAGB,/E4C=NAGC,：.AEAB+AFAC=\^°,

，NE/尸=360°-(ZEAB+ZFAC)-ZBAC=60°,

：./\AEF為正三角形.；.ZHEM=ZHFN=60°=ZMHN,

■:點(diǎn)、H是EF中點(diǎn):.NEHM+NFHJ=12O°,ZFNH+ZFHJ=12Q°,：.ZEHM=ZFNH.

AAHMEH

.AAEF=Z.AFE,:.叢HEMs叢NFH,——=一,

HNFN

HMFH

'：EH=FH,：.——=——，且/MHN=/HFN=60°,:.△MHNS△HFN,

HNFN

:.叢MHNs叢HFNs&MEH,在.4HMN中,ZMHN=60°,

根據(jù)三角形中大邊對(duì)大角，.?.要MN最小，只有△力必是等邊三角形，.../4W=60。，

VZAEF=60°,J.MN//EF,；A4EF為等邊三角形,

：.MN為“EF的中位線，；.MN=-EF=-x2=l.

min22

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，特殊三

角形的性質(zhì)，根據(jù)條件判定三角形全等和相似是解本題的關(guān)鍵.

例6.(23-24九年級(jí)上?福建廈門(mén)?期中)定義:如圖13,在AABC中，把43繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)?(00<?<180°)

得到/Q，把4c繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)"得到/C',連接8'C'.當(dāng)a+￡=180。時(shí)，我們稱(chēng)△/9。是“3C的

“旋補(bǔ)三角形"，△48'C'邊8'C'上的中線AD叫做“3C的“旋補(bǔ)中線''，點(diǎn)/叫做“旋補(bǔ)中心

(1)在圖1中，△48'C'是"8C的“旋補(bǔ)三角形"，AD是的“旋補(bǔ)中線”，若。8C為等邊三角形，貝U

與的數(shù)量關(guān)系為：AD=BC.

(2)在圖2中，當(dāng)“3C為任意三角形時(shí)，猜想/。與3c的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

(3)如圖3,在四邊形48CD中，DS=90°,4=150。，BC=U,AB=2^>,AD=6.若四邊形內(nèi)部恰好

存在一點(diǎn)尸，使是△PDC的“旋補(bǔ)三角形”，請(qǐng)直接寫(xiě)出△PDC的“旋補(bǔ)中線”長(zhǎng)是.

【答案】⑴-2）ND=；3c⑶屈

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)邊相等，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和含30。的直

角三角形性質(zhì)即可求得；（2）延長(zhǎng)中線得平行四邊形，利用平行四邊形性質(zhì)和旋補(bǔ)角度關(guān)系得

ZBAC=ZAB'M,即可證明AA4c也即利用對(duì)應(yīng)邊相等求得答案；（3）作延長(zhǎng)線、中垂線、垂線

及中線，利用含30。角的直角三角形性質(zhì)證明邊與角之間的關(guān)系，等到Aq尸會(huì)V3E4,再利用全等性質(zhì)證

明/Pq為平行四邊形，根據(jù)角度得出△4PO為等邊三角形，貝腹為△尸DC的旋補(bǔ)三角形，利用勾股

定理即可求得解

【詳解】（1）解：：為等邊三角形，:.AB=BC=CA=AC'=AB',ZBAC=60°,

：是的“旋補(bǔ)中線"，AB'D=CD,：.AD1B'C,

?：ABAC=60°,NB'AB+/C'AC=180°,;.NB'AC'=120°,：.ZB'=ZC=30°,則.

22

（2）延長(zhǎng)/。到點(diǎn)〃，使得4D=DM,連接Md，MB',如圖，

B'D=CD,AD=DM,四邊形NBC。為平行四邊形，B'M=AC=AC,ZB'AC+ZAB'M=180°,

■：NB'AB+ZC'AC=180°/.ZB'AC+ABAC=180。，；.ABAC=ZAB'M,

BA=B'A

在4c和V/3'M中，[NBAC=NAEM：.ABAC公YAB，M,：.BC=AM,則==工8(7.

22

AC=B'M

(3)延長(zhǎng)D4,CB交點(diǎn)M,作CEL4D交4D于點(diǎn)￡,作線段BC的垂直平分線交CE于點(diǎn)尸，交BC于點(diǎn)、

F,連接尸￡＞、PA、PB,作APNB的中線尸N,連接/尸交尸2于點(diǎn)O,如圖，

VZDAB=150°,ZMAB=30°,在必中，AB=2也，AABM=90°,貝!]=4,8"=2,AM=60°,

在心△〃￡(?中，由MC=Affi+8C=2+12=14,AM=60°,^EM=1,NMCE=30°,

：?EA=ME—MA=7—4=3,u：AD=6,:,ED=3,

\CE^AD,：.PA=PD,9：PF1BC,：.PB=PC,

BF6

在Rt/\FBA中，由ZB=273,BF=6tanZ.BAF---=—點(diǎn)=m,即Z_BAF=60°，

AB2j3

NDAF=ZDAB-NABF=150°-60°=90°,即ZEAF=NCED,/.CE//AF,：.NBCE=NBFA,

ZPBC=NPCF,：.NPBF=NAFB,:ZBFA+ZBAF=90°,ZFBP+ZBPF=90°,

：.ZBPF=ZBAF=60P,貝!]A尸8P絲V5E4,:.BA=PF,又；N2〃尸尸，.?.四邊形4W喈為平行四邊形;

,/ZABF=90°,ZBAP=90°,；.ZDAP=60°,貝UAAPD為等邊三角形,；.ZDPA=60°,

---ZCPF=ABPF=60°,則NC尸8=120°,：.ZAPD+ZBPC^180°,貝U為△尸DC的旋補(bǔ)三角形，

在RiAPAN中，PA=AD=6,AN=C，?-PN=^AP2+AN2=739.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、含30。的直角三角形性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)

和延長(zhǎng)中線等知識(shí)點(diǎn)，利用題目給定知識(shí)點(diǎn)和判定線段和角度之間關(guān)系，解題的關(guān)鍵點(diǎn)為結(jié)合給定定義作

輔助線證明結(jié)論成立.

習(xí)題練模型

1.（23-24九年級(jí)上?浙江溫州?期中）婆羅摩芨多是公元7世紀(jì)古印度偉大的數(shù)學(xué)家，他研究過(guò)對(duì)角線互相

垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類(lèi)四邊形稱(chēng)為“婆氏四邊形”.如圖，在O。中，四邊形/BCD是“婆氏四邊

形”，對(duì)角線/C,8。相交于點(diǎn)￡,過(guò)點(diǎn)E作即，DC于點(diǎn)“，延長(zhǎng)HE交于點(diǎn)R則二的值為（）

【答案】A

【分析】先證明=,再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等推出NE4￡=NFEN,則/尸=￡尸，再證

FFFF1

明NBEF=NEBF,得到EF=BF,則片=，一°一=/?

ADAr+Dr2

【詳解】解：?/ACLBD,EH1.CD,：.ZCED=ACHE=90°,

ZCEH+ZECH=90°=ZEDC+ZECH,ZEDC=ZCEH,

'：ZBAC=NBDC,NAEF=ZCEH,ZFAE=ZFEA,AF=EF,

,/ZAEB=90°,二ZFAE+/ABE=90°=/FEA+ZBEF,

EFEF1

：.NBEF=NEBF,..EF=BF,..—=------------=一，故選A.

ABAF+BF2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同弧所對(duì)的圓周角相等，等腰三角形的判定，同角的余角相等，直角三角形兩銳

角互余，證明/尸=斯，E尸=8歹是解題的關(guān)鍵.

2.（23-24九年級(jí)下?江西南昌?期末）婆羅摩笈多是公元7世紀(jì)的古印度偉大數(shù)學(xué)家，曾研究對(duì)角線互相垂

直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類(lèi)四邊形稱(chēng)為“婆羅摩笈多四邊形”.如圖，四邊形A8CD是。。的內(nèi)接四邊形,

且是“婆羅摩笈多四邊形”、AB2+BC-+CD2+=8,則。。的半徑為.

A

C、J

【答案】1

【分析】連接/C,BD交于點(diǎn)、E,連接CO并延長(zhǎng)交OO于R連接。歹，設(shè)。。的半徑為r,根據(jù)圓周角定

理的推論得出442。=48。尸，然后求出F，再利用勾股定理得出4笈+少2=4產(chǎn)，同理可得

BC2+AD2=4r2,然后得出N爐+叱2+（7￡?2+及2=8/=8,即可求出O。的半徑.

【詳解】解：連接/C,8。交于點(diǎn)E,連接CO并延長(zhǎng)交OO于尸，連接。尸，設(shè)。。的半徑為r,

C

；。廠是直徑，ZCDF=ZBDC+ZBDF=90°,由題意知ZC/8。，ABAC+ZABD=90°,

'：ABAC=ZBDC,：.ZABD=ZBDF,:.俞=箴,/.AB=DF?AB=DF,

'：ZCDF=90°,；.AB2+CD2=DF2+CD2=CF2=（2r）2=4r2,

222

同理可得8。2+=4/，...AB^+BC+CD+DA=8/=8,

：.r=l,即OO的半徑為1,故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理的推論，圓心角、弧、弦的關(guān)系，勾股定理，作出合適的輔助線，證

明尸是解題的關(guān)鍵.

3.（23-24八年級(jí)?江蘇?假期作業(yè)）如圖，以AASC的邊45,ZC為腰分別向外作等腰直角、/CD,

連接ED,BD,EC,過(guò)點(diǎn)/的直線/分別交線段DE,BC于點(diǎn)、M,N,以下說(shuō)法：①當(dāng)48=/C=BC時(shí),

4即=30。；②EC=BD；③當(dāng)直線U3C時(shí)，點(diǎn)M為線段DE的中點(diǎn).正確的有.（填序號(hào)）

EMiD

【答案】①②③

【分析】此題重點(diǎn)考查等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等角的余

角相等、等角的補(bǔ)角相等等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.由=AC=8C,得"4C=60。,

因?yàn)?E=4B,AC=AD,ZBAE=ACAD=90°,所以/E=AD,ZEAD=120°,貝UN/EO=NADE=30°,

可判斷①正確；由NC/D=N8/E=90。，推導(dǎo)出/C4E=ND/8,可證明AC4E包。得EC=BD,可判

斷②正確；當(dāng)直線/L8C時(shí)，作直線兒W/8C于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)。作DGLMN于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)￡作即，血乂于

點(diǎn)、H,證明■均/BN(AAS)及A/CN今加G,再求解可判斷③正確，于是得到問(wèn)題的答案.

【詳解】①當(dāng)/8=/C=8C時(shí)，AA8C是等邊三角形，

二ZBAC=60°,：.ZEAD=360°-90°-90°-60°=120°,

:等腰直角A/5￡、AACD,：.BA=AE,AC=AD,：.AE=AD,

：.//￡。=乙4。￡=：、(180。一120。)=30。.故①正確.

②：等腰直角△ABE、"CD,：.AB=AE,AD=AC,ZBAE=ADAC=90°,

ABAD=NEAC,；.ABAD均EAC,：.EC=BD.故②正確.

③如圖所示，作直線兒W」8c于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)。作DGLMN于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)E作即，于點(diǎn)

,?ZBAE=90°,MNIBC,：.NABN+ZBAN=90°,又NEAM+ABAN=90°,ZEAM=AABN,

又,：EA=4B,：.^EAH^ABN(AAS),同理得“CN絲AD4G,

Z.GD=AN,AG=CN,EH=AN,AH=BN,

,?NEMH=ZDMG,ZEHM=ZDGM=90°,:.AEHM4DGM(AAS),

：.EM=DM,即M是EZ)的中點(diǎn)，故③正確，故答案為：①②③.

4.(2024?湖北黃石?模擬預(yù)測(cè))如圖，以A/BC的邊NC、BC1為邊向外作正方形/CDE和正方形3CGF,連

接/G、5。相交于點(diǎn)。，連接C。、DG,取中點(diǎn)M,連接并延長(zhǎng)交。G于點(diǎn)N.下列結(jié)論：①/G

=BD；?MN±DG；③C。平分NDCG；④SAABC=S<DG；⑤N4OC=45。.其中正確的結(jié)論有

(填寫(xiě)編號(hào)).

【答案】①②④⑤

【分析】利用正方形的性質(zhì)，通過(guò)證明三角形全等以及利用四點(diǎn)共圓的判定和圓周角定理逐一判斷即可得

出正確答案.

［詳解】解：；正方形ACDE和正方形BCGF,：.CB=CG,AC=CD,ZACD=ZBCG；

ZACD+ZDCG=ZBCG+ZDCG,即N/CG=/BCD,A^CG四△DCB(&4S),

AAG=BD,NC1G=NCDB.?.①正確；:/CAG=NCDB,.?.點(diǎn)/、D、。、C四點(diǎn)共圓，

(注意如果沒(méi)有學(xué)習(xí)圓的相關(guān)知識(shí)也可以通過(guò)構(gòu)造手拉手全等證明下面結(jié)論)

如圖，連接40,，N/OC=NNDC=45°,故⑤正確；同理可證NBOC=45°,

ZAGC+ZOCG=ZBDC+ZOCD=45°,由△^CG絲△。C3(S4S)知//GC=/。8C,

而/D2C與NBDC不一定相等，與/OCD不一定相等，因此③不一定成立；

如圖，延長(zhǎng)。0至〃，使MH=CM,連接■點(diǎn)是48的中點(diǎn)，；.AM=BM,

又■；/AMH=/BMC，：./\AMH=/\BMC(S45),SAAMH=S^BMC,S^AHC=5Alsc

：.AH=BC,ZMAH=ZMBC：.AH=CG,ZCAH=ZCAM+ZMAH=ZCAM+ZMBC,

ZCAM+ZMBC+ZACB=180°,ZDCG+ZACB=360°-90°-90°=l80°,

ZCAM+ZMBC=ZDCG,即Z.CAH=ZDCG,：.^AHC^^CGD(SAS),SAAHC=SACGD,

?:S^CMSACGD，故④正確；由AAHC咨ACGD(SAS),：./ACH=/CDN,

：.ZCDN+ZDCN=ZACM+ZDCN=\^0°-ZACD=90°,:?NCND=90°，故②正確;

因此①②④正確；故答案為：①②④⑤.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的判定、圓周角定理、倍長(zhǎng)中線

法構(gòu)造全等三角形等內(nèi)容，本題綜合性較強(qiáng)、需要學(xué)生熟練掌握相關(guān)知識(shí)并進(jìn)行靈活運(yùn)用，本題蘊(yùn)含了數(shù)

形結(jié)合的思想方法等.

5.（2024?河南新鄉(xiāng)?模擬預(yù)測(cè)）閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù).

婆羅摩笈多定理：

如圖，四邊形/BCD內(nèi)接于OO,對(duì)角線NC18。，垂足為如果直線MEL8C,垂足為￡,并且交邊力。

于點(diǎn)尸，那么"=①）.

B

/0?\）證明：VAC1BD,MELBC,

V

D

：.ZCBD+ZBCM=90°,ZCME+ZBCM=9Q°.

：.ZCBD=ACME.

又＜2CBD=Z①（同弧所對(duì)的圓周角相等）

ACME=NAMF,

ZCAD=ZAMF.

二/尸二②一....

任務(wù)：（1）材料中①處缺少的條件為,②處缺少的條件為；

（2）根據(jù)材料，應(yīng)用婆羅摩笈多定理解決下面試題：

如圖，已知中，ABAC=90°,AB=AC=2,BC,/C分別交O。于點(diǎn)。，E,連接ND,BE交于

點(diǎn)尸.過(guò)點(diǎn)、P作MN〃BC,分別交DE,48于點(diǎn)M,N.若ADLBE,求/N的長(zhǎng).

【答案】⑴①CAD；②MF（2）1

【分析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊的性

質(zhì)，關(guān)鍵是能熟練應(yīng)用圓的有關(guān)性質(zhì)，掌握相應(yīng)角的定義和計(jì)算是關(guān)鍵.（1）根據(jù)圓周角定理和等角對(duì)等

邊的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）應(yīng)用（1）的結(jié)論，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可求解..

【詳解】（1）證明：MELBC,

：.ZCBD+ZBCM=90°,ZCME+ZBCM=9Q°.：.ZCBD=ACME.

XVZCBD=ZCAD,（同弧所對(duì)的圓周角相等）ZCME=ZAMF,

：.ZCAD=ZAMF.：.AF=MF.…故答案為：①CZD；②MF；

（2）解：,??四邊形4RDE是。。內(nèi)接四邊形，.?.NB/C+NaDE=180。，

■：ZBAC=9Q°,ABDE=90°,即D￡_LC3,

■：NM//CB,:.MNIDE,■;ADYBE,AN=BN,：.PN=-AB=1.

2

6.（2024?湖北?一模）問(wèn)題背景：數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)，王老師提出了如下問(wèn)題：如圖（1）,在V/5C中,

4B=8,AC=6,求5c邊上的中線4D的取值范圍.

小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法，作A/CD關(guān)于點(diǎn)。中心對(duì)稱(chēng)的圖形，其中點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)是點(diǎn)請(qǐng)你幫助小明完成畫(huà)圖和后面的解答.

嘗試運(yùn)用：如圖（2）,4。是V/BC的中線，AB=AE,ACAF,ZBAE=ZCAF=90°,試判斷線段

與斯的關(guān)系，并加以證明.

ArAp1

遷移拓展：如圖（3）,4。是V/BC的中線，%=喂=左，NBAE=NCAF=90。，直接用含左的代數(shù)式寫(xiě)

ABAC

出與A/CD之間的面積關(guān)系.

【答案】(1)作圖見(jiàn)解析，1<40<7(2)EF=2AD,EFLAD(3)~^=2k2

^^ACD

【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三

邊關(guān)系，中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

(1)由中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知AMDB也A4DC,可得8A/=/C=6,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求解，

(2)利用SAS證明AABM%AEAF,可得=EF/BAM=ZAEF,再根據(jù)平角的性質(zhì)可得

ZBAM+ZEAN=90°,進(jìn)而可求解；(3)證明△以/尸，再根據(jù)相似三角形的的性質(zhì)可得

SAF

—=(右7)2=斤2,再推出S"B"=2S/S，即可求解.

【詳解】解：(1)問(wèn)題背景：作圖如圖.

由中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知^MDBaADC,BM=AC=6.

在ANBN中，AB-BM<AM<AB+BM,<8+6,即2</胡<14,:.1<AD<7.

(2)嘗試運(yùn)用：EF=2AD,EF1AD.

理由如下：如圖，延長(zhǎng)4D到點(diǎn)使得。河=/。，延長(zhǎng)DA交EF與點(diǎn)、N,連接

由前面知，ABDM沿人CDA,：.BM=AC,/BMA=/CAM,AC/IBM,NBAC+NABM=180。，

???ZBAE=ZFAC=90°,ABAC+ZEAF=1^0°,ZABM=ZEAF,

?：AC^AF,BM=AF,-.?AB=EA,:.AABMmAEAF,:.AM=EF,NBAM=NAEF.

AM=2AD:.EF=2AD,;NBAM+NEAN=9S,ZAEF+ZEAN=90°,：.ZENA=90°,EFVAD■,

(3)遷移拓展：如圖，延長(zhǎng)4D到點(diǎn)“，使得。M=4D,延長(zhǎng)交EF與點(diǎn)N,連接,

AFApAEAF,

由(1)可知：BM=AC,v——=——=k----=-----=k,

ABACABBM

又由(2)可知/ABM=ZEAF,:SAM^￡\AEF,

???DM=AD,,S&ABM=2S.BDM，又YAMBD沿AACD=2sA4,..gp"EF=2k2

coS^ACD

7.（2023福建?模擬預(yù)測(cè)）求證：對(duì)角線互相垂直圓內(nèi)接四邊形，自對(duì)角線的交點(diǎn)向一邊