2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圓中的輔助線 方法講解及鞏固練習(xí)

圓中的輔助線

典例精析

【典型題1]★★如圖,AB是0O的直徑，弦PQ交AB于M,且PM=MO.

求證：AP=-BQ.

【思路分析】

思路一：本題從結(jié)論入手分析.要證明@配，即要證明弧對(duì)應(yīng)的圓心角之比是:因此連接OP、0Q,即要證

明/AOP=：NBOQ,必然有/BOQ=3NMOP,又因?yàn)镹MPO=/MQO,所以必然有/QMO=2/MOP,此結(jié)論很容

易得到，分析完畢.

思路二：從題目條件入手，構(gòu)造等腰三角形，用三角形外角定理進(jìn)一步分析得出結(jié)論.

【答案解析】證明：如圖，連接OP、OQ.

PM=OM,.\ZP=ZMOP.

VOP=OQ,AZMPO=ZMQO.

ZQMO=2ZMOP,

JZBOQ=3ZMOP.

???"OP=-ABOQ.：.AP=-BQ.

33

【規(guī)律總結(jié)】輔助線作法：在圓的相關(guān)題目中，不要忽略隱含的已知條件.我們通?？梢赃B接半徑構(gòu)造等腰三角

形，利用等腰三角形的性質(zhì)及圓中的相關(guān)定理，解決角度的計(jì)算問題.

【典型題2】★★★如圖，直徑AB=2,AB、CD交于點(diǎn)E且夾角為45°.則CE2+DE2=.

【思路分析】本題從結(jié)論入手分析.看到線段平方和，往往想到應(yīng)用勾股定理，因而去構(gòu)造直角三角形，利用勾

股定理列式求解.注意運(yùn)用設(shè)未知數(shù)列式的方法在幾何求解題目中的應(yīng)用，往往能夠事半功倍.

【答案解析】解:如圖，過點(diǎn)o作OFLCD于點(diǎn)F,連接0D.

設(shè)OF=a,DF=b，則在RtAOFD中，a2+b2=1.又CF=DF=b.

ZBED=45°,OF=EF=a.CE2+DE2=(b-a)2+(a+b)2=2(a2+b2)=2.

【規(guī)律總結(jié)】輔助線作法：在圓中作弦心距或連接半徑作為輔助線，利用弦心距、半徑和半弦組成一個(gè)直角三

角形，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

【典型題3】★★★已知,AB和CD是OO的兩條弦，且ABLCD于點(diǎn)H,連接BC、AD,作OEJ_AD于點(diǎn)E.

求證：OE=^BC.

【思路分析】本題從結(jié)論入手分析.要證明的0E和BC明顯不在一起，因此一定要做輔助線讓它們發(fā)生關(guān)聯(lián)，

因此構(gòu)造直角三角形，得出線段0E=抄居再證明DF=BC即可.

【答案解析】證明：如圖，連接AO并延長(zhǎng)交。O于點(diǎn)F,連接DF、BD.

：OE_LAD,AE=DE/.*OA=OF,

0E是AADF的中位線.

1

???OE=-DF.

2

VAB±CD,.\ZABD+ZCDB=90°.

VAF是直徑,??.NADF=90。.

JZDAF+ZF=90°.

1

DF=BC.：.OE=-BC.

2

【規(guī)律總結(jié)】輔助線作法總結(jié)

如圖①，已知AB是。O的直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，連接AC、BC,貝(!/ACB=9。。.

如圖②，已知AB是。0的一條弦，過點(diǎn)0作OEXABJIJOE2+AE2=0A2.

(1)如圖①，當(dāng)圖形中含有直徑時(shí)，構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角是解問題的重要思路，在證明有關(guān)問題中注意90°

的圓周角的構(gòu)造.

⑵如圖②，在解決求弦長(zhǎng)、弦心距、半徑問題時(shí)，在圓中常作弦心距或連接半徑作為輔助線，利用弦心距、半

徑和半弦組成一個(gè)直角三角形，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.

【典型題4]r如圖,直線AC與。O相交于B、C兩點(diǎn),E是BC的中點(diǎn),D是。O上一點(diǎn)，若NEDA=N

AMD.求證:AD是。O的切線.

【思路分析】本題我們綜合分析，從結(jié)論看，需連接OD,只需要證明ODLAD即可，即要證明/ODE+/

ADM=90。.再從題目條件分析，根據(jù)“E是BC的中點(diǎn)”，所以連接OE，則OELBC,可得出90。;又“/EDA=NAMD”,

又易得/E=/ODE,再經(jīng)過等量轉(zhuǎn)化，即可證明結(jié)論.

【答案解析】證明：如圖，連接OE交BC于點(diǎn)F,連接OD.

O

-4

E

E是是BC的中點(diǎn),，OE，BC.

，ZE+ZEMF=90°.

,?ZEDA=ZAMD,ZAMD=ZEMF,

ZADM+ZE=90°.

VOE=OD,.\ZE=ZODE.

ZODE+ZADM=90°,BPZODA=90°,

.".ODXAD.AAD是。O的切線.

【規(guī)律總結(jié)】輔助線作法

⑴已知切線：連接過切點(diǎn)的半徑；如圖，已知直線AB是。O的切線，點(diǎn)C是切點(diǎn)，連接OC,則OCXAB.

(2)證明切線：①當(dāng)已知直線經(jīng)過圓上的一點(diǎn)時(shí)，連半徑，證垂直；

如圖，已知過圓上一點(diǎn)C的直線AB,連接OC,證明OCLAB,則直線AB是。O的切線.

②如果不知直線與圓是否有交點(diǎn)時(shí)，作垂直，證明垂線段長(zhǎng)度等于半徑；

如圖，過點(diǎn)O作OCLAB,證明OC等于。O的半徑，則直線AB是。O的切線.

【典型題5】★★★如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x與雙曲線y=￡交于A、B兩點(diǎn)，P是以點(diǎn)C(2,

2)為圓心，半徑為1的圓上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,Q為AP的中點(diǎn).若線段OQ長(zhǎng)度的最大值為2,則k的值為()

【思路分析】設(shè)點(diǎn)一根據(jù)距離公式列方程求解.(第三部分會(huì)重點(diǎn)講解該思路方法)

確定OQ是AABP的中位線,OQ的最大值為2,故BP的最大值為4,則BC=BP-PC=4-1=3,則根據(jù)距離公式列

出BC長(zhǎng)度的表達(dá)式即可求解.

【答案解析懈點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，則OQBAABP的中位線，當(dāng)B、C、P三點(diǎn)共線時(shí),PB最大，則0Q=9

最大，而OQ的最大值為2,故BP的最大值為4,則BC=BP-PC=4-1=3,設(shè)點(diǎn)B(m,-m),則BC=(m-2)2+

(―m—2)2=32,解得：m2k=m(—m)=一點(diǎn)選A.

鞏固練習(xí)

【鞏固練習(xí)1]

如圖QA、OB是。O的半徑,點(diǎn)C在。。上，ZAOB=30°,ZOBC=40°,貝!]ZOAC='

【鞏固練習(xí)2]

如圖，在RtAABC中,/ABC=90。,NA=32。,點(diǎn)B、C在。O上邊AB、AC分別交。。于D、E兩點(diǎn)點(diǎn)B是

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=當(dāng)x+乎與0O相交于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在x軸上,則弦AB的

長(zhǎng)為.

【鞏固練習(xí)4]

如圖在AABC中,AB=6以點(diǎn)A為圓心,3為半徑的圓與邊BC相切于點(diǎn)D與AC,AB分別相交于點(diǎn)E和點(diǎn)G,

點(diǎn)F是優(yōu)?。℅E上一點(diǎn),/CDE=18。,則ZGFE的度數(shù)為（）

A.500

B.48°

C.45°

D.36°

【鞏固練習(xí)5]

如圖，在RtAABC中,NACB=90。,以該三角形的三條邊為邊向外作正方形，正方形的頂點(diǎn)E,F,G,H,M,N

都在同一個(gè)圓上.設(shè)該圓面積為SX,AABC面積為Sz,則的值為（）

A.5兀2

B.3K

C.5兀

【鞏固練習(xí)6]

如圖,。O的直徑AB=8,AM,BN是它的兩條切線,DE與。O相切于點(diǎn)E,并與AM,BN分別相交于D,C兩

點(diǎn),BD,OC相交于點(diǎn)F,若CD=10,則BF的長(zhǎng)為（）

D10V17

D.

9

「8V15

9

Dio代

'9

1.【答案】25

【分析】

連接0C,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到Z-BOC=100。,求出乙4OC,,根據(jù)等腰三角形的性

質(zhì)計(jì)算.

【解析】

解：連接OC,

.-.乙OCB=4OBC=40°,

ZBOC=180°-40°x2=100°,

.-.Z.AOC=100°+30°=130°,

???OC=OA,

：.N04C=^OCA=25°,

故答案為:25.

2.如圖，連接DC,

???乙DBC=90°,

ADC是。。的直徑，

:點(diǎn)B是前的中點(diǎn)，

。.乙BCD=乙BDC=45。在.Rt△ABC中,乙ABC=90。,=32°,

AAACB=90°-32°=58°,

AACD=AACB-乙BCD=58°-45°=13°=UBE,

故答案為：13。.

3.過。作?！?28于C,如圖,

「AB為弦，

???AC=BC=\AB,

...直線y=y%+手與。O相交于A,B兩點(diǎn),

.?.當(dāng)y=0時(shí)，f%+^=0,

解得：X=-2,

OA=2,

???當(dāng)x=0時(shí)，y=3,

.?.OD=3,

在.中，由勾股定理

AD=V4O2+。。2=於2+（竽）2=

,.??/,ACO=^AOD=90°,"4。=^OAD

△OAC△DAO,

ACAO□nAC?41—

,.,施=而即AC-第一拿M，

???AB=2AC=2V3,

故答案為：2V3.

4.連接AD,???BC與。A相切于點(diǎn)D,

AAD±BC,

???ZADB=ZADC=90°,

VAB=6,AG=AD=3,

???AD=-AB

2t

：.ZB=30°,

JZGAD=60°,

ZCDE=18°,

.,.ZADE=90°-18°=72°,

VAD=AE,

???ZAED=ZADE=72°,

.*.ZDAE=180°-ZADE-ZAED=180°-72°-72°=36°

JZBAC=ZBAD+ZCAD=60°+36°=96°,

11

???乙GFE=-^GAE=-x960=48°,

22

故選B.

5.如圖，取AB的中點(diǎn)為O,AC的中點(diǎn)為D.連接OE,OG,OD,OC,

設(shè)AB=c,AC=b,BC=a,

則a2+b2=c?,①

取AB的中點(diǎn)為O,

???△ABC是直角三角形，

OA=OB=OC,

?.?圓心在MN和HG的垂直平分線上，

；.0為圓心,

由勾股定理得：

產(chǎn)=(a+?+d)2=c2+(”

由①②得（a=b,

2

2r

a=—2

2

...S]=\nc,s2=^ab=

—=-7TC2十二=5兀，

S244

故選:C.

6.A

【解析】

如圖，根據(jù)題意建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)D作DHJ_BC于H.

VAB是直徑AB=8,

；.0A=0B=4,

：AD,BC,C