2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練：三角形中的倒角模型之雙角平分線（三角形）模型解讀與提分訓(xùn)練（解析版）

專題05三角形中的倒角模型之雙角平分線（三角形）模型

近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和

定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就三類雙角平分線模型

進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒

置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣

才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法

的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中

提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因

為多數(shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾

何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每

一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！

目錄導(dǎo)航

例題講模型

…........................................................................................................................................................2

模型1雙角平分線模型（雙內(nèi)角）......................................................2

模型2.雙角平分線模型（一內(nèi)角一外角）................................................8

模型3.雙角平分線模型（雙外角）

習(xí)題練模型

17

例題講模型］

模型1雙角平分線模型（雙內(nèi)角）

雙角平分線模型1：當(dāng)這兩個(gè)角為內(nèi)角時(shí)，這夾角等于90。與第三個(gè)角的一半的和。

1）兩內(nèi)角平分線的夾角模型

圖1圖2圖3

條件：如圖1,在△A8C中，/4BC和的平分線3P,CP交于點(diǎn)尸；結(jié)論：ZP=90°+1-Z^o

證明：和的平分線3P,CP交于點(diǎn)P,：.ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZACB

22o

ZP=180°-(/PBC+/PCB)=180°-1(NABC+/ACB)=180°-1(180°-//)=90°+-ZAo

222

2)凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型1

條件：如圖2,BP、CP平分N4BC、ZDCB,兩條角平分線相交于點(diǎn)尸；結(jié)論：2/尸=//+/。。

證明：?:BP、CP平分NN2C、NDCB,：.ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZDCB

22o

AZP=180°-(ZPBC+ZPCB)=180°-1(ZABC+ZDCB)=180°-1(360°-Zy4-ZD)=-(ZA+ZD)a

222

即：2NP=NA+ND。

3)凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型2

條件:如圖3,CHOP平分入BCD、/CDE,兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：2ZP=ZA+ZB+ZE-180°=

證明：?:CP、DP平分/BCD、ZCDE,：.ZPCD=-ZBCD,ZPDC=-ZCDE

22o

AZP=180°-(./PCD+/PDC)=180°-1(ZBCD+ZCDE)=180°-1(54Q°-ZA-ZD-ZE)=ZA+ZD+Z

22

￡-90°。即：2/尸=//+/￡>+/￡-180°

模型運(yùn)用

例1.（2023秋?安徽阜陽?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在"BC中，點(diǎn)尸是內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)尸到三邊

的距離相等，若/8尸。=124。，則乙4=.

【分析】由條件可知8尸、C尸平分/N3C和//C3,利用三角形內(nèi)角和可求得/N.

【詳解】解：：點(diǎn)P到。3c三邊的距離相等，

8尸平分CP平分NACB,

4=180°-（/ABC+ZACB）,=180°-2（NPBC+NPCB）

=180°-2x（180°-NBPC）=180°-2xQ80°-124°）=68°故答案為：68°.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)與判定，掌握角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

例2.（2023秋?山西太原?八年級(jí)校考期末）已知：如圖，P是“BC內(nèi)一點(diǎn),連接P8,PC.

⑴猜想：NBPC與/ABP、ZACP,//存在怎樣的等量關(guān)系？證明你的猜想.（2）若N/=69。，PB、PC分

別是//8C、//CB的三等分線，直接利用（1）中結(jié)論，可得/2PC的度數(shù)為一.

【答案】（1"BPC=N4+N4BP+N4CP,證明見解析（2）106°

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到N/+/4BC+//C2=180。，ZBPC+ZCBP+ABCP=180°,再結(jié)合

ZCBP=ZABC-ZABP,NBCP=N/C8-N4C尸即可得至I」結(jié)論；（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角三等分線的

定義得到43C+Z4c5=111。，ZABP=^ZABC,ZACP=^ZACB,再代入（1）中結(jié)論求解即可.

【詳解】（1）解：猜想；/BPC=NA+/ABP+NACP,

證明：由題意得：+ZABC+ZACB=180°,ZBPC+ACBP+ZBCP=180°,

,/NCBP=NABC-ZABP,NBCP=ZACB-ZACP,NBPC+ZABC-NABP+ZACB-ZACP=180°,

，ZBPC+(ZABC+ZACB)-(ZABP+ZACP)=180°,：.ZBPC+180°--(ZABP+ZACP)=180°,

ZBPC=ZA+ZABP+ZACP；

(2)解：：N4=69。，PB、PC分別是/4BC、//CS的三等分線，

AZABC+ZACB=180°-ZA=111°,ZABP=-ZABC,ZACP=-ZACB,

33

NBPC=NN+；(/4BC+N/C5)=69+37=106.故答案為：106°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角三等分線的定義，熟知三角形內(nèi)角和為180度是解題的關(guān)鍵.

例3.(2023秋?河南濮陽?八年級(jí)?？计谀?模型認(rèn)識(shí)：我們學(xué)過三角形的內(nèi)角和等于180。，又知道角平分

線可以把一個(gè)角分成大小相等的兩部分，接下來我們就利用上述知識(shí)進(jìn)行下面的探究活動(dòng).

如圖①，在。3C中，BP、C尸分別是N/3C和N/C8的角平分線.

解決問題：(1)若/ABC=40。，44cs=80。，則/BPC=______；(直接寫出答案)

⑵若NR4C=100。，求出/8PC的度數(shù)；

拓展延伸：(3)如圖②，在四邊形4BCD中，BP、C尸分別是N48C和NOCB的角平分線，直接寫出N3PC

與N/+/D的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)120°(2)140°(3)ZBPC=-(ZA+ZD)

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可得/8PC的度數(shù)；

(2)根據(jù)角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可得N5PC的度數(shù)；

(3)根據(jù)角平分線的定義和四邊形內(nèi)角和定理可得N8PC與NN+ND的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】(1)解：CP分別是/NBC和乙4cB的角平分線，ZABC=40°,/4CB=80。,

：.NPBC=gNABC=gX40°=20°,/PCB=N4CB=gx80°=40°.

AZBPC=180°-ZFSC-ZPCB=180°-20°-40°=120°；故答案為：120°；

(2)；BP、CP分別是/48C和N/C8的角平分線，

/PBC=gNABC,/PCB=gZACB.

AZ5PC=180°-ZP5C-ZPCS=180°-y（180°-NB/C）=90°+yABAC,

'：ZBAC=\0Q°,：.Z5PC=90°+yZ5/lC=90o+yxl00°=140°；

（3）,:BP、CP分別是/48C和4DC5的角平分線，:./PBC=g/ABC,/PCB=；/DCB.

：.ZJgPC=180°-ZPSC-ZPC5=180°-1（360°-ZA-ZD）=yCZA+ZD）.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和公式，此類題目根據(jù)同一個(gè)

解答思路求解是解題的關(guān)鍵.

例4.（23-24八年級(jí)?山東青島?期末）【基礎(chǔ)探究1】（1）如圖1,“8C中，BP平分NABC,CP平分/ACB,

探求ZBPC與N4之間的數(shù)量關(guān)系；

【基礎(chǔ)探究2】（2）如圖2,08c中，BR、是N/8C的三等分線，/、瑪是NZC3的三等分線，

則NBRC與NA之間的數(shù)量關(guān)系是；

【基礎(chǔ)探究3】（3）如圖3,“3C中，BP、、BP］、妣是//3C的四等分線，（與、CR、CR是/ZC8的

四等分線，則/BAC與2/之間的數(shù)量關(guān)系是；

【拓展與探究】（4）如圖4,“3C中，BR、BP?、....BP—、瓦"是//3C的”等分線，C＜、CP2.....

CP?_2、CP-是ZACB的n等分線,請(qǐng)用一個(gè)等式表示/BRC、/BR-C、N4三者之間的數(shù)量關(guān)系是；

【探究與應(yīng)用】（5）“3C中，BP、、BP2、……、即023是/48C的2024等分線，"、CP1、……、CPW23

是//CH的2024等分線，若/廖。與22c的和是//的7倍，則=______°?

AAAA

—C上

圖1圖2圖3圖4

12ZBPC=U5°+^ZA(4)

【答案】（1）/BPC=90°+—/A（2）ZBPC=6f）°+-ZA(3)3

23

ZB^C+ZBP^C=\SCP+ZA（5）105

【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，〃等分線的定義.

，由角平分線得到NPBC=g//3C,

（1）由三角形的內(nèi)角和定理可得443C+//CS=180。-4

NPCB=gzACB,從而ZBPC=180°-ZPBC-ZPCB=180°-^-(ZJ5C+ZACB)=9Q°+ZA；

22

(2)由三等分線可得N48C=1/A8C,APXCB=-AACB,從而

22

ZBPtC=180°-2P、BC-Z^C5=180°-j(ZABC+ZACB)=60°+-ZA；

(3)同(2)思路即可求解；

]F7—1—1]

(4)同(2)(3)思路即可/BqC=—480。+——/A,ZBP^C=——180。+—乙4,兩式相加即可解答；

nnnn

(5)同(4)思路可得/86。+/8鳥022c=180P+//,又NBP,+NBP?2c=/A,即可求得乙4=30。，同

理有/期。/=蝮4800+3"http://,即可解答.

101220242024

【詳解】解：(1)'：ZA+ZABC+ZACB=1SO°,：.ZABC+ZACB^180°-ZA,

'：BPABC,CP平分N4CB,：.ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZACB,

22

ZBPC=180°—NPBC-NPCB=180°--ZABC--ZACB

22

=180°-1(ZylSC+Z^C5)=180°-1(180°-Z^)=90°+1z^.

(2),:BR、8鳥是//3C的三等分線，期、C￡是NNCB的三等分線,

22

ZPBC=-ZABC,NRCB=-ZACB,

1313

922

AZBPXC=180°-ZPXBC-APXCB=180°--ZABC--^CB=180°-y(AABC+ZACB)

222

=180。-§(180。-//)=60。+§//.故答案為：ZBP1C=60°+-ZA

(3)；BP、、BP]、8A是N/8C的四等分線，C＜、CP-瑪是//C5的四等分線，

ZP3BC=^ZABC,ZP3CB=24cB,

:BP3c=180。-/P3BC-HCB=180°-^ZABC-^ACB=180°-；(NABC+N/C3)

=180。-：(180。-//)=135。+：//.故答案為：ZBP3C=\35°+^ZA

(4),:BP、、BP]、……、BP2、8勺_1是/48C的"等分線，C＜、CP?……、CP—、。匕7是//CB的

〃一11n—11

〃等分線，；?/PiBC=——/ABC,NP小BC=—NABC,NRCB=——NACB,?陽=—NACB,

nnnn

H—1pl—1

??.NBP】C=180?！猌PXBC-ZP、CB=180?！?ZABC-—ZACB

nn

n—1〃—IIH—1

=180°--------(ZABC+ZACB)=1SO0--------(180°-4)=-180°+——N4,

nnnn

/BP,—?=180°-%iBC-ZP^CB=180°--ZABC--ZACB

nn

=1SQ0--(ZABC+ZACB)=180°--(180°-ZA}-180°+-Zy4,

nnnn

1n—\n—11

ABPC+ZBP_,C=--180°+——/4+------1800+-ZA=180°+ZA.

Xnnnnn

故答案為：NBRC+/BP,-C=180P+//

(5),:BP、、BP?、.........B/23是//3C的2024等分線，/、CP2,.......、C%m是//酸的2024等分

線,

2022220222

：.ZP.BC=------NABC,NP.BC=-------NABC,ZPCB=-------ZACB,苗22c臺(tái)=----ZACB,

202420222024?2202420222024

20222022

.??NBP1c=180°-ZRBC-ZRCB=180°-^^AABC-^^NACB

20242024

2022/、2022/、22022

=180。-----(ZABC+ZACB}=1SO0----------(180?！狽4)-------180°+-------/A,

20241720241720242024

22

^BP2Q22C=180?！?022BC-ZP202KB=180。-----/ABC----------ZACB

202220242024

2?20222

180°---------(ZABC+ZACB}=1SO0---------(180?！?/)=-----180°+-------,

2024172024v720242024

2202220222

/BP2c+NBRo22c=-180°+------ZA+--------180°+------ZA=180°+ZA

2024202420242024

,:/BP?C+/BP2022c=7/A.-.180°+ZA=7ZAf=30°,

同理可得/J86n2C=2|j80o+2jN/=90o+Jx3()o=105。.故答案為：105

乙u4r*乙u4(乙

模型2.雙角平分線模型（一內(nèi)角一外角）

模型解讀

雙角平分線模型2：當(dāng)這兩個(gè)角為一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角時(shí)，這夾角等于第三個(gè)角的一半。

模型證明

1）一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型

條件:如圖1,在AABC中,AP平分N48C,CP平分/NC8的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)P；結(jié)論：/尸=.

證明：?:BP、CP平分N4BC、ZACD,：.ZPBC=-ZABC,ZPCD=-ZACD

22o

AZP=ZPCD-ZPBC=-（./ACD-/ABC）=-ZAO

22

2）一個(gè)內(nèi)角一個(gè)外角平分線的夾角模型（累計(jì)平分線）

條件：如圖2,ZA=a,AABC.N/CD的平分線相交于點(diǎn)4,4"，與。的平分線相交于點(diǎn)6，AP.BC,

/8CD的平分線相交于點(diǎn)g……以此類推；結(jié)論：的度數(shù)是0.

證明：；BPi、CPi平分/4BC、ZACD,：.ZPBC=-ZABC,ZPCD=-ZACD

22o

ZPi=ZPiCD-ZPiBC=-CZACD-ZABC)=-ZA=Lao同理.ZP2=-ZPI=—a,ZP?=^L

222'2222"

模型運(yùn)用

1.（2023?浙江?八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，OG平分NMCW,點(diǎn)48是射線CW,ON上的點(diǎn)，連接按

以下步驟作圖：

M

G

/cX/、

o"BL）N

①以點(diǎn)3為圓心，任意長為半徑作弧，交于點(diǎn)C,交BN于點(diǎn)。；

②分別以點(diǎn)C和點(diǎn)。為圓心，大于1C。長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E;

2

③作射線BE,交OG于點(diǎn)P.若a13N=140。，AMON=50°,則/OP3的度數(shù)為（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】B

【分析】根據(jù)條件可知5P平分N4BN,則可求出/P8N,根據(jù)OG平分NMON求出/8OG,進(jìn)而利用

2PBN=NPOB+ZOPB即可求出答案.

【詳解】由作法得8P平分乙4BN,/尸8"=,乙48"=工'140。=70。，

22

OG平分AMON，：.ZBOP=-ZNOM=-x50°=25°,

22

,?ZPBN=ZPOB+ZOPB,/.ZOPB=ZPBN-ZPOB=70°-25°=45°.故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義及作法，三角形的外角的性質(zhì)，根據(jù)題目條件發(fā)現(xiàn)角平分線是解題

的關(guān)鍵.

例2.（2023?河北?九年級(jí)專題練習(xí)）問題情境：如圖1,點(diǎn)。是△48C外的一點(diǎn)，點(diǎn)E在3C邊的延長線上,

BD平分/ABC,CD平分/4CE.試探究與//的數(shù)量關(guān)系.

圖1圖1圖3

（1）特例探究：如圖2,若△/8C是等邊三角形，其余條件不變，則/。=；

如圖3,若A/BC是等腰三角形，頂角N/=100。，其余條件不變，則；這兩個(gè)圖中，與//度

數(shù)的比是；（2）猜想證明：如圖1,△/3C為一般三角形，在（1）中獲得的/。與//的關(guān)系是否還

成立？若成立，利用圖1證明你的結(jié)論；若不成立，說明理由.

【答案】（1）30。；50。；1:2（2）成立，見解析

【分析】(1)根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和用//和表示出//CE,再根據(jù)

角平分線的定義得到N4CE=2NDCE,ZABC=2ZDBC,然后整理即可.

(2)根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和用//和表示出//CE,再根據(jù)角平分線

的定義得到N/CE=2NDCE,ZABC=2ZDBC,然后整理即可.

【詳解】(1)解：如圖2,是等邊三角形，.?.N/BC=60。，ZACE=120°,

QBD平分NABC,CD平分NACE.ZDBC=30°,ZDCE=60°,

■：ADCE=AD+ADBC,ZD=30°；

如圖3,???MBC是等腰三角形，=100°,ZABC=ZACB=4CP,ZACE=140°,

QBD平分ZABC,CD平分NACE.ZDBC=20。,ZDCE=70°,

ZDCE=ZD+ZDBC,ZD=50°；故答案為30。，50°,1:2；

(2)解：成立，如圖1,在A48c中，ZACE=ZA+ZABC,

在AD3C中，ZDCE=ZD+ZDBC,…(1)

;CD平分/4CE,BD平分N4BC,：.ZACE=2ZDCE,ZABC=2ZDBC,

又：N4CE=NA+N4BC,2ZDCE=ZA+2ZDBC,…(2)

由(1)x2-(2),：.2ZD+2ZDBC-(ZA+2ZDBC)=0,,-,ZA=2ZD.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、利用三角形的外角性質(zhì)和角平分線的定義解答

是關(guān)鍵.

例3.(2023春?浙江?七年級(jí)專題練習(xí))N/CD是A/BC的外角，N48C的平分線與//CD的平分線交于

點(diǎn)4，/48C的平分線與乙4q。的平分線交于點(diǎn)次，…，N/.TBC的平分線與乙品。。的平分線交于點(diǎn)

An.設(shè)貝?。荨?_________,N4202i=_____________.

An

r較安10

【合茶】,五r

【分析】據(jù)角平分線的定義可得NAiBC=g/ABC,ZAiCD=yZACD,再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與

它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得NACD=NA+NABC,ZAiCD=ZAiBC+ZAi,整理即可求出/Ai的度數(shù)，

同理求出/A2,可以發(fā)現(xiàn)后一個(gè)角等于前一個(gè)角的根據(jù)此規(guī)律即可得解.

【詳解】解：：AiB是NABC的平分線，AC是NACD的平分線，

.".ZAiBC=|ZABC,ZAiCD=yZACD,

XVZACD=ZA+ZABC,ZAiCD=ZAiBC+ZAi,

Ay(ZA+ZABC)=yZABC+ZAi,.".ZA^yZA,

0n°nn

XA=0,/.aZAl=—,同理可得：Z^An=-,**?Z^A2021=^2021,故答案為：~^22021,

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角

平分線的定義，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖然后求出后一個(gè)角是前一個(gè)角的3是解題的關(guān)鍵.

模型3.雙角平分線模型(雙外角)

模型解讀

雙角平分線模型3：當(dāng)這兩個(gè)角為外角時(shí)，這夾角等于90。與第三個(gè)角的一半的差。

模型證明

1)兩外角平分線的夾角模型

條件：如圖1,在ZUBC中，BO,CO是A/BC的外角平分線；結(jié)論：ZO=90°--ZA.

2

證明：?:BO、CO平分/CBE、ZBCF,：.ZOBC=-ZEBC,ZOCB=-ZBCF

22o

AZ0=180°-(/OBC+/OCB)=180°-1(ZEBC+ZBCF)=180°-1CZA+ZACB+ZABC+

22

=180°-1(180°+//)=90°+!//。

22

2)旁心模型旁心：三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)

條件：如圖2,BD平分/ABC,CD平分//C2的外角，兩條角平分線相交于點(diǎn)。；結(jié)論：AD平分/CAD。

證明：如圖3,過點(diǎn)。作DM_LA4、DNLAC、DHLBC,

'：BD平分N/BC,CD平分//C8的外角，

：.DH=DM,DH=DN,：.DM=DN,平分NG4D。，

模型運(yùn)用

例1.(2023.廣東八年級(jí)期中)如圖，在△NBC中，ZB=46°,三角形的外角ND/C和//C/的平分線交于

點(diǎn)、E,則N/EC=.

【答案】67°.

【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出NB/C+/8(N=180。-48=134。，則利用鄰補(bǔ)角定義計(jì)算出/

DAC+ZFCA=\SQ°-ZBAC+1800-ZBCA=226°,再根據(jù)角平分線定義得到JNEC4=g

ZFCA,所以NE/C+NEC4=g(NDAC+NFCA)=113。，后再用三角形內(nèi)角和計(jì)算N/EC的度數(shù).

【詳解】解：VZB=46°,ZBAC+ZBCA=ISO0-46°=134°,

AZDAC+ZFCA=\S0°-ZBAC+1S00-/8。=360°-134°=226°,

■:AE和CE分別平分乙D/C和ZFCA,/EAC=|ZDAC,ZECA=yZFCA,

AZEAC+ZECA=^(ZDAC+ZFCA)=113°,

ZAEC=ISO°-CZEAC+ZECA)=180°-113°=67°.故答案為：67°.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的有關(guān)計(jì)算，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì).在本題解題過程中，有

些角單獨(dú)計(jì)算不出來，所以把兩個(gè)角的和看作一個(gè)整體計(jì)算(如：NBAC+NBCA,NDAC+NFCA),故掌

握整體思想是解決此題的關(guān)鍵.

例2.(2023?安徽宿州?八年級(jí)校聯(lián)考期末)(1)如圖(a),BD平分/ABC,CO平分

①當(dāng)N/=60°時(shí)，求，。的度數(shù).②猜想//與/。有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.

(2)如圖(b),8。平分外角/C8P,CD平分外角/BC0,(1)中②的猜想還正確嗎？如果不正確，請(qǐng)

你直接寫出正確的結(jié)論（不用寫出證明過程）.

A

圖（a）

【答案】（1）①120。；②/D=90°+g//；證明見解析；（2）不正確；ZD=90°-^ZA

【分析】（1）①根據(jù)角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算即可；

②結(jié)論：ZD=90°+yZA.根據(jù)角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理計(jì)算即可；

（2）不正確.結(jié)論：/D=9（F-g/A.根據(jù)角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理三角形的外角的性質(zhì)

計(jì)算即可.

【詳解】解：（1）①?.?//=60。，ZABC+ZL4C5=180°-60°-120S

VZDBC=-ZABC,ZDCB=-ZACB,ZDBC+ZDCB=-x120°=60°,NO=180°-60°=120°；

222

②結(jié)論：ZD=90°+-Z^.理由：ZDBC=-ZABC,ZDCB=-ZACB,

222

ZDBC+ZDCB=|x（ZABC+ZACB）=；（180°一//）=90°-^ZA

ZD=180°-（90°~^ZA）=90°+^ZA；

（2）不正確.結(jié)論：ZD=90°.理由：?;NDBC=（NPBC,NDCB=；NQCB,

:.NDBC+NDCB=gx（ZPBC+NQCB）=g（N4+N4CB+N4+N4BC）=1（180°+Z^）=90°+^ZA,

ZD=180。-（90。+；〃=90。-；4.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型.

例3.（2023秋?貴州遵義?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖（1）,ZCBF,乙4CG是的外角，N/CG的平

分線所在直線與NABC的平分線BD交于點(diǎn)與ZCBF的平分線BE交于點(diǎn)E.⑴若乙4=70°,則/D=_度;

（2）若44=￡，求/￡的度數(shù)；（3）在圖（1）的條件下，沿8/作射線W,連接如圖（2）.求證：AD

平分4c.

M

ADD

E

圖⑴圖⑵

【答案】(1)35。(2)90。-：7(3)見解析

【分析】(1)由角平分線的定義得到〃CG=12/CG,ZDBC=-ZABC,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可

22

得到結(jié)論；(2)根據(jù)角平分線的定義得到/D3C=」443C,NCBE=g/CBF,于是得到/4)8￡=90。,

22

由(1)知根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到/￡=90。-1a；(3)過點(diǎn)。作。于點(diǎn)H,DKVBM

22

于點(diǎn)K,。/_1/。于點(diǎn)/,由角平分線的性質(zhì)可得，DK=DH,DI=DH,則DK=。/,即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)解：平分4CG,BD平分/ABC,：.ZDCG^-ZACG,ZDBC^-ZABC,

22

VZACG=ZA+ZABC,/.2ZDCG=ZACG=ZA+/ABC=ZA+2NDBC,

,/NDCG=ZD+NDBC,2ZDCG=2ND+2NDBC,

:.NA+2NDBC=2ND+2NDBC,：.ZD=-AA=35°；故答案為：35°

2

(2)BD平分ZABC,BE平分NCBF,；.NDBC=-ZABC,NCBE=-ZCBF,

22

?.ZDBC+NCBE=1(ZABC+ZCBF)=90。，；.NDBE=90°,

ND=—N4,Z_A.=a,*'?ND=-a,NE=90°—cc；

222

(3)如圖2,過點(diǎn)。作。H_L3G于點(diǎn)"，DKLBM于點(diǎn)、K,D/_L/C于點(diǎn)/,

圖⑵

:BD平分/4BC,CD平分UCG,?.DK=DH,DI=DH,?.DK=DI,

:DKLBM于點(diǎn)K,D/_L/C于點(diǎn)/,平分4c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的角平分線的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，靈活運(yùn)

用三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例4.（2023?甘肅天水?七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知在A/BC中，圖1,圖2,圖3中的AABC的內(nèi)角平分線或外

角平分線交于點(diǎn)O,

（1）如圖1,點(diǎn)。是A/BC的兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

（2）請(qǐng)直接寫出結(jié)果.如圖2,若//=60。，4/臺(tái)。的內(nèi)角平分線與外角平分線交于點(diǎn)O,則/。=；

如圖3,若乙4=60。，A/BC的兩個(gè)外角平分線交于點(diǎn)。，則/。=.

【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到=NOCB=a4CB,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和

定理得到和△O8C的三個(gè)內(nèi)角的和是180。，對(duì)角度進(jìn)行等價(jià)代換即可；

（2）圖2中，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到=AOCM=\^ACM,再根據(jù)三角形外角的

性質(zhì)得到/O=/OCM-/O3C和4=//CN-/ABC,最后對(duì)角度進(jìn)行等價(jià)代換即可；圖3中，根據(jù)角

平分線的性質(zhì)可以得到NOBC=|APBC,AOCB=；NQCB,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到^ABC和

△OBC的三個(gè)內(nèi)角的和是180。，最后再結(jié)合平角的性質(zhì)對(duì)角度進(jìn)行等價(jià)代換即可.

【詳解】解：（1）ZO=90°+-ZA.

2

證明：：臺(tái)。平分//3C,CO平分//C3,/.AOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,

22

NO=180°-（NO3C+NOC2）=180。-生/g+；//0“

=180°-1（ZABC+Z^C5）=180°-1（180°-Z^）=90°+：//.即/0=90。+3//.

(2)30°；60°.如圖2所示:

:BO平分/ABC,CO平分4cA/,AZOBC=-ZABC,ZOCM=-ZACM,

22

NO=ZOCM-ZOBC=-ZACM--ZABC=-(AACM-NABC)=-ZA.

2222

,/4=60。/.Z0=1z^=1x60°=300.即/O=30。.

如圖3所示：?；BO平分NPBC,CO平分N0C2,AZOBC=-ZPBC,ZOCB=-ZQCB,

~22

ZO=180°-(ZOBC+ZOCB)=18O°—(g/PBC+gN0C“

=180°-1(180°-Z^JBC)+1(180°-Z^CS)=；N4BC+；N4cB

=^(ZABC+ZACB)=1(180°-Z^).

,?N/=60°/.ZO=1(180°-Z^)=1x(180°-60°)=60°.

即NO=60。.故答案為：30°；60°.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是

解題關(guān)鍵，特別注意等價(jià)代換的使用.

習(xí)題練模型

1.（2023春?山東泰安?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，^ABC的外角NACD的平分線CP與內(nèi)角/ABC的平分線BP

交與點(diǎn)P,若/8PC=40。，則/。4尸=（）

A.45°B.60°C.50°D.55°

【答案】C

【分析】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出NA4c的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定證明

RtAPK4^RtAPAM(HL),得出/=尸，即可得出答案.

【詳解】解：延長民4,作PN工BD,PFLBA,PMLAC,設(shè)/PCD=x。，

?；CP平分/4CD,ZACP=ZPCD=,PM=PN,

■：BP^ZABC,AABP=ZPBC,PF=PN,PF=PM,

NBPC=40°,N4BP=NPBC=ZPCD-NBPC=&-40>,

:.ZBAC=ZACD-ZABC=2v°-(r°-40>)-(r°-4CP)=8CP,ZCAF=100°,

—PA

在Rt△0E4和RtZVW中，

[PM=PF

RtAPK4^RtAPA￡4(HL),/.ZFAP=ZPAC=50°.故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識(shí)，根據(jù)角平

分線的性質(zhì)得出尸M=PN=PF是解決問題的關(guān)鍵.

2.（2023?江蘇?八年級(jí)統(tǒng)考期末）A43c中，點(diǎn)。是A48C內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)。到A43c三邊的距離相等；乙4=40。，

貝ijNBOC=()

C.130°D.140°

【解答】解：到三角形三邊距離相等，.是內(nèi)心，

即三條角平分線交點(diǎn)，AO,BO,C。都是角平分線，

ZCBO=ZABO=-/ABC,ZBCO=ZACO=-ZACB,

22

NABC+NACB=180°-40°=140°,ZOBC+ZOCB=70°,

ZJBOC=180°-70°=110°.故選：A.

3.（2023秋?四川綿陽?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在A/BC中，NN=30。，￡為8C延長線上一點(diǎn)，NABC與

//CE的平分線相交于點(diǎn)。，則/。等于（）

15°C.20°D.30°

【答案】B

［分析］先根據(jù)角平分線的定義得到Z1=Z2,Z3=Z4,再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得/I+/2=/3+/4+44,

Z1=Z3+ZD,則2/1=2/3+44,利用等式的性質(zhì)得到,然后把的度數(shù)代入計(jì)算即可.

【詳解】解答：解：???UBC的平分線與N4CE的平分線交于點(diǎn)。，.?./1=N2,Z3=Z4,

VZACE=ZA+ZABC,即Nl+N2=N3+N4+4,二2/1=2/3+//,

：Nl=/3+/D,/.ZD=-Z^=-x30°=15°.故選：B.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，根據(jù)三角形內(nèi)角和是180。

和三角形外角性質(zhì)進(jìn)行分析是解題關(guān)鍵.

4.（2023春?廣東?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知AABC,O是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接OB、OC,將/ABO、

/ACO分別記為Nl、Z2,則/I、/2、/A、/O四個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系是（）

A.Zl+Z0=ZA+Z2B.Z1+Z2+ZA+ZO=180°C.Z1+Z2+ZA+ZO=360°D.Z1+Z2+ZA=ZO

【答案】D

【分析】連接NO并延長，交于點(diǎn)。，由三角形外角的性質(zhì)可知乙ZCOD=ZCAD+

Z2,再把兩式相加即可得出結(jié)論.

【詳解】解：連接/O并延長，交3c于點(diǎn)。，

：N3OD是A/OB的外角，NCOD是ZUOC的外角，

AZBOD=ZBAD+Z10,NCOD=NC4D+N2②,

①+②得，ZBOC=（ZBAD+ZCAD）+Z1+Z2,EPZBOC=ZBAC+Z1+Z2.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解答

此題的關(guān)鍵.