2025年中考數(shù)學(xué)壓軸題二輪復(fù)習(xí)：尺規(guī)作圖（含解析）

第8講尺規(guī)作圖

前言：近來越來越多省市中考題中出現(xiàn)尺規(guī)作圖的影子，尺規(guī)作圖名義上是作圖題，實則蘊藏著推理與計算，

了解每一步作圖背后的原理，會發(fā)現(xiàn)這是個很有趣的話題.

知識導(dǎo)航

尺規(guī)作圖

(1)定義：用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖.

即兩個基本操作：

①過確定兩點畫直線；

②以確定點為圓心，確定的兩點間距離為半徑畫圓.

(2)5種基本作圖

①作一條線段等于已知線段.

作法：作射線AP,以點A為圓心，a為半徑作圓，與射線AP交于點B,則AB=a.

②作一個角等于已知角.

作法：作PC=OB,CD=BA,又：PD=PC=0B=0A,；.4PDC0/XOAB,???ZDPC=ZAOB.

③作已知線段的垂直平分線.

作法：分別以A、B為圓心，線段為半徑作圓，交點是C、D,連接CD.

則直線CD即為線段AB的垂直平分線.

④作已知角的角平分線.

作法：以點。為圓心作圓與角兩邊分別交于A、B，分別以A、B為圓心，r(r"4B)為半徑作圓相交于點C、

D,連接OC(或OD),即為/AOB的角平分線.

⑤過一點作已知直線的垂線.

作法：以點P為圓心作圓與AB交于C、D,分別以C、D為圓心，r(*CD)為半徑作圓交于E、F,連接E

F,EF即為AB的垂線.

引例1：如圖，點M和點N在/AOB內(nèi)部

(1)請你作出點P,使點P到點M和點N的距離相等，且到/AOB兩邊的距離也相等(保留作圖痕跡，不寫

作法)；

(2)點P到M、N距離相等，即點P在線段MN的垂直平分線上，點P到/AOB的兩邊距離相等，即點P

在/AOB的角平分線上，，分別作MN的垂直平分線和/AOB的角平分線，交點即為所求P點.

(3)推理與計算

尺規(guī)作圖的背后，每一步都蘊含著推理與計算，看似是作圖題，實則是幾何問題.確定要作的點或線滿足的特

殊幾何關(guān)系，是解題的關(guān)鍵.

引例2:如例/例D=120°,點A、C分別在射線PB、PD上，ZPAC=30°,AC=2V3

(1)用尺規(guī)在圖中作一段劣弧，使得它在A、C兩點分別與射線PB和PD相切.要求：寫出作法，并保留作圖

痕跡;

⑵求所得的劣弧與線段PA、PC圍成的封閉圖形的面積.

解析：(1)如圖，VZBPD=120°,ZPAC=30°,.,.ZPCA=30°,即APAC是等腰三角形.

分別以A、C為圓心，AC的長為半徑作圓，兩圓交點記為O,連接OA、OC,則OA=OC,以點O為圓心,

0A為半徑作AC,此時與射線PB、PD均相切.

S=2x—x2x2yj3=4y/3,S=-n-（2^）=2n.

OAPC/MOACJOU'7

該劣弧與PA、PC圍成的封閉圖形的面積為4V3-2TT.

2單尺作圖

(1)單尺作圖：僅用無刻度的直尺作圖.

⑵作圖思路：單尺只能作直線，重點分析已知條件，從已有的點、線關(guān)系分析出要求的點、線位置.與尺規(guī)作

圖相比，單尺作圖能做的事情更少，所以需要的條件更多.

引例3:在△ABC中.AB=AC,點A在以BC為直徑的半圓內(nèi).請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖(保留

畫圖痕跡).

(1)在圖1中作弦EF使EF〃BC;

(2)在圖2中以BC為邊作一個45。的圓周角.

圖1圖2

解析：(1)如圖，分別延長BA、CA,與半圓分別交于點F、E,連接EF,則EF〃BC.

(2)分別連接BE、CF并延長交于一點，連接該點與A,與半圓相交，連接B點與交點，則有45。角.

3格點作圖

⑴格點作圖：即在正方形方格紙中按要求完成作圖.

(2)作圖思路：充分發(fā)揮正方形方格紙的作用，可以作平行線、垂線、相等線段等.

引例4:如圖，在7x6的方格中，△ABC的頂點均在格點上.試按要求畫出線段EF(E、F均為格點)，各畫出一條

即

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圖1：E尸平分8c圖2：EFJLAC

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圖3：E尸垂直平分4B

解析：如圖所示.

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圖1：E尸平分BC圖2：EF1AC

圖3：E產(chǎn)垂直平分4B

真題演練

1.如圖，在菱形ABCD中，ZA=30°,取大于jAB的長為半徑，分別以點A、B為圓心作弧相交于兩點，過

此兩點的直線交AD邊于點E（作圖痕跡如圖所示），連接BE、BD.則NEBD的度數(shù)為.

2.如圖，在等腰4ABC中，ABAC=2V5,BC=8,按下列步驟作圖：

①以點A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L度為半徑作弧，分別交AB,AC于點E,F,再分別以點E,F為圓心，大于|EF

的長為半徑作弧相交于點H,作射線AH；

②分別以點A,B為圓心，大于|AB的長為半徑作弧相交于點M,N,作直線MN,交射線AH于點O;

③以點0為圓心，線段0A長為半徑作圓.

3.如圖.在4ABC中，按以下步驟作圖:①以點B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AB、BC于點D、E.

②分別以點D、E為圓心,大于|DE的同樣長為半徑作弧，兩弧交于點F.

③作射線BF交AC于點G.

如果AB=8,BC=12,AABG的面積為18,貝必CBG的面積為.

求作：OO，使它經(jīng)過點B和點C,并且圓心O在/A的平分線上.

C

5.請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

已知：/a,直線1及1上兩點A、B.

求作RtAABC,使點C在直線1的上方，HZABC=90°,ZBAC=Za.

AB

6.已知：如圖,/ABC,射線BC上一點D.求作：等腰△PBD,使線段BD為等腰△PBD的底邊，點P在/ABC

內(nèi)部，且點P到NABC兩邊的距離相等.

7.如圖，已知△ABC,AOAB，/C=45。請用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一點P,使/PBC=45。.（保留作圖痕

跡，不寫作法，答案不唯一）

8.如圖.已知：在正方形ABCD中，M是BC邊上一定點，連接AM.請用尺規(guī)作圖法，在AM上作一點P,使

ADPA-AABM.（不寫作法，保留作圖痕跡）

9.在RtAABC中,ZC=90°.

⑴如圖L點O在斜邊AB上，以點。為圓心，OB長為半徑的圓交AB于點D,交BC于點E,與邊AC相

切于點F.求證：Z1=Z2;

（2）在圖2中作0M，使它滿足以下條件：

①圓心在邊AB上；②經(jīng)過點B;③與邊AC相切.（尺規(guī)作圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）

c

10.(1)如圖1,已知EK垂直平分BC,垂足為D,AB與EK相交于點F,連接CF.

求證：ZAFE=ZCFD.

(2)如圖2,在RtAGMN中,/M=9(T,P為MN的中點.

①用直尺和圓規(guī)在GN邊上求作點Q,使得/GQM=/PQN(保留作圖痕跡，不要求寫作法)；

②在①的條件下，如果NG=60。,那么Q是GN的中點嗎?為什么？

11.如圖，已知△ABC是銳角三角形(AC<AB).

⑴請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：作直線1,使1上的各點到B、C兩點的距離相等；設(shè)直線1與A

B、BC分別交于點M、N,作一個圓，使得圓心O在線段MN上，且與邊AB、BC相切;(不寫作法，保留作圖痕

跡)

(2)在(1)的條件下，若BM=|,BC=2,則。。的半徑為.

12.如圖.點。在/ABC的邊BC上，以O(shè)B為半徑作。O,/ABC的平分線BM交0O于點D,過點D作DE

■LBA于點E.

(1)尺規(guī)作圖(不寫作法，保留作圖痕跡)，補全圖形；

⑵判斷。。與DE交點的個數(shù)，并說明理由.

BA

13.如圖，在四邊形ABCD中，AB〃CD,AB=2CD,E為AB的中點，請僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫

圖(保留畫圖痕跡).

(1)在圖1中，畫出△ABD的BD邊上的中線;

⑵在圖2中，若BA=BD,畫出△ABD的AD邊上的高.

14.在6x6的方格紙中，點A、B、C都在格點上，按要求畫圖：

(1)在圖1中找一個格點D,使以點A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形.

⑵在圖2中僅用無刻度的直尺，把線段AB三等分(保留畫圖痕跡，不寫畫法).

r

—r

L

15.按要求作圖，不要求寫作法，但要保留作圖痕跡.

(1)如圖1,A為。。上一點，請用直尺(不帶刻度)和圓規(guī)作出。O的內(nèi)接正方形；

(2)我們知道，三角形具有性質(zhì)：三邊的垂直平分線相交于同一點，三條角平分線相交于一點，三條中線相交于

一點，事實上，三角形還具有性質(zhì)：三條高所在直線相交于一點.

請運用上述性質(zhì)，只用直尺(不帶刻度)作圖.

①如圖2,在平行四邊形ABCD中，E為CD的中點，作BC的中點F.

②如圖3,在由小正方形組成的4x3的網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在小正方形的頂點上，作△ABC的高AH.

4D

第8講尺規(guī)作圖

1.45°.

角牟析：由題意得：EA=EB,.\ZABE=ZBAE=30°,XZABD=ZADB=75°,AZEBD=45°.

2.D.

解析：勾股定理設(shè)未知數(shù)列方程可得『5,故選D.

3.27.

解析：由題意得BG平分NABC,??.浮=等=*又S.G=18,??.=27.

ScBGBC12

4.解析：如圖.

5.解析：如圖，先構(gòu)造相等角，再過點B作AB的垂線.

7.解析：如圖.

8.解析：如圖，作AN=BM,則△DANgZ\ABM,；.4DPAsZ^ABM.

9.解析：(1)連接OF,則OFLAC,XBCXAC,

.".OF/7BC,.,.ZOFB=Z1,

VOF=OB,.*.ZOFB=Z2,.,.Z1=Z2.

⑵如圖所示.（先作/ABC角平分線，再確定圓心M）

10.解析：(1)VEK垂直平分BC,FB=FC,ZC