2025年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練：圓的切線的證明

2025年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練一圓的切線的證明

1.在VABC中，AB=BC,以AB為直徑的。與AC交于點(diǎn)￡),過(guò)點(diǎn)。作止L3C,交

A3的延長(zhǎng)線于E,垂足為

(1)如圖①，求證：直線DE是。的切線；

(2)如圖②，作OG_LAB于H,交「)0于G,若AB=5,AC=8,求DG的長(zhǎng).

2.如圖，AB為。的直徑，AC是。的一條弦，作NB4C的平分線與。相交于點(diǎn)O,

過(guò)點(diǎn)O作直線DE1AC,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接08.

⑴求證：DE是。的切線.

⑵若AE=6,DE=4,求圓心。到血的距離.

3.如圖，已知48為。的直徑，8C與。相切于點(diǎn)B,AC交。于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸作PEL3c

于點(diǎn)E.已知。4=4,ZC=45°.

⑴求上BAC的度數(shù)及BP的長(zhǎng)度；

⑵求證：PE是：。的切線.

4.如圖，在VA3C中，AB=AC,以AB為直徑的。交BC于點(diǎn)D,DEJ.AC,垂足為E.

B

(1)求證：DE是:。的切線;

(2)若AB=6,4=30。，求DE的長(zhǎng).

5.如圖，VABC內(nèi)接于。，A3是：。的直徑，點(diǎn)E在。上，點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，AE_LCD,

垂足為點(diǎn)D,DC的延長(zhǎng)線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

⑴求證：8是;。的切線；

(2)若0)=6，ZABC=60°,求線段AF的長(zhǎng).

6.如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，AB=8,ZABC=30°,點(diǎn)。在線段A8上運(yùn)動(dòng),

點(diǎn)E與點(diǎn)。關(guān)于8C對(duì)稱，DF_LDE于點(diǎn)D,并交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

求證：

(1)CE=CF；

(2)若AD=2,求證直線所與半圓相切.

7.如圖，PA切：。于點(diǎn)A,AB是。的直徑，(？是＜。上一點(diǎn)，PA=PC=AB,連接尸。

交AC于點(diǎn)。.

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

(2)若3C=2,求AB的長(zhǎng).

8.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于:。，//MB=90。，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且NCED=NC4B.

(2)若AC〃OE,當(dāng)AB=4,DC=2時(shí)，求。E的長(zhǎng).

9.如圖，是以VABC的邊48為直徑的圓，NC=45。，AB=BC=2,AC與。交于

點(diǎn)D.

⑴求證：BC是:。的切線；

⑵求陰影部分面積.

10.如圖，A3是，。的弦，過(guò)圓心。作ODLAB于點(diǎn)。，延長(zhǎng)OD交。于點(diǎn)與過(guò)點(diǎn)A

的。的切線交于點(diǎn)E,連接BE.

⑴求證：3E是「。的切線.

(2)若48=46，DF=2,求線段防的長(zhǎng)及陰影部分的面積.

11.如圖，AB是。。的直徑，C是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)尸在。。上，AD±CD,CD與

0。于點(diǎn)尸，且點(diǎn)尸是弧BE的中點(diǎn).

⑵若BC=5,CF=5A/2,求。。的半徑.

12.如圖，點(diǎn)P在I。外，點(diǎn)A在。上，連接PAOA.過(guò)點(diǎn)尸的直線與。交于C8兩點(diǎn),

半徑ODLBC,垂足為點(diǎn)E,A。交PB于點(diǎn)當(dāng)“=歷時(shí)，解答下列問(wèn)題.

(1)班是否為>0的切線？請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑵若p是PB的中點(diǎn)，EF=1.5,則PC的長(zhǎng)為.

13.如圖，AB是半圓。的直徑，點(diǎn)。是弦AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接3。，BC,ZD=ZABC=60°.

⑴求證：BD是半圓。的切線；

(2)當(dāng)BC=2時(shí)，求陰影部分的面積(用含兀的代數(shù)式表示).

14.如圖，在VABC中，AB=AC,點(diǎn)。在AC上，。經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,分別與BC、AC相交

于點(diǎn)。、E,與2B相切于點(diǎn)G.r>bJ_A3于點(diǎn)P,連接。尸交I。于點(diǎn)

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

E

(1)求證：直線。尸與(0相切；

(2)若AC=16,B尸=2,求圖中陰影部分的面積.

15.如圖，直角三角形ABC中，NC=90。，點(diǎn)E為48上一點(diǎn)，以AE為直徑的。上一點(diǎn)

。在BC上，且平分ZB4c.

(2)若m=4,BE=2,求A3的長(zhǎng).

16.如圖，5。是C。的直徑，A是8。延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在&。上，BCLAE,交AE

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,BC交1。于點(diǎn)尸，且點(diǎn)E是￡)b的中點(diǎn).

⑵若45=5,AE=5垃,求AB的長(zhǎng)度.

17.如圖，直線AB經(jīng)過(guò)。上的點(diǎn)C,并且。4=03,CA=CB.

⑵若、。的半徑為4,AB=10,求Q4的長(zhǎng).

18.如圖1,VABC中，點(diǎn)。為AC邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心，OC為半徑作圓與4B相切于

(1)求證：8C是：。的切線;

⑵若。的半徑為2括，0A=4?,求3C；

⑶在(2)的條件下，如圖2,點(diǎn)E在C。上，若CD=6,求NCED的度數(shù).

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

《2025年1月24日初中數(shù)學(xué)作業(yè)》參考答案

1.(1)見解析

【分析】(1)連接OD,由鉆=3(?,04=0￡),得到-4=/(7,-4=/4￡＞。，則/C=ZADO,

得到OD〃3C,而止，BC,則NC?E=90。,根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)連接8。A8是:。的直徑，根據(jù)圓周角定理的推論得到")5=90。，而AB=BC,則

AZ)=OC=4,在Rt^AZ陽(yáng)中，利用勾股定理可計(jì)算出3。=3,再利用等積法得到

=可計(jì)算出然后根據(jù)垂徑定理即可得解.

【詳解】(1)證明：連接OD,如圖，

AB=BC,

圖①

.-.ZA=ZC,

OA=OD,

:.ZA=ZADO,

:.ZC=ZADO,

：.OD//BC,

DFIBC,

：.ZODE=90°,

，直線OE是。的切線;

(2)解:連接

山?是。的直徑,

:.ZADB=90°,

答案第1頁(yè)，共23頁(yè)

AB=BC,

AD=DCf

AC=8,

AD=4,

在RtAADB中，BD=VAS2-AD2=752-42=3-

QDGLAB于H,

由三角形面積公式，得ABDH=ADDB,

55

AB±DG,

24

DG=2DH=—.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理的推論，垂徑定理以

及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握其性質(zhì)并能正確添加輔助線是解決此題的關(guān)鍵.

2.⑴見解析

【分析】本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.

（1）根據(jù)切線的判定方法，連接OD,證出。DIDE即可；

（2）過(guò)點(diǎn)。作垂足為則OH的長(zhǎng)即為圓心。到弦的距離，先由勾股定

4Z7r）p

理得AO=2癡，進(jìn)而得=A，再證明"后。-"〃。得一=—，即可得OH的長(zhǎng)，

AHOH

即圓心。到AD的距離.

【詳解】（1）證明：如圖，連接OD,

NB4C的平分線與。交于點(diǎn)

ACADABAD,

OA=OD,

:.ZBAD^ZADO,

答案第2頁(yè)，共23頁(yè)

:.ZCAD^ZADO,

:.AC//DO,

DELAC,

:.OD±DE,

又OD是。的半徑，

:.DE是。的切線；

(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作垂足為77,

則OH的長(zhǎng)即為圓心。至U弦AD的距離，且A"=g，

在RtAAED中,AD=^AE2+DE2=A/62+42=2A/13,

2

A。是NBAC的平分線，

:.ZCAD^ZDAB

又一OHYAD,DE±AC,

:.^AED^AAHO,

,AEDE

,64

3

即圓心。到AD的距離為之姮.

3

3.(1)ZS4C=45°,BP=2兀;

(2)見解析.

【分析】(1)連接OP,由切線的性質(zhì)可得/4BC=90。，則/54C=45。，通過(guò)圓周角定理

得ZBOP=2ZBAC=90。，最后由弧長(zhǎng)公式即可求出防的長(zhǎng)度；

(2)由(1)知ZBOP=90°,ZABC=90°,證明四邊形。龐P是矩形，則有NOPE=90。,

最后由切線的判定方法即可求證.

【詳解】(1)解:連接。尸，

答案第3頁(yè)，共23頁(yè)

為。的直徑，與：。相切于點(diǎn)8,

：.ZABC=90°,

,：NC=45°,

，N8AC=45°,

/3O尸=2/SAC=90°,

,Bp=90x￡x4=2

180

(2)證明：由(1)知/fiOP=90。，ZABC=90°,

,：PELBC,

：.ZBEP=90°,

：./BOP=ZABC=ZBEP=90°,

四邊形OBEP是矩形,

ZOPE=90°,

OP±PE,

又：。尸是(。半徑,

:.PE是。的切線.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，矩形的判定與性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式，三角

形的內(nèi)角和定理，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

4.(1)證明見解析

⑵隹

2

【分析】(1)連接則8=03,所以=由AB=AC,得NC=NB,則

ZODB=ZC,所以O(shè)￡>〃AC,則NODE=NCED=90。，即可證明DE是。的切線;

(2)連接AD,由是：。的直徑，得/AD3=/4r)C=90。，由30度角的性質(zhì)可求出

AD=^AC=3,根據(jù)勾股定理求出CD,然后再由30度角的性質(zhì)即可求解.

答案第4頁(yè)，共23頁(yè)

此題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，切線的判定定理，圓周角定理，30度

角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，以及勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）證明：如圖，連接OD.

R

:.ZODB=ZC.

:.OD//AC.

:.NODE=ZDEC.

DELAC,

Z.ODE=NDEC=90°.

0。是。的半徑，

:.DE是。的切線.

(2)如圖，連接AD,由(1)得：

AB是(。的直徑，

:.ZADB=ZADC=90°.

AB=6,ZB=30°,

AAB=AC=6,ZB=ZC=30°,

AD=-AC=-x6=3.

22

在RtADC中，CD=-JAC2-AD2=373.

:.DE=-CD=—.

22

5.(1)見解析

(2)6

【分析】(1)連接OC,由。4=OC,匿=及，推出NOC4=NZMC,得到OC〃AD,由

AE1CD,得到CDLOC,即得；

(2)由直徑性質(zhì)可得NACB=90。，推出NZMC=NA4C=30。，根據(jù)含30。的直角三角形性

質(zhì)得到4。=3,根據(jù)N尸=3。。，得到Ab=6.

答案第5頁(yè)，共23頁(yè)

【詳解】(1)證明：：連接OC,則。4=OC,

ZOAC=ZOCA,

:點(diǎn)C是BE的中點(diǎn)，

:.Kc=&,

...NOAC=/DAC,

：.ZOCA=ZDAC,

：.OC//AD,

?/AEA.CD,

：.CDLOC,

是。的切線；

(2)解：是：。的直徑,

ZACB=90°,

?/ZABC=60°,

ABAC=90°-ZABC=30°,

ZDAC=30°,

；?AC=2^

AD=JAC?-CD?=3,

ZF=90°-(ABAC+ZZMC)=30°,

AF=1AD=6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓與三角形綜合.熟練掌握?qǐng)A周角定理及推論，圓切線的判定.含

30。的直角三角形性質(zhì)，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

6.⑴見解析

答案第6頁(yè)，共23頁(yè)

(2)見解析

【分析】(1)由點(diǎn)E與點(diǎn)。關(guān)于AC對(duì)稱可得CE=CD,再根據(jù)。尸_LDE可得

Z￡DF=90°.從而得出NE+NF=90。，NCDE+NCDF=90。,可得NF=NCDF,最后可

得至UCE=CF；

(2)連接OC,易證△AOC是等邊三角形，AD=OD,根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可求

出NACD,進(jìn)而可求出N￡CO=90。，從而得到斯與半圓相切.

【詳解】(1)證明：連接8,

點(diǎn)石與點(diǎn)。關(guān)于AC對(duì)稱,

CE=CD.

:,ZE=ZCDE.

DF工DE,

:.ZEDF=9Q°.

.?./￡：+NF=90。,ZCDE+ZCDF=90°.

:,ZF=ZCDF.

:.CD=CF.

:.CE=CF；

(2)證明：連接OC,

AB是半圓的直徑,

.\ZACB=90°.

NCB4=30。，

ZCAB=60°

OA=OC,ZCAB=6Q0,

答案第7頁(yè)，共23頁(yè)

，Q4C是等邊三角形.

,\CA=CO,ZACO=60°.

AB為0直徑，AB=8,

AO=4,

AD=2,

/.DO-2.

:.AD=DO.

:.ZACD=ZOCD=30°,

.?.ZBCO=30。，

點(diǎn)石與點(diǎn)。關(guān)于AC對(duì)稱，

ZECB=ZDCB=60°.

「.NECO=9。。.

/.OC1EF.

EF經(jīng)過(guò)半徑OC的外端，且。C，￡F,

直線跖與半圓相切.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、軸對(duì)稱的性質(zhì)、直角三角形的

性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行分析.

7.(1)見解析

⑵2行

【分析】(1)由切線的性質(zhì)得到NX4O=90。，連接OC,證明一K4O空PCO(SSS),得到

ZPCO=ZPAO=90°,則OC_LPC,由OC是。的半徑即可證明結(jié)論；

(2)設(shè)45=2r，貝!|叢=尸。=45=2r,49=3。=「，勾股定理求出PQ=^AO1+B42=V5r>

由等腰三角形的性質(zhì)得到NADP=NB4O=90。，AD=CD,由中位線定理得到

OD=^BC=1,則尸。=0尸一0￡>=石/一1,證明.APZAORl,得到尸T=p￡).po,貝5j

(2r)2=V5r(>/5r-l),求出廠=石，即可得到的長(zhǎng).

【詳解】(I)解：連接OC,

答案第8頁(yè)，共23頁(yè)

???R4切。于點(diǎn)A,AB是(一。的直徑，

AABLAP,即"40=90。，

?.,PA=PCQP=OP,OA=OC,

???PAO^PCO(SSS),

???ZPCO=ZPAO=90°,

：.OCLPC,

???OC是。的半徑，

???PC是。的切線；

(2)設(shè)AB=2〃，則PA=PC=AS=2r,AO=3O=r,

,PO7A(f+p岸=后,

???PAO^PCO,

：.ZAPD=ZCPDf

;PA=PC,

：.OPLAC,

：.ZADP=ZPAO=90°,AD=CD,

：.OD=-BC=1,

2

PD=OP-OD=y/5r-l

'：ZAPD=ZOPAf

/._APD^OPA,

.APPD

??一,

POAP

PA2=PDPO,

則(2療=出《6一1),

解得r=6或廠=0(不合題意，舍去)

，AB=2.r=275

答案第9頁(yè)，共23頁(yè)

【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形

的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，證明."Ds,QR4和PAO^PCO(SSS)

是解題的關(guān)鍵.

8.(1)見解析

Q)DE二小

【分析】本題考查了證明某直線是圓的切線、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合以及勾股定理等

知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)結(jié)論即可.

(I)連接可得3。是。的直徑，推出NDEC+NCDE=90。；根據(jù)NCED=NOLB,可

ZBAC+ZCDE=90°,進(jìn)而得/應(yīng)宏=90。，即可求證；

(2)設(shè)8。與AC交于點(diǎn)R可推出得到CB=AB=4,AF=CF=-AC,證

2

ABDCsADEC^―=—即可求解；

DECD

【詳解】(1)證明：如圖，連接80,

ZBCD=90°,

:.ZDEC+ZCDE=90°,

Z.CED=Z.CAB,

ZBAC+ZCDE=90°,

NBAC=NBDC,

:.ZBDC+ZCDE=90°,

;.NBDE=90°,

即：BD1DE,

0D為。的半徑，

:.DE是。的切線；

(2)解：設(shè)8。與AC交于點(diǎn)F,

答案第10頁(yè)，共23頁(yè)

由（1）知：BD_LDE,

AC//DE,

:.BD±AC,

.\CB=AB=4AF=CF=-AC,

92

在RtABCD中，BD=7BC2+CD2=275，

Q5Q是直徑，

:.ZBCD=90°

:.ZBCD=NECD,ZDBC+ZBDC=9U。

''BDVDE

:.NBDC=90。,

.'.ZEDC-^-ZBDC=90°

,\ZDBC=ZEDC

:.ABDCS/\DEC

BDBC

一示一而

t2A/5_4

,"DE"2

:,DE=y[5

9.(1)見解析

【分析】此題考查了切線的判定，等邊對(duì)等角，求弓形面等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知

識(shí)點(diǎn).

（1）首先根據(jù)等邊對(duì)等角得到NA=NC=45。，然后求出/ABC=90。，即可證明；

（2）如圖所示，連接OD,首先求出NAOD=90。，OA=OB=-AB=\,然后根據(jù)陰影部

分面積=Sv扇形OW-S'OAD代數(shù)求解即可.

【詳解】（1）VZC=45°,AB=BC=2

：.ZA=ZC=45°

：.ZAfiC=90°

,/。是以VABC的邊AB為直徑的圓，

答案第11頁(yè)，共23頁(yè)

是i；。的切線；

(2)如圖所示，連接OD

VZA=45°,OA=OD

：.ZADO=ZOAD=45°

：.ZAOD=90°

OA=OB=-AB=1

2

??陰影部分面積=%扇形。AD一SVOAD=六探4X1X1=7-r

10.(1)證明見解析

⑵防=4,陰影部分的面積為16豆-野

【分析】本題考查圓的綜合運(yùn)用，涉及垂徑定理，切線的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與

性質(zhì)，圓中陰影面積的計(jì)算，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)連接以，利用得出OD垂直平分得出E4=￡B,證明OAE^OBE,

結(jié)合切線的性質(zhì)得出03,座即可證明；

(2)設(shè)。的半徑為x,貝?。軴￡>=O尸-DF=x-2,OB=x,在中，利用

OD2+BD2=032列式求出尤=4,利用sinZOBD=1,求出ZG>BD=30°,則ZBOD=60°,

即可求出OE和8E,則可求出跖，求出NAO3=120°,利用S陰影=S四邊形慮創(chuàng)一8扇形曲即可

求解.

【詳解】(1)解：如圖，連接OB,

AE1為(。的切線,

答案第12頁(yè)，共23頁(yè)

:.OA.LAE,

:.ZOAE=90°.

OD.LAB,

AD=BD，

即。方垂直平分AB,

EA-EB.

在石和AOBE中,

OA=OB

<OE=OE,

EA=EB

OAE^,OBE(SSS),

:"OBE=NOAE=9Q，

:.OB±BE.

又Q03是:「。的半徑，

:.BE是。的切線；

(2)解：設(shè)；。的半徑為x,則OD=O尸尸=x-2,OB=x,

由(1)可知2。=工42=2石.

2

OD2+BD2=OB2,

.-.(X-2)2+(2A/3)2=X2,

解得：x=4,

:.OD=2,OB=4

sinZOBD=—

OB2

ZOBD=30°,

ZBOD=6Q°,

OB

OE=————=2OB=8,BE=OB-tanZBOD=4^,

cos/BOD

.\EF=OE-OF=8-4=4.

^OAE^AOBE,

,\ZAOE=ZBOE=60°

答案第13頁(yè)，共23頁(yè)

.-.ZAOB=120°,

S陰影=S四邊形OBEA_1..rr120X71X4",,/T167t

\K，BOA=2x—x4x4V3-----------=1673——

23603

11.(1)見解析

(2)2.5

【分析】本題考查圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定、勾

股定理等知識(shí)，熟練掌握切線性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

(1)連接0/，先由等腰三角形的性質(zhì)得到/OA尸=NOE4,結(jié)合圓周角定理得到

ZDAF^ZOFA.進(jìn)而證則。'_LCD,然后根據(jù)切線的判定可得結(jié)論；

(2)設(shè)半徑=x,利用勾股定理求解即可.

【詳解】(1)證明：連接0/，

OF=OA,

:.ZOAF^ZOFA,

點(diǎn)b為弧破的中點(diǎn),

:.BF=EF,

:.ZBAF=ZDAF,

:.ZDAF=ZOFA.

OF//AD

ADLCD

(2)解：由(1)得,COP為直角三角形，設(shè)半徑。尸=x

在OC2OF2+CF2,BC=5,CF=5y/2,

(5+X)2=X2+(5A/2)2.

解得x=2.5,

.?.0O的半徑為2.5.

12.(1)上4是。的切線，理由見解析

答案第14頁(yè)，共23頁(yè)

(2)3

【分析】本題考查了圓的切線的判定，等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理：

(1)根據(jù)題意得到3E=CE，ND所=90。，ZPFA=ZPAF,等量代換可得

ZODA+ZEFD=90°=ZOAD+ZPAF,即可證明結(jié)論；

(2)由題意得到BE=CE,=尸產(chǎn)，推出跳;+ER=CF+PC=CE-EF+PC,即2EF=PC,

即可解答.

【詳解】(1)解:總是：。的切線，理由如下：

:半徑OD±BC,

：.BE=CE,ZDEF=90°,

，ZADO+ZEFD=90°,

PA=PF,

NPFA=NPAF,

,/ZEFD=APFA,

，ZEFD=ZPAF,

?/OA=OD,

：.ZODA=ZOAD,

：.Z.ODA+ZEFD=90°=ZOAD+ZPAF,

OA1PA,

,/(M是半徑，

R4是。的切線；

(2)解：：半徑OD，BC,歹是尸3的中點(diǎn)，

BE=CE,BF=PF,

：.BE+EF=CF+PC=CE—EF+PC,即2EB=PC,

EF=1.5,

：.PC=3.

13.⑴見解析

⑵2兀-26

【分析】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角，切線的判定，扇形的面積，熟知相關(guān)性質(zhì)和

計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

答案第15頁(yè)，共23頁(yè)

(1)根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角得到ZACB=90°,進(jìn)而根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出ZBAC=30°,

?ABD90?,即可得證結(jié)論；

(2)根據(jù)30。角的直角三角形的性質(zhì)與勾股定理求出AB=25C=4,

AC=yjAB2-BC2=2-73，根據(jù)$陰影=S半圓°一九迦即可解答.

【詳解】(1)證明：是圓。的直徑，

ZACB=90°,

：.ABAC=90°-ZABC=90°-60°=30°,

ZABD=180°-ZD-ZBAC=180°-60°-30°=90°,

，BDJ.AB,

:AB是半圓。的直徑，

?1?5D是半圓。的切線.

(2)解：：ZACB=90°,ZBAC=30°,

AB=2BC=2x2=4,

AC={ABJBC，=2百,

OB=-AB=2

2

JRt.ABC~=-AC?BC=-x2V3x2=273,

22

11

,S半圓o=—7T-OB29=—229=271,

22

'?§陰影=二S半圓O-SRIJ。=2?-26.

14.(1)證明見解析

9兀

⑵18-萬(wàn)

【分析】(1)連接OD.證明WLOD.由OD是3。的半徑，即可得到結(jié)論;

(2)設(shè)。的半徑為「，連接OG.證明四邊形0?；谿是正方形.得到

AG=16-2-r=14-r,AO=16-r.在RtAAGO中，AG2+GO2=AO2,即

222

(14-r)+r=(16-r),解得r=6,利用S陰影=SVOH-S扇形。切進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖，連接OD.

答案第16頁(yè)，共23頁(yè)

AB=AC,

：.NB=NC.

"：OD=OC,

，NODC=NC

:.NB=NODC,

：.AB//OD.

?：DF±AB,

：.DFA.OD.

是：。的半徑，

二直線D/與。相切.

(2)設(shè)。的半徑為r,連接OG.

V。與AB相切于點(diǎn)G,

OGA.AB.

Z.ODF=Z.DFG=ZFGO=90°,S.OD=OG=r.

，四邊形獷G是正方形.

?：AB=AC=16,BF=2,

：.AG=16—2-r=14—r,AO=16—r.

在RtAAGO中，AG2+GO2=AO2,即(14一廠門+，=(16-r),,

解得r=6(負(fù)值舍去).

1/OF是正方形ODFG的對(duì)角線，

.-.ZDOF=45°,△OD尸是等腰直角三角形.

_&_145TTX62_9TI

一》陰影一、.0DF扇形OTW--XOXO——-16--.

【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定和性質(zhì)、扇形面積公式、正方形的判定和性質(zhì)、勾股定理等

知識(shí)，證明直線￡(尸與：。相切是解題的關(guān)鍵.

15.⑴見解析；

答案第17頁(yè)，共23頁(yè)

(2)8.

【分析】本題考查了切線的判定、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握切線的判定定理、勾股定理是

解題的關(guān)鍵.

(1)連接OD，根據(jù)平行線判定推出AC,推出ODLBC,根據(jù)切線的判定推出即

可；

(2)根據(jù)勾股定理求出OD=Q4=OE=3,再根據(jù)線段的和差求解即可.

【詳解】(1)證明：連接O。，

：.ZOAD=ZODA,

平分/BAC,

:.ZBAD=/CAD,

:.ZODA^ZCAD,

：.OD//AC,

.-.zc+zone=180°,

ZC=90°,

.?.NODC=90°,

:.OD1BC,

.0。為半徑，

；.BC是。切線；

(2)解：設(shè)OD=OE=r,

在RtaODB中，BD=4,BE=2,

:.OB-r+2,

由勾股定理，得:r+42=(r+2)2,

解得：r=3,

：.OD=OA=OE=3,

答案第18頁(yè)，共23頁(yè)

/.AB=6+2=8.

16.(1)見解析

(2)AB=10

【分析】(1)連接OE,根據(jù)同圓中，等弧所對(duì)的圓周角相等得出=石，根據(jù)等

邊對(duì)等角得出4>BE=ZBEO,推得ZEBC=ZBEO,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行得出

BC〃OE,根據(jù)兩直線平行，同位角相等得出OELAC,即可證明；

(2)設(shè)半徑為『，根據(jù)勾股定理可得A^+0^=402,據(jù)此列出方程，解方程求出，?即

可求得答案.

【詳解】(1)證明：如圖，連接OE,

；點(diǎn)E是二尸的中點(diǎn),

?**EF=DE，

:.NEBC=NDBE,

又OB=OE,

：.ZDBE=ZBEO9

：.ZEBC=ZBEO,

：.BC//OE,

又BC±AC于點(diǎn)C,

OELAC于點(diǎn)E,

是。的半徑，

，AC為。的切線；

(2)解：設(shè)；0半徑為廠，則OE=OD=r,AO=OD+AD=r+5,

在RtAAOE中，AE2+OE2=AO2,

/.(5應(yīng)『+產(chǎn)=(廠+5))

解得：r-2.5,

：.BD=5,

答案第19頁(yè)，共23頁(yè)

AB=BD+AD=10.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角性質(zhì)，等邊對(duì)等角，平行線的判定和性質(zhì)，勾股定理，切線的判

定.熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

17.(1)證明見解析

⑵而

【分析】本題主要考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵