2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《四邊形的證明題》專項測試卷（附答案）

2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《四邊形的證明題》專項測試卷（附答案）

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1.如圖1,正方形AB。中，點M是邊A3上的一點（不與點A、。重合），連接

點A、E關(guān)于對稱,連接AE并延長，交于點尸，交CD于點、N.

（2）如圖2,當(dāng)點M為4）中點時，連接￡）尸，求ZDEM的值；

⑶如圖3,連接CE并延長，交的延長線于點G,連接GA,探索線段儂、GB、

GC之間的等量關(guān)系，請寫出關(guān)系式，并加以證明.

2.如圖，四邊形AB8是矩形（4?<AD）,—A43的平分線交BC于點E,交DC的延

長線于點八

（1）求證：BC=DF；

（2）G是）的中點，連接DG,用等式表示線段DA,DC,DG之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明.

3.如圖1,在矩形ABCD中，AD=3,OC=10,點E為AB上一點，且班=9,連接DE

和EC.

⑶如圖2,點/在矩形8c邊上，且CN=1,點尸是折線團上的任意一點，若點

尸到召。的距離為半，直接寫出tan/曲小的值.

4.在VABC和ADEC中，ZACB=ZDCE=90°,AC=BC,DC=EC,旋轉(zhuǎn)ADEC,使點。在

VABC內(nèi).

圖1圖2圖3

(D如圖1,求證：&ADC玨BEC；

(2)當(dāng)AD—CE時，延長AD交8C于點

①如圖2,若AB=3&,CF=1,求BE的長；

②如圖3,連接皿，若點e是BC的中點，判斷線段AD與線段m的數(shù)量關(guān)系，并

說明理由.

5.如圖，在矩形A2CZ)中，AB=4,BC=6,E是BC的中點，連接AE,過點。作

于點F.

(1)求證：AADF^AEAB;

⑵求枕的長.

6.如圖，將矩形繞點4順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AFC萬，點。的對應(yīng)點C恰

好落在CB的延長線上，邊4?交邊C力于點E.

⑵若AB=3,BC=1,求AE的長.

7.如圖，在口A3CD中，點下在對角線AC上，且AB=AF過，點尸作所〃AB、連接班,

使/E=/&4C.

(1)求證：四邊形鉆即是菱形；

(2)若AD=1。，BE=6,tan/CBE=；,求AC的長.

8.如圖，VABC中，M=4C,點。是AC邊上一點，且"BC=ZA,過點C,。分別

作助和8c的平行線，交于點E.

A

⑴求證：LABCSAECD.

⑵當(dāng)AB=9,3c=6時，求CD的長.

9.在四邊形AB。中，AD//BC,對角線AC、區(qū))交于點0,且4O=OC.點石、尸分

別為AD、BC邊上的動點，連結(jié)用.

⑴如圖1,

①求證：△AOD絲△CO3；

②求證：四邊形"CD為平行四邊形；

③跖恰好經(jīng)過點0,當(dāng)￡/“班＞時，如圖2,連接班，若"40=100。，ZDB尸=32。，求

-4/狙的度數(shù).

(2)平移跖，當(dāng)點E與點A重合時，如圖3,將少尸沿反折疊得到AABZ,當(dāng)點片

恰好落在線段帆上時，過點。作DG，M，交所延長線于點G,其中AS=13,DG=12,

BC=15,求線段跖的長.

10.如圖，在矩形A2CZ)中，點石在"邊上，點下在對角線上，連接DE,AF交

于點O,且ZADE=ZS4F.

DC

(1)求證：AF1DE；

⑵判斷“OE與△AED是否相似，并說明理由;

(3)若">=4,AB=6,DF=2FB,求班的長.

11.正方形小CD中，E為A3上一點，F(xiàn)為CB延伸線上一點，且/即8=45。.

(1)求證：AF=CE.

(2)你認為AF與CE有怎樣的位置關(guān)系？說明原因.

12.在DA3C。中，對角線AC與BD相交點。，過點。分別作4B和BC的垂線，垂足

分別為"，M.

⑴如圖1,當(dāng)=時，求證：平行四邊形北8是菱形;

(2)如圖2,當(dāng)/ABC=90。時，若AB=O3,求才的值.

13.如圖1,點G是正方形A5CZ)對角線"?的延長線上任意一點，以線段BG為邊

作一個正方形班尸G,線段CE和AG相交于點

圖1圖2

⑴判斷AG,CE的位置與數(shù)量關(guān)系？并說明理由

⑵若AB=4,BG=2,求CE的長.

(3)如圖2,正方形血尸G繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)0(0＜々＜90。)，連結(jié)AE、CG,"CG與AABE

的面積之差是否會發(fā)生變化？若不變，請求出力CG與AABE的面積之差；若變化，

請說明理由.

14.如圖，在矩形ABCD中，已知AB=8,3C=6,點E為對角線班)上一動點，連接

CE,過點。作bJ_CE,且叱=廣￡,連接股交DC于點G.

(1)求證：AABD^ACEF；

⑵點E運動至M的中點時，求EG的長；

⑶點E從點B運動至點D,直接寫出點尸運動的距離.

15.如圖，正方形ABCD邊長為6,以。C邊向外作等邊△左￡,連接AE交于點廠,

交CD于點G,點尸是線段AE上一動點，連接QP、BP.

(1)求ND4P的度數(shù)；

⑵若DP平分NCDE,求證：CG.DP=PG?BD；

(3)若PF=R,求DP的長.

參考答案

1.(1)見解析

(2)Z￡)fM=45°；

⑶AG+CG=?BG.理由見解析

【詳解】(1)證明：二.點A、E關(guān)于四對稱，

8M垂直平分AE,即ZAfB=90。，

,正方形ABCD,

/.ZBAD=ZD=90°,AB=AD=BC,

ZABM=90°-ZBAF=ZDAN,

/.△ABM絲△DATV(ASA),

：.AN=BM；

(2)解：連接

,點A、￡關(guān)于3M對稱，

.AF=FE,BMIAN,

?點”為A。中點，

.而是VADE的中位線，

?FM//DE,

?ZAED=90°,

?AABM^ADAN,

?ZABF=ZDAE,

?ZAFB=ZAED=90°,AB=AD,

?^ABF^ADAE(AAS),

?DE=AF,

?DE=EF,

?A?跖是等腰直角三角形，

?NDFE=45。ZMFN=ZAFB=90°,

/.ZDFM=45°；

(3)解：AG+CG=y/2BG.理由如下,

連接。石，作出7，CG于點H,

G

AD

,點A、E關(guān)于對稱，

.ZABF=NFBE,AB=BF,

*AB=BC,

.BE=BC,

?BHICG,

?NEBH=NCBH，EH=CH,

.ZFBH=ZFBE+ZEBH=-ZABC=45°,

2

?ZBFE=ZBHE=90°,

?NAEC=180?！?0。—90。—45。=135。，

?ZAEG=180。—135。=45。，

?VEG是等腰直角三角形，

.AF=EF=FG9NBGE=45。,

?△樂和是等腰直角三角形，

正

?ZGAE=450GH=—BG,

92

?△AEG是等腰直角三角形，

?AG=GE,

?CG=GE+EH+CH=AG+2cH,CH=CG-GH=CG--BG,

2

CG=AG+2CH^AG+2CG--BG=AG+2CG-42BG,

I2J

??AG+CG=yf2BG.

2.⑴見解析

(2)DA2+DC2=2DG2,見解析

【詳解】(l)證明：???四邊形"CD是矩形，

:.AB\\CD,AD=BC,

:.ZBAF=NF,

?.?AF平分/ZMB,

:.ZBAF=ZDAF,

:.ZDAF=ZF,

:.AD=DF,

■：AD=BC,

BC=DF-

(2)解：線段DA,DC,DG之間的數(shù)量關(guān)系是：D^+DC2=2DG2.

證明：連接BG,CG,BD.

AB

在RSEb中，G是斯的中點,

:.CG=EG=FG,

vZA￡>F=90°,AD=DF,

.?.4=45。，

，ZFCG=ZF=45°

/.ZCGF=90°,ZBCG=NF=45°,

?/DF=BC,NF=/BCG,CG=GF,

..△BCGmADFG(SAS),

:.BG=DG,ZBGC=ZDGF,

??.ZBGD=ZCGF=90°,

BD=yf2DG,

???BD1=BC2+DC2=D^+DC2,

：.D^+DC1=2DG2.

3.(l)7To；

⑵證明見解析；

⑶tan^BMP的值為2或19.

【詳解】(1)解：:四邊形ABC。是矩形,

ZA=90。，OC=AB=10,

EB=9,

AE=AB—EB=10—9=1,

?*.DE=y/AD^+AE2=V32+l2=而，

故答案為：M；

(2)證明：?.?四邊形ABC。是矩形，

ZL4=Z.B=90°,DC=AB=10,AD=BC=39

.*EB=9,

?空」BC3

"AD~39~EB~9~3

?AEBC

??AD~^E~3'

.AEAD

**BC-BE?

ADAESAEBC?

(3)解：①當(dāng)點尸在BE上時，如圖,

過尸作于點H,

由(2)可知：ADAESAEBC,

/.ZADE=ZBEC9

tanZADE=tan/BEC=-,

3

.,—PH1

..tan/PEH-——.

EH3

EHJM,

2

/.BP=EB-EP=9-5=4,

*/CM=1,

「?BM=BC-CM=3-1=2,

BP4

/.tmZBMP=——=—=2?

BM2'

②當(dāng)點P在。石上時，如圖,

DC

過戶作PN〃AB交CB于點N,交DA于點Q,設(shè)QN與GE交于點0,

/.PQ±DA,PN±CB,

由(2)可知：ADAESAEBC,

/.ZADE=ZBEC9ZADE+ZAED=90°,

/.ZBEC+ZAED=90°9

/.ZDEC=90。,

：.DEICE,

由(i)得：DE=M,

???點尸至I」員的距離為粵,

...PE=叵，

2

,?QN//AB,

：.xDPQ^QEA,

?DQDP

*，~DA~1)E，

??尸為中點，

DP=-DE,

2

.DQDP1

?'1)A~15E~2,

：.DQ=^DA,

?e.。為AD中點，

同理：。為EC中點，N為BC中點,

1113

APQ=-AE=~,CN=-BC=~,

193i

/.PN,MN=CN-CM=——1=—,

222

19

2一

PN9的值

：.tan/3M尸=——1一-

MN21

綜上可知：tan/3Mp的值為2或19.

4.⑴見解析

(2)①斗；②黑=卓，理由見解析

1UZ

【詳解】(1)證明：VZACB=ZDCE=90°,

：.ZACB-NDCB=NDCE-ZDCB,

即ZACD=ZBCE.

"：AC=BC,DC=EC,

：.AADC公ABEC(SAS).

(2)角軋@VZACB=90°,

AC2+BC2=AB2,AC2+CF2=AF2.

"：AC=BC,AB=36,

AC2+AC2=(372)2=18.

..AC=A/9=3.

AF=YIAC2+CF2=^O.

,/AD//CE,

：.ZADC=ZDCE=90°.

：.ZADC=ZACF.

ZDAC=ZCAF,

?ADAC

??AC-AF*

...3工迎

AF10

同（1）可知，AADC與BEC,

BE=AD=^^~.

10

②岑=4，理由如下:

AD2

如圖3,延長AT交BE于點G.

E

?ZBEC=ZADC=90°,AD=BE.

?ZBEC=ZDCE=ZCDG=90°.

?四邊形CDGE是矩形.

CD=CE,

?四邊形CQG￡是正方形.

?CD=EG=DG,NDGE=90°.

.ZCDF=ZBGF=90°,DE=1+EGfEG.

/DFC=/BFG,BF=CF9

?ACDF=ABGF.

?BG=CD.

.BG=EG=；BE,BD=DE.

BD=—BE=—AD.

22

5.（1）見解析

24

（2）。尸=胃

【詳解】（1）°??四邊形”8是矩形

/.ZA=ZB=90°

DF±AE

：."E4=90°=/3

ZBAE+ZDAF=ZBAE+ZAEB

ZDAF=ZAEB

AADFS/XEAB；

(2)VBC=6,E是8C的中點，

BE=-BC=3

2

AE=ylAB2+BE2=5

;在矩形ABC。中，AB=4,BC=6,

：.AD=BC=6

*.*AADF^AEAB

**ADDF'即6DF

.“24

..DF=~.

6.⑴見解析

(2)匕

【詳解】（1）證明：連接A。、AC',如圖,

?.?四邊形"CD為矩形,

/.ZABC=90°,IPABICC,

?.?將矩形A2CD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形ABC力,

/.AC=AC,

：.BC'=BC-

(2)解：?.?將矩形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形ABO,

BC'=BC=AD=1,?D?￡BC090?,

ZAED'=ZC'EB,

：.AAEDAACEB(AAS),

AE=CE,

設(shè)AE=x,貝lj3E=3_x,

由勾股定理得CE2=CB2+BE2,

：.(3-X)2+1=X2,

解得：x=g

AE=|.

7.⑴見解析

(2)475+4

【詳解】(1)證明：-：EF//AB,

:.ZEFB=ZABF,

?-ZE=ZBAC9BF=BF,

.△EFB均ABF(AAS),

:.EF=AB,

二.四邊形ABEF是平行四邊形，

\AB=AF,

二平行四邊形鉆跖是菱形；

(2)解：如圖，過點。作于點

由（1）知四邊形反跖是菱形,

/.BE//AC,

:.ZACB=ZCBE,

??,四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AD//BC,

,\ZDAC=ZACB,

.\ZCBE=ZDAC,

tanZZMC=tanZCBE=-,

2

:.AH^2DH,

由勾股定理可得。爐+(29)2=102,

解得r>H=2石，

/.AH=46,

???四邊形鉆防是菱形，四邊形"8是平行四邊形,

：.CD=AB=BE=6,

在RtZXCD”中，由勾股定理可得=二57=4,

/.AC=AH+CH=4y/5+4.

8.(1)證明見解析

(2)4

【詳解】(1)證明：??,M=AC,

ZABC=ZACB,

?：ZDBC=AA,

NBDC=180。一/BCD-ZDBC=180°-ZBCD-ZA=ZABC,

?.?DE//BC,

:.ZEDC=ZACB,

?:CE〃BD,

:./ECD=NBDC,

:.ZECD=ZABC,

:.△ABCS/\ECD；

(2)解：-DE//BC,CE//BD,

???四邊形3CEQ是平行四邊形，

/.EC=BD,

由(1)可得：ZABC=ZACB=ZBDC,

BC—BD,

：.EC=BC=6,

由(1)可得：AABCSAECD,

.AB_BC

'~EC~~CDJ

「八BCEC6x64

二.CD=------==4,

AB9

即：CD的長為4.

9.(1)①見解析；②見解析；③16。

⑵11

【詳解】(1)①證明：?「AD〃BC,

ZOAD=ZOCB,

在AAOD和ACOB中，

ZOAD=ZOCB

<AO^CO,

ZAOD=NCOB

：.^AOD^^COB(ASA),

②證明：由①得△AOD絲△CO3,

JAD=CB,

又「AD//BC,

???四邊形四CD為平行四邊形；

③角,：*.*AD//BC,ZDBF=32°,

JZ.EDB=ZDBF=32°,

由②得：四邊形"CD為平行四邊形,

OB=OD,

又「EFLBD,

斯是3D的垂直平分線,

BE=DE,

JZEBD=NEDB=32°,

VAD//BC,ZBAD=100°,

：.ZABC=180°-ZBAD=180°-100°=80°,

ZABE=ZABC-Z.EBD-NDBF=80°-32°-32°=16°.

(2)解：:在口ABCD中，AB=13,BC=15,

CD=13,AD=15,

'：AD//BC,

ZDAF=ZAFB,

由折疊知，NAFB=NAFB，,

NDAF=NAFB,

DA=DF=15.

在Rt2\C￡>G中，DG=\2,CD=13,

DG2+CG-=CD-,BPCG2=132-122=25,

CG=5,

在RtAFDG中，F(xiàn)G=yjDF2-DG2=9,

FC=FG-CG=9-5=4,

BF=BC-FC=15-4=11.

10.⑴見解析

⑵AAOE與△AED相似，理由見解析

⑶T

【詳解】（1）證明：「四邊形”8是矩形,

/.^DAE=90°,

ZADE+ZAED=90°,

?.?ZADE=ZBAF9

：??BAF?AED90?,

/.ZAOE=90°9

AFLDE；

（2）AAOE與△曲）相似，

理由是：***NAOE=NZME=900,ZA￡：O=NOEA,

/.NAOE^NDAE；

（3）延長轉(zhuǎn)交于點G,

/.ZDAF=ZBGF.ZADF=ZGBF,

NDAF^NBGF,

又＜DF=2FB,

?ADDFc

??——==2,

BGBF

：.BG=-AD=2

2

*/ZDAE=ZABG,ZADE=ZBAG,

/.AADES.BAG,

?ADAE

?*AB-BG'

?4_A—

*96~~T'

解得AE=：,

414

BE=AB-AE=6——=—

33

11.(1)證明見解析

(2)AF±CE,證明見解析

【詳解】(1)證明：??,正方形ABCO,

■.AB=BC,ZABC=90°,

:.ZEBF=90°,

?;NEFB=45。，

ZFEB=EFB=45°9

:.BE=BF,

???ACBEWAABF,

:.AF=CE-

(2)解：AFA.CE,理由如下，

延長C石交AF于點G,

由(1)得△CBE^^ABF,

;.NCEB=ZAFB,

ZCEB=ZAEG,

,\ZAFB=ZAEG,

?.?ZABF=90°,

:.ZAFB+ZEAG=90°,

.?.ZAEG+NE4G=90。，

ZAG￡=90。，

AF±CE.

12.(1)證明見解析；

⑵也f

vJOM

【詳解】(1)證明：9：OH1AB,OM1BC,OH=OM,

/.O打平分NA6C,

/.ZABD=ZCBD=-ZABC,

2

:四邊形"CD是平行四邊形，

/.AD//BC,

/.ZADB=ZCBD,

/.ZABD=ZADB,

/.AB=AD,

???平行四邊形MS是菱形；

(2)解：:四邊形"CD是平行四邊形，ZABC=90°,

???平行四邊形是矩形，

/.AC=BD.AO=CO=-AC,BO=DO=-BD,

22

/.AO=CO=BO=DO,

?AB=OB,

/.AO=AB=BO,

???VA03是等邊三角形，

/.ZABO=60°,

，ZOBM=30°9

*：OHLAB,OMLBC,

/.ZBHO=ZBMO=90°,

*/ZABC=9Q0,

???四邊形5MOH是矩形，

HB=OM,OB=2OM,

，BM=y)0B2-OM2=y/3OM,

?OH=BM=￡

13.(1)AG±CE,AG=CE9理由見解析

(2)215+2血

(315CG與石的面積之差不變，其值為。

【詳解】(1)解：AG1CE,AG=CE,理由如下:

:四邊形"CD和四邊形3所G都是正方形，

/.AB=CB,BG=BE,ZABC=ZEBG=90°,

/.1ABC2ABE?EBG2ABE,gpZCBE=ZABG,

在"IBG和△CBE中，

AB=CB

<ZABG=ZCBE,

BG=BE

：.AABG%CBE(SAS),

/.AG=CE,/BAG=ZBCE,

如圖，設(shè)MCE交于點。，

.*ZAOH=NCOB,

：.ZAHO=180°-ZAOH-ZBAG=180°-Z.COB-NBCE=ZABC=90°,

AG1CE.

(2)解：如圖，連接AC,與DG交于點”,

G

;四邊形A5CD是正方形，AB=4,

：.ACJ.BD,BM=AM=^AC,BC=AB=4,ZABC=90°,

?*.AC=>JAB2+BC2=4夜，

BM=AM=2A/2,

BG=2,

MG=BM+BG=2s/2+2,

在RtAAMG中，AG=^AM2+MG2=2?+2應(yīng)，

由（1）已證：AG=CE,

CE=2,5+20?

（3）解：如圖，過點A作于點尸，過點c作GB的垂線，交GB延長線于點

/.ZAPB=ZQ=90°9

;四邊形A5CD和四邊形3匹G都是正方形，

/.BE=BG,AB=CB,AB工BC,EB工GB,

/.AABP+AABQ=90°=ZCBQ+ZABQ,

/.ZABP=ZCBQ,

在△ABF和&CBQ中,

ZAPB=ZQ=90°

<ZABP=ZCBQ,

AB=CB

/.AABP^AGB2（AAS）,

???AP=CQ,

***S&BCG=mBGCQ——BE-AP=S4ABE,

所以/OG與△川￡的面積之差不變，其值為0.

14.（1）證明見解析

⑶1

【詳解】(1)證明：:人臺⑺是矩形，AB=8,BC=6,

/.ZBCD=ZBAD=90°,AD=BC,AB=CD=8,BC=AD=6,

?ADBC6_3

??AB~AB~S~4"

9：CFLCE,

ZECF=ZBAD=90°,

3

?/CF=-CE,

.CF_3

??CE"4'

?CF-AD

**CE-AB?

/.AAB*衛(wèi)EF；

(2)解：:在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,

DC=AB=8,ZABD=ZCDB,

在RtABCD中，BD=A/BC2+CD2=10,

丁點石運動至5。的中點時，/BCD=90。,

/.EC=BE=DE=-BD=5,

2

/./ECD=/EDC,

9：AABDSCEF,

/.ZABD=ZCEF,

*/ZABD=ZCDB=ZCEF,

/.ZCDB=ZCEF,即：ZCDE=ZCEG,

/.KDEs△CEG,

?CDDE

**~CE~~EG"

85

即:

5-EG

?*25

?,￡G=T;

(3)解：如圖，在線段CD上取一點使CM=.C=36=：在BC延長線上取一

點、N,使3C=CN=6,連接BM,DN,FM,

.；/BCD=ZMCN=90。,/=黑〈,

△MCNs*CD,

/./CMN=/CBD,

CF3339

——=—,CM=-BC=-x6=-,ZECF=ZBCD=90°,

CE4442

CF3CM

—=—=—,/BCE=ZMCF=9伊一/MCE,

CE4BC

/.AMCFS止C