2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案：5.3 與圓有關(guān)的計(jì)算（學(xué)生版）

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案（全國(guó)版）

第五章圓

5.3與圓有關(guān)的計(jì)算

考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢(shì)

考點(diǎn)1弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算☆☆數(shù)學(xué)中考中，與圓有關(guān)計(jì)算部分，每年考查1

道題分值為分，通常以填空題的形式考察。

考點(diǎn)2圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算☆,3

需要學(xué)生熟練掌握弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算，

對(duì)圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算也不能忽視。不規(guī)則

考點(diǎn)3不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算☆

圖形的面積的計(jì)算問題基本思路就是轉(zhuǎn)化成

規(guī)則圖形的面積計(jì)算。

☆☆☆代表必考點(diǎn)，☆☆代表常考點(diǎn)，☆星表示選考點(diǎn)。

夯實(shí)基礎(chǔ)

考點(diǎn)1.弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算

1.與弧長(zhǎng)相關(guān)的計(jì)算

扇形的弧長(zhǎng)計(jì)算公式為：__________

注意：用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的.

2.與扇形面積相關(guān)的計(jì)算

（1）扇形的定義：圓的一條弧和經(jīng)過這條弧的_____的兩條半徑所圍成的圖形叫作扇形.

如圖，黃色部分是一個(gè)扇形，記作扇形OAB.

nπr21

（2）扇形的面積公式為S==lr．扇形的面積與______、_____有關(guān)。

3602

3.弓形的面積公式

S弓形=S扇形-S三角形S弓形=S扇形+S三角形

考點(diǎn)2.圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算

1.圓柱側(cè)面展開圖可以求解圓柱的表面積

2

S表S側(cè)2S底=2rh2r

2.圓柱的體積：Vr2h

3.圓錐及相關(guān)概念

（1）圓錐的母線：我們把連接圓錐的頂點(diǎn)S和底面圓上任一點(diǎn)的____叫做圓錐的母線．圓錐有無數(shù)

條母線，它們都相等．

（2）圓錐的高：從圓錐的頂點(diǎn)到圓錐底面____之間的距離是圓錐的高．

注意：如果用r表示圓錐底面的半徑,h表示圓錐的高線長(zhǎng),l表示圓錐的母線長(zhǎng),那么r、h、l之

間數(shù)量關(guān)系是：r2+h2=l2

4.圓錐的側(cè)面展開圖

圓錐的側(cè)面展開圖是______。

（1）其側(cè)面展開圖扇形的半徑=母線的長(zhǎng)l

（2）側(cè)面展開圖扇形的弧長(zhǎng)=底面周長(zhǎng)C=2πr，

（3）圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式(r表示圓錐底面的半徑,l表示圓錐的母線長(zhǎng))

（4）圓錐的全面積計(jì)算公式

2

S圓錐全＝側(cè)面積＋底面圓面積=πrl＋πr．

考點(diǎn)3.不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算

求陰影部分面積的幾種常見方法：

（1）公式法；

（2）割補(bǔ)法；

（3）拼湊法；

（4）等積變形構(gòu)造方程法；

（5）去重法．

考點(diǎn)1.弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算

【例題1】（2024安徽?。┤羯刃蜛OB的半徑為6，AOB120，則AB的長(zhǎng)為（）

A.2B.3C.4D.6

【例題2】（2024甘肅威武）甘肅臨夏磚雕是一種歷史悠久的古建筑裝飾藝術(shù)，是第一批國(guó)家級(jí)非物

質(zhì)文化遺產(chǎn)．如圖1是一塊扇面形的臨夏磚雕作品，它的部分設(shè)計(jì)圖如圖2，其中扇形OBC和扇形

OAD有相同的圓心O，且圓心角O100，若OA120cm，OB60cm，則陰影部分的面積

是______cm2．（結(jié)果用π表示）

【變式練1】（2024大連一模）圓心角為90，半徑為3的扇形弧長(zhǎng)為（）

31

A.2B.3C.D.π

22

【變式練2】（2024江蘇連云港一模）如圖，有一個(gè)半徑為2的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)刻度間的弧長(zhǎng)均

相等，過9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（）

23244

A.B.3C.23D.3

32333

考點(diǎn)2.圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算

【例題3】（2024廣州）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為72的扇形，若扇形的半徑l是5，

則該圓錐的體積是（）

3111126

A.πB.πC.26πD.π

883

【變式練1】（2024廣安一模）蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成．下圖是一個(gè)蒙

古包的示意圖，底面圓半徑DE＝2m，圓錐的高AC＝1.5m，圓柱的高CD＝2.5m，則下

列說法錯(cuò)誤的是（）

A．圓柱的底面積為4πm2

B．圓柱的側(cè)面積為10πm2

C．圓錐的母線AB長(zhǎng)為2.25m

D．圓錐的側(cè)面積為5πm2

【變式練2】（2024河南一模）如圖，圓錐底面圓半徑為7cm，高為24cm，則它側(cè)面展開圖的面積

是（）

175π175π

A.cm2B.cm2C.175πcm2D.350πcm2

32

考點(diǎn)3.不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算

【例題4】（2024山東威海）如圖，在扇形AOB中，AOB90，點(diǎn)C是AO的中點(diǎn)．過點(diǎn)C作

CEAO交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EDOB，垂足為點(diǎn)D．在扇形內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落

在陰影部分的概率是（）

1112

A.B.C.D.

4323

【變式練1】（2024廣州一模）如圖，在中，∠，，，將

繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得，將R線t△段???繞點(diǎn)E逆??時(shí)?針=旋9轉(zhuǎn)0°??后=得2線段??=，1分別以RtO△，?E?為?

圓心，、長(zhǎng)為9半0°徑畫弧Rt△和??弧?，連接??，則圖中陰影部分9面0積°是（?）?

??????????

A．πB．C．D．

5?7?

?+52?42?4

考點(diǎn)1.弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算

1.（2024貴州?。┤鐖D，在扇形紙扇中，若AOB150，OA24，則AB的長(zhǎng)為（）

A.30πB.25πC.20πD.10π

2.（2024四川成都市）如圖，在扇形AOB中，OA6，AOB120，則AB的長(zhǎng)為______．

3.（2024河南?。┤鐖D，O是邊長(zhǎng)為43的等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

連接BD，CD．以點(diǎn)D為圓心，BD的長(zhǎng)為半徑在O內(nèi)畫弧，則陰影部分的面積為（）

8π16π

A.B.4πC.D.16π

33

4.（2024重慶市A）如圖，在矩形ABCD中，分別以點(diǎn)A和C為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧

有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．若AD4，則圖中陰影部分的面積為（）

A.328πB.1634π

C.324πD.1638π

5.（2024吉林?。┠承陆▽W(xué)校因場(chǎng)地限制，要合理規(guī)劃體育場(chǎng)地，小明繪制的鉛球場(chǎng)地設(shè)計(jì)圖如圖

所示，該場(chǎng)地由O和扇形OBC組成，OB,OC分別與O交于點(diǎn)A，D．OA1m，OB10m，

AOD40，則陰影部分的面積為______m2（結(jié)果保留π）．

6.（2024深圳）如圖，在矩形ABCD中，BC=2AB，O為BC中點(diǎn)，OEAB4，則扇形EOF

的面積為________．

7.（2024甘肅臨夏）如圖，對(duì)折邊長(zhǎng)為2的正方形紙片ABCD，OM為折痕，以點(diǎn)O為圓心，OM

為半徑作弧，分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)度為______（結(jié)果保留π）．

考點(diǎn)2.圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算

1.（2024黑龍江大慶）如圖所示，一個(gè)球恰好放在一個(gè)圓柱形盒子里，記球的體積為V1，圓柱形盒

V

143

子的容積為V2，則______．（球體體積公式：Vπr，其中r為球體半徑）

V23

2.（2024云南?。┠承＞拍昙?jí)學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐，學(xué)習(xí)編織圓錐型工藝品．若這種圓錐的母線長(zhǎng)為40

厘米，底面圓的半徑為30厘米，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.700π平方厘米B.900π平方厘米

C.1200π平方厘米D.1600π平方厘米

3.（2024黑龍江齊齊哈爾）若圓錐的底面半徑是1cm，它的側(cè)面展開圖的圓心角是直角，則該圓錐

的高為______cm．

4.（2024黑龍江綏化）用一個(gè)圓心角為126，半徑為10cm的扇形作一個(gè)圓錐的側(cè)面，這個(gè)圓錐的

底面圓的半徑為______cm．

5.（2024江蘇鹽城）已知圓錐的底面圓半徑為4，母線長(zhǎng)為5，則圓錐的側(cè)面積是______．

6.（2024山東煙臺(tái)）如圖，在邊長(zhǎng)為6的正六邊形ABCDEF中，以點(diǎn)F為圓心，以FB的長(zhǎng)為半

徑作BD，剪下圖中陰影部分做一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑為________．

7.（2024廣東）綜合與實(shí)踐

【主題】濾紙與漏斗

【素材】如圖1所示：

①一張直徑為10cm的圓形濾紙；

②一只漏斗口直徑與母線均為7cm的圓錐形過濾漏斗．

【實(shí)踐操作】

步驟1：取一張濾紙；

步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；

步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；

步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中．

【實(shí)踐探索】

（1）濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說明．

（2）當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時(shí)，求濾紙圍成圓錐形的體積．（結(jié)果保留π）

考點(diǎn)3.不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算

1.（2024四川遂寧）工人師傅在檢查排污管道時(shí)發(fā)現(xiàn)淤泥堆積．如圖所示，排污管道的橫截面是直

徑為2米的圓，為預(yù)估淤泥量，測(cè)得淤泥橫截面（圖中陰影部分）寬AB為1米，請(qǐng)計(jì)算出淤泥橫截

面的面積（）

1313211

A.πB.πC.π3D.π

6462364

2.（2024黑龍江大慶）如圖所示的曲邊三角形也稱作“萊洛三角形”，它可以按下述方法作出：作

等邊三角形ABC；分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑作BC，AC，AB．三段弧所

圍成的圖形就是一個(gè)曲邊三角形．若該“萊洛三角形”的周長(zhǎng)為3π，則它的面積是______．

3.（2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，ABC內(nèi)接于O，AB為O的直徑，CDAB于點(diǎn)D，將

△CDB沿BC所在的直線翻折，得到CEB，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，延長(zhǎng)EC交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

（1）求證：CF是O的切線；

2

（2）若sinCFB，AB8，求圖中陰影部分的面積．

2

4.（2024山東棗莊）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DAB60，ABBC2AD2．以

點(diǎn)A為圓心，以AD為半徑作DE交AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)B為圓心，以BE為半徑作EF所交BC于點(diǎn)F，

連接FD交EF于另一點(diǎn)G，連接CG．

（1）求證：CG為EF所在圓的切線；

（2）求圖中陰影部分面積．（結(jié)果保留）

考點(diǎn)1.弧長(zhǎng)、扇形面積的計(jì)算

1．某小區(qū)內(nèi)的消防車道有一段彎道，如圖，彎道的內(nèi)外邊緣均為圓弧，，所在圓的圓心為O，

點(diǎn)C，D分別在OA，OB上．已知消防車道半徑OC＝12m，消防車道寬AC＝4m，∠AOB＝120°，

則彎道外邊緣的長(zhǎng)為（）

A．8mB．4mC．mD．m

ππππ

2.某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，PA，PB分別與AMB所在圓相切于點(diǎn)A，B．若該圓半

徑是9cm，∠P＝40°，則AMB的長(zhǎng)是（）

117

A.11cmB.cmC.7cmD.cm

22

3.中國(guó)高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國(guó)現(xiàn)代化建設(shè)的重要標(biāo)志．如圖是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計(jì)的圓

曲線（即圓弧），高鐵列車在轉(zhuǎn)彎時(shí)的曲線起點(diǎn)為A，曲線終點(diǎn)為B，過點(diǎn)A,B的兩條切線相交于

點(diǎn)C，列車在從A到B行駛的過程中轉(zhuǎn)角為60．若圓曲線的半徑OA1.5km，則這段圓曲線AB

的長(zhǎng)為（）．

33

A.kmB.kmC.kmD.km

4248

考點(diǎn)2.圓柱、圓錐的相關(guān)計(jì)算

1．如圖，圓錐底面圓半徑為7cm，高為24cm，則它側(cè)面展開圖的面積是（）

A．cm2B．cm2C．175πcm2D．350πcm2

2．如圖，圓錐的高是4，它的側(cè)面展開圖是圓心角為120°的扇形，則圓錐的側(cè)面積是（結(jié)果

保留）．

π

3.如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為30cm，母線長(zhǎng)為50cm，則煙囪帽的側(cè)面積為_______cm2．（結(jié)

果保留π）

4．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個(gè)扇形，若母線長(zhǎng)l為8cm，扇形的圓心角

90，則圓錐的底面圓半徑r為__________cm．

5．如圖，要用一個(gè)扇形紙片圍成一個(gè)無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計(jì)），若該圓錐的底面圓周長(zhǎng)為

20cm，側(cè)面積為240cm2，則這個(gè)扇形的圓心角的度數(shù)是度．

ππ

6．某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，它的底面圓直徑ED與母線AD長(zhǎng)之比為1：2．制作這種外

包裝需要用如圖所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．將扇形AEF圍成圓錐時(shí)，AE，AF

恰好重合．

（1）求這種加工材料的頂角∠BAC的大?。?/p>

（2）若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留）

π

7.如圖，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分線，且AD＝6，以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)

為半徑畫弧EF，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．

（1）求由弧EF及線段FC.CB.BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積；

（2）將陰影部分剪掉，余下扇形AEF，將扇形AEF圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，AE與AF正好重合，圓錐側(cè)

面無重疊，求這個(gè)圓錐的高h(yuǎn)．

考點(diǎn)3.不規(guī)則圖形的面積的計(jì)算

1.如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，CE⊥OA交弧AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓

心，OC的長(zhǎng)為半徑作弧CD交OB于點(diǎn)D，若OA＝2，則陰影部分的面積為（）

A．B．C．+D．

2.如圖，點(diǎn)A，B，C在O上，ABC40，連接OA，OC．若O的半徑為3，則扇形AOC

（陰影部分）的面積為（）

24

A.B.C.D.2

33

3.如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半

徑作半圓，交AC于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積是．

4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，BC＝2，以點(diǎn)A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，

交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)C，以點(diǎn)B為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E