2025年中考數學一輪復習學案:1.4 二次根式 (教師版)_第1頁
2025年中考數學一輪復習學案:1.4 二次根式 (教師版)_第2頁
2025年中考數學一輪復習學案:1.4 二次根式 (教師版)_第3頁
2025年中考數學一輪復習學案:1.4 二次根式 (教師版)_第4頁
2025年中考數學一輪復習學案:1.4 二次根式 (教師版)_第5頁
已閱讀5頁,還剩14頁未讀, 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內容提供方,若內容存在侵權,請進行舉報或認領

文檔簡介

2025年中考數學一輪復習學案(全國版)

第一章數與式

1.4二次根式

考點分布考查頻率命題趨勢

考點1二次根式的有關概數學中考中,有關二次根式的部分,每年考查1~2道

☆☆

念及性質題,分值為3~6分,通常以選擇題、填空題、解答題

的形式考查。二次根式的運算的考查多是體現在其他

考點2二次根式的運算☆☆☆

解答題里。二次根式的估值雖然不常見,但屬于能力

考點3二次根式的估值☆

亮點問題,估計會成為今后高頻考點。

☆☆☆代表必考點,☆☆代表??键c,☆星表示中頻考點。

夯實基礎

考點1.二次根式的有關概念及性質

1.二次根式的概念

我們把形如a(a0)的式子叫做二次根式.其中符號“”叫做二次根號,二次根號下的數

叫做被開方數.注意:a可以是數,也可以是式.

2.二次根式有意義的條件

要使二次根式a在實數范圍內有意義,即需滿足被開方數a≥0,列不等式求解即可.若二次根式

為分母或二次根式為分式的分母時,應同時考慮分母不為零。

3.最簡二次根式:被開方數所含因數是整數,因式是整式,不含能開得盡方的因數或因式的二次根

式,叫做最簡二次根式.

4.同類二次根式:化成最簡二次根式后,被開方數相同的幾個二次根式,叫做同類二次根式.

5.二次根式的性質

(1)a≥0(a≥0)(二次根式雙重非負性);

【解讀】二次根式a中,a≥0且a≥0,即為二次根式的雙重非負性。

1)正數和零叫做非負數.常見的非負數有|a|,a2,a(a≥0).

2)若幾個非負數的和等于零,則這幾個數都為零.

如:若a2+|b|+c=0,則a2=0,|b|=0,c=0,可得a=b=c=0.中考經常出現利用這個性質來解決

問題。

(2)(a)2a(a0);

a(a0)

(3)a2a0(a0);

a(a0)

(4)abab(a0,b0);

aa

(5)(a0,b0).

bb

【方法總結】歸納總結二次根式問題考點類型及解題方法(十分重要)

【類型1】判斷根式是否是二次根式。判斷一個式子是不是二次根式,要看所給的式子是否具備以下

條件:(1)帶二次根號“”;(2)被開方數是非負數.

【類型2】根據二次根式有意義求字母的取值范圍。含二次根式的式子有意義的條件:

(1)如果一個式子中含有多個二次根式,那么它們有意義的條件是各個二次根式中的被開方數都必須

是非負數;(2)如果所給式子中含有分母,則除了保證二次根式中的被開方數為非負數外,還必須保

證分母不為零.

【類型3】利用二次根式的非負性求解。二次根式和絕對值都具有非負性,幾個非負數的和為0,這

幾個非負數都為0.

【類型4】和二次根式有關的規(guī)律探究性問題。解答規(guī)律探究性問題,都要通過仔細觀察找出字母和

數之間的關系,通過閱讀找出題目隱含條件并用關系式表示出來.

考點2.二次根式的運算

1.二次根式的加減

(1)二次根式的加減:二次根式加減時,可以先將二次根式化為最簡的二次根式,再將被開方數相

同的根式進行合并。

(2)二次根式的混合運算

1)明確運算的順序,即先乘方、開方,再乘除,最后算加減,有括號先算括號里;

2)整式、分式中的運算律、運算法則及乘法公式在二次根式的混合運算中也同樣適用。

2.二次根式的乘除

乘法法則:abab(a0,b0);

aa

除法法則:(a0,b0).

bb

3.二次根式的混合運算

二次根式的混合運算順序與實數的運算順序一樣,先乘方,后乘除,最后加減,有括號的先算括號內

的.在運算過程中,乘法公式和有理數的運算律在二次根式的運算中仍然適用.

【補充拓展】分母有理化

1.分母有理化的概念:

把分母中的根號化去,叫做分母有理化。

2.常見類型:

bbaba

常見類型一:.

aaaa

cc(ab)c(ab)

常見類型二:.

ab(ab)(ab)ab

其中,我們稱nan1是na的“有理化因子”,ab是ab的“有理化因子”.分母有理化

的關鍵是找到分母的“有理化因子”.

3.有理化因式的概念:

兩個含有二次根式的代數式相乘,如果它們的積不含有二次根式,就說這兩個代數式互為有理化因式。

注:二次根式的有理化因式不是唯一的,它們可以相差一個倍數。

4.熟記一些常見的有理化因式:

a的有理化因式是a;

anb的有理化因式是anb;

ab的有理化因式是ab;

manb的有理化因式是manb;

3a3b的有理化因式是3a23ab3b2。

5.分母有理化十法

分母有理化是一種極其重要的恒等變形,它廣泛應用于根式的計算和化簡,除掌握基本方法外,

需根據不同題的特點,靈活應用解法,講求技巧,以達化難為易,化繁為簡的目的。

通常有約分法、通分法、平方法、配方法、拆解法等十種方法。

【二次根式加減乘除運算方法總結】

【類型1】被開方數相同的最簡二次根式。根據同類二次根式的概念求待定字母的值時,應該根據同

類二次根式的概念建立方程或方程組求解.

【類型2】二次根式的加減運算。二次根式相加減,先把各個二次根式化成最簡二次根式,再把被

開方數相同的二次根式進行合并,合并時系數相加減,根式不變.

【類型3】二次根式的化簡求值?;喦笾禃r一般是先化簡為最簡分式或整式,再代入求值.化簡

時不能跨度太大,缺少必要的步驟易造成錯解.

【類型4】二次根式加減運算在實際生活中的應用。利用二次根式來解決生活中的問題,應認真分

析題意,注意計算的正確性與結果的要求.

【二次根式的乘法類型題及解題方法總結】

【類型1】二次根式的乘法法則成立的條件。運用二次根式的乘法法則:a·b=ab(a≥0,b≥

0),必須注意被開方數均是非負數這一條件.

【類型2】二次根式的乘法運算。在運算過程中要注意根號前的因數是帶分數時,必須化成假分數,

如果被開方數有能開得盡方的因數或因式,可先將二次根式化簡后再相乘.

【類型3】積的算術平方根的性質。利用積的算術平方根的性質可以對二次根式進行化簡.

主要運用公式ab=a·b(a≥0,b≥0)和a2=a(a≥0)對二次根式進行化簡.

【類型4】二次根式乘法的綜合應用。把實際問題轉化為數學問題,列出相應的式子進行計算,體現

了轉化思想.

【二次根式的除法問題類型及解題方法總結】

【類型1】二次根式的除法運算。利用二次根式的除法法則進行計算時,可以用“除以一個不為零

的數等于乘這個數的倒數”進行約分化簡.

【類型2】二次根式的乘除混合運算。二次根式乘除混合運算的方法與整式乘除混合運算的方法相

同,在運算時要注意運算符號和運算順序,若被開方數是帶分數,要先將其化為假分數.

b

【類型3】利用商的算術平方根的性質確定字母的取值范圍。運用商的算術平方根的性質:=

a

b

(a>0,b≥0),必須注意被開方數是非負數且分母不等于零這一條件.

a

【類型4】利用商的算術平方根的性質化簡二次根式。被開方數中的帶分數要化為假分數,被開方

數中的分母要化去,即被開方數不含分母,從而化為最簡二次根式.

【類型5】最簡二次根式。解決此題的關鍵是掌握最簡二次根式的定義,最簡二次根式必須滿足兩個

條件:(1)被開方數不含分母;(2)被開方數不含能開得盡方的因數或因式.

【類型6】二次根式除法的綜合運用。解決本題的關鍵是正確運用公式.用二次根式的除法進行運算,

解這類問題時要注意代入數據的單位是否統(tǒng)一.

考點3.二次根式的估值

1.比較二次根式的大小方法

比較兩個二次根式大小的方法:可轉化為比較兩個被開方數的大小,即將根號外的正數平方后移

到根號內,計算出被開方數后,再比較被開方數的大小被開方數大的,其算術平方根也大.也可以采

用平方法.

2.用有理數估算二次根式的大致范圍

用有理數估算二次根式的大致范圍時,一般采用“相鄰平方比較”法,即用兩個相鄰數的平方與被

開方數比較,若被開方數介于這兩個相鄰數的平方之間,則這個二次根式的值就在這兩個相鄰數之間,

估算的精確度可由相鄰數的精確度來確定.

3.二次根式估值一般步驟

(1)一般先對根式進行平方,如(5)25;

(2)找出與平方后所得數相鄰的兩個完全平方數,如4<5<9;

(3)對以上兩個整數開方,如42,93;

(4)這個根式的值在這兩個相鄰整數之間,如2<5<3.

考點1.二次根式的有關概念及性質

【例題1】(2024黑龍江綏化)若式子2m3有意義,則m的取值范圍是()

2332

A.mB.mC.mD.m

3223

【答案】C

【解析】本題考查了二次根式有意義的條件,根據題意可得2m30,即可求解.

∵式子2m3有意義,

∴2m30,

3

解得:m,故選:C.

2

【對點變式練1】(2024內蒙古赤峰市一模)下列各式中,哪些是二次根式,哪些不是二次根式?

311

(1)11;(2)-5;(3)(-7)2;(4)13;(5)-;

56

(6)3-x(x≤3);(7)-x(x≥0);(8)(a-1)2;(9)-x2-5;(10)(a-b)2(ab≥0).

【答案】見解析。

【解析】判斷一個式子是不是二次根式,要看所給的式子是否具備以下條件:(1)帶二次根號“”;

(2)被開方數是非負數.

111

因為11,(-7)2,-=,3-x(x≤3),(a-1)2,(a-b)2(ab≥0)中的根指

5630

3

數都是2,且被開方數為非負數,所以都是二次根式.13的根指數不是2,-5,-x(x≥0),-x2-5

的被開方數小于0,所以不是二次根式.

【對點變式練2】(2024哈爾濱一模)若式子42x在實數范圍內有意義,則x的取值范圍是()

A.x2B.x2C.x2D.x2

【答案】C

【解析】本題考查了二次根式有意義的條件,必須保證被開方數大于等于0.

根據二次根式里面被開方數42x≥0即可求解.

由題意知:被開方數42x≥0,解得:x2.

【對點變式練3】(2024吉林長春一模)若a2|b1|0,則(a+b)2025=.

【答案】1

【解析】根據非負數的意義,求出a、b的值,代入計算即可.

∵a2|b1|0,

∴a-2=0且b+1=0,

解得,a=2,b=-1,

∴(a+b)2020=(2-1)2025=1

考點2.二次根式的運算

3

【例題2】(2024甘肅威武)計算:1812.

2

【答案】0

【解析】根據二次根式的混合運算法則計算即可.

本題考查了二次根式的混合運算,熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

33

1812181218180.

22

【對點變式練1】(2024哈爾濱二模)計算﹣2的結果是.

【答案】2.

【解析】直接化簡二次根式,再合并得出答案.

【解答】解:原式=3﹣2×

=3﹣

=2.

【對點變式練2】(2024沈陽一模)計算18a·2a的結果是________.

【答案】6a

【解析】18a·2a=36a2=6a.

【對點變式練3】(2024湖南一模)化簡:

3c3

(a>0,b>0,c>0).

4a4b2

【答案】見解析。

【解析】運用商的算術平方根的性質,用分子的算術平方根除以分母的算術平方根.

3c33c3c

==3c.

4a4b24a4b22a2b

考點3.二次根式的估值

【例題3】(2024河北?。┮阎猘,b,n均為正整數.

(1)若n10n1,則n______;

(2)若n1an,nbn1,則滿足條件的a的個數總比b的個數少______個.

【答案】①.3②.2

【解析】本題考查的是無理數的估算以及規(guī)律探究問題,掌握探究的方法是解本題的關鍵;

(1)由3104即可得到答案;

(2)由n1,n,n1為連續(xù)的三個自然數,n1an,nbn1,可得

22

n1an2,n2bn1,再利用完全平方數之間的數據個數的特點探究規(guī)

律即可得到答案.

【詳解】解:(1)∵3104,而n10n1,

∴n3;

故答案為:3;

(2)∵a,b,n均為正整數.

∴n1,n,n1為連續(xù)的三個自然數,而n1an,nbn1,

22

∴n1an2,n2bn1,

觀察0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,,

而020,121,224,329,4216,

2

∴n1與n2之間的整數有2n2個,

2

n2與n1之間的整數有2n個,

∴滿足條件的a的個數總比b的個數少2n2n22n2n22(個).

【對點變式練1】(2024遼寧一模)估計的值在()

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

【答案】B

【解析】先寫出21的范圍,再寫出的范圍.

∵16<21<25,

∴4<<5.

【對點變式練2】(2024廣州一模)下列各數中比3大比4小的無理數是()

10

A.10B.17C.3.1D.

3

【答案】A.

【解析】因為9<10<16,所以3<10<4,且10是無理數,故選項A正確.

考點1.二次根式的有關概念及性質

2

1.(2024四川德陽)化簡:3=__________.

【答案】3

【解析】根據二次根式的性質“a2a”進行計算即可得.

2

333.

【點睛】本題考查了化簡二次根式,解題的關鍵是掌握二次根式的性質.

2.(2024江蘇連云港)若式子x2在實數范圍內有意義,則x的取值范圍是_____.

【答案】x2

【解析】根據二次根式被開方數必須是非負數的條件,

要使x2在實數范圍內有意義,必須x20,

∴x2.

3.(2024上海市)已知2x11,則x___________.

【答案】1

【解析】本題主要考查了二次根式有意義的條件,掌握二次根式中的被開方數是非負數是解題的關

鍵.由二次根式被開方數大于0可知2x10,則可得出2x11,求出x即可.

根據題意可知:2x10,

∴2x11,

解得:x1.

考點2.二次根式的運算

1.(2024湖南省)計算27的結果是()

A.27B.72C.14D.14

【答案】D

【解析】此題主要考查了二次根式的乘法,正確計算是解題關鍵.

直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案.

【詳解】2714,故選:D

2

2.(2024四川樂山)已知1x2,化簡x1x2的結果為()

A.1B.1C.2x3D.32x

【答案】B

【解析】本題考查了二次根式的性質,去絕對值,熟練掌握知識點是解題的關鍵.

先根據a2a化簡二次根式,然后再根據1x2去絕對值即可.

2

x1x2x1x2,

∵1x2,

∴x10,x20,

∴x1+x2x1+2x1,

2

∴x1x21,故選:B.

3.(2024山東威海)計算:1286________.

【答案】23

【解析】本題考查了二次根式的混合運算,根據二次根式的性質以及二次根式的乘法進行計算即可求

解.

1286234323.

4.(2024貴州?。┯嬎?3的結果是________.

【答案】6

【解析】利用二次根式的乘法運算法則進行計算.

原式=23=6.

【點睛】本題考查二次根式的乘法運算,掌握二次根式乘法的運算法則abab(a≥0,b>0)

是解題關鍵.

5.(2024天津市)計算111111的結果為___.

【答案】10

【解析】利用平方差公式計算后再加減即可.

原式11110.

【點睛】本題考查了二次根式的混合運算,掌握二次根式的混合運算法則及平方差公式是解題的關鍵.

0

6.(2024河南?。┯嬎悖?5013;

【答案】9

【解析】利用二次根式的乘法法則,二次根式的性質,零指數冪的意義化簡計算即可;

原式1001

101

9

11

7.(2024上海市)計算:|13|242(13)0.

23

【答案】26

【解析】本題考查了絕對值,二次根式,零指數冪等,掌握化簡法則是解題的關鍵.先化簡絕對值,

二次根式,零指數冪,再根據實數的運算法則進行計算.

11

【詳解】|13|242(13)0

23

23

31261

(23)(23)

3126231

26.

考點3.二次根式的估值

1.(2024重慶市A)已知m273,則實數m的范圍是()

A.2m3B.3m4C.4m5D.5m6

【答案】B

【解析】此題考查的是求無理數的取值范圍,二次根式的加減運算,掌握求算術平方根的取值范圍的

方法是解決此題的關鍵.先求出m27312,即可求出m的范圍.

∵m2733332312,

∵3124,

∴3m4,故選:B.

2.(2024四川資陽)若5m10,則整數m的值為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】此題考查了無理數的估算,解題的關鍵是熟練掌握無理數的估算方法.首先確定5和10

的范圍,然后求出整數m的值的值即可.

∵4<5<9,即2<5<3,9<10<16,即3<10<4,

又∵5m10,

∴整數m的值為:3,故選:B.

3.(2024重慶市B)估計1223的值應在()

A.8和9之間B.9和10之間C.10和11之間D.11和12之間

【答案】C

【解析】本題考查的是二次根式的乘法運算,無理數的估算,先計算二次根式的乘法運算,再估算即

可.

∵1223266,

而424265,

∴1026611

4.(2024江蘇鹽城)矩形相鄰兩邊長分別為2cm、5cm,設其面積為Scm2,則S在哪兩個連

續(xù)整數之間()

A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5

【答案】C

【解析】本題主要考查無理數的估算,二次根式的乘法,先計算出矩形的面積S,再利用放縮法估算

無理數大小即可.

S2510,

91016,

91016,

3104,

即S在3和4之間,故選:C.

5.(2024內蒙古赤峰)請寫出一個比5小的整數_____________

【答案】1(或2)

【解析】先估算出5在哪兩個整數之間,即可得到結果.

24593,

滿足條件的數為小于或等于2的整數均可.

點評:解答本題的關鍵是熟知用“夾逼法”估算無理數是常用的估算無理數的方法.

6.(2024深圳)如圖所示,四邊形ABCD,DEFG,GHIJ均為正方形,且S正方形ABCD10,

S正方形GHIJ1,則正方形DEFG的邊長可以是________.(寫出一個答案即可)

【答案】2(答案不唯一)

【解析】本題考查了算術平方根的應用,無理數的估算.利用算術平方根的性質求得ABCD10,

GHGJ1,再根據無理數的估算結合GHDECD,即可求解.

∵S正方形ABCD10,

∴ABCD10,

∵S正方形GHIJ1,

∴GHGJ1,

∵3104,即3CD4,

∴正方形DEFG的邊長GHDECD,即1DE3,

∴正方形DEFG的邊長可以是2.

考點1.二次根式的有關概念及性質

1.若x8在實數范圍內有意義,則實數x的取值范圍是_______.

【答案】x≥8

【解析】根據二次根式有意義的條件,可得x-8≥0,然后進行計算即可解答.

【詳解】解:由題意得:

x-8≥0,

解得:x≥8.

故答案為:x≥8.

【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件,熟練掌握二次根式a(a0)是解題的關鍵.

2.若代數式在實數范圍內有意義,則x的取值范圍是.

【答案】x>3.

【解析】由題意得:2x﹣6>0,

解得:x>3,

【點撥】根據二次根式有意義的條件可得2x﹣6>0,再解即可.

考點2.二次根式的運算

1.下列各式是最簡二次根式的是()

A.B.C.D.

35

【答案13】A12a3

【解析】A.是最簡二次根式,符合題意;

B.2,13不是最簡二次根式,不符合題意;

C.12=|a|3,不是最簡二次根式,不符合題意;

3

D.a=,不a是最簡二次根式,不符合題意.

515

【點3撥=】3利用最簡二次根式定義判斷即可.

135

2.把下列式子(的1)分母有;理(化2:);

22232

【答案】見解析。

【解析】把分母中的根號化去,叫做分母有理化,兩個含有二次根式的代數式相乘,如果它們的積不

含有二次根式,我們說,這兩個代數式互為有理化因子,如2與2,553