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文檔簡介
2025年中考數學一輪復習學案(全國版)
第一章數與式
1.4二次根式
考點分布考查頻率命題趨勢
考點1二次根式的有關概數學中考中,有關二次根式的部分,每年考查1~2道
☆☆
念及性質題,分值為3~6分,通常以選擇題、填空題、解答題
的形式考查。二次根式的運算的考查多是體現在其他
考點2二次根式的運算☆☆☆
解答題里。二次根式的估值雖然不常見,但屬于能力
考點3二次根式的估值☆
亮點問題,估計會成為今后高頻考點。
☆☆☆代表必考點,☆☆代表??键c,☆星表示中頻考點。
夯實基礎
考點1.二次根式的有關概念及性質
1.二次根式的概念
我們把形如a(a0)的式子叫做二次根式.其中符號“”叫做二次根號,二次根號下的數
叫做被開方數.注意:a可以是數,也可以是式.
2.二次根式有意義的條件
要使二次根式a在實數范圍內有意義,即需滿足被開方數a≥0,列不等式求解即可.若二次根式
為分母或二次根式為分式的分母時,應同時考慮分母不為零。
3.最簡二次根式:被開方數所含因數是整數,因式是整式,不含能開得盡方的因數或因式的二次根
式,叫做最簡二次根式.
4.同類二次根式:化成最簡二次根式后,被開方數相同的幾個二次根式,叫做同類二次根式.
5.二次根式的性質
(1)a≥0(a≥0)(二次根式雙重非負性);
【解讀】二次根式a中,a≥0且a≥0,即為二次根式的雙重非負性。
1)正數和零叫做非負數.常見的非負數有|a|,a2,a(a≥0).
2)若幾個非負數的和等于零,則這幾個數都為零.
如:若a2+|b|+c=0,則a2=0,|b|=0,c=0,可得a=b=c=0.中考經常出現利用這個性質來解決
問題。
(2)(a)2a(a0);
a(a0)
(3)a2a0(a0);
a(a0)
(4)abab(a0,b0);
aa
(5)(a0,b0).
bb
【方法總結】歸納總結二次根式問題考點類型及解題方法(十分重要)
【類型1】判斷根式是否是二次根式。判斷一個式子是不是二次根式,要看所給的式子是否具備以下
條件:(1)帶二次根號“”;(2)被開方數是非負數.
【類型2】根據二次根式有意義求字母的取值范圍。含二次根式的式子有意義的條件:
(1)如果一個式子中含有多個二次根式,那么它們有意義的條件是各個二次根式中的被開方數都必須
是非負數;(2)如果所給式子中含有分母,則除了保證二次根式中的被開方數為非負數外,還必須保
證分母不為零.
【類型3】利用二次根式的非負性求解。二次根式和絕對值都具有非負性,幾個非負數的和為0,這
幾個非負數都為0.
【類型4】和二次根式有關的規(guī)律探究性問題。解答規(guī)律探究性問題,都要通過仔細觀察找出字母和
數之間的關系,通過閱讀找出題目隱含條件并用關系式表示出來.
考點2.二次根式的運算
1.二次根式的加減
(1)二次根式的加減:二次根式加減時,可以先將二次根式化為最簡的二次根式,再將被開方數相
同的根式進行合并。
(2)二次根式的混合運算
1)明確運算的順序,即先乘方、開方,再乘除,最后算加減,有括號先算括號里;
2)整式、分式中的運算律、運算法則及乘法公式在二次根式的混合運算中也同樣適用。
2.二次根式的乘除
乘法法則:abab(a0,b0);
aa
除法法則:(a0,b0).
bb
3.二次根式的混合運算
二次根式的混合運算順序與實數的運算順序一樣,先乘方,后乘除,最后加減,有括號的先算括號內
的.在運算過程中,乘法公式和有理數的運算律在二次根式的運算中仍然適用.
【補充拓展】分母有理化
1.分母有理化的概念:
把分母中的根號化去,叫做分母有理化。
2.常見類型:
bbaba
常見類型一:.
aaaa
cc(ab)c(ab)
常見類型二:.
ab(ab)(ab)ab
其中,我們稱nan1是na的“有理化因子”,ab是ab的“有理化因子”.分母有理化
的關鍵是找到分母的“有理化因子”.
3.有理化因式的概念:
兩個含有二次根式的代數式相乘,如果它們的積不含有二次根式,就說這兩個代數式互為有理化因式。
注:二次根式的有理化因式不是唯一的,它們可以相差一個倍數。
4.熟記一些常見的有理化因式:
a的有理化因式是a;
anb的有理化因式是anb;
ab的有理化因式是ab;
manb的有理化因式是manb;
3a3b的有理化因式是3a23ab3b2。
5.分母有理化十法
分母有理化是一種極其重要的恒等變形,它廣泛應用于根式的計算和化簡,除掌握基本方法外,
需根據不同題的特點,靈活應用解法,講求技巧,以達化難為易,化繁為簡的目的。
通常有約分法、通分法、平方法、配方法、拆解法等十種方法。
【二次根式加減乘除運算方法總結】
【類型1】被開方數相同的最簡二次根式。根據同類二次根式的概念求待定字母的值時,應該根據同
類二次根式的概念建立方程或方程組求解.
【類型2】二次根式的加減運算。二次根式相加減,先把各個二次根式化成最簡二次根式,再把被
開方數相同的二次根式進行合并,合并時系數相加減,根式不變.
【類型3】二次根式的化簡求值?;喦笾禃r一般是先化簡為最簡分式或整式,再代入求值.化簡
時不能跨度太大,缺少必要的步驟易造成錯解.
【類型4】二次根式加減運算在實際生活中的應用。利用二次根式來解決生活中的問題,應認真分
析題意,注意計算的正確性與結果的要求.
【二次根式的乘法類型題及解題方法總結】
【類型1】二次根式的乘法法則成立的條件。運用二次根式的乘法法則:a·b=ab(a≥0,b≥
0),必須注意被開方數均是非負數這一條件.
【類型2】二次根式的乘法運算。在運算過程中要注意根號前的因數是帶分數時,必須化成假分數,
如果被開方數有能開得盡方的因數或因式,可先將二次根式化簡后再相乘.
【類型3】積的算術平方根的性質。利用積的算術平方根的性質可以對二次根式進行化簡.
主要運用公式ab=a·b(a≥0,b≥0)和a2=a(a≥0)對二次根式進行化簡.
【類型4】二次根式乘法的綜合應用。把實際問題轉化為數學問題,列出相應的式子進行計算,體現
了轉化思想.
【二次根式的除法問題類型及解題方法總結】
【類型1】二次根式的除法運算。利用二次根式的除法法則進行計算時,可以用“除以一個不為零
的數等于乘這個數的倒數”進行約分化簡.
【類型2】二次根式的乘除混合運算。二次根式乘除混合運算的方法與整式乘除混合運算的方法相
同,在運算時要注意運算符號和運算順序,若被開方數是帶分數,要先將其化為假分數.
b
【類型3】利用商的算術平方根的性質確定字母的取值范圍。運用商的算術平方根的性質:=
a
b
(a>0,b≥0),必須注意被開方數是非負數且分母不等于零這一條件.
a
【類型4】利用商的算術平方根的性質化簡二次根式。被開方數中的帶分數要化為假分數,被開方
數中的分母要化去,即被開方數不含分母,從而化為最簡二次根式.
【類型5】最簡二次根式。解決此題的關鍵是掌握最簡二次根式的定義,最簡二次根式必須滿足兩個
條件:(1)被開方數不含分母;(2)被開方數不含能開得盡方的因數或因式.
【類型6】二次根式除法的綜合運用。解決本題的關鍵是正確運用公式.用二次根式的除法進行運算,
解這類問題時要注意代入數據的單位是否統(tǒng)一.
考點3.二次根式的估值
1.比較二次根式的大小方法
比較兩個二次根式大小的方法:可轉化為比較兩個被開方數的大小,即將根號外的正數平方后移
到根號內,計算出被開方數后,再比較被開方數的大小被開方數大的,其算術平方根也大.也可以采
用平方法.
2.用有理數估算二次根式的大致范圍
用有理數估算二次根式的大致范圍時,一般采用“相鄰平方比較”法,即用兩個相鄰數的平方與被
開方數比較,若被開方數介于這兩個相鄰數的平方之間,則這個二次根式的值就在這兩個相鄰數之間,
估算的精確度可由相鄰數的精確度來確定.
3.二次根式估值一般步驟
(1)一般先對根式進行平方,如(5)25;
(2)找出與平方后所得數相鄰的兩個完全平方數,如4<5<9;
(3)對以上兩個整數開方,如42,93;
(4)這個根式的值在這兩個相鄰整數之間,如2<5<3.
考點1.二次根式的有關概念及性質
【例題1】(2024黑龍江綏化)若式子2m3有意義,則m的取值范圍是()
2332
A.mB.mC.mD.m
3223
【答案】C
【解析】本題考查了二次根式有意義的條件,根據題意可得2m30,即可求解.
∵式子2m3有意義,
∴2m30,
3
解得:m,故選:C.
2
【對點變式練1】(2024內蒙古赤峰市一模)下列各式中,哪些是二次根式,哪些不是二次根式?
311
(1)11;(2)-5;(3)(-7)2;(4)13;(5)-;
56
(6)3-x(x≤3);(7)-x(x≥0);(8)(a-1)2;(9)-x2-5;(10)(a-b)2(ab≥0).
【答案】見解析。
【解析】判斷一個式子是不是二次根式,要看所給的式子是否具備以下條件:(1)帶二次根號“”;
(2)被開方數是非負數.
111
因為11,(-7)2,-=,3-x(x≤3),(a-1)2,(a-b)2(ab≥0)中的根指
5630
3
數都是2,且被開方數為非負數,所以都是二次根式.13的根指數不是2,-5,-x(x≥0),-x2-5
的被開方數小于0,所以不是二次根式.
【對點變式練2】(2024哈爾濱一模)若式子42x在實數范圍內有意義,則x的取值范圍是()
A.x2B.x2C.x2D.x2
【答案】C
【解析】本題考查了二次根式有意義的條件,必須保證被開方數大于等于0.
根據二次根式里面被開方數42x≥0即可求解.
由題意知:被開方數42x≥0,解得:x2.
【對點變式練3】(2024吉林長春一模)若a2|b1|0,則(a+b)2025=.
【答案】1
【解析】根據非負數的意義,求出a、b的值,代入計算即可.
∵a2|b1|0,
∴a-2=0且b+1=0,
解得,a=2,b=-1,
∴(a+b)2020=(2-1)2025=1
考點2.二次根式的運算
3
【例題2】(2024甘肅威武)計算:1812.
2
【答案】0
【解析】根據二次根式的混合運算法則計算即可.
本題考查了二次根式的混合運算,熟練掌握運算法則是解題的關鍵.
33
1812181218180.
22
【對點變式練1】(2024哈爾濱二模)計算﹣2的結果是.
【答案】2.
【解析】直接化簡二次根式,再合并得出答案.
【解答】解:原式=3﹣2×
=3﹣
=2.
【對點變式練2】(2024沈陽一模)計算18a·2a的結果是________.
【答案】6a
【解析】18a·2a=36a2=6a.
【對點變式練3】(2024湖南一模)化簡:
3c3
(a>0,b>0,c>0).
4a4b2
【答案】見解析。
【解析】運用商的算術平方根的性質,用分子的算術平方根除以分母的算術平方根.
3c33c3c
==3c.
4a4b24a4b22a2b
考點3.二次根式的估值
【例題3】(2024河北?。┮阎猘,b,n均為正整數.
(1)若n10n1,則n______;
(2)若n1an,nbn1,則滿足條件的a的個數總比b的個數少______個.
【答案】①.3②.2
【解析】本題考查的是無理數的估算以及規(guī)律探究問題,掌握探究的方法是解本題的關鍵;
(1)由3104即可得到答案;
(2)由n1,n,n1為連續(xù)的三個自然數,n1an,nbn1,可得
22
n1an2,n2bn1,再利用完全平方數之間的數據個數的特點探究規(guī)
律即可得到答案.
【詳解】解:(1)∵3104,而n10n1,
∴n3;
故答案為:3;
(2)∵a,b,n均為正整數.
∴n1,n,n1為連續(xù)的三個自然數,而n1an,nbn1,
22
∴n1an2,n2bn1,
觀察0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,,
而020,121,224,329,4216,
2
∴n1與n2之間的整數有2n2個,
2
n2與n1之間的整數有2n個,
∴滿足條件的a的個數總比b的個數少2n2n22n2n22(個).
【對點變式練1】(2024遼寧一模)估計的值在()
A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間
【答案】B
【解析】先寫出21的范圍,再寫出的范圍.
∵16<21<25,
∴4<<5.
【對點變式練2】(2024廣州一模)下列各數中比3大比4小的無理數是()
10
A.10B.17C.3.1D.
3
【答案】A.
【解析】因為9<10<16,所以3<10<4,且10是無理數,故選項A正確.
考點1.二次根式的有關概念及性質
2
1.(2024四川德陽)化簡:3=__________.
【答案】3
【解析】根據二次根式的性質“a2a”進行計算即可得.
2
333.
【點睛】本題考查了化簡二次根式,解題的關鍵是掌握二次根式的性質.
2.(2024江蘇連云港)若式子x2在實數范圍內有意義,則x的取值范圍是_____.
【答案】x2
【解析】根據二次根式被開方數必須是非負數的條件,
要使x2在實數范圍內有意義,必須x20,
∴x2.
3.(2024上海市)已知2x11,則x___________.
【答案】1
【解析】本題主要考查了二次根式有意義的條件,掌握二次根式中的被開方數是非負數是解題的關
鍵.由二次根式被開方數大于0可知2x10,則可得出2x11,求出x即可.
根據題意可知:2x10,
∴2x11,
解得:x1.
考點2.二次根式的運算
1.(2024湖南省)計算27的結果是()
A.27B.72C.14D.14
【答案】D
【解析】此題主要考查了二次根式的乘法,正確計算是解題關鍵.
直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案.
【詳解】2714,故選:D
2
2.(2024四川樂山)已知1x2,化簡x1x2的結果為()
A.1B.1C.2x3D.32x
【答案】B
【解析】本題考查了二次根式的性質,去絕對值,熟練掌握知識點是解題的關鍵.
先根據a2a化簡二次根式,然后再根據1x2去絕對值即可.
2
x1x2x1x2,
∵1x2,
∴x10,x20,
∴x1+x2x1+2x1,
2
∴x1x21,故選:B.
3.(2024山東威海)計算:1286________.
【答案】23
【解析】本題考查了二次根式的混合運算,根據二次根式的性質以及二次根式的乘法進行計算即可求
解.
1286234323.
4.(2024貴州?。┯嬎?3的結果是________.
【答案】6
【解析】利用二次根式的乘法運算法則進行計算.
原式=23=6.
【點睛】本題考查二次根式的乘法運算,掌握二次根式乘法的運算法則abab(a≥0,b>0)
是解題關鍵.
5.(2024天津市)計算111111的結果為___.
【答案】10
【解析】利用平方差公式計算后再加減即可.
原式11110.
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算,掌握二次根式的混合運算法則及平方差公式是解題的關鍵.
0
6.(2024河南?。┯嬎悖?5013;
【答案】9
【解析】利用二次根式的乘法法則,二次根式的性質,零指數冪的意義化簡計算即可;
原式1001
101
9
11
7.(2024上海市)計算:|13|242(13)0.
23
【答案】26
【解析】本題考查了絕對值,二次根式,零指數冪等,掌握化簡法則是解題的關鍵.先化簡絕對值,
二次根式,零指數冪,再根據實數的運算法則進行計算.
11
【詳解】|13|242(13)0
23
23
31261
(23)(23)
3126231
26.
考點3.二次根式的估值
1.(2024重慶市A)已知m273,則實數m的范圍是()
A.2m3B.3m4C.4m5D.5m6
【答案】B
【解析】此題考查的是求無理數的取值范圍,二次根式的加減運算,掌握求算術平方根的取值范圍的
方法是解決此題的關鍵.先求出m27312,即可求出m的范圍.
∵m2733332312,
∵3124,
∴3m4,故選:B.
2.(2024四川資陽)若5m10,則整數m的值為()
A.2B.3C.4D.5
【答案】B
【解析】此題考查了無理數的估算,解題的關鍵是熟練掌握無理數的估算方法.首先確定5和10
的范圍,然后求出整數m的值的值即可.
∵4<5<9,即2<5<3,9<10<16,即3<10<4,
又∵5m10,
∴整數m的值為:3,故選:B.
3.(2024重慶市B)估計1223的值應在()
A.8和9之間B.9和10之間C.10和11之間D.11和12之間
【答案】C
【解析】本題考查的是二次根式的乘法運算,無理數的估算,先計算二次根式的乘法運算,再估算即
可.
∵1223266,
而424265,
∴1026611
4.(2024江蘇鹽城)矩形相鄰兩邊長分別為2cm、5cm,設其面積為Scm2,則S在哪兩個連
續(xù)整數之間()
A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5
【答案】C
【解析】本題主要考查無理數的估算,二次根式的乘法,先計算出矩形的面積S,再利用放縮法估算
無理數大小即可.
S2510,
91016,
91016,
3104,
即S在3和4之間,故選:C.
5.(2024內蒙古赤峰)請寫出一個比5小的整數_____________
【答案】1(或2)
【解析】先估算出5在哪兩個整數之間,即可得到結果.
24593,
滿足條件的數為小于或等于2的整數均可.
點評:解答本題的關鍵是熟知用“夾逼法”估算無理數是常用的估算無理數的方法.
6.(2024深圳)如圖所示,四邊形ABCD,DEFG,GHIJ均為正方形,且S正方形ABCD10,
S正方形GHIJ1,則正方形DEFG的邊長可以是________.(寫出一個答案即可)
【答案】2(答案不唯一)
【解析】本題考查了算術平方根的應用,無理數的估算.利用算術平方根的性質求得ABCD10,
GHGJ1,再根據無理數的估算結合GHDECD,即可求解.
∵S正方形ABCD10,
∴ABCD10,
∵S正方形GHIJ1,
∴GHGJ1,
∵3104,即3CD4,
∴正方形DEFG的邊長GHDECD,即1DE3,
∴正方形DEFG的邊長可以是2.
考點1.二次根式的有關概念及性質
1.若x8在實數范圍內有意義,則實數x的取值范圍是_______.
【答案】x≥8
【解析】根據二次根式有意義的條件,可得x-8≥0,然后進行計算即可解答.
【詳解】解:由題意得:
x-8≥0,
解得:x≥8.
故答案為:x≥8.
【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件,熟練掌握二次根式a(a0)是解題的關鍵.
2.若代數式在實數范圍內有意義,則x的取值范圍是.
【答案】x>3.
【解析】由題意得:2x﹣6>0,
解得:x>3,
【點撥】根據二次根式有意義的條件可得2x﹣6>0,再解即可.
考點2.二次根式的運算
1.下列各式是最簡二次根式的是()
A.B.C.D.
35
【答案13】A12a3
【解析】A.是最簡二次根式,符合題意;
B.2,13不是最簡二次根式,不符合題意;
C.12=|a|3,不是最簡二次根式,不符合題意;
3
D.a=,不a是最簡二次根式,不符合題意.
515
【點3撥=】3利用最簡二次根式定義判斷即可.
135
2.把下列式子(的1)分母有;理(化2:);
22232
【答案】見解析。
【解析】把分母中的根號化去,叫做分母有理化,兩個含有二次根式的代數式相乘,如果它們的積不
含有二次根式,我們說,這兩個代數式互為有理化因子,如2與2,553