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文檔簡介
2025年中考數學一輪復習學案（全國版）
第一章數與式
1.4二次根式
考點分布考查頻率命題趨勢
考點1二次根式的有關概數學中考中，有關二次根式的部分，每年考查1~2道
☆☆
念及性質題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題、解答題
的形式考查。二次根式的運算的考查多是體現在其他
考點2二次根式的運算☆☆☆
解答題里。二次根式的估值雖然不常見，但屬于能力
考點3二次根式的估值☆
亮點問題，估計會成為今后高頻考點。
☆☆☆代表必考點，☆☆代表?？键c，☆星表示中頻考點。
夯實基礎
考點1.二次根式的有關概念及性質
1.二次根式的概念
我們把形如a(a0)的式子叫做二次根式．其中符號“”叫做二次根號，二次根號下的數
叫做被開方數．注意：a可以是數，也可以是式.
2.二次根式有意義的條件
要使二次根式a在實數范圍內有意義，即需滿足被開方數a≥0，列不等式求解即可.若二次根式
為分母或二次根式為分式的分母時，應同時考慮分母不為零。
3.最簡二次根式：被開方數所含因數是整數，因式是整式，不含能開得盡方的因數或因式的二次根
式，叫做最簡二次根式．
4.同類二次根式：化成最簡二次根式后，被開方數相同的幾個二次根式，叫做同類二次根式．
5．二次根式的性質
（1）a≥0（a≥0）(二次根式雙重非負性)；
【解讀】二次根式a中,a≥0且a≥0,即為二次根式的雙重非負性。
1）正數和零叫做非負數．常見的非負數有|a|，a2，a(a≥0)．
2）若幾個非負數的和等于零，則這幾個數都為零．
如：若a2+|b|+c=0，則a2=0，|b|=0，c=0，可得a=b=c=0．中考經常出現利用這個性質來解決
問題。
（2）(a)2a(a0)；
a(a0)
（3）a2a0(a0)；
a(a0)
（4）abab(a0,b0)；
aa
（5）(a0,b0)．
bb
【方法總結】歸納總結二次根式問題考點類型及解題方法（十分重要）
【類型1】判斷根式是否是二次根式。判斷一個式子是不是二次根式，要看所給的式子是否具備以下
條件：(1)帶二次根號“”；(2)被開方數是非負數．
【類型2】根據二次根式有意義求字母的取值范圍。含二次根式的式子有意義的條件：
(1)如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是各個二次根式中的被開方數都必須
是非負數；(2)如果所給式子中含有分母，則除了保證二次根式中的被開方數為非負數外，還必須保
證分母不為零．
【類型3】利用二次根式的非負性求解。二次根式和絕對值都具有非負性，幾個非負數的和為0，這
幾個非負數都為0.
【類型4】和二次根式有關的規(guī)律探究性問題。解答規(guī)律探究性問題，都要通過仔細觀察找出字母和
數之間的關系，通過閱讀找出題目隱含條件并用關系式表示出來．
考點2.二次根式的運算
1.二次根式的加減
（1）二次根式的加減：二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡的二次根式，再將被開方數相
同的根式進行合并。
（2）二次根式的混合運算
1)明確運算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，有括號先算括號里；
2)整式、分式中的運算律、運算法則及乘法公式在二次根式的混合運算中也同樣適用。
2.二次根式的乘除
乘法法則：abab(a0,b0)；
aa
除法法則：(a0,b0)．
bb
3.二次根式的混合運算
二次根式的混合運算順序與實數的運算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號的先算括號內
的．在運算過程中，乘法公式和有理數的運算律在二次根式的運算中仍然適用．
【補充拓展】分母有理化
1.分母有理化的概念：
把分母中的根號化去，叫做分母有理化。
2.常見類型：
bbaba
常見類型一：．
aaaa
cc(ab)c(ab)
常見類型二：．
ab(ab)(ab)ab
其中，我們稱nan1是na的“有理化因子”，ab是ab的“有理化因子”．分母有理化
的關鍵是找到分母的“有理化因子”．
3.有理化因式的概念：
兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就說這兩個代數式互為有理化因式。
注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它們可以相差一個倍數。
4.熟記一些常見的有理化因式：
a的有理化因式是a；
anb的有理化因式是anb；
ab的有理化因式是ab；
manb的有理化因式是manb；
3a3b的有理化因式是3a23ab3b2。
5.分母有理化十法
分母有理化是一種極其重要的恒等變形，它廣泛應用于根式的計算和化簡，除掌握基本方法外，
需根據不同題的特點，靈活應用解法，講求技巧，以達化難為易，化繁為簡的目的。
通常有約分法、通分法、平方法、配方法、拆解法等十種方法。
【二次根式加減乘除運算方法總結】
【類型1】被開方數相同的最簡二次根式。根據同類二次根式的概念求待定字母的值時，應該根據同
類二次根式的概念建立方程或方程組求解．
【類型2】二次根式的加減運算。二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被
開方數相同的二次根式進行合并，合并時系數相加減，根式不變．
【類型3】二次根式的化簡求值?；喦笾禃r一般是先化簡為最簡分式或整式，再代入求值．化簡
時不能跨度太大，缺少必要的步驟易造成錯解．
【類型4】二次根式加減運算在實際生活中的應用。利用二次根式來解決生活中的問題，應認真分
析題意，注意計算的正確性與結果的要求．
【二次根式的乘法類型題及解題方法總結】
【類型1】二次根式的乘法法則成立的條件。運用二次根式的乘法法則：a·b＝ab(a≥0，b≥
0)，必須注意被開方數均是非負數這一條件．
【類型2】二次根式的乘法運算。在運算過程中要注意根號前的因數是帶分數時，必須化成假分數，
如果被開方數有能開得盡方的因數或因式，可先將二次根式化簡后再相乘．
【類型3】積的算術平方根的性質。利用積的算術平方根的性質可以對二次根式進行化簡．
主要運用公式ab＝a·b(a≥0，b≥0)和a2＝a(a≥0)對二次根式進行化簡．
【類型4】二次根式乘法的綜合應用。把實際問題轉化為數學問題，列出相應的式子進行計算，體現
了轉化思想．
【二次根式的除法問題類型及解題方法總結】
【類型1】二次根式的除法運算。利用二次根式的除法法則進行計算時，可以用“除以一個不為零
的數等于乘這個數的倒數”進行約分化簡．
【類型2】二次根式的乘除混合運算。二次根式乘除混合運算的方法與整式乘除混合運算的方法相
同，在運算時要注意運算符號和運算順序，若被開方數是帶分數，要先將其化為假分數．
b
【類型3】利用商的算術平方根的性質確定字母的取值范圍。運用商的算術平方根的性質：＝
a
b
(a＞0，b≥0)，必須注意被開方數是非負數且分母不等于零這一條件．
a
【類型4】利用商的算術平方根的性質化簡二次根式。被開方數中的帶分數要化為假分數，被開方
數中的分母要化去，即被開方數不含分母，從而化為最簡二次根式．
【類型5】最簡二次根式。解決此題的關鍵是掌握最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個
條件：(1)被開方數不含分母；(2)被開方數不含能開得盡方的因數或因式．
【類型6】二次根式除法的綜合運用。解決本題的關鍵是正確運用公式．用二次根式的除法進行運算，
解這類問題時要注意代入數據的單位是否統(tǒng)一．
考點3.二次根式的估值
1．比較二次根式的大小方法
比較兩個二次根式大小的方法：可轉化為比較兩個被開方數的大小，即將根號外的正數平方后移
到根號內，計算出被開方數后，再比較被開方數的大小被開方數大的，其算術平方根也大.也可以采
用平方法.
2.用有理數估算二次根式的大致范圍
用有理數估算二次根式的大致范圍時,一般采用“相鄰平方比較”法,即用兩個相鄰數的平方與被
開方數比較,若被開方數介于這兩個相鄰數的平方之間,則這個二次根式的值就在這兩個相鄰數之間,
估算的精確度可由相鄰數的精確度來確定.
3.二次根式估值一般步驟
（1）一般先對根式進行平方，如(5)25；
（2）找出與平方后所得數相鄰的兩個完全平方數，如4<5<9；
（3）對以上兩個整數開方，如42，93；
（4）這個根式的值在這兩個相鄰整數之間，如2＜5＜3．
考點1.二次根式的有關概念及性質
【例題1】（2024黑龍江綏化）若式子2m3有意義，則m的取值范圍是（）
2332
A.mB.mC.mD.m
3223
【答案】C
【解析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據題意可得2m30，即可求解．
∵式子2m3有意義，
∴2m30，
3
解得：m，故選：C．
2
【對點變式練1】（2024內蒙古赤峰市一模）下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？
311
(1)11；(2)－5；(3)（－7）2；(4)13；(5)－；
56
(6)3－x(x≤3)；(7)－x(x≥0)；(8)（a－1）2；(9)－x2－5；(10)（a－b）2(ab≥0)．
【答案】見解析。
【解析】判斷一個式子是不是二次根式，要看所給的式子是否具備以下條件：(1)帶二次根號“”；
(2)被開方數是非負數．
111
因為11，（－7）2，－＝，3－x(x≤3)，（a－1）2，（a－b）2(ab≥0)中的根指
5630
3
數都是2，且被開方數為非負數，所以都是二次根式.13的根指數不是2，－5，－x(x≥0)，－x2－5
的被開方數小于0，所以不是二次根式．
【對點變式練2】（2024哈爾濱一模）若式子42x在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（）
A．x2B．x2C．x2D．x2
【答案】C
【解析】本題考查了二次根式有意義的條件，必須保證被開方數大于等于0．
根據二次根式里面被開方數42x≥0即可求解．
由題意知：被開方數42x≥0，解得：x2．
【對點變式練3】（2024吉林長春一模）若a2|b1|0，則(a+b)2025=．
【答案】1
【解析】根據非負數的意義，求出a、b的值，代入計算即可．
∵a2|b1|0，
∴a-2=0且b+1=0，
解得，a=2，b=-1，
∴(a+b)2020=(2-1)2025=1
考點2.二次根式的運算
3
【例題2】（2024甘肅威武）計算：1812．
2
【答案】0
【解析】根據二次根式的混合運算法則計算即可．
本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
33
1812181218180．
22
【對點變式練1】（2024哈爾濱二模）計算﹣2的結果是．
【答案】2．
【解析】直接化簡二次根式，再合并得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣2×
＝3﹣
＝2．
【對點變式練2】（2024沈陽一模）計算18a·2a的結果是________．
【答案】6a
【解析】18a·2a＝36a2＝6a.
【對點變式練3】（2024湖南一模）化簡：
3c3
(a＞0，b＞0，c＞0)．
4a4b2
【答案】見解析。
【解析】運用商的算術平方根的性質，用分子的算術平方根除以分母的算術平方根．
3c33c3c
＝＝3c.
4a4b24a4b22a2b
考點3.二次根式的估值
【例題3】（2024河北?。┮阎猘，b，n均為正整數．
（1）若n10n1，則n______；
（2）若n1an,nbn1，則滿足條件的a的個數總比b的個數少______個．
【答案】①.3②.2
【解析】本題考查的是無理數的估算以及規(guī)律探究問題，掌握探究的方法是解本題的關鍵；
（1）由3104即可得到答案；
（2）由n1，n，n1為連續(xù)的三個自然數，n1an,nbn1，可得
22
n1an2，n2bn1，再利用完全平方數之間的數據個數的特點探究規(guī)
律即可得到答案．
【詳解】解：（1）∵3104，而n10n1，
∴n3；
故答案為：3；
（2）∵a，b，n均為正整數．
∴n1，n，n1為連續(xù)的三個自然數，而n1an,nbn1，
22
∴n1an2，n2bn1，
觀察0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，，
而020，121，224，329，4216，
2
∴n1與n2之間的整數有2n2個，
2
n2與n1之間的整數有2n個，
∴滿足條件的a的個數總比b的個數少2n2n22n2n22（個）．
【對點變式練1】（2024遼寧一模）估計的值在（）
A．3和4之間B．4和5之間C．5和6之間D．6和7之間
【答案】B
【解析】先寫出21的范圍，再寫出的范圍．
∵16＜21＜25，
∴4＜＜5．
【對點變式練2】（2024廣州一模）下列各數中比3大比4小的無理數是（）
10
A．10B．17C．3.1D．
3
【答案】A．
【解析】因為9＜10＜16，所以3＜10＜4，且10是無理數，故選項A正確．
考點1.二次根式的有關概念及性質
2
1.（2024四川德陽）化簡：3＝__________．
【答案】3
【解析】根據二次根式的性質“a2a”進行計算即可得．
2
333．
【點睛】本題考查了化簡二次根式，解題的關鍵是掌握二次根式的性質．
2.（2024江蘇連云港）若式子x2在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是_____．
【答案】x2
【解析】根據二次根式被開方數必須是非負數的條件，
要使x2在實數范圍內有意義，必須x20，
∴x2．
3.（2024上海市）已知2x11，則x___________．
【答案】1
【解析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數是非負數是解題的關
鍵．由二次根式被開方數大于0可知2x10，則可得出2x11，求出x即可．
根據題意可知：2x10，
∴2x11，
解得：x1．
考點2.二次根式的運算
1.（2024湖南省）計算27的結果是（）
A.27B.72C.14D.14
【答案】D
【解析】此題主要考查了二次根式的乘法，正確計算是解題關鍵．
直接利用二次根式的乘法運算法則計算得出答案．
【詳解】2714，故選：D
2
2.（2024四川樂山）已知1x2，化簡x1x2的結果為（）
A.1B.1C.2x3D.32x
【答案】B
【解析】本題考查了二次根式的性質，去絕對值，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
先根據a2a化簡二次根式，然后再根據1x2去絕對值即可．
2
x1x2x1x2，
∵1x2，
∴x10,x20，
∴x1+x2x1+2x1，
2
∴x1x21，故選：B．
3.（2024山東威海）計算：1286________．
【答案】23
【解析】本題考查了二次根式的混合運算，根據二次根式的性質以及二次根式的乘法進行計算即可求
解．
1286234323．
4.（2024貴州?。┯嬎?3的結果是________．
【答案】6
【解析】利用二次根式的乘法運算法則進行計算．
原式=23=6．
【點睛】本題考查二次根式的乘法運算，掌握二次根式乘法的運算法則abab（a≥0，b＞0）
是解題關鍵．
5.（2024天津市）計算111111的結果為___．
【答案】10
【解析】利用平方差公式計算后再加減即可．
原式11110．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算法則及平方差公式是解題的關鍵．
0
6.（2024河南?。┯嬎悖?5013；
【答案】9
【解析】利用二次根式的乘法法則，二次根式的性質，零指數冪的意義化簡計算即可；
原式1001
101
9
11
7.（2024上海市）計算：|13|242(13)0．
23
【答案】26
【解析】本題考查了絕對值，二次根式，零指數冪等，掌握化簡法則是解題的關鍵．先化簡絕對值，
二次根式，零指數冪，再根據實數的運算法則進行計算．
11
【詳解】|13|242(13)0
23
23
31261
(23)(23)
3126231
26．
考點3.二次根式的估值
1.（2024重慶市A）已知m273，則實數m的范圍是（）
A.2m3B.3m4C.4m5D.5m6
【答案】B
【解析】此題考查的是求無理數的取值范圍，二次根式的加減運算，掌握求算術平方根的取值范圍的
方法是解決此題的關鍵．先求出m27312，即可求出m的范圍．
∵m2733332312，
∵3124，
∴3m4，故選：B．
2.（2024四川資陽）若5m10，則整數m的值為（）
A.2B.3C.4D.5
【答案】B
【解析】此題考查了無理數的估算，解題的關鍵是熟練掌握無理數的估算方法．首先確定5和10
的范圍，然后求出整數m的值的值即可．
∵4<5<9，即2<5<3，9<10<16，即3<10<4，
又∵5m10，
∴整數m的值為：3，故選：B．
3.（2024重慶市B）估計1223的值應在（）
A.8和9之間B.9和10之間C.10和11之間D.11和12之間
【答案】C
【解析】本題考查的是二次根式的乘法運算，無理數的估算，先計算二次根式的乘法運算，再估算即
可．
∵1223266，
而424265，
∴1026611
4.（2024江蘇鹽城）矩形相鄰兩邊長分別為2cm、5cm，設其面積為Scm2，則S在哪兩個連
續(xù)整數之間（）
A.1和2B.2和3C.3和4D.4和5
【答案】C
【解析】本題主要考查無理數的估算，二次根式的乘法，先計算出矩形的面積S，再利用放縮法估算
無理數大小即可．
S2510，
91016，
91016，
3104，
即S在3和4之間，故選：C．
5.（2024內蒙古赤峰）請寫出一個比5小的整數_____________
【答案】1（或2）
【解析】先估算出5在哪兩個整數之間，即可得到結果．
24593，
滿足條件的數為小于或等于2的整數均可.
點評：解答本題的關鍵是熟知用“夾逼法”估算無理數是常用的估算無理數的方法．
6.（2024深圳）如圖所示，四邊形ABCD，DEFG，GHIJ均為正方形，且S正方形ABCD10，
S正方形GHIJ1，則正方形DEFG的邊長可以是________．（寫出一個答案即可）
【答案】2（答案不唯一）
【解析】本題考查了算術平方根的應用，無理數的估算．利用算術平方根的性質求得ABCD10，
GHGJ1，再根據無理數的估算結合GHDECD，即可求解．
∵S正方形ABCD10，
∴ABCD10，
∵S正方形GHIJ1，
∴GHGJ1，
∵3104，即3CD4，
∴正方形DEFG的邊長GHDECD，即1DE3，
∴正方形DEFG的邊長可以是2．
考點1.二次根式的有關概念及性質
1.若x8在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是_______．
【答案】x≥8
【解析】根據二次根式有意義的條件，可得x-8≥0，然后進行計算即可解答．
【詳解】解：由題意得：
x-8≥0，
解得：x≥8．
故答案為：x≥8．
【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式a(a0)是解題的關鍵．
2.若代數式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是．
【答案】x＞3．
【解析】由題意得：2x﹣6＞0，
解得：x＞3，
【點撥】根據二次根式有意義的條件可得2x﹣6＞0，再解即可．
考點2.二次根式的運算
1．下列各式是最簡二次根式的是（）
A．B．C．D．
35
【答案13】A12a3
【解析】A.是最簡二次根式，符合題意；
B.2，13不是最簡二次根式，不符合題意；
C.12=|a|3，不是最簡二次根式，不符合題意；
3
D.a=，不a是最簡二次根式，不符合題意．
515
【點3撥=】3利用最簡二次根式定義判斷即可．
135
2.把下列式子（的1）分母有；理（化2：）；
22232
【答案】見解析。
【解析】把分母中的根號化去，叫做分母有理化，兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不
含有二次根式，我們說，這兩個代數式互為有理化因子，如2與2，553