河北省保定市高中2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（B）（解析版）

第頁，共頁第18頁，共18頁2024~2025學(xué)年第一學(xué)期期末調(diào)研考試高一數(shù)學(xué)試題（B）本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號、姓名、考點學(xué)校、考場號及座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡集合，結(jié)合交集的定義求結(jié)論.【詳解】不等式可化為，故，所以或，所以或，所以或，又，所以.故選：A.2.已知樣本數(shù)據(jù)為，，，，平均數(shù)為，則數(shù)據(jù)，，，，與原數(shù)據(jù)相比，下列數(shù)字特征一定不變的是（）A.平均數(shù) B.方差 C.眾數(shù) D.中位數(shù)【答案】A【解析】【分析】利用平均數(shù)的計算方法判斷A，舉反例排除BCD，從而得解.【詳解】對于A，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，新數(shù)據(jù)為，所以新數(shù)據(jù)的總和為：，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，即平均數(shù)沒有變化，故A正確；對于B，不妨設(shè)原數(shù)據(jù)為，則，方差為，則新數(shù)據(jù)為，平均數(shù)為，方差為，此時方差發(fā)生了變化，故B錯誤；對于C，不妨設(shè)原數(shù)據(jù)，則，眾數(shù)為，則新數(shù)據(jù)為，眾數(shù)為，此時眾數(shù)發(fā)生了變化，故C錯誤；對于D，不妨設(shè)原數(shù)據(jù)為，則，中位數(shù)為，則新數(shù)據(jù)為，中位數(shù)為，此時中位數(shù)發(fā)生了變化，故D錯誤.故選：A.3.下列命題中，真命題的選項是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域，正弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及余弦函數(shù)的值域即可判斷.【詳解】對A，當(dāng)時，不成立，所以A錯誤；對B，當(dāng)時，不存在，所以B錯誤；對C，當(dāng)時，，所以C正確；對D，因為函數(shù)的值域為，所以D錯誤.故選：C.4.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的判定方法一一分析即可.【詳解】對于選項A，，，，所以函數(shù)不是奇函數(shù)；對于選項B，，所以，且函數(shù)定義域為，所以函數(shù)為偶函數(shù)；對于選項C，，，解得，則其定義域為，關(guān)于原點對稱，而，，所以函數(shù)是奇函數(shù)；對于選項D，，所以，且定義域為，關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)；故選：C5.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用函數(shù)的奇偶性的判定方法，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷得的奇偶性排除AC，再利用區(qū)間法判斷得時，從而排除B，由此得解.【詳解】對于，有，解得且，所以的定義域為，又，所以為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于軸對稱，故排除A、C；當(dāng)時，，，所以，故排除B.故選：D.6.已知平面向量，滿足，，則的最大值為（）A.8 B. C.10 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運算律得，再利用向量不等式即可得到答案.【詳解】因為則，則，所以，所以，，故選：C.7.設(shè)，，，則它們的大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小關(guān)系即可.【詳解】因為指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，因為指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，又因為指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，則.故選：D8.已知函數(shù)滿足：①定義域為；②對任意，有；③當(dāng)時，；若函數(shù)，，則函數(shù)在上零點個數(shù)是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】先將問題化為和圖象交點個數(shù)問題，再利用的周期性與解析式作出的圖象，同時也作出的圖象，從而數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】因為函數(shù)在R上零點的個數(shù)等于函數(shù)和圖象交點的個數(shù)，又的定義域為，又，所以是周期為的周期函數(shù)，當(dāng)時，，作出函數(shù)在內(nèi)的圖象，再由的周期性作出在上的圖象，同時作出，的圖象，因為，，所以函數(shù)fx,gx在上有三個交點，在又，，則，則函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，所以由數(shù)形結(jié)合知fx,g故選：C.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.改革開放以來，某地區(qū)率先推進經(jīng)濟轉(zhuǎn)型升級和高質(zhì)量發(fā)展，成功實現(xiàn)從傳統(tǒng)的農(nóng)業(yè)、工業(yè)化經(jīng)濟向現(xiàn)代化服務(wù)型、創(chuàng)新型、數(shù)字經(jīng)濟轉(zhuǎn)化，實現(xiàn)了從粗放型增長向高質(zhì)量發(fā)展的邁進.該地區(qū)經(jīng)過近十年的發(fā)展，經(jīng)濟總收入增加了兩倍，下圖統(tǒng)計了該地區(qū)經(jīng)濟轉(zhuǎn)型前和經(jīng)濟轉(zhuǎn)型后經(jīng)濟總收入的構(gòu)成比例，則下面結(jié)論中正確的是（）A.經(jīng)濟轉(zhuǎn)型后，農(nóng)業(yè)收入減少B.經(jīng)濟轉(zhuǎn)型后，工業(yè)收入增加了一倍以上C.經(jīng)濟轉(zhuǎn)型后，其他產(chǎn)業(yè)收入是轉(zhuǎn)型前的兩倍以上D.經(jīng)濟轉(zhuǎn)型后，第三產(chǎn)業(yè)收入超過了經(jīng)濟轉(zhuǎn)型前經(jīng)濟總收入【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)該地區(qū)經(jīng)濟轉(zhuǎn)型前經(jīng)濟總收入為，經(jīng)濟轉(zhuǎn)型后經(jīng)濟總收入為．通過選項逐一分析經(jīng)濟轉(zhuǎn)型前后經(jīng)濟收入情況，利用數(shù)據(jù)推出結(jié)果．【詳解】設(shè)該地區(qū)經(jīng)濟轉(zhuǎn)型前經(jīng)濟總收入為，經(jīng)濟轉(zhuǎn)型后經(jīng)濟總收入為．由圖可知：A項，經(jīng)濟轉(zhuǎn)型后農(nóng)業(yè)收入，經(jīng)濟轉(zhuǎn)型前農(nóng)業(yè)收入，故轉(zhuǎn)型后，農(nóng)業(yè)收入增加了，故A項錯誤．B項，經(jīng)濟轉(zhuǎn)型后工業(yè)收入，經(jīng)濟轉(zhuǎn)型前工業(yè)收入，故轉(zhuǎn)型后，工業(yè)收入增加了一倍以上，故B項正確．C項，經(jīng)濟轉(zhuǎn)型后其他產(chǎn)業(yè)收入，經(jīng)濟轉(zhuǎn)型前其他產(chǎn)業(yè)收入，故轉(zhuǎn)型后，其他產(chǎn)業(yè)收入是轉(zhuǎn)型前的兩倍以上，故C項正確．D項，經(jīng)濟轉(zhuǎn)型后第三產(chǎn)業(yè)收入，經(jīng)濟轉(zhuǎn)型前經(jīng)濟總收入，故轉(zhuǎn)型后，第三產(chǎn)業(yè)收入超過經(jīng)濟轉(zhuǎn)型前經(jīng)濟總收入，D正確.故選：BCD10.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有四個零點分別為，，，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)解析式畫出大致圖象，數(shù)形結(jié)合有，結(jié)合對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)可得、，進而逐項判斷正誤.【詳解】對A，由解析式，可得大致圖象如下，結(jié)合題設(shè)和圖象知，A錯，令，可得或，所以，對B，由于當(dāng)時，圖象的對稱軸為直線，所以，B對，對C，當(dāng)時，令，則，，則，C錯，對D，由且，而在上單調(diào)遞增，所以，D對.對CD方法二：當(dāng)時，，所以，所以，C錯誤;因為，所以，故，又，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，D正確.故選：BD【點睛】關(guān)鍵點點睛：畫出函數(shù)圖象，利用相關(guān)函數(shù)性質(zhì)確定零點的范圍及相關(guān)參數(shù)的關(guān)系為關(guān)鍵.11.函數(shù)，，已知為函數(shù)的一個對稱中心，為的一條對稱軸，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是（）A.B.直線為函數(shù)圖象的一條對稱軸C.函數(shù)在區(qū)間上有1個零點D.對于任意的，關(guān)于的方程總有奇數(shù)個根【答案】BCD【解析】【分析】利用對稱中心和對稱軸求解滿足的關(guān)系式，再利用周期性確定的范圍，最后通過討論可確定的取值，再利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可判斷其它選項.【詳解】由為函數(shù)的一個對稱中心，所以有，，由為的一條對稱軸，所以有，，上兩式相減得：，設(shè)函數(shù)的周期為，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，，所以，又因為，所以有，則有，即或，此時或，當(dāng)時，由為的一條對稱軸，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，則，所以有，，由于，此時無解；當(dāng)時，由，則，所以有，，由于，此時；所以滿足題意，故A錯誤；此時有，由，故B正確；當(dāng)時，，此時由，得，故C正確；由，可知函數(shù)關(guān)于點對稱，所以過這個對稱中心的直線與函數(shù)的圖象至少有一個交點點，再根據(jù)函數(shù)是關(guān)于這個點的中心對稱圖象，所以除這個對稱中心之外的交點是成對出現(xiàn)的，即肯定是有奇數(shù)個交點，故D正確；故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵在于，分類討論的取值，根據(jù)題意確定的取值，從而得解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，，則的面積為_____________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)正弦定理進行邊換角并結(jié)合三角恒等變換得，再利用余弦定理和三角形面積公式即可得到答案.【詳解】由，結(jié)合正弦定理得，，因為，所以,利用余弦定理，解得，所以.故答案為：.13.已知函數(shù)，且，，，，，，則函數(shù)的解析式為______________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題目累乘可得的表達式，再令可得的解析式.【詳解】將各式累乘可得又因為，所以，令，則有.故答案為：.14.定義在上的函數(shù)滿足，且關(guān)于對稱，當(dāng)時，，則______________.（注：）【答案】【解析】【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是周期為4的函數(shù)，計算出的值，結(jié)合函數(shù)的周期性得所求代數(shù)式的值.【詳解】因為，令，則，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，設(shè)，則，即，即，令，則，故函數(shù)奇函數(shù)，所以，則，故函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，由，得，所以當(dāng)時，，則，，，，所以：故答案為：【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的對稱性：（1）若，則函數(shù)關(guān)于中心對稱；（2）若，則函數(shù)關(guān)于對稱.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）求和；（2）若集合，且，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式、指數(shù)不等式求集合，再應(yīng)用集合的交并補運算求集合；（2）根據(jù)已知有，討論、求參數(shù)范圍.【小問1詳解】由，即，由，即，所以，且，則.【小問2詳解】由題設(shè)，若，即時，滿足要求；若，即時，則，故，綜上，.16.如圖所示，在中，是邊邊上中線，為中點，過點點直線交邊，于，兩點，設(shè)，，（，與點，不重合）（1）證明：為定值；（2）求的最小值，并求此時的，的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）求出，從而由三點共線，可得答案；（2）結(jié)合（1）可得，化簡后利用基本不等式可求得結(jié)果.【小問1詳解】因為是邊邊上中線，，所以.又是的中點，，所以.因三點共線，所以且所以，即為定值；【小問2詳解】由（1）所以，當(dāng)且僅當(dāng),即時，等號成立.所以時，的最小值.17.在中，角，，的對邊分別為，，，.（1）求角；（2）若，為邊上一點（不同于，兩點），，求的面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，然后利用兩角和的正弦公式，將原式化為，進而可得結(jié)果；（2）設(shè)，，由正弦定理得，可得，根據(jù)余弦定理求得或，分類討論可求出三角形面積，再根據(jù)的范圍可得結(jié)果.【小問1詳解】因為，所以由正弦定理可知，因為，整理得，因為，所以，所以，即，又因為，所以．【小問2詳解】如圖，設(shè)，，由正弦定理有，得，因為，所以，所以，在中，由余弦定理可知，，即，解得或．若，，則的面積為：，即；若，則，則，因為，所以，綜上可得的面積的取值范圍為.18.已知函數(shù).（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求的值；（2）當(dāng)時，若函數(shù)在區(qū)間有2個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用的奇偶性，結(jié)合指數(shù)冪的運算即可得解；（2）利用換元法，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個零點，利用二次函數(shù)零點的分布得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.【小問1詳解】因為，所以，因為是奇函數(shù)，所以，即，所以，則，所以，解得.【小問2詳解】當(dāng)時，，所以，函數(shù)在區(qū)間有2個零點，即方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，整理得，令，由，則，即在上有兩個不相等的實數(shù)根，令，在上有兩個零點，則滿足，解得，綜上可知，實數(shù)m的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的解決關(guān)鍵在于，利用換元法與構(gòu)造函數(shù)法，將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點分布問題，從而得解.19.已知函數(shù)的定義域為，若對于任意，，，能夠成一個三角形的三條邊長，則稱函數(shù)為集合上的“三角形函數(shù)”.（1）已知函數(shù)是區(qū)間（為常數(shù)）上的“三角形函數(shù)”，求的取值范圍；（2）已知函數(shù)是區(qū)間（為常數(shù)）上的“三角形函數(shù)”，在函數(shù)的圖象上，是否存在三個不同的點，，，當(dāng)時，，若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）不存在【解析】【分析】（1）轉(zhuǎn)化為，再利用對勾函數(shù)單調(diào)性對分類討論即可；（2）通過假設(shè)存