2025年線代大一試題及答案

線代大一試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題[5]分，共[25]分）

1.設(shè)矩陣A為

\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]

則A的行列式為：

A.1B.2C.5D.0

2.設(shè)向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，向量\(\vec=(2,3,4)\)，則向量\(\vec{a}\)和\(\vec\)的點(diǎn)積為：

A.1B.5C.10D.11

3.設(shè)線性方程組

\[\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+3y+z=2\\-x+y+2z=3\end{cases}\]

的系數(shù)矩陣為A，增廣矩陣為\(\overline{A}\)，則下列說法正確的是：

A.A的秩為2B.\(\overline{A}\)的秩為3C.A的秩為3D.\(\overline{A}\)的秩為2

4.設(shè)線性方程組

\[\begin{cases}x+y+z=1\\2x+2y+2z=2\\3x+3y+3z=3\end{cases}\]

的系數(shù)矩陣為A，則：

A.A的行列式為0B.A的行列式為1C.A的行列式為2D.A的行列式為3

5.設(shè)矩陣A可逆，則A的逆矩陣\(\overline{A}\)滿足：

A.\(A\overline{A}=\overline{A}A=I\)B.\(A\overline{A}=\overline{A}A=A\)C.\(A\overline{A}=I\)D.\(\overline{A}A=I\)

6.設(shè)向量組\(\{\vec{a},\vec,\vec{c}\}\)線性無關(guān)，向量\(\vecnndtjzh=(1,2,3)\)，則向量組\(\{\vec{a},\vec,\vec{c},\vecvvxnlbl\}\)：

A.必然線性相關(guān)B.必然線性無關(guān)C.不能確定D.與向量\(\vecprxffdb\)的關(guān)系無關(guān)

二、填空題（每題[5]分，共[25]分）

1.設(shè)向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，向量\(\vec=(4,5,6)\)，則\(\vec{a}\)與\(\vec\)的叉積為\(\boxed{\_}\)。

2.設(shè)矩陣A為

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]

則A的秩為\(\boxed{\_}\)。

3.設(shè)線性方程組

\[\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+3y+z=2\end{cases}\]

的系數(shù)矩陣為A，增廣矩陣為\(\overline{A}\)，則A的秩為\(\boxed{\_}\)，\(\overline{A}\)的秩為\(\boxed{\_}\)。

4.設(shè)矩陣A可逆，且A的逆矩陣為\(\overline{A}\)，則\(\overline{A}\)的逆矩陣為\(\boxed{\_}\)。

5.設(shè)向量組\(\{\vec{a},\vec,\vec{c}\}\)線性無關(guān)，向量\(\vecdxpzxpp=(1,2,3)\)，則向量組\(\{\vec{a},\vec,\vec{c},\veczjhfv3l\}\)線性相關(guān)的充要條件是\(\boxed{\_}\)。

三、計(jì)算題（每題[15]分，共[45]分）

1.計(jì)算矩陣A的行列式，其中

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]

2.設(shè)線性方程組

\[\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+3y+z=2\end{cases}\]

求該方程組的通解。

3.設(shè)矩陣A為

\[A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\]

求矩陣A的逆矩陣。

4.設(shè)向量組\(\{\vec{a},\vec,\vec{c}\}\)線性無關(guān)，向量\(\vec33fbjhx=(1,2,3)\)，求向量組\(\{\vec{a},\vec,\vec{c},\vecxh1nndb\}\)的秩。

5.設(shè)線性方程組

\[\begin{cases}x+y+z=1\\2x+2y+2z=2\\3x+3y+3z=3\end{cases}\]

的系數(shù)矩陣為A，求A的秩。

四、證明題（每題[20]分，共[40]分）

1.證明：設(shè)矩陣A為\(n\timesn\)矩陣，且\(A^2=A\)，則A可逆。

2.證明：設(shè)向量組\(\{\vec{a},\vec,\vec{c}\}\)線性無關(guān)，向量\(\vecvvfbbv1\)可由\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性表示，則\(\vecjdrhppv\)必然與\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性相關(guān)。

五、應(yīng)用題（每題[20]分，共[40]分）

1.設(shè)線性方程組

\[\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+3y+z=2\\-x+y+2z=3\end{cases}\]

求該方程組的通解，并解釋其經(jīng)濟(jì)意義。

2.設(shè)矩陣A為

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]

求矩陣A的特征值和特征向量。

六、綜合題（每題[25]分，共[50]分）

1.設(shè)矩陣A為

\[A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\]

求矩陣A的特征值和特征向量，并求矩陣A的對(duì)角化形式。

2.設(shè)線性方程組

\[\begin{cases}x+2y-z=1\\2x+3y+z=2\\-x+y+2z=3\end{cases}\]

的系數(shù)矩陣為A，求A的秩，并解釋其幾何意義。

試卷答案如下：

一、選擇題

1.B.2

解析思路：根據(jù)行列式的定義，\(A\)的行列式為\(1\cdot4-2\cdot3=2-6=-4\)。

2.D.11

解析思路：向量的點(diǎn)積公式為\(\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)，代入得\(1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4=2+6+12=20\)。

3.A.A的秩為2

解析思路：由于方程組有3個(gè)方程，但增廣矩陣的秩為2，說明有1個(gè)自由變量，因此系數(shù)矩陣的秩為2。

4.B.A的行列式為1

解析思路：每個(gè)方程都是前一個(gè)方程的倍數(shù)，說明方程組是線性相關(guān)的，因此系數(shù)矩陣的行列式為0。

5.A.\(A\overline{A}=\overline{A}A=I\)

解析思路：這是矩陣可逆的定義，即矩陣的逆矩陣與原矩陣相乘等于單位矩陣。

6.B.必然線性無關(guān)

解析思路：因?yàn)閈(\vecdxfdflp\)可以由\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性表示，而\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性無關(guān)，所以\(\vec1lbzhp3\)必須與這三個(gè)向量線性無關(guān)。

二、填空題

1.\(\vec{a}\times\vec=\begin{bmatrix}3-10\\6-8\\5-8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-7\\-2\\-3\end{bmatrix}\)

解析思路：根據(jù)叉積的定義，計(jì)算\(\vec{a}\times\vec\)。

2.3

解析思路：由于矩陣A是上三角矩陣，其對(duì)角線上的元素為1,5,9，因此其行列式為1\*5\*9=45。

3.2，2

解析思路：根據(jù)增廣矩陣的秩與系數(shù)矩陣的秩相等，可以得出A的秩為2。

4.A

解析思路：由于A可逆，其逆矩陣\(\overline{A}\)存在，且滿足\(A\overline{A}=\overline{A}A=I\)。

5.\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)中的某個(gè)向量與\(\vec3vnvtjr\)成比例

解析思路：線性相關(guān)的定義是向量組中至少有一個(gè)向量可以由其他向量線性表示。

三、計(jì)算題

1.\(A\)的行列式為-4

解析思路：根據(jù)行列式的定義，計(jì)算矩陣A的行列式。

2.方程組的通解為

\[x=1+t,\quady=-\frac{1}{2}t+\frac{1}{2},\quadz=\frac{1}{2}t\]

解析思路：通過高斯消元法將方程組化為行階梯形矩陣，然后求解。

3.矩陣A的逆矩陣為

\[\overline{A}=\begin{bmatrix}-2&1&1\\1&-1&1\\1&2&-1\end{bmatrix}\]

解析思路：根據(jù)矩陣逆的定義，計(jì)算矩陣A的逆矩陣。

4.向量組\(\{\vec{a},\vec,\vec{c},\vecnrpffxn\}\)的秩為3

解析思路：由于\(\vecdt1zphx\)可以由\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性表示，且\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性無關(guān)，因此向量組的秩為3。

5.矩陣A的秩為1

解析思路：由于方程組中所有方程都是同一個(gè)方程的倍數(shù)，系數(shù)矩陣的秩為1。

四、證明題

1.證明：設(shè)矩陣A為\(n\timesn\)矩陣，且\(A^2=A\)，則A可逆。

解析思路：由于\(A^2=A\)，則\(A(A-I)=0\)，其中\(zhòng)(I\)是單位矩陣。如果A不可逆，則\(A-I\)不可逆，導(dǎo)致矛盾，因此A可逆。

2.證明：設(shè)向量組\(\{\vec{a},\vec,\vec{c}\}\)線性無關(guān)，向量\(\vecbxdbtzx\)可由\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性表示，則\(\vecj3vtbb3\)必然與\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性相關(guān)。

解析思路：由于\(\vechtr3f1t\)可由\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性表示，存在一組不全為零的系數(shù)\(k_1,k_2,k_3\)，使得\(\vecbpx1tbj=k_1\vec{a}+k_2\vec+k_3\vec{c}\)。如果\(\veczxnfb1r\)與\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性無關(guān)，則\(k_1,k_2,k_3\)必須全為零，這與\(\vecjzf1fdl\)可由\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性表示矛盾，因此\(\vecbhn3xpf\)必然與\(\vec{a},\vec,\vec{c}\)線性相關(guān)。

五、應(yīng)用題

1.方程組的通解為

\[x=1+t,\quady=-\frac{1}{2}t+\frac{1}{2},\quadz=\frac{1}{2}t\]

解析思路：通過高斯消元法將方程組化為行階梯形矩陣，然后求解。

2.矩陣A的特征值和特征向量：

特征值：\(1,2,3\)

特征向量：\(\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-1\\1\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\1\\-1\end{bmatrix}\)

解析思路：計(jì)算特征多項(xiàng)式\(|A-\lambdaI|\)，解出特征值，然后根據(jù)特征值求出對(duì)應(yīng)的特征向量。

六、綜合題

1.矩陣A的特征值和特征向量：

特征值：\(1,2,