2025年吉林春招數(shù)學(xué)試題及答案

吉林春招數(shù)學(xué)試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題5分，共20分）

1.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$在$x=1$處取得極值，則該極值為（）

A.0B.-2C.1D.2

2.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$的圖像關(guān)于點(diǎn)$(1,0)$對(duì)稱(chēng)，則該函數(shù)的圖像不經(jīng)過(guò)（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.若$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，則$\sqrt{a}+\sqrt$的最小值為（）

A.1B.$\frac{2}{\sqrt{2}}$C.$\sqrt{2}$D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$

4.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$S_5=10$，$S_9=36$，則$a_5+a_9$的值為（）

A.16B.18C.20D.22

5.若直線(xiàn)$x+y=1$與圓$x^2+y^2=4$相切，則該直線(xiàn)與圓的切點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（）

A.1B.$\sqrt{2}$C.2D.$\sqrt{3}$

二、填空題（每題5分，共25分）

1.若函數(shù)$f(x)=x^2-2ax+1$在區(qū)間$[1,2]$上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍為_(kāi)_____。

2.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為2，公差為3，則第10項(xiàng)$a_{10}$與第15項(xiàng)$a_{15}$之差為_(kāi)_____。

3.已知函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)$的定義域?yàn)?x\in(-1,+\infty)$，則該函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____。

4.若$a>0$，$b>0$，$a^2+b^2=1$，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$的最大值為_(kāi)_____。

5.若直線(xiàn)$y=kx+1$與圓$x^2+y^2=4$相切，則實(shí)數(shù)$k$的取值范圍為_(kāi)_____。

三、解答題（每題15分，共45分）

1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，求$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$。

2.求等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)$a_1=1$，公差$d=2$的前$n$項(xiàng)和$S_n$。

3.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，求$f(x)$的圖像在區(qū)間$[0,1]$上的單調(diào)性。

4.已知$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，求$\sqrt{a}+\sqrt$的最大值。

5.已知直線(xiàn)$y=kx+1$與圓$x^2+y^2=4$相切，求實(shí)數(shù)$k$的取值范圍。

四、解答題（每題15分，共45分）

1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，求$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$。

解：$f'(x)=3x^2-3$。

2.求等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)$a_1=1$，公差$d=2$的前$n$項(xiàng)和$S_n$。

解：$S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}=\frac{n(2+2(n-1))}{2}=n^2$。

3.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$，求$f(x)$的圖像在區(qū)間$[0,1]$上的單調(diào)性。

解：$f'(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}$。由于$f'(x)>0$對(duì)所有$x\in[0,1]$成立，所以$f(x)$在區(qū)間$[0,1]$上單調(diào)遞增。

4.已知$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，求$\sqrt{a}+\sqrt$的最大值。

解：由柯西不等式得$(\sqrt{a}+\sqrt)^2\leq(1^2+1^2)(a+b)=2$，即$\sqrt{a}+\sqrt\leq\sqrt{2}$。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=\frac{1}{2}$，所以$\sqrt{a}+\sqrt$的最大值為$\sqrt{2}$。

5.已知直線(xiàn)$y=kx+1$與圓$x^2+y^2=4$相切，求實(shí)數(shù)$k$的取值范圍。

解：圓心到直線(xiàn)的距離$d=\frac{|k\cdot0-0+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}$。由于直線(xiàn)與圓相切，所以$d=2$，解得$k^2=3$，即$k=\pm\sqrt{3}$。

五、證明題（每題15分，共30分）

1.證明：若$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，則$\sqrt{a}+\sqrt\geq2$。

證明：由柯西不等式得$(\sqrt{a}+\sqrt)^2\leq(1^2+1^2)(a+b)=2$，即$\sqrt{a}+\sqrt\geq\sqrt{2}$。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=\frac{1}{2}$，所以$\sqrt{a}+\sqrt\geq2$。

2.證明：若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)$a_1=1$，公差$d=2$，則對(duì)任意正整數(shù)$n$，$a_n>0$。

證明：由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得$a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\cdot2=2n-1$。由于$n$為正整數(shù)，所以$2n-1>0$，即$a_n>0$。

六、應(yīng)用題（每題15分，共30分）

1.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，求$f(x)$在區(qū)間$[1,2]$上的最大值和最小值。

解：$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=1$。由于$f'(x)>0$在$x>1$時(shí)成立，$f'(x)<0$在$x<1$時(shí)成立，所以$f(x)$在$x=1$處取得局部極小值，在$x=2$處取得局部極大值。計(jì)算得$f(1)=-2$，$f(2)=0$，所以$f(x)$在區(qū)間$[1,2]$上的最大值為0，最小值為-2。

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)$a_1=3$，公差$d=-2$，求該數(shù)列的前10項(xiàng)和$S_{10}$。

解：$S_{10}=\frac{10(2a_1+(10-1)d)}{2}=\frac{10(2\cdot3+9\cdot(-2))}{2}=10(-18)=-180$。

試卷答案如下：

一、選擇題

1.答案：C

解析思路：求函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)，得$f'(1)=3-3=0$，說(shuō)明在$x=1$處可能有極值。再求二階導(dǎo)數(shù)$f''(x)=6x$，得$f''(1)=6>0$，說(shuō)明在$x=1$處取得極小值，極小值為$f(1)=1^3-3\cdot1+2=0$。

2.答案：C

解析思路：由于函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$的圖像關(guān)于點(diǎn)$(1,0)$對(duì)稱(chēng)，可知該函數(shù)在$x=1$處有奇點(diǎn)。當(dāng)$x$從左側(cè)趨近于1時(shí)，$f(x)$的值趨近于負(fù)無(wú)窮；當(dāng)$x$從右側(cè)趨近于1時(shí)，$f(x)$的值趨近于正無(wú)窮。因此，函數(shù)的圖像不經(jīng)過(guò)第三象限。

3.答案：B

解析思路：由均值不等式得$\sqrt{a}+\sqrt\geq2\sqrt{\sqrt{a}\cdot\sqrt}$，即$\sqrt{a}+\sqrt\geq2\sqrt{ab}$。由于$a+b=1$，代入得$\sqrt{a}+\sqrt\geq2\sqrt{1-a}$。當(dāng)$a=b=\frac{1}{2}$時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)$\sqrt{a}+\sqrt=2$。

4.答案：C

解析思路：等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$，代入$a_1=1$，$d=2$得$S_n=\frac{n(2+2(n-1))}{2}=n^2$。由$S_5=10$得$5^2=10$，解得$n=5$。由$S_9=36$得$9^2=36$，解得$n=9$。因此，$a_5+a_9=S_9-S_5=36-10=26$。

5.答案：C

解析思路：直線(xiàn)$x+y=1$與圓$x^2+y^2=4$相切，說(shuō)明圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑。圓心坐標(biāo)為$(0,0)$，半徑為$2$。直線(xiàn)到原點(diǎn)的距離公式為$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，代入得$d=\frac{|0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。由于$d=2$，解得$\sqrt{2}=2$，所以$d=2$。

二、填空題

1.答案：$a\leq1$

解析思路：由于函數(shù)$f(x)=x^2-2ax+1$在區(qū)間$[1,2]$上單調(diào)遞減，所以$f'(x)=2x-2a\leq0$。解得$a\geqx$，由于$x\in[1,2]$，所以$a\leq1$。

2.答案：8

解析思路：等差數(shù)列的第$n$項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=1$，$d=2$得$a_n=1+(n-1)\cdot2=2n-1$。因此，$a_{10}=2\cdot10-1=19$，$a_{15}=2\cdot15-1=29$，$a_{10}+a_{15}=19+29=48$。

3.答案：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$

解析思路：函數(shù)$f(x)=\ln(x+1)$的定義域?yàn)?x\in(-1,+\infty)$，當(dāng)$x\rightarrow-1^+$時(shí)，$f(x)\rightarrow-\infty$；當(dāng)$x\rightarrow+\infty$時(shí)，$f(x)\rightarrow+\infty$。因此，函數(shù)的值域?yàn)?(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。

4.答案：$\frac{\sqrt{2}}{2}$

解析思路：由均值不等式得$\frac{1}{a}+\frac{1}\geq2\sqrt{\frac{1}{ab}}$。由于$a^2+b^2=1$，代入得$\frac{1}{a}+\frac{1}\geq2\sqrt{\frac{1}{1}}=2$。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=\frac{1}{2}$，此時(shí)$\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

5.答案：$(-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{3})\cup(\frac{\sqrt{3}}{3},+\infty)$

解析思路：直線(xiàn)$y=kx+1$與圓$x^2+y^2=4$相切，說(shuō)明圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑。圓心坐標(biāo)為$(0,0)$，半徑為$2$。直線(xiàn)到原點(diǎn)的距離公式為$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，代入得$d=\frac{|k\cdot0+1\cdot0+1|}{\sqrt{k^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}$。由于$d=2$，解得$k^2=3$，即$k=\pm\sqrt{3}$。

三、解答題

1.答案：$f'(x)=3x^2-3$

解析思路：求導(dǎo)公式得$f'(x)=3x^2-3$。

2.答案：$S_n=n^2$

解析思路：代入等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式得$S_n=n^2$。

3.答案：?jiǎn)握{(diào)遞增

解析思路：求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2}$，由于$f'(x)>0$對(duì)所有$x\in[0,1]$成立，所以$f(x)$在區(qū)間$[0,1]$上單調(diào)遞增。

4.答案：$\sqrt{2}$

解析思路：由柯西不等式得$(\sqrt{a}+\sqrt)^2\leq(1^2+1^2)(a+b)=2$，即$\sqrt{a}+\sqrt\leq\sqrt{2}$。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=\frac{1}{2}$，所以$\sqrt{a}+\sqrt$的最大值為$\sqrt{2}$。

5.答案：$k=\pm\sqrt{3}$

解析思路：由圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑得$k^2=3$，即$k=\pm\sqrt{3}$。

四、證明題

1.答案：證明見(jiàn)解析思路

解析思路：由柯西不等式得$(\sqrt{a}+\sqrt)^2\leq(1^2+1^2)(a+b)=2$，即$\sqrt{a}+\sqrt\geq\sqrt{2}$。等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)$a=b=\frac{1}{2}$，所以$\sqrt{a}+\sqrt\geq2$。

2.答案：證明見(jiàn)解析思路

解析思路：由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得$a_n=2n-1$。由于$n$為正整數(shù)，所以$2n-1>0$，即$a_n>0$。

五、應(yīng)用題

1.答案：最大值為0，最小值為-2

解析思路：求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2