第27章 相似（單元測(cè)試·培優(yōu)卷）-2024-2025學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專項(xiàng)突破（含答案）

第27章相似（單元測(cè)試?培優(yōu)卷）

一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分洪30分,每小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中

只有一項(xiàng)符合題目要求）

（23-24九年級(jí)下?全國?期末）

1.下面說法錯(cuò)誤的是（）

nc

A.如果y=那么

ba

,acma+c+m_a

B.如果m工=：=那么

banb+d+nb

c.順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的圖形是菱形

D.相似多邊形的面積比等于周長比的平方

（2023?安徽六安?模擬預(yù)測(cè)）

2.將一張口/BCD（AD<4B<2AD）紙片，以它的一邊為邊長剪去一個(gè)菱形，將余下的

平行四邊形中，再以它的一邊為邊長剪去一個(gè)菱形，若剪去兩個(gè)菱形后所剩下的平行四邊形

與原來口/BCD相似，貝?？?8。的相鄰兩邊/。與的比值是（）

C.也或苴二1D.亞7或也或叵11

2222

（23-24九年級(jí)上?浙江杭州?階段練習(xí)）

3.黃金分割由于其美學(xué)性質(zhì)，受到攝影愛好者和藝術(shù)家的喜愛.攝影中有一種拍攝手法叫

黃金構(gòu)圖法.其原理是：如圖，將正方形的底邊8C取中點(diǎn)￡,以E為圓心，線段DE

為半徑作圓，其與底邊的延長線交于點(diǎn)尸，這樣就把正方形力5CZ）延伸為矩形N2尸G,

稱其為黃金矩形.若CF=4a,則（）

A.^x[5—ijaB.（20-2）。C.+1)(7D.^2-^5+2)a

（23-24九年級(jí)上?浙江杭州?階段練習(xí)）

4.如圖，ZUBC內(nèi)接于OO,/8/C的平分線分別交。O,BC于點(diǎn)、D,E,連結(jié)AD.根

據(jù)題意條件，判斷：①AABEsLADB;②ABDESAADB;③ABDE-4ACE；④

試卷第1頁，共8頁

△AECSAABD,成立的是（）

A.①②③④B.①②③C.②③D.②③④

（21-22八年級(jí)下?重慶北倍?期末）

5.如圖，直線48的解析式為y=-2x+2,點(diǎn)E為正方形/BCD中CD邊的五等分點(diǎn)，且

CE=gCD,雙曲線y=&（#0,x〉0）的圖象過點(diǎn)￡,則左為（

143

D.

（22-23九年級(jí)下?河北承德?階段練習(xí)）

6.如圖，將矩形紙片/2C?按照以下方法裁剪：剪去矩形邊/。長的;，邊CD長的

7（稱為第一次裁剪）；剪去剩下的矩形/E尸G（陰影部分）邊NE長的g,￡戶長的g（稱

為第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后,剩下的圖形恰好是正方形,則原矩形ABCD

的長寬比為（）

24332

C.—D.

32243

試卷第2頁，共8頁

（24-25九年級(jí)上?上海?階段練習(xí)）

7.如圖，點(diǎn)。是△4BC內(nèi)一點(diǎn)，OP1/BCQQ"ACQR"AB,OP=OR=OQ,AB=4,BC=3,

CA=2,OR的長為（）

0t12

D.—

13

（2023?河北張家口?一模）

8.如圖，正方形/8CA中，對(duì)角線4G8。交于點(diǎn)。，分別延長2。，到點(diǎn)￡,F,連

接斯.若跖〃8C,且JDEF與A。/。的相似比為g,則在圖中，以點(diǎn)。為位似中心.ADEF

（24-25九年級(jí)上?四川樂山?期中）

9.如圖，平行四邊形/BCD的邊長=2,ZABC=60°,4F平分/BAD,E為AB的中

點(diǎn)，尸在邊8c上，且3尸=25C,/斤分別與DE、相交于點(diǎn)M,N,則MV的長為

4

D.-

5

（24-25九年級(jí)上?河北保定?期中）

10.如圖，四邊形N3C。是正方形，28=6,￡是2c中點(diǎn)，連接。旦?！甑拇怪逼椒志€分別

試卷第3頁，共8頁

交.AB、DE、CD于M、0、N,連接EN,過E作EF，EN交4B于F.下列結(jié)論中正確

的是（）

①ABEFs^CNE；②IMN=3也；@BF=^AF-④△BE產(chǎn)的周長是12.

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

（24-25九年級(jí)上?四川成都?期中）

11.在平面直角坐標(biāo)系中，關(guān)于x的一次函數(shù)〉=履+加，其中常數(shù)人滿足

左=，7=不L=—^―,常數(shù)機(jī)滿足"2>0且m是1和9的比例中項(xiàng)，則該一次函數(shù)/=履+5

a+bb+ca+c

的解析式為.

（2023?遼寧鞍山?二模）

12.如圖，在△/BC中，以點(diǎn)3為圓心，以2為半徑畫弧，交邊于點(diǎn)交5C邊于點(diǎn)

E,分別以點(diǎn)。，E為圓心，大于;的長為半徑畫弧，兩弧在443c內(nèi)部交于點(diǎn)尸，畫

射線8尸與NC邊交于點(diǎn)尸，過尸作2C的平行線恰好經(jīng)過點(diǎn)。，則4D-CE的值為.

（22-23九年級(jí)上?四川成都?階段練習(xí)）

13.在△4BC中，AB=AC,E、尸分別是/8、NC上的點(diǎn)，且=連接CE、BF

一工上n什CP1C產(chǎn)苗/吉在

父于點(diǎn)尸，右干二7，下的值為_____.

PE2AF

試卷第4頁，共8頁

A

E,

（2024?山西運(yùn)城?模擬預(yù)測(cè)）

14.如圖，在A/8C中，點(diǎn)E在3c上，點(diǎn)尸在/C上，AE1BF,垂足為O,若/￡平分

/8/C,點(diǎn)尸是NC的中點(diǎn)，AE=4,BF=8,則線段NC的長為.

（2024?湖北孝感?三模）

15.如圖1,在RtZ\48C中，ZACB=90°,NC=4,BC=3,點(diǎn)。是/C的中點(diǎn)，點(diǎn)E是

的中點(diǎn)，連接。E.如圖2,將△/￡）￡繞/點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C,D,E首次在同一條直

線上，連接BE.則BE的長為

圖1圖2

（24-25九年級(jí)上?四川成都?期中）

16.如圖，點(diǎn)5是反比例函數(shù)必=?（x>°）上的一點(diǎn)，點(diǎn)8的坐標(biāo)為。，4）,連接05,過點(diǎn)

B作_LOB,交反比例函數(shù)必=勺上的一點(diǎn)A,過點(diǎn)5作歹軸的垂線，交反比例函數(shù)

x

%=｝（x>0）的圖象于點(diǎn)P,連接AP,OP,若/P〃了軸，則質(zhì)的值為.

試卷第5頁，共8頁

（24-25九年級(jí)上?四川成都?期中）

17.如圖，在A/8C中，AB=AC=4,AFJ.BC于點(diǎn)、F,BHLAC于點(diǎn)、H.交/月于點(diǎn)

G,點(diǎn)。在直線4尸上運(yùn)動(dòng)，BD=DE,ZBDE=135°,ZABH=45°,當(dāng)4E取最小值時(shí),

BE的長為.

18.如圖，等邊△NBC中，AB=6,。為2c的中點(diǎn)，點(diǎn)E為射線切上一動(dòng)點(diǎn)，將射線。￡

繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。交NC于點(diǎn)尸，若/￡=3,則4F=.

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

（24-25九年級(jí)上?山東濟(jì)南?期中）

19.圖1是小亮沿廣場(chǎng)道路散步的示意圖，線段8表示直立在廣場(chǎng)上的燈柱，點(diǎn)C表

示照明燈的位置，已知小亮身高1.5m,CD=6m.

（2）如圖3,小亮繼續(xù)行至G處時(shí)，發(fā)現(xiàn)其影長KG恰為身高的一半，求此時(shí)小亮與燈柱的距

離.

試卷第6頁，共8頁

（20-21九年級(jí)上?浙江?期末）

20.已知：正方形48c。中，48=4,E為CZ）邊中點(diǎn)，尸為4D邊中點(diǎn)，AE交BD于G,

交BF于H,連接。

（1）求證：BG=2DG；

（2）求/〃：8G:GE的值；

（24-25九年級(jí)上?四川成都?階段練習(xí)）

21.已知，如圖，在ZUBC中，AB=AC=4,NB4C=90。，點(diǎn)。為NC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

（點(diǎn)。不與4,C重合）,連接,將線段。8繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到DE,連接BE、CE.

⑴求證：ABADsABCE；

Ar）1

（2）當(dāng)次=§時(shí)，求邑EOC及。尸的值.

（24-25九年級(jí)上?四川成都?期中）

22.如圖，在正方形A8CD中，48=8,點(diǎn)E在對(duì)角線5。上，DE=地，連接CE,過點(diǎn)

E做所，CE,交線段于點(diǎn)尸.

⑴求證：CE=EF；

⑵求F8的長；

⑶連接尸C交AD于點(diǎn)G,求BG的長.

試卷第7頁，共8頁

(24-25九年級(jí)上?浙江?期末)

23.如圖，在圓內(nèi)接ZUBC中，乙48c>90。，弦BD>4C,延長/。至點(diǎn)E,延長胡至點(diǎn)

F,連接斯，使EF=BD,延長CD交所于點(diǎn)G,使/EG。+/ZU2=180。，延長C8,DA

求/A4c的度數(shù).

EFAE

⑵求證:

HBAH

(3)求證：AE=AC.

(24-25九年級(jí)上?河南鄭州?期中)

24.已知點(diǎn)〃是正方形4BC。邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)E是射線。C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

ME,過點(diǎn)加?作物，ME交C3的延長線于點(diǎn)？

MF

(1)【特例感知】如圖1,當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)/重合時(shí),

ME

MF

⑵【類比探究】當(dāng)點(diǎn)"動(dòng)到線段加勺三等分點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)利用圖2計(jì)算加的值;

(3)【拓展延伸】如圖3,連接跖，DM,若點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，恰好有

ZMEF=30°,請(qǐng)直接寫出的值.

S正方形4BCD

試卷第8頁，共8頁

1.B

【分析】本題主要考查了三角形中位線的性質(zhì)、菱形的判定，相似多角形的性質(zhì)，比例的性

質(zhì)等知識(shí).根據(jù)比例的性質(zhì)可判斷A和B；根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)、菱形的判定可判斷

C；根據(jù)相似多角形的性質(zhì)可判斷D.

【詳解】解：A、如果丁n=9C,那么4=6°.故選項(xiàng)A說法正確，不符合題意;

ba

nCmdCYY1

B>如果7==—,——=k,那么〃=%，c=dk,m=nk,那么

banban

a+c+m=bk+dk+nk=k(b+d+n)=卜=巴,僅當(dāng)6+d+〃/0時(shí)成立.故選項(xiàng)B說法不正

b+d+nb+d+nb+d+nb

確，符合題意；

在四邊形NBC。中，AC=BD,E、F、G、萬分別是線段/2、BC、CD、ND的中點(diǎn),

則￡〃、尸G分別是△/&)、△BCD的中位線，EF、AG分別是"SC、"CD的中位線,

：.EH=FG=-BD,EF=HG=-AC,

22

■：AC=BD,

.-.EF=FG=HG=EH,

.?.四邊形跖G”是菱形.故選項(xiàng)C說法正確，不符合題意；

D、相似多邊形的面積比等于周長比的平方.故選項(xiàng)D說法正確，不符合題意;

故選：B.

2.C

【分析】分兩種情況進(jìn)行討論進(jìn)而根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】如圖，設(shè)AD=a,4B=b.

答案第1頁，共28頁

AHB

根據(jù)題意，AH=AD,

HB=b-a,

■：HB=FG=GC,

:.BG=a-(b-a)=2a—b,

???剩下的平行四邊形與原來口/BCD相似,

???對(duì)應(yīng)邊成比例，

分兩種情況討論：

^ADFG

JABBG

ab-a

b2a-b'

設(shè)，=/（”o）,分子分母同時(shí)除以，得：七--二丁匚,

b2--1"T

b

解得：”也；

2

cADBG

JABFG

a_2a-b

一=,

bb-a

2--1

設(shè)，貝“：t=ba=~\~7,

u]KJL-E

~~b

解得：二L,

2

兩個(gè)答案都滿足AD<AB<2AD,

綜上：口.BCD的相鄰兩邊ND與42的比值是"或二1；

22

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似多邊形的性質(zhì).根據(jù)題意，正確的

答案第2頁，共28頁

畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.

3.D

【分析】本題主要考查了黃金分割點(diǎn)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、一元二次方程的應(yīng)用等知

識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵.

設(shè)/B=2x,根據(jù)題意得出CE=x,DE=x+4a,在RsCAE中，由勾股定理，可得

CE2+CD2=DE2,代入數(shù)值并求解，即可獲得答案.

【詳解】解：設(shè)/8=2x,

?.?四邊形/2CD是正方形，

.-.AB=BC=CD=2x,NBCD=90°,

???點(diǎn)E為8C中點(diǎn)，

;.CE=BE=LBC=X,

2

又?:CF=4a,

DE=FE=EC+CF=x+4a,

.?.在R/ACDE中，由勾股定理，^CE2+CD2=DE2,

即x2+(2無?=(x+4a)2,

整理可得x2-2ax—4a2=0,

解得：%=(丁+l)a,9=(1-君)。(舍去),

AB-2x-(2>/5+2)a,

故選：D.

4.D

【分析】本題考查相似三角形的判定，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.

由角平分線得到N1=N2,由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等得到/2=/CB。，從而

Zl=ZEBD,再由=得到△電組/4/口，故②成立；由/D=/C,

ABED=ZAEC,得到△BDEs/X/CE,故③成立；由Nl=N2,ZZ)=ZC,得到

△AECSA4BD,故④成立.綜上即可解答.

【詳解】解：、小平分/BAC,

Zl=Z2,

■■CD=CD>

答案第3頁，共28頁

.-.Z2=NCBD,

Z1=NEBD,

■■■ZADB=ZBDE,

：.ABDESAADB,故②成立；

AB=AB

ND=NC,

ABED=NAEC,

:ABDEs叢ACE,故③成立；

Z1=Z2,Z￡>=ZC,

.?.△AECs^ABD,故④成立；

根據(jù)條件無法證明①成立，因此成立的結(jié)論是②③④.

故選：D.

5.D

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)可求出點(diǎn)。、點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根

據(jù)平行線分線段成比例可求出點(diǎn)￡坐標(biāo)即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CFly軸于尸，過點(diǎn)。作DGlx軸于G,過C、E分別作x軸

的垂線，垂足分別為M、N,

???直線48的解析式為y=-2%+2,與x軸，y軸分別相交于點(diǎn)/，點(diǎn)2,

二點(diǎn)/(I,0),點(diǎn)8(0,2),

即。/=1,08=2,

■■AB=V12+22=#＞，

,??四邊形ABCD是正方形，

；/BAD=90°,AB=CD=#,

答案第4頁，共28頁

??ZCM5+4G/Z)=180。-90°=90°,

又???乙OAB+乙OBA=90°,

，乙OBA=^GAD,

???乙4QB=〃>G/=90。，

???A4O8KZ)G/(AAS),

.'.OA=DG=1,OB=GA=2f

同理CM=3/=1,OB=FC=2,

???點(diǎn)C(2,3),0(3,1),

1

-：CE=-CD9CM//EN//DG,

111

：?MN=~^G=j(3-2)=-,

111

：.ON=OM+MN=2+-=—,

55

4/13

.'.EN=-(3-1)+1=y,

???點(diǎn)￡(.，羨)，

k

又???點(diǎn)￡在反比例函數(shù)y=—的圖象上,

X

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特

征以及平行線分線段成比例，掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，反比例函數(shù)圖

象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及平行線分線段成比例定理，是正確解答的前提.

6.A

21

【分析】設(shè)原矩形/3CD的長為x,寬為丹則第一次裁剪所得矩形的長為：龍，寬為；力

以此類推得出第五次剪所得矩形有，j|]x=y即可求出答案.

【詳解】設(shè)原矩形N2C。的長為X,寬為外

則第一次裁剪所得矩形的長為：2工,寬為1

二第二次裁剪所得矩形的長為X,寬為V，

答案第5頁，共28頁

3

2

二第三次裁剪所得矩形的長為X,寬為

二第四次裁剪所得矩形的長為]IX,寬為!V，

-一?第五次裁剪所得剩下的圖形恰好是正方形,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟悉掌握該知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

7.D

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，如圖，延長尸。交NC于M,延長。。

交AB于N,易證得四邊形/M%、四邊形CMO。為平行四邊形，則MC=。。，ON=AR,

根據(jù)相似三角形的判定易得ARWSA/BC,利用相似比可得=再判斷

2

221

△NOPSAACB,利用相似比可得雙0=§0尸=力7?,由尸+]0尺+。。=2,于是解方程即

可得解，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì).

【詳解】如圖，延長P。交/C于"，延長。。交于N,

四邊形4NO7?、四邊形C"。。為平行四邊形,

.-.MC=OQ,ON=AR,

?■OM//BC,OR||AB,

："RMO=NC,NORM=NA,

xROMs^ABC,

RMORanRMOR

答案第6頁，共28頁

：.RM=-OR,

2

-OP//BC,ON//AC,

:?NNPO=/B,/ONP=AA,

ANOPS^ACB,

NOOPNOOP

???——=——,nn即——=——,

ACCB23

;.NO=-OP=AR,

3

???AR+RM+MC=AC,

??.|o尸+；OE+O0=2,

?.?OP=OR=OQf

：.-OR+-OR+OR=2

32f

：.OR=—

13

故選：D.

8.D

【分析】設(shè)。尸=加，利用正方形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可得到。。=2啦加，由題意,

以點(diǎn)。為位似中心，血尸與△05。位似，進(jìn)而可求解.

【詳解】解一?四邊形是正方形，

???ZAOD=/BCD=90°,/ADO=/BDC=ZEDF=45°,

-EF//BC,

ZEFD=ZAOD=/BCD=90°,

???ADEF與^DAO的相似比為;，

DF1

,?麗

設(shè)DF=m,則DO=2m,

/.AD=y[2DO=2y12m，

DC=2y/2m，

-EF//BC,

???以點(diǎn)。為位似中心，力EF與ADBC位似,

答案第7頁，共28頁

DFmV2

"DC2y/2m~4'

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、位似三角形的判定與性質(zhì)，理解位似

圖形的定義，得到尸與位似是解答的關(guān)鍵.

9.B

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判

定；延長/凡DC交于點(diǎn)G,得出尸是等邊三角形，△尸CG是等邊三角形，進(jìn)而證明

“AEMS&GDM,AABNS.GDN,分別求得AM,AN,根據(jù)MNAN-AM,即可求解.

【詳解】解：如圖所示，延長/凡DC交于點(diǎn)G,

???平行四邊形/BCD的邊長4B=2,ZABC=60°,

ABAD=180°-ZABC=120°,

???/斤平分/54D,

ZBAF=-ZBAD=60°,

2

尸是等邊三角形，

NAFB=60°,

又「AB=2,貝=8尸=4尸=2,

為AB的中點(diǎn)，

2

■：BF=2FC,

FC=1,

???四邊形/BCD是平行四邊形，

AB//CD

ZABC=ZBCG=60°,

答案第8頁，共28頁

又???ZCFG=NAFB=60°,

.?.△/PG是等邊三角形，

；.CG=FC=1,則。G=Z>C+CG=2+1=3,

AG=AF+FG=2+1=3,

???AB//DG,

AAEMS&DM,

AM_AE_1

??訪一麗-3'

13

???AM=-AG=~；

44

vAB//DG,

AABNS^GDN,

ANAB_2

??麗—法一

：.AN=ZAG=0,

55

故選：B.

10.B

【分析】由NBFE=NCEN,乙8=NC即可證得△8￡斗-4。\石，即可判斷①正確；根據(jù)三

角形面積公式即可判斷②正確；求得8尸=4,即可得至IJ8尸=2/尸，即可判斷③錯(cuò)誤；根據(jù)

勾股定理求得E尸，即可求△BEP的周長是12,即可判斷④正確；即可求解.

【詳解】解：???四邊形/2C。是正方形

Z5=ZC=90°,

EFLEN,

NBEF+NCEN=90°,

又???NBEF+NBFE=90°,

NBFE=ZCEN,

:ZEFsACNE,故①正確；

???四邊形是正方形，48=6,E是8c中點(diǎn),

:.CD=BC=6,CE=3,

DE=VCD2+CE2=V36+9=3百，

答案第9頁，共28頁

垂直平分BE,

設(shè)DN=x,則EN=x,CN=6)—X,

EN2=EC2+CN2,

:.x2=32+(6-X)2,解得X=B，

4

DN=——,

4

連接。州，如圖，

匚，DMN=*DN-AD=；-MN-OD,

BEC

.\DNAD=MNOD,即竺x6二

=—TW，

42

:.MN=3非,故②正確；

XBEFsACNE,

.BF_BE

,~CE~CNf

159

,;BE=CE=3,CN=6yFf

BF3

???亍―g,

4

:.BF=4,

AF=6-4=2,

:.BF=2AF,故③錯(cuò)誤；

?；BE=3,BF=4,

EF=\lBE2+"2=5，

:.ABEF的周長=3+4+5=12,故④正確；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題,考查了正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的

答案第10頁，共28頁

應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形的面積等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

11.y=-^x+3^y=-x+3

【分析】本題考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象和系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)常數(shù)加

滿足機(jī)>0且%是1和9的比例中項(xiàng)，可以求得加的值，再根據(jù)《二二二二二上，即

可求得上的值，從而可以寫出該一次函數(shù)的解析式.

【詳解】解：???常數(shù)加是1和9的比例中項(xiàng)，

???加2=1義9,

m>0,

m=3,

.cab

k=-----=------=------,

a+bb+ca+c

.?.c=k(Q+b),a=k(b+c^,6=K(Q+C),

a+b+c=2左(a+b+c),

二當(dāng)Q+6+Cw0時(shí)，k=—,

2

當(dāng)a+b+c=0時(shí)，a+c=-b,貝!J左二----=-1,

a+c

???該一次函數(shù)的解析式為y=?+3或y=-x+3,

故答案為：了=^龍+3或y=-x+3.

12.4

【分析】本題考查了作角平分線，相似三角形的判定和性質(zhì).由作圖知，8尸是N/8C的平

分線，再根據(jù)。E〃2C,ZDFB=ZDBF,得到50=。尸=2,設(shè)4D=a,CE=b,

證明AN。尸SA/8C,由相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：由作圖知，AP是Z/2C的平分線，BD=BE=2,

：.ZABF=ZCBF,

■：DE//BC,

:"DFB=ZCBF,

???ZDFB=ZDBF,

*，?BD-DF=2,

^AD=a,CE=b,

答案第11頁，共28頁

AB=a+2,BC=a+2,

-DE//BC,

???小ADFs^ABC,

AD=DFa=2

??花一五’7+2"?+2

ab+2Q=2Q+4,

ab=4f即皿CE=4,

故答案為：4.

13.

2

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì).作交3尸于得至I]AEDPSACFP,

PDFPRFDF

進(jìn)而得到瓦=正=2,設(shè)即"，BE=y,證明力即j叱，得到位=”,推出

2^+y-l=0,進(jìn)一步計(jì)算即可求解.

【詳解】解：作ED〃AC交BF于D,如圖,

v￡Z>||FC,

???AEDPSKFP,

???-E--D-=--E--P-=2c,

FCPC

CFx

設(shè)￡O=2x,BE=y,則尸C=%,AF=y,—=-

AFy

vAB=AC,BE=AF,

??.AE=FC=x,

DE//AF,

ABEDS小BAF,

BEDEy2x

——=——，即nn----二一

BAAFy+xy

答案第12頁，共28頁

2

2x1_

整理得2工2+2刈-必=0,即21三H-------1:0,

y

2

I+--1=0,

.需1y

X±V3-l

y2

CF_xy/3-1

,?=—.

AFy2

故答案為：蟲二1.

2

14.10

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，勾股定理，全等三

角形的性質(zhì)與判定，取CE中點(diǎn)G,連接尸G,則由三角形中位線定理得到尸G=；/E=2,

FG//AE,證明尸(ASA),得到03=09尸=4,再證明,得

到OE=；FG=1,貝！lO/n/E-OE=3,由勾股定理得/斤=Jo/+。尸=5,貝|

AC=2AF=10.

【詳解】解：如圖所示，取CE中點(diǎn)G,連接尸G,

???點(diǎn)尸是/C的中點(diǎn)，

."G是△NEC的中位線，

.-.FG=-AE=2,FG//AE,

2

???4E?平分/8/C,

ZBAO=ZFAO,

???AE1BF,

???AAOB=AAOF=90°,

又?..OA=OA,

AAOB^AAOF(ASA)f

：.OB=OF=LBF=4,

2

?:FGIIAE,

答案第13頁，共28頁

^BOES^BFG,

OEOB\

??拓一而一2'

：,OE=-FG=\,

2

OA=AE—OE=3,

在Rt"O尸中，由勾股定理得AF=^OA2+OF2=5，

AC=2AF=10,

故答案為：10.

【分析】勾股定理求出AB的長，中點(diǎn)和三角形中位線的性質(zhì)，求出AD,的長，由

CD4

旋轉(zhuǎn)不變性，結(jié)合勾股定理求出CD的長，證明得到——=-,進(jìn)而求出

BE5

的長即可.

【詳解】解：???N/C5=90。，/C=4,BC=3,

AB-A/32+42=5，

???點(diǎn)。是4C的中點(diǎn)，點(diǎn)E是48的中點(diǎn)，

AE=-AB=-,AD=-AC=2,DE=-BC=-,DE//BC,

22222

：.NADE=NACB=90。,

53

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得4E=5，40=2,DE、,ZADE=90°,ABAC=ZDAE,

?.C,D,￡在同一條直線上，

.-.Z^DC=90°,

-CD=4AC1-AD1=2V3，

???ABAC=ZDAE,

??./BAE=/CAD,

答案第14頁，共28頁

AD24AC4

,?,布一昏一不方”，

2

AD_AC

,,=J

AEAB

^ADC^AAEB,

CD_4

?,?~=一,

BE5

.-.BE=-CD=-x2y/j=~y/3;

442

故答案為：—V3.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，三角形的中位線定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)

等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵.

16.32

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌

Q

握相關(guān)知識(shí).設(shè)過點(diǎn)8作了軸的垂線，垂足為C,根據(jù)點(diǎn)8的坐標(biāo)求出乂=；(x>0),

3c=2,0C=4,設(shè)?"，［)，則尸(加,4),得到BP=m-2,4P=4-+,證明^OCBs^BPA,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出加，進(jìn)而求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，即可求解.

【詳解】解：設(shè)過點(diǎn)8作了軸的垂線，垂足為C,

點(diǎn)B是反比例函數(shù)M=>(x>0)上的一點(diǎn),

，勺=2x4=8,BC=2,0c=4,

8

必=一（%＞。），

設(shè)總，

y軸,4P〃y軸,

???尸（私4）,ZOCB=ZBPA=90°,

Q

：?BP=m—2,AP=4-----,

m

答案第15頁，共28頁

???ABLOB,

，ZOBC+ZPBA=90°,

??,ZOCB=90°,

丁./OBC+/COB=90。,

/COB=ZPBA,

又???ZOCB=ZBPA=90°f

AOCBS^BPA,

.PCBC

42

即加一28,

4A--

解得：加i=8,加2=2（舍去），

川8,4）,

k2=8x4=32,

故答案為：32.

17.276

【分析】如圖，連接CG,CE.證明△OBGs△即C,推出/BGO=/8CE=112.5。，推出

ZACE=45°,推出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線EC,推出當(dāng)/ELEC時(shí)，/￡的值最小，再利用

勾股定理求出3E即可.本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線面構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

【詳解】解：如圖，連接CG,CE.

BH1AC

ZBHA=90°,

答案第16頁，共28頁

???Z.ABH=45°,

ABAC=45°,

???AB=AC,AFIBC,

/.ZBAF=ZCAF=22.5°,BF=CF,

GB=GC,

ZBGF=ZCGF=67.5°,

ZGBF=ZGCF=22.5°,

-/DB=DE,/BDE=135。，

/./DBE=/DEB=22.5°,

/DBE=/GBC=/DEB=ZGCF,

:ADBES八GBC,

.BD_BE

一瓦―沃,

.BDBG

一耘一茄’

?//DBG=ZEBC,

:ADBGS八EBC,

/BGD=NBCE='\25。,

?.?N/CB=67.5。，

:.ZACE=45°f

點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線EC,

???當(dāng)4E，EC時(shí)，AE的值最小，

此時(shí)NEAC=NACE=45°,AE=CE,

則/爐+。爐=/。2,

■■AE=CE=—AC=2y/2,

2

即最小值為2夜.

止匕時(shí)ZBAE=90°,BE=JAB、AE?=5+(2后=2屈,

故答案為.

18.3或5

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，相似三角形的判定與性質(zhì).分

答案第17頁，共28頁

兩種情況，當(dāng)點(diǎn)石在線段45上時(shí)，證出尸為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出

CD=CF=3,則可得出力尸=3；當(dāng)點(diǎn)E在線段切的延長線上時(shí)，證明△BDEs^CFD,

得出比例線段||=2，可求出W則可得出

【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)E在線段48上時(shí)，如圖1,

???AB=6,

???。為3C的中點(diǎn),

DE//AC,

ZBDE=ZC=60,

???ZEDF=60°,

ZCDF=60°,

.?.△cr獷為等邊三角形,

：.CD=CF=3,

AF=3；

當(dāng)點(diǎn)E在線段A4的延長線上時(shí)，如圖2,

???ZEDF=60°,

圖2

NBDE+ACDF=120°,

又YZ5=60°,

/BDE+ZE=120°,

答案第18頁，共28頁

/￡=/CDF,

又?:/B=/C,

:ABDES^CFD,

.BE_BD

,~CD~~CF"

,.?9_一3,

3CF

:.CF=\,

AF=AC-CF=5.

綜上所述，尸的長為3或5.

故答案為：3或5.

19.(1)3

⑵此時(shí)小亮與燈柱的距離為2.25m

【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用.

(1)由△4￡尸利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可求解；

(2)由八KGHs^KDC,利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可求解.

【詳解】(1)解：由題意得△力WS4/QC,

EFAE

,?布一茄’

1.5_AE

''~6~AE+9'

解得/E=3m；

故答案為：3；

(2)解：由題意得△KG〃S/XKZ)C,

HGKG

,?而一而‘

1:一x1.5

1.3_2，

~6~0J5+GD

解得GO=2.25m；

答：此時(shí)小亮與燈柱的距離為2.25m.

20.(1)見解析；(2)6：4：5

【分析】(1)利用平行線分線段成比例定理即可解決問題；

(2)分別求出/?、GH、GE即可解決問題；

答案第19頁，共28頁

【詳解】解：(1)證明：???四邊形是正方形,

VAB//CDfAB=CD,

???DE=CE,

?DE_DG_I

一~AB~^G~2'

BG=2DG.

(2)vABI/CD,AB=CD,

???DE=CE,

.DE_DGEG

在RtAADE中，AD=4,DE=2,

/￡=2右，

/.EG=拽，

3

同法可得5/=26，

AB=AD,ZBAF=ZADE,AF=DE,

\BAF=\ADE,

/ABF=ZDAE,

ZDAE+ZBAH=90°,

:.NABF+NBAH=9。。,

:.ZAHB=90°,

AELBF,

AB.AF4x2_4布

BF一宰一

,*2癢**q

AH:HG:GE=—:—:—=6:4:5.

5153

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈

活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.

21.(1)見解析

(2)\￡flC=1;CF=^

【分析】（1）通過等腰直角三角形的性質(zhì)可得N/2C=ZD2E=45。，BC=6AB,

答案第20頁，共28頁

BE=41BD,再根據(jù)兩邊成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，即可證明；

(2)延長/C,過點(diǎn)E作EGL/C于點(diǎn)G,證明ZUBD0aGDE,得出AS=加=4,

EG=4。=1,根據(jù)三角形的面積公式求出S.me即可;

延長EC,過點(diǎn)。作。H_L￡C于點(diǎn)”，根據(jù)△8/Os^BCE,得出/BCE=/A4C=90。,

證明AOC”為等腰直角三角形，得出。"=。〃=*=爰=呼，根據(jù)勾股定理得出

CE=SJCG2+EG2=Vl2+12=V2>求出E〃=CE+S=拒+上也=生旦，證明

22

CFCF

△ECFs^EHD,得出±-=*巳，代入數(shù)據(jù)求出結(jié)果即可.

DHEH

【詳解】（1）證明：???/5=4C,ABAC=90°,

22

N4BC=NNC3=；x90。=45°,BC=AB+AC==472，

???線段DE線段DB繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到，

BD=ED/BDE=90°,

...ZDBE=ZDEB=-x90°=45°,BE=6BD,

2

；./ABC-ZDBC=NDBE-ZDBC,

即ZABD=ACBE,

■■■BC=42AB,BE=GBD，

.?堊=里=近,

ABBD

???ABADsABCE.

(2)解：延長ZC,過點(diǎn)E作￡G，/C于點(diǎn)G,如圖所示:

則ZEGD=90°,

AD_1

AC=4,

~DC~3

??.AD=—x4=l,CD=-x3=3

3+13+1

???/BAD=/BDE=ZEGD=90°,

答案第21頁，共28頁

???/ABD+AADB=ZADB+ZEDG=90°,

???AABD=ZEDG,

?：BD=DE,

??△ABD注/\GDE,

；.DG=加=4,EG=AD=\,

113

皿222

延長EC,過點(diǎn)。作DHLEC于點(diǎn)X,如圖所示:

則/Q〃C=90。，

根據(jù)解析（I）可知，ABADs^BCE,

??./BCE=ABAC=90°,

???/ZCB=45。，

??./DCH=180。—90?！?5。=45。，

?：/DHC=90。,

??.△DC”為等腰直角三角形，

.?.S3=半=2=逑

J2J22

VDG=4,DC=3,

,-.CG=4-3=l,

在RtaCEG中，根據(jù)勾股定理得：

CE=^CG2+EG2