職高指數(shù)函數(shù)試題及答案

職高指數(shù)函數(shù)試題及答案姓名：____________________

一、選擇題（每題[5]分，共[25]分）

1.函數(shù)\(y=2^x\)的圖像在下列哪個象限？

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.若\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），則當(dāng)\(a\)取值在下列哪個區(qū)間時，函數(shù)圖像在第一象限？

A.\(0<a<1\)

B.\(1<a<2\)

C.\(a>2\)

D.\(a=2\)

3.函數(shù)\(y=3^x\)的圖像經(jīng)過下列哪個點？

A.(0,1)

B.(1,3)

C.(2,9)

D.(3,27)

4.若\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），則當(dāng)\(x\)增大時，函數(shù)值的變化趨勢是？

A.單調(diào)遞增

B.單調(diào)遞減

C.先增后減

D.先減后增

5.函數(shù)\(y=2^x\)的反函數(shù)是？

A.\(y=\log_2x\)

B.\(y=\log_3x\)

C.\(y=\log_4x\)

D.\(y=\log_5x\)

二、填空題（每題[5]分，共[25]分）

6.函數(shù)\(y=2^x\)的定義域是______，值域是______。

7.函數(shù)\(y=3^x\)的單調(diào)性是______。

8.若\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），則當(dāng)\(x\)從負(fù)無窮大到正無窮大時，函數(shù)值的變化趨勢是______。

9.函數(shù)\(y=2^x\)的圖像與\(y=3^x\)的圖像在______象限相交。

10.若\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），則當(dāng)\(a\)取值在______時，函數(shù)圖像在第二象限。

三、解答題（每題[10]分，共[30]分）

11.已知函數(shù)\(y=2^x\)，求\(y\)在\(x=3\)時的函數(shù)值。

12.若函數(shù)\(y=a^x\)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，求\(a\)的取值范圍。

13.函數(shù)\(y=3^x\)的圖像與直線\(y=kx+b\)相切于點\((2,9)\)，求\(k\)和\(b\)的值。

四、應(yīng)用題（每題[10]分，共[20]分）

14.某公司年銷售額\(y\)（單位：萬元）與廣告投入\(x\)（單位：萬元）之間的關(guān)系近似為指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)，已知當(dāng)\(x=1\)時，\(y=4\)，當(dāng)\(x=2\)時，\(y=16\)。求該公司的年銷售額與廣告投入之間的關(guān)系式。

15.某產(chǎn)品銷售價格\(P\)（單位：元）與銷售量\(Q\)（單位：件）之間的關(guān)系近似為指數(shù)函數(shù)\(P=a^Q\)，已知當(dāng)\(Q=1\)時，\(P=100\)，當(dāng)\(Q=2\)時，\(P=400\)。求該產(chǎn)品的銷售價格與銷售量的關(guān)系式，并計算當(dāng)銷售量為5件時的銷售價格。

五、證明題（每題[10]分，共[20]分）

16.證明：對于任意實數(shù)\(x_1\)和\(x_2\)，若\(x_1>x_2\)，則\(2^{x_1}>2^{x_2}\)。

17.證明：對于任意實數(shù)\(x\)，函數(shù)\(y=3^x\)的導(dǎo)數(shù)\(y'=3^x\ln3\)。

六、綜合題（每題[10]分，共[20]分）

18.已知函數(shù)\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的圖像經(jīng)過點\((1,2)\)和\((3,8)\)，求函數(shù)的解析式。

19.函數(shù)\(y=2^x\)的圖像與直線\(y=-x+3\)相交于點\(A\)和\(B\)，求點\(A\)和\(B\)的坐標(biāo)。

試卷答案如下：

一、選擇題答案及解析：

1.A

解析：函數(shù)\(y=2^x\)的圖像位于第一象限，因為當(dāng)\(x\)為任意實數(shù)時，\(2^x\)始終大于0。

2.A

解析：當(dāng)\(0<a<1\)時，指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)的圖像在第一象限，因為\(a\)的值小于1，使得\(a^x\)隨\(x\)增大而減小，但始終為正。

3.B

解析：函數(shù)\(y=3^x\)的圖像經(jīng)過點\((1,3)\)，因為\(3^1=3\)。

4.A

解析：當(dāng)\(x\)增大時，\(a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）的值隨\(a\)的增大而增大，隨\(a\)的減小而減小。

5.A

解析：函數(shù)\(y=2^x\)的反函數(shù)是\(y=\log_2x\)，因為\(2^{\log_2x}=x\)。

二、填空題答案及解析：

6.定義域：\((-\infty,+\infty)\)；值域：\((0,+\infty)\)

解析：指數(shù)函數(shù)\(y=2^x\)的定義域為所有實數(shù)，值域為正實數(shù)。

7.單調(diào)遞增

解析：函數(shù)\(y=3^x\)的單調(diào)遞增性可以從\(3^x\)的導(dǎo)數(shù)\(y'=3^x\ln3\)得出，因為\(\ln3>0\)。

8.隨\(x\)增大而增大

解析：當(dāng)\(x\)從負(fù)無窮大到正無窮大時，\(a^x\)的值隨\(a\)的增大而增大。

9.第一象限

解析：函數(shù)\(y=2^x\)和\(y=3^x\)的圖像都在第一象限相交，因為\(2^x\)和\(3^x\)都在\(x\)為正數(shù)時為正。

10.\(0<a<1\)

解析：當(dāng)\(0<a<1\)時，指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)的圖像在第二象限。

三、解答題答案及解析：

11.\(y=2^3=8\)

解析：直接將\(x=3\)代入函數(shù)\(y=2^x\)中計算。

12.\(a>1\)

解析：由于\(y=a^x\)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，所以\(a\)必須大于1。

13.\(k=-\frac{1}{2}\)，\(b=\frac{5}{2}\)

解析：由相切條件\(3^x=-x+3\)得\(3^x+x-3=0\)，解得\(x=1\)，代入得\(k=-\frac{1}{2}\)，再代入得\(b=\frac{5}{2}\)。

四、應(yīng)用題答案及解析：

14.\(y=4^x\)

解析：由題意得\(4^1=4\)，\(4^2=16\)，所以\(a=4\)，函數(shù)關(guān)系式為\(y=4^x\)。

15.\(P=2^Q\)，\(P=32\)元

解析：由題意得\(2^1=100\)，\(2^2=400\)，所以\(a=2\)，函數(shù)關(guān)系式為\(P=2^Q\)，當(dāng)\(Q=5\)時，\(P=2^5=32\)元。

五、證明題答案及解析：

16.證明：

解析：由于\(2^{x_1}>2^{x_2}\)等價于\(2^{x_1}-2^{x_2}>0\)，且\(2^{x_1}-2^{x_2}=2^{x_2}(2^{x_1-x_2}-1)\)，因為\(2^{x_1-x_2}>1\)（\(x_1>x_2\)），所以\(2^{x_1-x_2}-1>0\)，從而\(2^{x_1}-2^{x_2}>0\)。

17.證明：

解析：由于\(y=3^x\)的導(dǎo)數(shù)\(y'=3^x\ln3\)可以通過鏈?zhǔn)椒▌t和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式得出。

六、綜合題答案及解析：

18.\(y=2^x\)

解析：由題意得\(2^1=2\)，\(2^3=8\)，所以\(