平面直角坐標系與函數(shù)初步 -2025年浙教版九年級中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

浙教版中考數(shù)學(xué)第一輪專題復(fù)習(xí)講義

第二單元方程(組)與不等式(組)

《第9講平面直角坐標系與函數(shù)初步》

【知識梳理】

1.平面直角坐標系

(1)坐標平面內(nèi)的點與有序?qū)嵔虒κ且灰粚?yīng)的.X軸、y軸上的點不屬于任何象限.

⑵各象限內(nèi)點的坐標特征：

①點P(x,y)在第一象限Qx>0,y>0.

②點P(x,y)在第二象限QxVO,y>0.

③點P(x,y)在第三象限QxVO,yVO.

④點P(x,y)在第四象限Qx>0,yVO.

⑶特殊點的坐標特征：

①點P(x,y)在x軸上Qx為任意賣數(shù)，y=0.

②點P(x,y)在y軸上Q,x=0,y為任意實數(shù).

③點尸(x,y)既在無軸上，又在y軸上Qx,y同時為0,即點尸的坐標為(0,0).

④點P(x,y)在第一、三象限坐標軸夾角的平分線上Qx=y.

⑤點尸(x,y)在第二、四象限生標軸夾角的平分線上Qx+y=0.

(4)平行于坐標軸的直線上的點的坐標特征：

①平行于x軸(或垂直于y軸)的直線上的點：縱生標相同,橫生標為不相等的實數(shù).

②平行于y軸(或垂直于x軸)的直線上的點:橫坐標相同,縱坐標為不相等的實數(shù).

(5)點與坐標軸的距離：

①點P(a,力到x軸的距離等于網(wǎng).

②點P(a,。)到y(tǒng)軸的距離等于1al.

(6)平面直角坐標系中的平移：

①點的平移:在平面直角坐標系中，將點P(x,y)向右或向左平移a(a>0)個單位，可以得到的

對應(yīng)點的坐標為(x+a,y)或(x—a,y);將點P(x,y)向上或向下平移儀。>0)個單位,

可以得到的對應(yīng)點的坐標為(x,y+方)或(X,y—。).

②圖形的平移:對于一個圖形的平移，這個圖形上所有點的坐標都要發(fā)生相應(yīng)的變化，反過來,

從圖形上的點的坐標的某種變化也可以看出對這個圖形進行了怎樣的平移.

(7)平面直角坐標系中的對稱點的坐標：

對稱點的坐標的特征:點P(x,y)關(guān)于x軸的對稱點Pi的坐標為(x,—y);關(guān)于y軸的對稱

點尸2的坐標為(-x,y);關(guān)于原點的對稱點尸3的坐標為(-x,—y).

2.函數(shù)與圖象

(1)常量與變量:在一個過程中，固定不變的量叫做常量,可以取不同數(shù)值的量叫做變量.

(2)函數(shù):一般地，在某個變化過程中，設(shè)有兩個變量x,?如果對于x的每一個確定的值，y

都有唯一確定的值與之對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量.

(3)函數(shù)的表示方法:①解析法;②列表法;③圖象法.

(4)函數(shù)值:對于一個函數(shù)，如果當自變量尤=。時，函數(shù)那么人叫做自變量的值為a時

的函數(shù)值.

(5)函數(shù)的圖象:一般地，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的橫坐

標、縱坐標，那么坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象.

描點法畫函數(shù)圖象的一般步驟:①列表：②描點：③連線.

【考題探究】

類型一坐標平面內(nèi)的點的坐標特征

【例1][2023?麗水]在平面直角坐標系中，點P(T,m2+1)位于(B)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

變式1[2024?濱州]若點P(l—2a,a)在第二象限，那么a的取值范圍是(A)

11

A.〃>—B.QV—

22

11

C.0<a<-2D.0^a<-2

【解析】VAP(l-2a,a)在第二象限,

fl—2aV0,i

斛得。>]

(a>0,

類型二確定點的坐標

[例2][2023?臺州]如圖是中國象棋棋盤的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，已

知“隼”所在位置的坐標為（一2,2）,則“炮”所在位置的坐標為（A）

A.(3,1)B.(l,3)

C.(4,1)D.(3,2)

變式2—1[2024?廣西]如圖，在平面直角坐標系中，。為坐標原點，點尸的坐標為（2,1）,

則點。的坐標為（C）

r------1---------1------1

卜——卜--+J

變式2—1圖

A.(3,0)

B.(0,2)

C.(3,2)

D.(l,2)

變式2—2[2024?甘孜州]如圖，在一個平面區(qū)域內(nèi)，一臺雷達探測器測得在點A,B,。處

有目標出現(xiàn).按某種規(guī)則，點A,5的位置可以分別表示為（1,90。），（2,240°）,則點C的位

置可以表示為（3,30。）,

變式2—2圖

類型三平面直角坐標系中的平移、旋轉(zhuǎn)與對稱

【例3】在平面直角坐標系xOy中，點A/（—4,2）關(guān)于x軸的對稱點的坐標為（-4,—2）,

關(guān)于y軸的對稱點的坐標為（4,2）,關(guān)于原點對稱點的坐標為（4,-2）.

變式3—1[2023?杭州]在直角坐標系中，把點2）先向右平移1個單位，再向上平移3

個單位得到點區(qū)若點5的橫坐標和縱坐標相等，則機=（C）

A.2B.3

C.4D.5

【解析】?把點2）先向右平移1個單位，再向上平移3個單位得到點5,

AAB(m+1,2+3).

又AB的橫生標和縱生標相等,

.,.m+1=5,J.m—4.

變式3—2[2023?東營]如圖，在平面直角坐標系中，菱形。43c的邊長為2連，點3在x

軸的正半軸上,且ZAOC=60°，將菱形Q4BC繞原點。逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°,得到菱形OA'BC,

則點"的坐標是（B）

A.(3V6,3V2)B.(3V2,3V6)

C.(3V2,6V2)D.(6V2,3V6)

類型四函數(shù)的概念與自變量的取值范圍

【例4】下列圖象中，能表示y是關(guān)于x的函數(shù)的是（A）

變式4［2024?齊齊哈爾］在函數(shù)y=++中，自變量x的取值范圍是.x>—3JL—

2.

類型五行程問題、物理問題中函數(shù)的圖象

［例5］［2023?溫州］【素材1］某景區(qū)游覽路線及方向如圖1所示，①④⑥各路段路程相等,

⑤⑦⑧各路段路程相等，②③兩路段路程相等.

【素材2］設(shè)游玩行走速度恒定，經(jīng)過每個景點都停留20分鐘.小溫游路線①④⑤⑥⑦⑧用時

3小時25分鐘;小州游路線①②⑧，他離入口的路程s與時間t的關(guān)系（部分數(shù)據(jù)）如圖2所示,

在2100米處，他到出口還要走10分鐘.

【問題】路線①③⑥⑦⑧各路段路程之和為（B）

典例5圖

A.4200米B.4800米

C.5200米D.5400米

【解析】由圖象易得，游玩行走的速度為=60（米/分）.

752x20

設(shè)①④⑥各路段的路程都為a來，⑤⑦⑧各路段的路程都為b米，②③各路段的路程都為

米，

則小州游玩的路線各路段路程之和為a+c+b=2100+60X10=2700(米).

而小溫游玩的路線各路段路程之和為3(a+方)=(205—5X20)X60=6300(米).

易將a+i>=2100,c=600,

則所求路線各路段路程之和為2(a+Z?)+c=4800米.

變式5-1吳老師家、公園、學(xué)校依次在同一條直線上，家到公園、公園到學(xué)校的距離分別

為400m,600m.他從家出發(fā)勻速步行8min到公園后，停留4min,然后勻速步行6min到

學(xué)校?設(shè)吳老師到公園的距離為y(m),所用時間為x(min),則下列表示y與x之間函數(shù)關(guān)系的

圖象中，正確的是(C)

【解析】吳老師從彖出發(fā)勻速步行8min到公園，則y的值由400變?yōu)?,

吳老師在公園停留4min,則y的值仍然為0,

吳老師從公園勻速步行6min到學(xué)校，則在18分鐘時，y的值為600.

變式5—2[2024?金華模擬改編]小明與小華相約到公園去爬山，上午7:00,小明乘坐汽車從

家出發(fā)，同時小華乘坐公交車從學(xué)校出發(fā)，沿公路(如圖)前往公園.上午8:00,小明追上小華

并繼續(xù)前行，途徑超市時，小明下車購買水和食品，然后乘車按原速前行，最后和小華同時

到達公園.設(shè)小明與小華離超市的路程為s(km),所用時間為/(h),則下列圖象能正確反映上述

過程的是（C）

變式5—3[2023?嘉興、舟山]如圖所示為底部放有一個實心鐵球的長方體水槽軸截面示意圖,

現(xiàn)向水槽勻速注水，下列圖象中能大致反映水槽中水的深度與注水時間Q）關(guān)系的是（D）

類型六幾何問題中函數(shù)的圖象

【例6][2024?瑞安模擬]如圖1,在Rt^ABC中，ZC=90°,P為線段A3上的動點，并以

每秒1個單位的速度從點A向點3運動，到達點B時停止.過點P作PM1AC于點M,PN±

BC于點、N,連結(jié)MN,線段MN的長度y與點P的運動時間x(s)的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，則

函數(shù)圖象最低點E的坐標為(B)

M

C

APB8^(s)

圖1圖2

典例6圖

A.(2,3)B.(2,2V3)

C《，2V3)D&3)

【解析】如答圖，連結(jié)C2

w

APB

典例6答圖

VZC=90°,PMLAC,PN±BC,

四邊形PMCN為矩形，

：.CP=MN.

當CPLA5時，CP最短，即M/V最短.

當點尸住?于點A處時，x=0,y=4,即AC=4,

當點尸位于點5處時，x=8,即A5=8

1

：.COSZCAP=-：.ZCAP=60°,

29

i

：

.AP=-2AC=2,

：.CP=JAC2-AP2=2V3,

.?.點E(2,2V3).

變式6[2024?臨夏州]如圖1,在矩形A3CD中，3。為其對角線，一動點P從點。出發(fā)，

沿著。-3—C的路徑行進，過點P作PQLCD,垂足為。設(shè)點P的運動路程為x,PQ-DQ

為y,若y與x的函數(shù)圖象如圖2,則AD的長為（B）

力

圖1圖2

變式6圖

A.-V2

3

C.-V3

4D片

【解析】由圖象，得CZ>=2.

當BD+BP=4時，PQ=CD=2.

設(shè)AO—CD=a,則BD=4~a.

在RS5CD中，BD2~BC2=CD2,

即(4一a)2-(a+2)2=22,

2

斛得。=不

AD=d~\~2=-.

3

類型七探究問題中函數(shù)的圖象

【例7][2024?北京]小云有一個圓柱形水杯（記為1號杯）.在科技活動中，小云用所學(xué)數(shù)學(xué)

知識和人工智能軟件設(shè)計了一個新水杯，并將其制作出來.新水杯（記為2號杯）示意圖如圖.

當1號杯和2號杯中都有V（mL）水時，小云分別記錄了1號杯的水面高度/n（cm）和2號杯的

水面高度//2（cm）,部分數(shù)據(jù)如下：

V(mL)040100200300400500

/zi(cm)01.02.55.07.510.012.5

/i2(cm)02.84.87.28.910.511.8

（1）補全表格（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.

（2）通過分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫加與V,比與V之間的關(guān)系.在給出的平面直角坐標系

中，畫出這兩個函數(shù)的圖象.

（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決下列問題:

①當1號杯和2號杯中都有320mL水時,2號杯的水面高度與1號杯的水面高度的差約為二

cm（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.

②在①的條件下，將2號杯中的一部分水倒入1號杯中，當兩個水杯的水面高度相同時，其

水面高度約為8.6cm（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）.

1

解⑴設(shè)加=左匕將（100,2.5）代入，得2.5=100匕斛得左=上,

40

1

工加=印

?."=40,：.h1=1.0.

（2）如答圖所示.

/z(cm)八

100：2。0；300：400：500

0--I——X■一1一一_1__1_一』——I——4--WmL)

典例7卷圖

(3)①當V=320mL時，hi=8.0cm,由圖象可知相差約為1.2cm.

②作與x軸平行的直線y=a,取它被兩個函教圖象所戳的線段A5,當線段A5故直線x=320

垂直平分時，a~8.6,故當兩個水杯的水面高度相同時，其水面高度約為8.6cm.

【課后作業(yè)】

1.［2024?成都］在平面直角坐標系xOy中，點P(l,—4)關(guān)于原點對稱的點的坐標是(B)

A.(-l,-4)B.(-l,4)

C.(b4)D.(l,-4)

2.［2023?紹興］在平面直角坐標系中，將點(加,咒)先向右平移2個單位，再向上平移1個單位，

最后所得點的坐標是(D)

A.(m―2,n-1)B.(m-2,n+1)

C.(根+2,n—1)D.(m+2>n+1)

3.［2024?廣元］如果單項式一x2?/與單項式2%4>2-〃的和仍是一個單項式，那么在平面直角坐

標系中，點(如〃)在(D)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［解析】單項式一工2勺3與單項式2x4y2~n的和仍是一個單項式，

/.2m=4,2~n=3,

斛得7〃=2,n=-1,

.?.點(2,—1)所在的象F艮為第四象F艮.

4.小聰某次從家出發(fā)去公園游玩的行程如圖所示，他離家的路程為s米，所經(jīng)過的時間為/分

鐘.下列圖象中，能近似刻畫s與f之間關(guān)系的是(A)

休息10分鐘

公園

第4題圖

5.[2024?廣安]向如圖所示的空容器內(nèi)勻速注水，從水剛接觸底部時開始計時，直至把容器

注滿，在注水過程中，設(shè)容器內(nèi)底部所受水的壓強為y（單位:帕），時間為x（單位:秒），則y關(guān)

于x的函數(shù)圖象大致為（B）

第5題圖

6.[2024?湖北]在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（一4,6）,將線段OA繞點0順時

針旋轉(zhuǎn)90。，則點A的對應(yīng)點4的坐標為（B）

第6題圖

A.(4,6)B.(6,4)

C.(—4,—6)D.(—6,—4)

7.龜兔賽跑之后，輸了比賽的兔子決定和烏龜再賽一場.如圖的函數(shù)圖象表示了龜兔再次賽跑

的過程（x表示兔子和烏龜從起點出發(fā)所走的時間，yi,”分別表示兔子和烏龜所走的路程）.

下列說法錯誤的是（C）

第7題圖

A.兔子和烏龜比賽的路程是500米

B.中途，兔子比烏龜多休息了35分鐘

C.兔子比烏龜多走了50米

D.比賽結(jié)果，兔子比烏龜早5分鐘到達終點

8.在平面直角坐標系中，已知點2）與點3（3,〃）.若點A和點3關(guān)于x軸對稱，則機=3,

n=-2;若點A和點3關(guān)于y軸對稱,則m=-3,n=2;若點A和點3關(guān)于原點

對稱，貝!Jm=-3,n—2.

9.三個能夠重合的正六邊形的位置如圖所示.已知點B的坐標為（一班，3）,則點A的坐標

為.（后—3）—.

【解析】易知點、A和點5關(guān)于原點、對稱.

又,點5的生標為（一'g,3）,

.?.點A的金標為（百，-3）.

10.[2023?自貢]如圖1,小亮家、報亭、羽毛球館在一條直線上.小亮從家跑步到羽毛球館打

羽毛球，再去報亭看報，最后散步回家.小亮離家距離y與時間x之間的關(guān)系如圖2所示.下列

結(jié)論正確的是①②③（填序號）.

①小亮從家到羽毛球館用了7分鐘.

②小亮從羽毛球館到報亭平均每分鐘走75米.

③報亭到小亮家的距離是400米.

④小亮打羽毛球的時間是37分鐘.

小亮家—報亭—羽毛球館

圖1

第10題圖

【解析】由圖象得，小亮從彖到羽毛球偏用了7分鐘，①正確.

小亮從羽毛球稔到報亭的平均速度為（1.0—0.4）+（45-37）=0.075（千米/分）=75（米/分），②正

確.

由圖象得，報亭到小亮彖的距離是0.4千米，即400米，③正確.

小亮打羽毛球的時間是37—7=30（分），④錯誤.

綜上所述，正確的結(jié)論是①②③.

11.[2024?包頭改編]如圖，在平面直角坐標系中，四邊形。45c各頂點的坐標分別是。（0,

0),A(l,2),B(3,3),C(5,0),求四邊形。43c的面積.

解:如答圖，過點A作AE±x軸于點E,過點B作BF±x軸于點E

第9題答圖

?.?點0(0,0),A(l,2),5(3,3),C(5,0),

：.OE=1,AE=2,BF=3,CF=2,EF=2,

?*.四邊形OABC的面積=SAAOE+SABCF+S梯形ABFE

=-X1X2+-X3X2+(2+3)X2=9,

222

12.德國醫(yī)生菲里斯和奧地利心理學(xué)家斯瓦波達經(jīng)過長期臨床觀察發(fā)現(xiàn)，從出生之日起，人的

情緒呈周期性變化，在前30天內(nèi)，情緒的部分數(shù)據(jù)及函數(shù)圖象如表：

天數(shù)/???2021222324252627282930

波動值s…0.300.312.23.85.77.81012.314.3

20僻髀JT-I-!_i_rrrTT-i-|-i-|-rrTT-|-|-

111111111i?iiii?

111111111??i??i?

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一1一<L』」」」-l_i_l.XJ.J-l.

111iSsJ111

11111

。1357911131517192123252729304無數(shù)）

第12題圖

⑴數(shù)學(xué)活動：

①根據(jù)表中數(shù)據(jù)，通過描點，連線(光滑曲線)的方式補全該函數(shù)的圖象.

②觀察函數(shù)圖象，當/=14時，s的值為多少?當s的值最大時，/的值為多少？

(2)數(shù)學(xué)思考:請結(jié)合函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)或結(jié)論.

⑶數(shù)學(xué)應(yīng)用:根據(jù)研究，當s>10時處于情緒高潮期，心情愉快;當sVIO時為情緒低潮期，心

情煩躁;當s=10時為臨界日，心情平穩(wěn).若小海從出生到今天的天數(shù)為5501天，則今天他心

情如何?

解：(1)①補全該曲教的圖象如答圖.

和(波動值)

2市:：T-!-!

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C.J.XJ-1-1-

JIIIII

135791113151719212325272930//數(shù)）

第12題答圖

②根據(jù)圖象以及周期性易知當，=14時，s=10;

當