三角函數(shù)壓軸小題十五大題型（學(xué)生版）-2024年高考數(shù)學(xué)重難點題型突破

重難點專題21三角函數(shù)壓軸小題十五大題型匯總

題型1新文化問題....................................................................1

題型2新定義問題....................................................................3

題型3黃金分割相關(guān)問題.............................................................4

題型4扇形相關(guān)問題.................................................................6

題型5三角函數(shù)公式相關(guān)問題........................................................9

題型6三角函數(shù)性質(zhì)問題............................................................10

題型7識圖問題.....................................................................11

題型8湊角求值問題................................................................14

題型9最值相關(guān)問題................................................................15

題型103相關(guān)問題.................................................................16

題型11⑴相關(guān)問題..................................................................17

題型12實際應(yīng)用問題...............................................................18

題型13恒成立問題.................................................................20

題型14零點相關(guān)問題...............................................................22

題型15與數(shù)列相關(guān)問題.............................................................23

題型1新文化問題

【例題1】（2023秋?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）我國人臉識別技術(shù)處于世界領(lǐng)先地位.所

謂人臉識別，就是利用計算機檢測樣本之間的相似度，余弦距離是檢測相似度的常用方法.

假設(shè)二維空間中有兩個點4（肛％）,BQ2,及），O為坐標原點，余弦相似度為向量雨，而夾

角的余弦值,記作cos（4B）,余弦距離為1-cos（A,B）.已知P（cosa,sina）,Q（cos/7,si呼）,R

（cosa,-sina）,若P,Q的余弦距離為tana?tan”,則Q,R的余弦距離為（）

A.-2RD--3CJ-4D-7

【變式1-1]1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）法國著名軍事家拿破侖?波拿巴最早提出的一

個幾何定理："以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形

的外接圓圓心恰為等邊三角形的頂點”.如圖，在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為

a,b,c,且10（sin等）=7-COS2A以4B,BC/C為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心

依次為。1,。2，。3.則角4=

【變式1-1】2.（2023?全國?鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家梅文鼎，為清代

"歷算第一名家"和"開山之祖"，在其著作《平三角舉要》中給出了利用三角形的外接圓

證明正弦定理的方法.如圖所示，在梅文鼎證明正弦定理時的構(gòu)圖中，。為銳角三角形4BC外

接圓的圓心.若sinzB4C=孚，則COS2NOBC=（）

A.乎B.一舉C.|D.

【變式1-1】3.（2023春?河北石家莊?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）古希臘畢達哥拉斯學(xué)派在公元

前6世紀研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618,這一數(shù)值也可

以表示為a=2cos72°,則弋詈'=.

【變式1-1】4.（2023?浙江?校聯(lián)考二模）數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫做

Proofwithoutwords,也被稱為無字證明，是指僅用圖象而無需文字解釋就能不證自明的

數(shù)學(xué)命題，由于這種證明方法的特殊性，無字證時被認為比嚴格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅與有條

理.如下圖，點c為半圓。上一點，CHLAB,垂足為記=貝由tan乙=器可

以直接證明的三角函數(shù)公式是（）

c

AOHB

A.tan|=-^-B.tan|=-f^-

21-cos^21+cos^

+“61-COS。cl+cos。

rUtan二高廠D.tan-=-^

【變式1-1]5.（2023?江蘇南京?南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）我國古代

數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用"九服號影算法”在《大衍歷》中建立了暑影長I與太陽天頂距。

（0。<8<90。）的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上最早的一整正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識可

知，暑影長度I等于表高h與太陽天頂距。正切值的乘積，即1=htan8,對同一"表高"兩

次測量，第一次和第二次太陽天頂距分別為a、S,若第一次的"號影長"是"表高"的3

倍，且tan（a—0）=2則第二次"號影長"是"表高"的（）倍.

A.1B.|C.|D.\

【變式1-1】6.（2022秋?安徽合肥?高三?？计谥校?shù)學(xué)必修二101頁介紹了海倫-秦九韶

公式：我國南宋時期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊

長求三角形的面積的公式，與著名的海倫公式完全等價，由此可以看出我國古代已具有很高

的數(shù)學(xué)水平，其求法是："以小斜幕并大斜幕減中斜幕，余半之，自乘于上.以小斜幕乘大

斜幕減上，余四約之，為實.一為從隔，開平方得積若把以上這段文字寫成公式，即5=

J強2c2_（七）],其中口、b、c分別為△48C內(nèi)角4B、C的對邊.若嘿詈=熹,

b=2,則△ABC面積S的最大值為（）

A.V3B.V5C.2D.V2

題型2新定義問題

【例題2】（2023?湖南長沙?長沙市實驗中學(xué)校考二模）正割（Secant）及余割

（Cosecant）這兩個概念是由伊朗數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿布爾?威發(fā)首先引入，sec,esc這兩

個符號是荷蘭數(shù)學(xué)家基拉德在《三角學(xué)》中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行.在三角中，

定義正割seca=熹，余割csca=^.則函婁好(x)=去++的值域為()

A.[—1,1]B.[—

C.[-2,2]D.[-V2,-1)U(-1,1)U(1,V2]

【變式2-1】1.(多選)(2023?安徽安慶?安慶一中?？寄M預(yù)測)正割(Secant)及余割

(Cosecant)這兩個概念是由伊朗數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿布爾?威發(fā)首先引入，sec,esc這兩個

符號是荷蘭數(shù)學(xué)家基拉德在《三角學(xué)》中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行.在三角中，定

1111

義正割seca=z羲，余割csca=/G已知函數(shù)f(w=超+去，給出下列說法正確的是

()

A.f(x)的定義域為｛x|x豐knkeZ｝；

B./(x)的最小正周期為2n；

C.f(x)的值域為[-V2,-1)U(-1,1)U(1,V2]；

D./(x)圖象的對稱軸為直線x=-￡+kir(kez).

【變式2-1】2.(2023?全國?高三專題練習(xí))一般地，存在一個幾次多項式〃(久)，使得cos九久=

Tn(cosx),這些多項式Tn(X)稱為切比雪夫多項式.由cos2久=2cos2久一1,知RO)=2久2

-1,通過運算，可以得到cos3x的切比雪夫多項式三(久)=—,結(jié)合上述知識計算cos

36°=.

題型3黃金分割相關(guān)問題

【例題3】(2022?貴州安順?統(tǒng)考模擬預(yù)測)黃金分割點是指將一條線段分為兩部分，使得

較長部分與整體線段的長的比值為亨的點.利用線段上的兩個黃金分割點可以作出正五角

星，如圖所示，已知C,D為AB的兩個黃金分割點，研究發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：器=筆=穿=

亨.若等腰ACDE的頂角=則cose=()

E

A店TB無+1C3yD3+標

,4488

【變式3-1】1.（2023?江西?校聯(lián)考二模）被譽為"中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”的著名數(shù)學(xué)家華羅

庚先生于1946年9月應(yīng)普林斯頓大學(xué)邀請去美國講學(xué),之后又被美國伊利諾依大學(xué)聘為終

身教授.新中國成立的消息使華羅庚興奮不已，他放棄了在美國的優(yōu)厚待遇，克服重重困難,

終于回到祖國懷抱，投身到我國數(shù)學(xué)科學(xué)研究事業(yè)中去.這種赤子情懷，使許多年輕人受到

感染、受到激勵，其中他倡導(dǎo)的"0618優(yōu)選法"在生產(chǎn)和科研實踐中得到了非常廣泛的應(yīng)

用，0.618就是黃金分割比匕=亨的近似值，黃金分割比還可以表示成2sinl8。，則

A.-4B.4C.-2D.2

【變式3-1】2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派研

究過正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割均為0.618,這一數(shù)值也可以表示為

4=2sinl8。，則-siL+z=（）

7

‘人」cosl2°'

A.1B.1C.辛D.苧

【變式3-1】3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）黃金分割比例廣泛存在于許多藝術(shù)作品中.在

三角形中，底與腰之比為黃金分割比的三角形被稱作黃金三角形，被認為是最美的三角形,

它是兩底角為72。的等腰三角形.達?芬奇的名作《蒙娜麗莎》中，在整個畫面里形成了一

個黃金三角形.如圖，在黃金三角形力BC中，第=亨，根據(jù)這些信息，可得sin540=

A2V5-lg逐+1

?4°4

Cy^+4DV5+3

88

【變式3-1】4.（2023?遼寧?大連二十四中校聯(lián)考三模）隨著智能手機的普及，手機攝影越

來越得到人們的喜爰，要得到美觀的照片，構(gòu)圖是很重要的，用"黃金分割構(gòu)圖法”可以讓

照片感覺更自然.更舒適，"黃金九宮格"是黃金分割構(gòu)圖的一種形式，是指把畫面橫豎各

分三部分，以比例1：0.618:1為分隔，4個交叉點即為黃金分割點.如圖，分別用4BCD

表示黃金分割點.若照片長、寬比例為4:3,設(shè)NC4B=a,貝籬—tana=（）

sin4vt

DC

AB

題型4扇形相關(guān)問題

【例題4】（2023秋?貴州?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知"水滴"的表面是一個由圓錐的側(cè)面和

部分球面（常稱為"球冠"）所圍成的幾何體.如圖所示，將"水滴"的軸截面看成由線段

AB,AC和優(yōu)弧BC所圍成的平面圖形，其中點B,C所在直線與水平面平行，AB和AC與

圓弧相切.已知"水滴"的"豎直高度"與"水平寬度"（"水平寬度”指的是平行于水平

面的直線截軸截面所得線段的長度的最大值）的比值為￡則sinNBAC=（）

【變式4-1】1.（多選）（2023?全國?高三專題練習(xí)）重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，

其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛.古人曾有詩贊曰："開合清風(fēng)紙半張,

隨機舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細，玉柵齊編鳳翅長”.榮昌折扇平面圖為圖2的扇形COD,

其中NCOD=誓，OC=3OA=3,動點P在而上（含端點），連接。P交扇形04B的弧而于點

Q,且麗=久玩+y而，則下列說法正確的是（）

C.PA-~PB>^D.AB-PQ>-2

【變式4-1]2.（2023春?廣東深圳?高三?？茧A段練習(xí)）以乙4cB的頂點C為圓心作圓交角

的兩邊于A,B兩點；取線段4B三等分點O,D;以B為焦點，A,D為頂點作雙曲線，與

圓弧4B交于點E,連接CE,則“CB=3NBCE若圖中CE交4B于點P,SAP=6PB,貝t|cos

^ACP=

【變式4-1】3.（2023?河南焦作?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知P,Q分別為乙4OB兩邊上的點,

乙4OB=*PQ=3,過點P,Q作圓弧，R為所的中點，且NPQR=飄］線段OR長度的最大

【變式4-1】4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）為創(chuàng)建全國文明城市，上饒市政府決定對某小

區(qū)內(nèi)一個近似半圓形場地進行改造，場地如圖，以。為圓心，半徑為一個單位，現(xiàn)規(guī)劃出

以下三塊場地，在扇形AOC區(qū)域鋪設(shè)草坪，△OCD區(qū)域種花，△OBD區(qū)域養(yǎng)殖觀賞魚，

若乙4OC=NCOD,且使這三塊場地面積之和最大，則cos乙40C=.

【變式4-1】5.（2022?湖北?恩施市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）共和國勛章，是中華人民共

和國最高榮譽勛章，授予在中國特色社會主義建設(shè)和保衛(wèi)國家中作出巨大貢獻、建立卓越功

勛的杰出人士.2020年8月11日，國家主席習(xí)近平簽署主席令，授予鐘南山"共和國勛章”.

某市為表彰在抗疫中表現(xiàn)突出的個人，制作的榮譽勛章的掛墜結(jié)構(gòu)示意圖如圖，O為圖中

兩個同心圓的圓心，三角形ABC中，AB=AC,大圓半徑。力=2,小圓半徑。B=OC=1,

記S為三角形OAB與三角形OAC的面積之和股陰影部分的面積為S,當(dāng)S，-S取得最大值

時cosNBOC=

掛電結(jié)構(gòu)示意圖

題型5三角函數(shù)公式相關(guān)問題

【例題5】（2023秋?江蘇南京?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知aG（o,n）,且3tana=10cos2a,則

cosa可能為（）

A_VwR_V5rVwnV5

A.10D.5J105

【變式5-1】1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知0<a<S<2肛函數(shù)f（久）=5sin（x―2,

若f（a）=f（S）=1,貝!|cos（S一a）=（）

A.||B.-||C.|D.

【變式5-1】2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C所對的

7—

邊分別是a,b,c,S,A>B,若sinC=2cos4sinB+元，則tanB的取值范圍為.

【變式5-1】3.（2023秋?黑龍江七臺河?高三勃利縣高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在“BC中,

已知sin4sinBsin（C-。）=Asin2C,其中tan。=|（0<6<%若高+熹+黑為定值，則實

數(shù)2=-

【變式5-1】4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在直角坐標系中，△ABC的頂點4（cosa,sin

a）,B（cos￡,sin0）,C（竽,2魚），且△ABC的重心G的坐標為（竽，偽，cos（a—0）=

【變式5-1】5.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知點G是△ABC的重心,S.GA1GC,若

高+高=1，則tanB的值為

【變式5-1】6.（2021秋?四川成都?高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)?？计谥校┰?/p>

△4BC中，已知sin4sinBsin(C-8)=asi/C,其中tane="|(其中若益+]

tanB

+高為定值，則實數(shù)4的值是（）

A.嚼B.普C.國D.奈

題型6三角函數(shù)性質(zhì)問題

【例題6】（多選）（2023?全國?高三專題練習(xí)）（多選題）設(shè)函數(shù)f（x）=cos（（3“一,）+學(xué)

3>0）,若f（x）的圖象與直線y=-1在［0,2汨上有且僅有1個交點，則下列說法正確的是

（）

A.3的取值范圍是黑第

B.人久）在［0,2汨上有且僅有2個零點

C.若f（x）的圖象向右平移打單位長度后關(guān)于y軸對稱，則3，

D.若將/⑶圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到函?shù)g㈤的圖象，則9（久）在［o用上單

調(diào)遞增

【變式6-1】1.（多選）（2023秋河南鄭州?高三鄭州外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)”久）

的定義域為R,f（x一3為奇函數(shù)，f（x+當(dāng)為偶函數(shù),當(dāng)久e［—瑞］時，f（x）=cosx,則下

列結(jié)論正確的是（）

A./（爭=4B./（X）在（3TT,4TT）上為減函數(shù)

C.點（手,0）是函數(shù)f（x）的一個對稱中心D.方程/⑶-lgx=o僅有3個實數(shù)解

【變式6-1】2.（多選）（2023?全國?高三專題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)f（x）=2sin2%-3sin|x|

+1,以下說法正確的有（）

A.f（x）是偶函數(shù)

B./（X）在區(qū)間（―?0）上單調(diào)遞增

C.f（X）在［—Bn］上有4個零點

D.久久）的值域是［―5,6］

【變式6-1］3.（2023秋?黑龍江鶴崗?高三鶴崗一中?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)/⑶=爪2cos

X—爪-2，+1的圖象和函數(shù)9（嗎=泰—3的圖象有唯一交點，則實數(shù)m的值為（）

A.1B.3C.—1或3D.1或3

【變式6-1】4.（2023秋?河南信陽?高三信陽高中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)了（久）=sin（cos

x）+cos（sinx）,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.VxeR,/（x—2TT）=f（x）

B.V%G[0,n],/（x+n）>0

C.”久）是奇函數(shù)

D./（久）的最大值大于迎

【變式6-1】5.（2023秋?河南?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)fO）=cos（3x+s）,36

N+,（pe[o,n],在xe（一等，乎內(nèi)恰有兩個極值點，目/（-書+/停）=o,則租的所有可

能取值構(gòu)成的集合是.

【變式6-1】6.（2023秋?北京?高三北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)f（久）=2sin

（3X+9）+1（3>0,|租|<勺，滿足/'（久）+/（-羨一%）=2,且對任意都有/

（-/，當(dāng)3取最小值時，則下列正確的是.

①/⑶圖像的對稱軸方程為X="+ez

②f（x）在[—工，品上的值域為[2,3]

③將函數(shù)y=2sin（2x-》+1的圖象向左平移段個單位長度得到函數(shù)f（久）的圖象

④/⑶在已同上單調(diào)遞減.

題型7識圖問題

困難的是求待定系數(shù)3和0,常用如下兩種方法：

（1）由3=年即可求出3；確定9時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升（或下降）的"零點"

橫坐標久0,貝?。萘?久0+0=。（或3*（）+0=兀），即可求出

（2）代入點的坐標，利用一些已知點（最高點、最低點或"零點"）坐標代入解析式，再結(jié)合圖

形解出3和租，若對4,3的符號或?qū)?的范圍有要求，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.

【例題7】（2023?北京?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/⑺=Asin（jx+@）（4>0,0<⑴<#的部

分圖象如圖1所示，4B分別為圖象的最高點和最低點，過4作久軸的垂線，交x軸于4,點C

為該部分圖象與久軸的交點.將繪有該圖象的紙片沿x軸折成直二面角，如圖2所示，此時

\AB\=V10,貝IU-

給出下列四個結(jié)論:

_TT

①0=3

②圖2中，AB-AC=S;

③圖2中，過線段AB的中點且與4B垂直的平面與x軸交于點C;

④圖2中，S是△，員?及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合.設(shè)集合7={（?65||4（2|<2},貝葉表示的區(qū)

域的面積大開.

其中所有正確結(jié)論的序號是—.

【變式7-1】1.（2021秋?重慶銅梁?高三銅梁一中階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=2sin

（3%+0）（3>o）,xe［一囁篇的圖像如圖，若/'OD=/（x2）,且豐久2,貝！JfQi+x2）的值

為（）

A.V3B.V2C.1D.0

【變式7-1】2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，點P（-2,砌和點Q（l,6）分別是函數(shù)

/（久）=4sin（3x+0）cos（3久+0）（4>0,a>>0,0<0<9圖像上的最低點和最高點，若P、

Q兩點間的距離為5,則關(guān)于函數(shù)9（久）=4cos（a）x-20）的說法正確的是（）

A.在區(qū)間［-4,2］上單調(diào)遞增B.在區(qū)間［0,6］上單調(diào)遞減

C.在區(qū)間［1,7］上單調(diào)遞減D.在區(qū)間［4,10］上單調(diào)遞增

【變式7-1】3.（2020?全國?高三專題練習(xí)）如圖，函數(shù)/（%）=4sin（3x+（p）（其中

2>0,3>0,\<p\<^與坐標軸的三個交點P、Q、R滿足P（2,0）,乙PQR=1M為QR的

中點，PM=2V5,貝必的值為（）

A.^\/3B.1V3C.8D.16

【變式7-1】4.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）如圖，直線與單位圓相切于點0,射線OP

從。4出發(fā)，繞著點。逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)分入過程中，記乙40P=穴0<%<兀），0P經(jīng)過的

單位圓。內(nèi)區(qū)域（陰影部分）的面積為S,記S=f（久），對函數(shù)人嗎有如下四個判斷：

①當(dāng)久=苧時，5=5+1；

②久6（0"）時，/（久）為減函數(shù);

③對任意％e（o,鄉(xiāng),都有府―久）+府+x）=*

④對任意Xe（o,9,都有f弓+X）=/（幻+7

其中判斷正確的序號是

題型8湊角求值問題

三角函數(shù)求值的類型及方法

（1）"給角求值"：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊

角總有一定關(guān)系.解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角

函數(shù).

(2)"給值求值"：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在

于"變角"，使其角相同或具有某種關(guān)系.

(3)"給值求角"：實質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為"給值求值"，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的

式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍.

【例題8】(2020?全國?高三專題練習(xí))若ae[0,兀],06[—5力,4eR,且a3—cosa—22=0,

('—2￡)—2sin0cos/?—22=0,若cosa=|,貝[jtan。=()

A.1B.|C.V3D.3

【變式8-1]1.(2023?江蘇徐州??？寄M預(yù)測)已知sin(2a—卷=乎，則tan(a+f)tan(a+

卷=■

【變式8-1】2.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知點P(0,zn)是y軸上到2(1,1),B(2,4)距離和

最小的點，且COS(a—今=3貝Usin(2a—)的值為(用數(shù)據(jù)作答).

【變式8-1】3.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知cos(2a—9=]tanotan(a-0=p,

則正常數(shù)p的值為.

【變式8-1】4.(2020?全國?高三專題練習(xí))已知8cos(2a+￡)+5cos￡=0,且cos(a+￡)

cosa豐0,則tan(a+￡)tana=.

題型9最值相關(guān)問題

【例題9】(2022秋?山東青島?高三校考階段練習(xí))在&ABC中，C=90°,若x￡R,則f(x)

=sin(x+A)+sin(x+B)的最大值為()

A.V2B.1C.2D.?

【變式9-1】1.(2022秋?江蘇常州?高三校考開學(xué)考試)已知出y是互不相同的銳角，貝U

__1

在sinacosS，sin￡cosy,sinycosa三個值中，大于^的個數(shù)的最大值是()

A.0B.1C.2D.3

【變式9-1】2.（2022秋?山東青島?高三統(tǒng)考期中）已知則七+嘉一2亞an

。的最小值為（）

A.8B.12-2V2C.6D.5

【變式9-1】3.（2020?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在半徑為1的扇形AOB中（O為原

點），4（1,0）,乙4OB=會點P（x,y）是4B上任意一點，則xy+x+y的最大值為（）

A.乎―羨B.1C.乎+：D.V2+1

42422

【變式9-1】4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）△/BC中，角A,B,C滿足cos2A—cos2B=2

sinC（sinB-sinC）,則百焉+焉的最小值為

【變式9-1】5.（2023秋?重慶?高三重慶一中?？奸_學(xué)考試）在△力BC中，若sinA=2cosB

cose,則COS2B+cos2c的最大值為.

【變式9-1]6.（2022秋?河北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）定義在R上的函婁好（%）單調(diào)遞減，

且滿足/（1-尤）+/（1+*）=0,對于任意的a,滿足/'（acosa）+/（6sina）20恒成立，貝!|a+6的

最大值為.

題型1。3相關(guān)問題

【例題10]（2022秋福建龍巖?高三福建省龍巖第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)/⑺=Sin

5+aCOS3x（a>0,3>0）圖像的兩條相鄰對稱軸之間的距離小于8。=V3,且/'（x）<f

七），則3的最小值為.

【變式10-1】1.（多選）（2023?河北秦皇島?校聯(lián)考二模）已知函數(shù)f（久）=sin（wx+0）?>0）

是在區(qū)間得,給上的單調(diào)減函數(shù)，其圖象關(guān)于直線3-2對稱，且啟1）+慮）=0,則3

的值可以是（）

A.4B.12C.2D.8

【變式10-1】2.（2023福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)/⑶=2sin（3x-乎+魚（3>0）

在[0,2]內(nèi)有且僅有3個零點，則3的值可以是（）

A.3B.5C.7D.9

【變式10-1】3.（2023?河北唐山?模擬預(yù)測）已知4B,C為/0）=sins與g（%）=coss的

交點，若△力BC為等邊三角形，則正數(shù)3的最小值為.

【變式10-D4.（2023秋?安徽?高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/⑶=3sin（3久-n

（3>0）,當(dāng)久時，函數(shù)/（久）的最大值為皿則滿足條件的s的個數(shù)為.

題型11@相關(guān)問題

【例題11】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知/（x）=sin比cosx+Kcos2%,若對任意實數(shù)x

都有f（x）=4sin（s+0）+^,其中2,36R,旌[0即），貝切的所有可能的取值有（）

A.2個B.4個C.6個D.8個

【變式11-U1,（2023?內(nèi)蒙古赤峰?校聯(lián)考一模）在函婁好（久）=sin（2x-3）@>0）圖象與

x軸的所有交點中，點停,0）離原點最近，貝加可以等于（寫出一個值即可）.

【變式11-D2.（2022秋?上海徐匯?高三上海市南洋模范中學(xué)?？计谥校⒑瘮?shù)f（久）=2sin

2%的圖象向右平移卬（0<9<兀）個單位后得到函數(shù)。（久）的圖象，若對滿足If（巧）（久2

）1=4的/、%2,有|當(dāng)一切的最小值為力貝％=-

【變式11-U3.（2022?安徽?南陵中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）將函數(shù)f㈤=2sinx-1的圖象上

所有點的縱坐標伸長為原來的2倍，再向下平移1個單位長度，最后向左平移>0）個

單位長度，得到函數(shù)9。）的圖象.若對任意久1e[0,引,都存在外e[―,0],使得八應(yīng)）=g（久2）,

則，的值可能是（）

AnC—D—

-4D-12J124

題型12實際應(yīng)用問題

【例題12】（2023秋?內(nèi)蒙古赤峰?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉

工具，既經(jīng)濟又環(huán)保.明代科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖

1）.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動，如圖2,將筒

車抽象為一個半徑為10的圓O,設(shè)筒車按逆時針方向每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒，以筒車的中

心O為原點，線段OA,OB所在的直線分別為x,y軸建立如圖所示的直角坐標系（A,B

為圓。上的點），分別用/'（＜）,g（t）表示t秒后A,B兩點的縱坐標，則y=f（t）?g（t）的最

大值為（）

A.50B.75C.50V3D.100

【變式12-1】1.（多選）（2023春?福建廈門?高三廈門一中校考期中）筒車是我國古代發(fā)

明的一種灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.明朝科學(xué)家徐光啟在

《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖）.現(xiàn)有一個半徑為3米的簡車按逆時

針方向每分鐘旋轉(zhuǎn)1圈，筒車的軸心距離水面的高度為2米.設(shè)筒車上的某個盛水筒P到水

面的距離為d（單位：米）（在水面下則為負數(shù)），若以盛水筒剛浮出水面開始計算時間，設(shè)

時間為t（單位：秒），已知cos48。4,則（）

A.d=2—3cos德t+8),其中cos。=I，且8e(0,,)

B.d=3sin恁t+8)+2,其中sinJ=_|,且ee(_￡,0)

C.大約經(jīng)過38秒，盛水筒P再次進入水中

D.大約經(jīng)過22秒，盛水筒P到達最高點

【變式12-1]2.(2021秋?江蘇蘇州?高三蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖,

某大風(fēng)車的半徑為2米，每12秒旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點0離地面1米，點0在地面上的

射影為A.風(fēng)車圓周上一點M從最低點0開始，逆時針方向旋轉(zhuǎn)40秒后到達P點，則點P

到點A的距離與點P的高度之和為

4地面

A.5米B.(4+歷米

C.(4+g)米D.(4+回)米

【變式12-1】3.(2021秋?河南洛陽?高三校聯(lián)考階段練習(xí))水車在古代是進行灌溉引水的

工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征，如圖是一個半徑為

R的水車，一個水斗從點4(38,-3)出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時

60秒，經(jīng)過t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點，設(shè)P的坐標為（x,y）,其縱坐標滿足y=f（t）=Rsin

（砒+<p）（t>o,\（p\<5,則下列敘述正確的是

②當(dāng)te[35,55]時，點P到x軸的距離的最大值為6;

③當(dāng)te[10,25]時，函數(shù)y=f（t）單調(diào)遞減；

④當(dāng)t=20時，|P/1|=6V3

【變式12-1】4.（2023秋?江蘇蘇州?高三蘇州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某小區(qū)有一個半徑為r

米，圓心角是直角的扇形區(qū)域，現(xiàn)計劃照圖將其改造出一塊矩形休閑運動場地，然后在區(qū)域

I（區(qū)域ACD）,區(qū)域II（區(qū)域CBE）內(nèi)分別種上甲和乙兩種花卉（如圖），已知甲種花卉每

平方米造價是a元，乙種花卉每平方米造價是3a元，設(shè)zBOC=e,中植花卉總造價記為十

（0）,現(xiàn)某同學(xué)已正確求得：=ar2g（0）,則g（。）=；種植花卉總造價最小

值為

題型13恒成立問題

有關(guān)三角函數(shù)綜合問題的求解策略:

1、根據(jù)題意問題轉(zhuǎn)化為已知條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的解析式和圖象，然后在根據(jù)數(shù)形結(jié)合思

想研究三角函數(shù)的性質(zhì)，進而加深理解函數(shù)的性質(zhì).

2、熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法的思想研究函數(shù)的性質(zhì)(如：單調(diào)性、

奇偶性、對稱性、周期性與最值等)，進而加深理解函數(shù)的極值點、最值點、零點及有界性

等概念與性質(zhì)，但解答中主要角的范圍的判定，防止錯解.

【例題13](2023秋?四J11成都?高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知函婁好。)=acos(2%-勺

+6sinKcosx—2cos2%+1的圖象關(guān)于直線乂=第寸稱.若對任意^《[。，汗，存在外e

(0,+8),使久久1)<2m始+犯+2成立，則m的取值范圍是()

111

A.m>—1B.m>--ZC.m>—-4D.m>—~o

【變式13-1】1.(2023秋?四川成都?高三樹德中學(xué)校考開學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)=acos

(2支一9+6sinxcosx-2cos2%+1的圖象關(guān)于直線尤=工對稱.若對任意卜,4，存在

電6(0,+8),使fODW2m慰+肛+2成立，則m的取值范圍是()

111

A.m>—1B.m>--ZC.m>—-4D.m>—~o

【變式13-1]2.(2023春?河南許昌?高三鄢陵一中?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/㈤=2sinxcos

%+4cos2x-1,若實數(shù)a、b、C使得a/(x)-c)=3對任意的實數(shù)x恒成立，貝(]

2a+b—cosc的值為()

A.1B.|C.2D.|

【變式13-1]3.(2021秋?重慶巴南?高三重慶市清華中學(xué)校?？茧A段練習(xí))若不等式mcos

x-cos3x-1<0對任意xe(0,()恒成立，則實數(shù)小的取值范圍是()

A.(―8,一1B.(—00,—2]C.(―8,4D.(―8,1

【變式13-1]4.(2020?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測)若不等式(a—|x—b|)?sin(x+?40.對

xw[o,2捫恒成立，則sin(a+b)和sin(a-b)分別等于()

AV2,V2DV2,V2V2,V2D.V2._V2

?y萬B?一T2'2

【變式13-1】5.侈選)(2022秋?山西臨汾?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)人嗎，廣⑶是其

導(dǎo)函數(shù)，V%￡(0,^),ro)cosK+/(X)sinx=lnx恒成立，貝[]()

A.[/@+V3/@]cosl>V3/(l)B.(V3-1)/@<V2/(§)

C.V2/g)<V3/(J)D.2/(^)>(V3+1)/(J)

題型14零點相關(guān)問題

、?，5^^<

f.豐?、、、

已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；i

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法，合理轉(zhuǎn)化求解.

【例題14](2023?全國?高三專題練習(xí))已知y=/(%),xeR滿足f。+2)=/(久—2),

f(0)=0,當(dāng)久6(0,4)時，f(x)=log2上.已知fif(x)=2sin(yx+n),則函數(shù)

y=/(x)-5(x),xe[-4,8]的零點個數(shù)為,這些零點的和為

【變式14-1】1.(2023秋?四川南充?高三四川省南充高級中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知定義在

R上的奇函數(shù)/'(久)滿足/'(2-％)+/(x)=0,當(dāng)時，/(W=—|og2X.若函數(shù)F(x)=/

(久)-Sinn在區(qū)間[_1即]上有10個零點則實數(shù)m的取值范圍是()

A.[3.5,4)B.(3.5,4]C.(5.5,5]D.[5.5,5)

【變式14-1】2.(2023春?天津南開?高三南開大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知小>0,

((x—2)ln(x+1),—1<%<m,

函數(shù)/(%)=rnJor+nA<r<TT恰有3個零點，則m的取值范圍是()

A.后相)小用B.舟衿U[吟]A(0制小竽)D.(0,居)“2片

【變式14-1】3.(2023?天津?高三專題練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)y=/(W是偶函數(shù)，當(dāng)

(2sin1%,0<x<1

%NO時，/(%)=｛AV34，若關(guān)于%的方程，(%)]2+。/(%)+/?=0(0力￡幻，有且

(⑶+力>1

僅有6個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-4,-|)B.

C.D.(-4,-|)u(-i,-|)

【變式14-1】4.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知定義在R上的偶函數(shù)/(%),當(dāng)x20時滿

4cosxsin(x+—)—1,0<x<—

足/(%)=ned+13K，關(guān)于%的方程，(%)]2+20/(%)+2=°有且僅有6

個不同實根，則實數(shù)a的取值范圍是.

題型15與數(shù)列相關(guān)問題

【例題15】(多選)(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，Pi是一塊半徑為1的圓形紙板，在Pi

的左下端前去一個半徑為曲勺半圓后得到圖形P2,然后依次剪去一個更小半圓(其直徑為前

一個前掉半圓的半徑)得圖形「3,「4,…，.…，記紙板外的周長為入，面積為Sn,則下列說

法正確的是()

7111

A.乙3=/+萬B.s3=-7T

n

C.Ln=7r[2-(|)1]+(3D.Sn+1=Sn-^^

【變式15-1】1.(2023?上海虹口?上海市復(fù)興高級中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知f(久)=sin%+

Inx,將y=fQ)的所有極值點按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列｛久.｝，對于正整數(shù)n,甲:

（n-l）n<%n<nn;乙：|人—生嚶u｝為嚴格減數(shù)列，則（）.

A.甲正確，乙正確B.甲正確，乙錯誤

C.甲錯誤，乙正確D.甲錯誤，乙錯誤

【變式15-1】2.（2023春?上海寶山?高三上海交大附中?？茧A段練習(xí)）將關(guān)于x的方程2sin

（2x+tn）=1（t為實常數(shù),0<t<1）在區(qū)間［0,+8）上的解從小到大依次記為巧,電,…,x?，…,

設(shè)數(shù)列｛融｝的前n項和為7n,若T20WI。。叫貝Lit的取值范圍是.

【變式15-1】3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）數(shù)列｛而滿足tana.=忌n，an?0。，Sn

為｛&J的前n項和，若Sn<k,貝收的范圍為-

【變式15-1】4.（2021?福建廈門?廈門一中?？家荒＃┮阎?Q）=tanx,數(shù)列｛an｝滿足:

對任意MN*,冊€（0,鄉(xiāng)，且內(nèi)=室/冊+1）="瓦貝腱得sina「sina2”-sinak<5

成立的最小正整數(shù)k為.

【變式15-1】5.（多選）（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知單位圓。的內(nèi)接正九邊形4遇2&

4的邊長、周長和面積分別為即，及,Sn,則下列結(jié)論正確的是（）

._IT_LnIT

A.=2cos-B.--=cos-

“nL2n2n

c.含=3D.成+（2-a幻2=4

a2nZ

1.（2020?北京?統(tǒng)考高考真題）2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（兀Day）.歷

史上，求圓周率兀的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的"割圓術(shù)"相似.數(shù)學(xué)家阿爾?卡西的

方法是：當(dāng)正整數(shù)n充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正6九邊形的周長和外切正6n邊形（各邊均

與圓相切的正6n邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2兀的近似值.按照阿爾?卡西的方

法，兀的近似值的表達式是（）.

A.3n（sin迥+tan變）B.6n（sin%+tan%）

\nn/vnn/

C.3n(sin%+tan%)D.6n(sin+tan即)

2.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收

錄了計算圓弧長度的"會圓術(shù)"，如圖，前是以。為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的

中點，D在而上，CDLAB."會圓術(shù)"給出血的弧長的近似值S的計算公式：s=AB+

巖.當(dāng)。4=2/408=60。時，s=()

A11-3V3n11—4A/3《9-3A/^D9—4A/3

?2?2?-2-?-2-

3.(2023?湖南婁底?統(tǒng)考模擬預(yù)測)等腰三角形的底與腰之比是黃金分割比的三角形稱為

黃金三角形，它是一個頂角為36°的等腰三角形.如圖，五角星由五個黃金三角形與一個正

五邊形組成，其中一個黃金△4BC中，第=亨，記五角星中陰影部分的面積是S陰，中間

空白正五邊形的面積是S白，則駕=()

A.2+V5B.2-V5C.D.V5

4.(2020?黑龍江哈爾濱?哈九中?？级?已知函數(shù)八＞)=—,cos2x—a(sinx—cosx),且

對于任意的%1,久26(-OO,+OO),當(dāng)豐尤2時都有＜1成立，則實數(shù)a的取值范圍是

()

A-[-另]B.[一多用C.當(dāng)D.[-1,1]

5.（2023?河南統(tǒng)考三模）已知函數(shù)f（x）=asins+bcoss,其中3>0,若函數(shù)滿足以

下條件：

①函數(shù)/（比）在區(qū)間即片M上是單調(diào)函數(shù)；②/（久）<卜⑶對任意xeR