導(dǎo)學(xué)案數(shù)學(xué)第七章階段提升課

階段提升課題型一復(fù)數(shù)的概念1.問題類型:復(fù)數(shù)的相關(guān)概念,如虛數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等.2.解題關(guān)鍵:掌握復(fù)數(shù)的相關(guān)概念.3.核心素養(yǎng):提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.【典例1】(1)已知復(fù)數(shù)z滿足z2z=1+3i,其中i是虛數(shù)單位,z為z的共軛復(fù)數(shù),則z=()A.1+i B.1iC.1+i D.1i【解析】選C.設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則z=abi,由于z2z=1+3i,所以a+bi2(abi)=1+3i,整理得a+3bi=1+3i.所以由復(fù)數(shù)相等可知:a=1,b=1,所以z=1+i.(2)(2024·江門高一檢測)已知m∈R,復(fù)數(shù)z=m(m+2)m-1+(①z是純虛數(shù)?②z=12【解析】①因為z是純虛數(shù),所以m2+2m-3≠0m(m+2)m-1=0②因為z=124i,所以m2+2m-3=-4m(m+2【總結(jié)升華】處理復(fù)數(shù)概念問題的注意點(1)當(dāng)復(fù)數(shù)不是a+bi(a,b∈R)的形式時,要通過變形化為a+bi的形式,以便確定其實部和虛部.(2)復(fù)數(shù)的分類,要弄清復(fù)數(shù)類型的充要條件,若復(fù)數(shù)a+bi是實數(shù),則b=0;若復(fù)數(shù)a+bi是純虛數(shù),則a=0且b≠0;若復(fù)數(shù)a+bi為零,則a=0且b=0;若復(fù)數(shù)a+bi是虛數(shù),則b≠0.(3)明確復(fù)數(shù)相等的條件、共軛復(fù)數(shù)的定義.【即學(xué)即練】1.(2024·安慶高一檢測)已知a,b均為實數(shù),復(fù)數(shù):z=a2b+(b2a)i,其中i為虛數(shù)單位,若z<3,則a的取值范圍為()A.(1,3)B.(∞,1)∪(3,+∞)C.(∞,3)∪(1,+∞)D.(3,1)【解析】選A.因為z=a2b+(b2a)i<3,所以z為實數(shù),即b-則有a22a3<0,解得1<a<3,即a的取值范圍為(1,3).2.(2024·張家口高一檢測)已知復(fù)數(shù)z1=m22+(m+2)i(m∈R),z2=cos2θ+isinθ,若z1=z2,則實數(shù)m=__________.

答案:1或5【解析】若z1=z2,則m2又cos2θ=12sin2θ,則m22=12(m+2)2,解得m=1或m=53題型二復(fù)數(shù)及其運算的幾何意義1.問題類型:復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)加減、復(fù)數(shù)差的模的幾何意義.2.解題關(guān)鍵:掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與幾何意義.3.核心素養(yǎng):提升學(xué)生的直觀想象能力.【典例2】(1)(2024·長春高一檢測)在如圖所示的復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1,z2,z3對應(yīng)的向量分別是,,,則復(fù)數(shù)z32z1-3A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選D.根據(jù)題意z1=3+2i,z2=2+2i,z3=12i,故z32z1-3z2=1-2i則復(fù)數(shù)z32z1-3(2)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,則|z+512i|(i為虛數(shù)單位)的最大值為__________.

答案:14【解析】|z+512i|=|z(5+12i)|,記z=a+bi(a,b∈R),對應(yīng)點為P(a,b),5+12i對應(yīng)點為Q(5,12),復(fù)平面原點為O(0,0),由|z|=1可知,點P在單位圓x2+y2=1上,由復(fù)數(shù)減法的幾何意義可知,|z+512i|表示點P,Q的距離,易知,|OQ|1≤|PQ|≤|OQ|+1,因為|OQ|=(-5)2+122=13,所以12≤|【總結(jié)升華】復(fù)數(shù)及其運算的幾何意義(1)復(fù)數(shù)的幾何意義:復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)與向量=(a,b);(2)復(fù)數(shù)加、減運算的幾何意義:對應(yīng)向量的加、減運算;(3)復(fù)數(shù)模的幾何意義:|z1z2|表示復(fù)數(shù)z1對應(yīng)的點Z1和z2對應(yīng)的點Z2之間的距離.【即學(xué)即練】復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,求|z1z2|的值.【解析】如圖,設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2所對應(yīng)的點分別為Z1,Z2,=+;由已知,||=3+1=2=||=||,所以平行四邊形OZ1PZ2為菱形,且△OPZ1,△OPZ2都是正三角形,所以∠Z1OZ2=120°,||2=||2+||22||||cos120°=22+222×2×2×12=12,所以|z1z2|=||=23.題型三復(fù)數(shù)的四則運算1.問題類型:復(fù)數(shù)的四則運算.2.解題關(guān)鍵:掌握運算法則與運算律.3.核心素養(yǎng):提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力.【典例3】(2024·西安高一檢測)計算下列各題:(1)(12+32i)(32(2)3+2i2-(3)1+i2023【解析】(1)原式=(3414i+34i+3=(32+12i)(1+i)=3232i+12i+12i2(2)原式=(=(6+9i+4i+6i2)(3)原式=1+i31-i+|3-【總結(jié)升華】復(fù)數(shù)的四則運算(1)方法:應(yīng)用運算法則結(jié)合運算律進(jìn)行計算;(2)注意:將含有虛數(shù)單位i的看作一類,不含i的看作另一類,分別合并同類項,最終要將i的冪化成最簡形式.【即學(xué)即練】已知復(fù)數(shù)z1=15-5i(2+i)2,z2=a(1)若a=2,求z1·z2(2)若z=z1z2是純虛數(shù),求【解析】(1)由于z1=15-5i(2+i)2=15-當(dāng)a=2時,z2=23i,所以z1·z2=(13i)(2+3i)=2+3i6i+9=113i(2)若z=z1z2=1-3ia-3i=(1-3i)(a題型四復(fù)數(shù)范圍內(nèi)一元二次方程的根1.問題類型:復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解實系數(shù)一元二次方程.2.解題關(guān)鍵:掌握配方法與求根公式.3.核心素養(yǎng):提升學(xué)生的邏輯推理能力.【典例4】(2024·長沙高一檢測)已知關(guān)于x的方程3x22ax+a=0,a∈R.(1)當(dāng)a=1時,在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求方程的解;(2)已知復(fù)數(shù)z=2a+i,若方程3x22ax+a=0有虛根,求z的模的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)a=1時,方程為3x22x+1=0,配方可得,(x13)2=2兩邊開方可得,x13=±2所以,方程的解為x=13±23(2)要使方程3x22ax+a=0有虛根,則Δ=(2a)24×3a=4a212a<0,所以0<a<3,所以0<a2<9,又|z|2=4a2+1,所以1<|z|2<37,所以,1<|z|<37,所以|z|的取值范圍為(1,37).【總結(jié)升華】若實系數(shù)一元二次方程無實數(shù)根,此時方程的兩個虛數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù),可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求解相關(guān)問題.【即學(xué)即練】已知關(guān)于x的方程x2px+25=0(p∈R)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根分別為x1,x2.(1)若p=8,求x1,x2;(2)若x1=3+4i,求p的值.【解析】(1)由題意得,Δ=p2100=36<0,所以x=8±-(82所以x1=4+3i,x2=43i.(2)已知關(guān)于x的方程x2px+25=0(p∈R)的一個根為x1=3+4i,所以(3+4i)2p(3+4i)+25=(183p)+(244p)i=0,所以183p=0,244p=0,解得p=6.【真題1】(2023·新高考Ⅰ卷)已知z=1-i2+2i,則zzA.i B.i C.0 D.1【解析】選A.因為z=1-i2+2i=(1-i)(1-i)2(【溯源】(教材P95T7)已知(1+2i)z=4+3i,求z及zz解設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則z=abi,所以(1+2i)(abi)=4+3i,所以(a+2b)+(2ab)i=4+3i,所以a+2所以a=2,b=1,所以z=2+i,所以z=2i,所以zz=2+i2-i=(2+i)[點評]教材習(xí)題是已知一個復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),求這個復(fù)數(shù)及這個復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)的除法運算;真題是已知一個復(fù)數(shù),求這個復(fù)數(shù)與其共軛復(fù)數(shù)的減法運算;本質(zhì)均在考查共軛復(fù)數(shù)的求法及復(fù)數(shù)的四則運算.【真題2】(2023·新高考Ⅱ卷)在復(fù)平面內(nèi),(1+3i)(3i)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選A.因為(1+3i)(3i)=3+8i3i2=6+8i,則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為(6,8),位于第一象限.【溯源】(教材P95T1(3))當(dāng)23<m<1時,復(fù)數(shù)m(3+i)(2+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的