四川省內(nèi)江市資中縣球溪高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試（普通班）數(shù)學(xué)試題

球溪高級(jí)中學(xué)學(xué)年（上）高二期末考試（普通班）數(shù)學(xué)考生注意：本試卷分選擇題和非選擇題兩部分上.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)寫在本試卷上無(wú)效回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題紙上寫在本試卷上無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷與答題卡一并由監(jiān)考人員收回.85分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】計(jì)算出的值，由此可知準(zhǔn)線方程.【詳解】因?yàn)閽佄锞€，所以，因?yàn)闇?zhǔn)線方程為，所以準(zhǔn)線方程為，故選：D.2.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列選項(xiàng)可構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量基底的概念進(jìn)行判斷.A不能構(gòu)成空第1頁(yè)/共17頁(yè)間向量的基底；對(duì)B：因?yàn)?，所以向量共面，所以不能?gòu)成空間向量的基底；對(duì)C：因?yàn)?，所以共面，所以不能?gòu)成空間向量的基底；對(duì)D：因?yàn)椴淮嬖冢沟?，所以不共面，所以可以作為空間的另一組基底.故選：D3.若直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則（）A.2B.1C.0D.【答案】C【解析】【分析】分析直線與圓的位置關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可求的值.【詳解】因?yàn)橹本€與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以直線與圓相切.又，所以圓心為，半徑為1.由.故選：C4.已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則數(shù)列的公比為（）A.1B.C.1或2D.1或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)列前項(xiàng)和的意義，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)列式求解.【詳解】在等比數(shù)列中，由，，得，則，所以或.故選：D第2頁(yè)/共17頁(yè)5.已知直線，直線，則“”是“”的（）A.充分條件但不必要條件B.必要條件但不是充分條件C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)求出，再由必要但不充分條件定義判斷可得答案.【詳解】若，則，解得，或，當(dāng)時(shí)，，，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，，，符合題意，所以若“”，則“，或”，則“”是“”必要條件但不是充分條件.故選：B.6.（）A.55B.120C.165D.220【答案】C【解析】【分析】利用組合數(shù)的性質(zhì)計(jì)算得解.【詳解】.故選：C7.在正方體中，分別為棱上的點(diǎn)，與的夾角為與的夾角也為．則（）A.B.C.D.第3頁(yè)/共17頁(yè)【答案】B【解析】，最后利用余弦定理求角即可.【詳解】設(shè)，，則，，，因?yàn)椋?，解得，同理可得，連接，，，.故選：B.8.已知，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離是它與點(diǎn)的距離的倍．動(dòng)點(diǎn)的軌跡與直線交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】第4頁(yè)/共17頁(yè)的方程得到直線恒過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)幾何知識(shí)可得當(dāng)時(shí)，最小，最后求弦長(zhǎng)即可.【詳解】設(shè)，則，整理得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓心為，半徑為的圓，直線的方程可整理為，令，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，有幾何知識(shí)可得當(dāng)時(shí)，最小，，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方法：①定義法：根據(jù)曲線定義得到曲線類型，然后計(jì)算；②列等式法：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)題設(shè)列等式，整理即可.本題共36符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知曲線．則下列說(shuō)法中正確的是（）A.若，則是單位圓B.若，則是焦點(diǎn)在軸上的橢圓C.若，則是平行于軸的兩條直線D.若，則是雙曲線且漸近線方程為【答案】ABD【解析】第5頁(yè)/共17頁(yè)【分析】根據(jù)的取值范圍，將曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于A時(shí)，：，表示以為圓心，以1為半徑的單位圓，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，，，曲線：，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)，，曲線：或，表示平行于軸的兩條直線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D時(shí)，：，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，且其漸進(jìn)性方程為：，故D正確.故選：ABD10.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為，前項(xiàng)和為，且，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列D.數(shù)列的前項(xiàng)和不超過(guò)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列首項(xiàng)公比，再逐項(xiàng)求解判斷得解.【詳解】等比數(shù)列中，，而，則數(shù)列單調(diào)遞減，由，得，又，解得，對(duì)于A，，解得，A正確；對(duì)于B，，數(shù)列不是等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，第6頁(yè)/共17頁(yè)，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，C正確；對(duì)于D，，數(shù)列的前項(xiàng)和，，D正確.故選：ACD已知，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之和是2，動(dòng)點(diǎn)形成軌跡為曲線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.曲線是中心對(duì)稱圖形B.C.直線斜率的取值范圍為D.若，則的面積為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)斜率公式即可求解方程，代入可判定A,根據(jù)兩點(diǎn)距離公式即可求解B，根據(jù)斜率公式即可求解C，根據(jù)垂直的坐標(biāo)關(guān)系，求解，，即可求解D.【詳解】設(shè)，則，化簡(jiǎn)可得，由于，故，對(duì)于A，滿足，故曲線是中心對(duì)稱圖形，A正確，對(duì)于B,，當(dāng)且僅當(dāng)取到等號(hào)，由于，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C,，故C正確，第7頁(yè)/共17頁(yè)對(duì)于D，由可得，故，聯(lián)立與可得，故，故,故D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)可得，故，求，.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.直線的一個(gè)方向向量為_______．【答案】答案不唯一【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率寫方向向量即可.【詳解】斜率，所以直線的方向向量可以為.故答案為：答案不唯一.13.已知雙曲線的一條漸近線與圓交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)弦長(zhǎng)得到圓心到漸近線的距離，然后利用點(diǎn)到直線的列等式，整理得到離心率.【詳解】設(shè)圓的圓心為，則，半徑，第8頁(yè)/共17頁(yè)因?yàn)?，所以圓心到漸近線的距離為，由雙曲線方程可得一條漸近線方程為，整理得，則，整理得.故答案為：.14.如圖，在紙上畫一個(gè)半徑為2的圓，（為了看清楚，可把直線.的輪廓構(gòu)成曲線.若點(diǎn)在曲線上，且，則的面積為________.【答案】3【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性分可知，進(jìn)而結(jié)合勾股定理求面積.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，由題意可知，點(diǎn)在圓上，直線為線段的垂直平分線，則，可得，可知點(diǎn)軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的雙曲線，靠近點(diǎn)的一支，第9頁(yè)/共17頁(yè)因?yàn)椋?，則，可得，即，可得，所以的面積為.故答案為：3.的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的雙曲線，靠近點(diǎn)的一支，進(jìn)而可得面積.四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列為等差數(shù)列，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)條件，可求與，可明確數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用分組求和法結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式求解.【小問1詳解】設(shè)的公差為．可得．由，解得.第10頁(yè)/共17頁(yè)所以．【小問2詳解】．16.已知.（1）若，求的值；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）9；（2）.【解析】1）利用二項(xiàng)式定理求出，進(jìn)而列式求出值.（2）利用賦值法求出，再利用分組求和法，結(jié)合等差、等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出.【小問1詳解】依題意，，所以.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，則，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.17.某研究所研究耕種深度（單位：）與水稻每公頃產(chǎn)量（單位：）的關(guān)系，所得數(shù)據(jù)資料如下表.耕種深度81012141618第11頁(yè)/共17頁(yè)每公頃產(chǎn)量678913（1）求樣本相關(guān)系數(shù)（2）求經(jīng)驗(yàn)回歸方程.參考數(shù)據(jù)：；參考公式：，，.【答案】（1），有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，（2）【解析】1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式即可求解，（2）利用最小二乘法即可求解.【小問1詳解】由題意可知，，故，故有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，【小問2詳解】，第12頁(yè)/共17頁(yè)故，將代入可得，故回歸直線方程為18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知是橢圓上的一點(diǎn)，從原點(diǎn)向圓作兩條切線分別交于兩點(diǎn)．（1）若點(diǎn)在第二象限，且，求和圓的方程；（2）若直線的斜率存在，并分別記為，求證：為定值．【答案】（1），（2）證明見解析【解析】1）先根據(jù)條件，判斷出四邊形為正方形，再結(jié)合正方形的對(duì)角線和邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度關(guān)系，可求點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得和圓的方程.（2）設(shè)切線方程為，根據(jù)直線與圓相切，可得關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，可得，再結(jié)合在橢圓上，可證為定值.【小問1詳解】過(guò)作于，于，連接．如圖：第13頁(yè)/共17頁(yè)由圓的方程，知圓的半徑．由，知．又因?yàn)楹蛨A相切，所以四邊形為正方形．所以．由，解得．所以圓的方程為．【小問2詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為：，即.則．兩邊同時(shí)平方，化簡(jiǎn)得.則，為方程的兩解.由韋達(dá)定理：.又因，所以．第14頁(yè)/共17頁(yè)所以，為定值．19.已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點(diǎn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)．將雙曲線上的每一點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到曲線．點(diǎn)在上，其橫坐標(biāo)為．再按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過(guò)作斜率為的直線與曲線交于另一點(diǎn)，令為關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為．（1）求曲線的方程；（2）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（3）求證：．【答案】（1）（2），（3）證明見解析【解析】1）根據(jù)定義得到和坐標(biāo)的關(guān)系，然后代入雙曲線方程中，化簡(jiǎn)即可得到曲線的方程；（2）根據(jù)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得到，然后將點(diǎn)代入曲線中，然后結(jié)合整理可得，即可得到為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可；（3）利用斜率公式得到，，然后根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到，即可證明平行.【小問1詳解】設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)，將其繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)．則第15頁(yè)