線段的數(shù)量和位置關系的探究題（解析版）-2023屆中考數(shù)學壓軸大題專項突破

專題05線段的數(shù)量和位置關系的探究題

?臉隰述

線段的數(shù)量關系一般是指線段的相等、和差關系、乘積關系和比例關系，線段的位置關系

一般是指平行關系、垂直關系和夾角問題。

線段的數(shù)量關系和位置關系的探究題，一般通過以下方式求解：

(1)通過證明三角形全等或者三角形相似，再根據(jù)全等三角形或相似三角形的性質(zhì)，得到

線段的數(shù)量關系，通過轉(zhuǎn)化可以求解。

(2)通過利用勾股定理和直角三角形的性質(zhì)，得到線段的數(shù)量與位置關系。

(3)通過證明或者構造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)和三線合一的性質(zhì)，得到線段

的數(shù)量與位置關系。

(4)通過證明或構造平行四邊形或特殊的平行四邊形，利用平行四邊形或特殊的平行四邊

形的性質(zhì)，得到線段的數(shù)量與位置關系。

真題精析

例早1

(2022?遼寧朝陽?統(tǒng)考中考真題)【思維探究】如圖1,在四邊形ABC。中，ZBAD=60°,

ZBCZ)=120°,AB=AD,連接AC.求證：BC+CD=AC.

(1)小明的思路是：延長8到點E,使DE=BC,連接AE.根據(jù)/區(qū)4。+/2。。=180。，推

得NB+NAOC=180。，從而得到然后證明AADE絲從而可證BC+CD

=AC,請你幫助小明寫出完整的證明過程.

(2)【思維延伸】如圖2,四邊形A8CD中，ZBAD=ZBCD=9Q°,AB=AD,連接AC,猜

想BC,CD,AC之間的數(shù)量關系，并說明理由.

(3)【思維拓展】在四邊形ABCD中，/BAD=NBCD=90。,AB=AD=&,AC與8。相

交于點O.若四邊形A3。中有一個內(nèi)角是75。，請直接寫出線段的長.

(1)如圖1中，延長C。到點E,DE=BC,連接AE.證明AAOEgZXABC(SAS),

推出NZME=N3AC,AE=AC,推出AACE的等邊三角形，可得結論；

(2)結論：CB+CD=yf2AC.如圖2中，過點A作AM，C￡>于點M,ANLC8交CB的延

長線于點N.證明△AMDgaANB(AAS),推出。M=5N,AM=AN,證明

RtAACM義Rt4ACN(HL),推出CM=CN,可得結論；

(3)分兩種情形：如圖3-1中，當NCZ)A=75。時，過點。作OPLCB于點P,CQLC。于

點。.如圖3-2中，當NC3Z>=75。時，分別求解即可.

［答案與解析】

【答案】⑴AC=5C+CD；理由見詳解；

(2)CB+CD=V2AC；理由見詳解；

⑶3月-3或3-G

【詳解】(1)證明：如圖1中，延長CD到點E,使D￡=5C,連接AE.

VZBAZ>+ZBCZ)=180°,

/.ZB+ZADC=180o,

VZADE+ZADC=180°

???ZB=ZADE9

在^ADE和△48C中，

DA=BA

<NADE=ZB,

DE=BC

：./\ADE^AABC(SAS),

/.ZDAE=ZBAC,AE=ACf

:.ZCAE=ZBAD=60°9

???△AC￡的等邊三角形，

：.CE=ACf

VCE=DE+CD,

：.AC=BC+CD；

(2)解：結論：CB+CD=^AC.

理由：如圖2中，過點A作AMJ_C□于點M,ANLC5交C5的延長線于點M

圖2

VZDAB=ZDCB=9Q°,

：.ZCDA+ZCBA=180°,

VZABN+ZABC=180°9

:.ZD=ZABN,

o

VZAMD=Z?/=90,AD=ABf

：./\AMD^AANB(AAS),

：.DM=BN,AM=AN,

VAM±C￡>,AN上CN,

：.NACD=NACB=45。,

:?AC=6CM,

*：AC=AC.AM=AN,

：.RtAACM^RthACN(HL),

：.CM=CN,

：.CB+CD=CN-BN+CM+DM=2CM=也AC；

(3)解：如圖3?1中，當NCDA=75。時，過點。作OPJ_CB于點P,C0_LCD于點Q.

VZC￡>A=75°,ZA￡>B=45°,

:.NCDB=30。,

VZDCB=90°,

???CD=6CB,

VZDCO=ZBCO=45°9OP±CBfOQA.CD,

：.OP=OQ,

Q—CD?OQ廠n

SAOBC=2二CD

S^CDO-BC.OPBC

2

:.型=8s

OBCB

?:AB=AD=&,ZDAB=90°,

：.BD=y[iAD=2^,

0D=x26=3石一3.

1+V3

如圖3-2中，當NCBO=75。時,

圖3—2

同法可證器=《，。。=八x2g=3一5

綜上所述，滿足條件的0。的長為3如-3或3-6.

總結與點撥

本題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的

判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等

三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

（2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?統(tǒng)考中考真題）在△ABC中，AB=AC,ZBAC=9Q°,ADABC

的角平分線.

則AE與CF的數(shù)量關系是，位置關系是；

(2)如圖2,點E、F分別在DB和DA的延長線上，且DE=DF,EA的延長線交CF于點M.

①(1)中的結論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；

②連接DM,求NEMO的度數(shù)；

③若DM=6也,ED=12,求EM的長.

鰥甌

(1)證明△AOE絲尸(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出AE=C尸，ZDAE=ZDCF,

由直角三角形的性質(zhì)證出NEAfC=90。，則可得出結論；

(2)①同(1)可證△AOEgaCOF(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得出AE=CF,ZE

=N尸，則可得出結論；

②過點。作OG_LAE于點G,OH_LCF于點證明△OEGgZX。尸H(44S),由全等三

角形的性質(zhì)得出DG=DH,由角平分線的性質(zhì)可得出答案；

③由等腰直角三角形的性質(zhì)求出GM的長，由勾股定理求出EG的長，則可得出答案.

［答案與解析】

【答案】(1)AE=CF,AEA.CF

⑵①成立，理由見解析；②45。；③6+6冷

【詳解】(DT43=AC,N3AC=9()o,AZ)是AA3C的角平分線，...AZ)=5Z)=C0,AO_LBC,

ZADE=ZCDF=90°,又?：DE=DF,：./\ADE^/\CDF(SAS),：.AE=CF,ZDAE

=ZDCF,'：ZDAE+ZDEA=9Q°,：.ZDCF+ZDEA=90°,.,.Z￡MC=90o,J.AELCF.^

答案為：AE=CF,AE±CFi

(2)①(1)中的結論還成立，理由：同(1)可證△AOE絲△CDF(SAS),：.AE=CF,

NE=NF,尸+NECF=90°,二NE+NEC尸=90°,：.ZEMC=90°,：.AE±CF；②過

點。作Z>G_LAE于點G,DHLCF于點H,

?；NE=NF,ZDGE=ZDHF=90°,DE=DF,：.ADEG^/\DFHCAAS),：.DG=DH,

又；DGLAE,DH±CF,.'.OM平分NE2WC,又；/EMC=90。，ZEMD=|ZEMC=

45°；@'：ZEMD=45°,ZDGM=90°,：.ZDMG=ZGDM,：.DG=GM,51."：DM=6^

:.DG=GM=6,,:DE=12,：.EG=>]ED2+DG2=7122+62=673，EM=GM+EG=

6+6君.

總結與M

本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判

定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵.

例率3

(2022?遼寧錦州?中考真題)在AASC中，AC=BC,點。在線段A3上，連接。并延長

至點、E,使DE=CD,過點￡作交直線A3于點足

圖12圖2備用圖

(1)如圖1,若NACB=120。，請用等式表示AC與匹的數(shù)量關系：.

(2)如圖2.若NACB=90。，完成以下問題：

①當點。，點/位于點A的異側時，請用等式表示AC仞,。口之間的數(shù)量關系，并說明理

由；

②當點。，點P位于點A的同側時，^DF=1,AD=3,請直接寫出AC的長.

郵甌

(1)過點C作CGJ_A5于G,先證明AEOF絲△CDG,得到￡F=CG,然后等腰三角形

的性質(zhì)和含30度直角三角形的性質(zhì)，即可求出答案;

（2）①過點C作SLAB于H,與（1）同理，證明△EZ>尸絲△（?￡>“,然后證明AAS是

等腰直角三角形，即可得到結論；

②過點C作CGLA5于G,與（1）同理，得AEDF冬ACDG,然后得到AACG是等腰直

角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案.

［答案與解析】

【答案】（1）E/=；AC

（2）?AD+DF=^AC；②4五或2近；

【詳解】（1）解：過點C作CGJ_AB于G,如圖，

,:EF1.AB,

：./EFD=NCGD=90。,

■:NEDF=NCDG,DE=CD,

:.叢EDF烏叢CDG,

:.EF=CG；

,在AABC中，AC=BC,ZACB=120°,

；.ZA=ZB=1x(180°-120o)=30°,

:.CG=-AC,

2

：.EF=-AC；

2

故答案為：￡F=1AC；

(2)解：①過點C作SLAB于如圖,

E圖2

與（1）同理，可證

:.DF=DH,

：.AD+DF=AD+DH=AH,

在AABC中，AC=BC,ZACB=90°,

...AABC是等腰直角三角形，

?,.ZC4H=45°,

.?.△AS是等腰直角三角形，

AAH=—AC,

2

AAD+DF=—AC;

2

②如圖，過點C作CGLA3于G,

與（1）同理可證，AEDF妾ACDG,

：.DF=DG=1,

'：AD=3,

當點尸在點4、。之間時，有

:.AG=l+3=4,

與①同理，可證AACG是等腰直角三角形,

:.AC=V2AG=40;

當點。在點4、F之間時，如圖：

AG=AD-DG=3-1=2,

與①同理，可證AACG是等腰直角三角形，

AC=6AG=2V2;

綜合上述，線段AC的長為40或

總結與M

本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三

角形，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識，正確的作出輔助線，正

確得到三角形全等.

精晚UX題

1.(2022?遼寧大連?校考模擬)在AABC中，。在AC上，且NASD=NC=45。.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若AD=4,CD=2,求A3的長度.

(2)如圖2,作。于E,過點E作阱〃交AC于點尸，作/G_L8C于G,探究FG

與3C的關系，并證明你的結論.

(3)如圖3,作DE上AB于E,BH//AC,DH//BC,探究￡B與E”的數(shù)量關系，并證明.

【答案】⑴A8=2〃

Q)BC=2FG,證明見解析

⑶EH=EB,證明見解析

【分析】(1)根據(jù)題意證明△ACB即可得到AB2=AO.AC,再結合題意即可解

答；

(2)連接所，根據(jù)平行線的性質(zhì)A4FES△題。即可得證；

(3)根據(jù)題意證明四邊形HBCD是平行四邊形，可得NBHD=NC=45。,過點B作

OMOE

創(chuàng)1，?！庇邳c加，連接石證明力。暇SADOM,可得,進而證明

OBOD

△EMH%AEMB即可得到解答.

【詳解】(1)■.■ZABD=ZC,ZA=ZA,

:.AABDSAACB,

ABAD

"AC^^B'

AB'=ADAC,

???AD=4,CD=29

:.AC=6,

AB=2^(6；

(2)BC=2FG,

證明：連接成，

圖2

?.?EF〃BC,

:.ZAFE=ZCf

ZC=ZABD,

:.ZAFE=ZABD,

又?：ZEAF:NDAB,

:.^AFEsAABD,

.AF_AE

一耘一而‘

.AFAB

??瓦―茄’

/.△ABFs4AED,

:.ZABF=ZADE,

???ZBOE=ZDOFf

.\ZBFD=ZBED=90°9

:.ZFBC=ZC=45°,

:.FB=FC,

?.FG±BC,

:.BC=2FG；

(3)EH=EB.

證明：vBH/ZAC,DH//BC,

二?四邊形"BCD是平行四邊形，

ZBHD=ZC=45°f

過點B作■于點M,連接EM,

A

BC

圖3

??.NBMH=/BMD=9伊,

:==45。,

?/ZBMO=Z.DEO=90°,ZBOM=ADOE,

.?.△BOMsADOE,

.OM_OB

'~DE~~6D'

.OM_OE

,~OB~'ODf

?：ZMOE=ABOD,

「.△MOEsABOD,

:.ZEMO=ZEBD=45%

.\ZEMB=ZEMH^135°f

?.?EM=EM,

在和AEMB中

'EM=EM

<NEMH=ZEMB

MH=MB

.?.△EMH/△EMB(SAS),

:.EH=EB.

2.(2022.四川南充.南充市實驗中學校考模擬)如圖，已知點E是射線上的一點，以5C、

CE為邊作正方形ABC。和正方形CEFG,連接AF,取AF的中點M,連接DM、MG.

(1)如圖1,判斷線段。欣和MG的數(shù)量關系是，位置關系是；

(2)如圖2,在圖中的正方形CEFG繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)的過程中，其他條件不變，(1)中的

結論是否成立？說明理由；

(3)己知3C=10,CE=2,正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)的過程中，當A、F、E共線時，直接寫

出AOMG的面積.

【答案】⑴DM=MG,DMLMG

(2)結論成立：DM=MG,DMA.MG

(3)滿足條件的ADMG的面積為20或34.

【分析】(1)延長GM交AD于H,證明△月WG=△AWW(ASA),得至=根據(jù)

直角三角形的性質(zhì)得到DM=MG,等量代換得到答案；

(2)如圖2中，延長GM使得=連接AH、DH、DG,延長AD交GR的延長線

于N,交CD于O.利用全等三角形的性質(zhì)，想辦法證明△HDG是等腰直角三角形即可；

(3)分兩種情形根據(jù)題意畫出完整的圖形，利用勾股定理解決問題即可.

【詳解】(1)解：如圖1,延長GM交AD于H,

圖1

,/AD//GF,

：.Z.GFM=ZHAM,

ZGFM=ZHAN

在AWWG和AAMH中，'FM=AM

ZFMG=ZAMH

：.Z^FMG^Z^AMH(ASA),

HM=GM,AH=FG,

VAD=CD,AH=FG=CG,

：.DH=DG,

■:NHDG=90°,HM=GM,

：.DM=MG,DM±MG,

故答案為：DM=MG,DM±MG,

(2)解：結論成立：DM=MG,DMLMG,

理由：如圖2中，延長GM使得=連接A"、DH、DG,延長AD交G廠的延長線

于N,交。。于0.

VAM=MFfZAMH=ZFMG,MH=MG,

??.AAMHm公FMGg網(wǎng),

:?AH=GF=CG,ZAHM=ZFGMf

：.AH//GN,

：.ZHAD=ZN,

9：ZODN=ZOGC=90°,ZDON=ZGOC,

：.ZN=ZOCG,

：.NHAD=NDCG,

*：AH=CG,AD=CD,

：.A/Z4Z)^AGCD(SAS),

：.DH=DG,/HDA=/CDG,

：.ZHDG=ZADC=9O0,

???△HDG是等腰直角三角形，

,:MH=MG,

：.DMLGH,DM=MH=MG；

(3)①如圖3-1中，連接AC.

圖3-1

在RtZXABC中，AC=ylAB2+BC2=1072>

在RtAACE中，AE=4AC1-EC1=14>

/.AF=AE-EF=14-2=12,

：.FM=AM=-AF=6,

2

在RtAMGV中,MG=dFM、FG=2而,

?1?SWG=1X2炳x2M=20:

②如圖3-2中，連接AC.

同法可得AE=14,AF=16,FM=8,MG=M+*=2后,

???SADMG=；x2屈x2萬=34，

綜上所述，滿足條件的AOMG的面積為20或34.

3.（2022?河南洛陽?統(tǒng)考一模）在“1BC中，點G是射線C8上一個動點，延長CA到Z）,

使得AD=CG,過點D作DE〃BC,交8A的延長線于點E,連接交CD于點R

DDE

圖1圖2

⑴①如圖1,當AB=AC=3C時，EF與FG之間的數(shù)量關系是；

②如圖2,當AB=AC=3,BC=4,點G在射線CB上移動時，￡尸與FG之間的數(shù)量關系

是否與①中的數(shù)量關系相同，若相同，請說明理由；若不相同，請求出新的數(shù)量關系；

⑵設AABC三邊的長分別為3C=a,AC=b,AB=c,其中當點G在射線C8

上移動時，請直接寫出EF與EG之間的數(shù)量關系.

4

【答案】（1）①石尸=2,②不相同，EF=-GF

⑵EF:FG=a:b

【分析】（1）①結論：EF=FG.證明VAPE是等邊三角形，推出AD=DE=CG,利用

平行線分線段成比例定理證明即可；

②數(shù)量關系不同.結論：EF:FG=4:3.相似三角形的性質(zhì)證明即可；

（2）結論：EF:FG=a:b.利用相似三角形的性質(zhì)證明即可.

【詳解】（1）解：①結論：EF=FG.

理由：如圖1中，

圖1

,/AB=BC=ACf

/.ZB=ZC=60°,

■:DE//CB,

：.ZD=ZC=60°,ZDEA=ZB=60°f

：.ND=NDAE=ZAED=60。,

???VAOE是等邊三角形，

AD=DE,

%：CG=AD,

：.CG=DE,

'：DE//CG,

：.EF:FG=DE:CG=1,

：.EF=FG.

故答案為：EF=FG；

4

②石尸與尸G之間有新的數(shù)量關系：EF=-GF.

理由如下：

圖2

DE//BC,

/\AEDS/\ABC.

.DEAD

**CB-AC*

VAC=3fBC=4,

.DE4

，9AD~3,

,:AD=CG,

.DE4

CG-3

■:DE//GC,

??/\DEF0°ACGF.

.DEEF_4

**CG-GF-3,

4

EF=-GF.

3

(2)解：結論：EF:FG=a:b.

理由：9：DE//CB,

:?AADES^ACB,

/.DE:AD:AE=BC:AC:AB=a:b:c,

設DE=ak,AD=bk,AE=ck,

■:CG=AD=bk,

/.EF:FG=DE:CG=ak:bk=a:b.

4.(2022?浙江嘉興?一模)如圖1,已知正方形ABCD和正方形CEFG,點2、C、E在同

一直線上，BC=m(m>r),CE=1.連接AF、BG.

⑴求圖1中AF、BG的長(用含根的代數(shù)式表示).

⑵如圖2,正方形A8CD固定不動，將圖1中的正方形CEFG繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)夕度

(0°<?<90°),試探究針、8G之間的數(shù)量關系，并說明理由.

(3)如圖3,在(2)條件下，當點A,F,E在同一直線上時，連接CF并延長交AD于點H,

若FH=6，求的值.

【答案】⑴BG=JZ+i,AF=母病+2

(2)AF=V2BG

⑶1+6

【分析】(1)延長FG交48于〃，在RtABCG中，由勾股定理，求BG的長，在RtAAHG

中，由勾股定理，求AF的長；

(2)連接AC、CF,在等腰RtAABC中，由勾股定理，得AC=^BC,在等腰MAFGC中，

由勾股定理，得CF=6CG,則嬰===四，從而可證△ACTs△BCG,得

BCCG

AJ7AC

黑=蕓=0,即可得出結論;

DCJnC

(3)連接AC,證明得當=哭，又由正方形CEFG,EF=CE=\,

CHAH

可求得CF=ylcE2+EF2=應，即從而求得CH=CF+FH=&+&=20,代入得縹=g,

2V2AH

即可求得A”=2,DH=AD-AG=m-2,然后在RsCDH中，由勾股定理，得

CEr+DH2=CH1,即切2+(機-2)?=(2夜『求解即可.

【詳解】(1)解：延長FG交48于X,如圖1,

圖1

:正方形ABCD和正方形CEFG,點8、C、E在同一直線上，

:./ABC=NBCD=NCGD=NCGH=9Q。,AB=BC=m,CG=GF=CE=1,

在RSBCG中，由勾股定理，得

BG=7JBC2+CG2=yjnr+12=｛病+1；

ZBHG=90°,

：.四邊形BCGH是矩形，ZAHG=90°,

/.GH=BC=m,BH=CG=1,

在R3AHG中，由勾股定理，得

AF=y/AH2+HF2=^(??-1)2+(??+1)2=72m2+2；

(2)解:連接AC、CF,如圖2,

正方形A3CD和正方形CEFG,

：.ZACB=ZFCG=45°,

：.ZACB+ZACG^ZFCG+ZACG,

：./BCG=NACF,

在等腰R3ABC中，由勾股定理，得

AC=y/2BC,

在等腰Rt△尸GC中，由勾股定理，得

CF=42CG,

dACFs^BCG,

._AC_r-

.(--7乙,

BGBC

即AF=y/2BG；

(3)解：連接AC,如圖3,

4HD

BC

圖3

???正方形ABC。和正方形CEFG,

：.ZCAD=ZCFE=45。,CD=AD=BC=m,

VZCFE=ZCAF+ZACF,ZCAD=ZCAF+ZFAH,

：.ZFAH=ZACFf

???NAHF=NCHA,

：.XNHFsXCHA,

.AHHF

??=,

CHAH

:正方形CEFG,EF=CE=1,

CF=y/cE2+EF2=41>

：.CH=CF+FH=&+夜=2四,

.AHV2

?，^2=AH，

：.AH=2,

：.DH=AD-AG=m-2,

在RtAcr歸中，由勾股定理，得

CD1+DH2=CH-,

即m2+（/〃—2）一=

解得：見=1+。，小j=1-退（不符合題意，舍去）.

.,'m的值為1+6.

5.（2022.北京海淀?校考三模）如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC>BC,。是AB的

中點，尸是3C延長線上一點，平移43到FH,線段rH的中垂線與線段C4的延長線交于

點E,連接EH、DE.

E

(1)連接CD,求證：NBDC=2NDAC；

(2)依題意補全圖形，用等式表示線段DE,DF,即之間的數(shù)量關系，并證明.

【答案】⑴見解析

(2)圖見解析，結論：DE2+DF2=EH2，理由見解析

【分析】(1)利用直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)即可解決問題；

(2)圖形如圖所示，結論：DE2+DF2=EH2,想辦法證明N￡DF=90。即可.

【詳解】(1)證明：連接8.

ZACB=90°,AD=DB,

CD=AD=DB，

.\ZDAC=ZDCA,

ZBDC=ZDAC-^-ZDCA=2ZDAC；

(2)解：圖形如圖所示，結論：DE2+DF2=EH\

理由：連接AH,取的中點T,連接AT,DT,ET.

?點E在FH的垂直平分線上,

:.EF=EH,

?;AD=DB,HT=TFyAB=FH,

,\AD=FT=HT,

?;AD〃FH,

「?四邊形四邊形ADFT是平行四邊形,

:.AH//DT,AT//DF,

.\ZFDT=ZATD=ZTAH,

AH〃BF,

:.ZHAC=ZACB=90°,

\EH=EF,HT=FT，

:.ET1FH,Z.TEH=Z.TEF,

:"EAH=/ETH=90°,

四邊形A,及四點共圓，

:.ZTAH=ZTEH,

.\ZFDT=ZFET,

.?.E,D,F,T四點共圓，

/EDF+NETF=180。,

/.ZE?F=90°,

:.DE2+DF2=EH2-

6.（2022.山東濟南.濟南育英中學?？寄M）如圖，在金。與山跖中,

ZACB=NEDF=90。，BC=AC,ED=FD,點。在AB上.

(1)如圖1,若點尸在AC的延長線上，連接A￡,探究線段AF、AE,之間的數(shù)量關系,

并證明你的結論;

(2)如圖2,若點。與點A重合，且AC=3近，DE=4,將QEF繞點D旋轉(zhuǎn),連接正,

3

點G為防的中點，連接CG,在旋轉(zhuǎn)的過程中，求;CG+BG的最小值;

(3)如圖3,若點。為AB的中點，連接8尸、CE交于點M,CE交AB于點、N,且

BC:DEiME=l:9:10,請直接寫出獷的值.

【答案】(DAE+應AO=AF，證明見解析

(2)|CG+BG的最小值是|。/=與

(3)572-731

【分析】(1)過歹作FHJ_AB于"，過E作的，皿于3,結合K字型全等，等腰直角三

角形，四點共圓即可得到答案；

4

(2)第二問考察隱圓問題與阿氏圓，取A3的中點0,連接。G,在。8上取0H=1，連

接G",構建相似，轉(zhuǎn)化線段即可得到答案；

(3)過點C作即平行線，點f作3c平行線交于點G；過點G作G”_L3/于點H,過點

K作KZ_LPG,證明△班甲/ACDE,設3c=7t,則DE=9f,ME=10t,結合勾股定理、

相似三角形及解直角三角形的知識進行計算.

【詳解】(1)解：線段AF、AE、AQ之間的數(shù)量關系：AE+y/2AD=AF,證明如下：

過產(chǎn)作W_LAB于〃，過E作欣?，鉆于6,如圖：

FH±AB,EG±AB,NEDF=90°,

ZFHD=ZDGE=90°,ZFDH=90°-NEDG=2DEG,

又：DF=DE,

/.AFHERDGE(AAS),

：.FH=DG=AD+AG,

?：ZACB=NEDF=90°,BC=AC,ED=FD,

：.ZFAB=ZFED=45°,

...點R。、A、E四點共圓，

，ZFAE=ZFDE=90°,ZEAG=ZDFE=45°,

FHLAB,EGLAB,ABAC=45°,

△皿/和△￡AG為等腰直角三角形,

：?AF=6FH，AE=gG，

：.AF=?AD+AG)=y/2AD+垃AG=應AD+AE；

4

(2)取A3的中點O,連接。G,在03上取=連接GX,如圖:

：G為昉的中點，。為AB中點，

0G是的中位線，

OG=-AF=-DF=-DE=2,

222

AC=3五，

：.AB=^/2AC=6,OB=-AB=3,

2

.OG_2

??一,

OB3

4

而OH=3=2,

~OG~1~3

.OGOH

9'~OB~~OG"

又/HOG=/GOB,

：.^HOG^