云南省某中學2024-2025學年高二年級上冊12月聯(lián)考數(shù)學試題

云南省下關(guān)第一中學2024-2025學年高二上學期12月聯(lián)考數(shù)

學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

Z72

1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足」=l+3i,則它的共粗復(fù)數(shù)的虛部為（）

l-2i

A.1B..C.〔D.;

i—i—i

2.設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為，且a,+%=-22,凡=-110，則S“取最小值時，〃的

值為（）

A.14B.15C.16D.15或16

3.已知函數(shù)外外=卜/-2辦-。戶<°在區(qū)上單調(diào)遞增，則”的取值范圍是（）

[er+ln（x+l）,x>0

A.(-oo,0]B.[-1,0]C,[-1,1]D.[0,+oo)

4.在等比數(shù)列｛%｝中，°5,%=6M2+〃io=5,則&_等于()

。10

A2T3D2c.2

A.一或一B.D.—2或—3

323232

5.如圖所示，一個底面半徑為6的圓柱被與其底面所成的角為45。的平面所截,

截面是一個橢圓，則下列結(jié)論錯誤的是（）

試卷第11頁，共33頁

A.橢圓的長軸長為4

B.橢圓的離心率為走

4

22

C.橢圓的方程可以為二+匕=1

42

D.橢圓上的點到焦點的距離的最小值為2.百

6.一條光線從點/（_2,3）射出，經(jīng)x軸反射后，與圓C：（x_3＞+3_2）2=1相切，則反射

后光線所在直線的斜率為（）

A.34或3士B.S2或43C.士3或24D.52或3士

34452335

7.元代數(shù)學家朱世杰編著的《算法啟蒙》中記載了有關(guān)數(shù)列的計算問題：“今有竹七節(jié)，

下兩節(jié)容米四升，上兩節(jié)容米二升，各節(jié)欲均容，問逐節(jié)各容幾升？”其大意為：現(xiàn)有一

根七節(jié)的竹子，最下面兩節(jié)可裝米四升，最上面兩節(jié)可裝米二升，如果竹子裝米量逐節(jié)等

量減少，問竹子各節(jié)各裝米多少升？以此計算，這根竹子的裝米量為（）

A.9升B.]0.5升C.[2升口.]3.5升

8.已知雙曲線c..一片=1缶＞06＞0）的左焦點為為坐標原點，若在C的右支上存

'a1b1V'

在關(guān)于x軸對稱的兩點p,0,使得△尸為正三角形，且OQ_L片尸，則C的離心率為

（）

A.41B-1+V2C.gD-1+V3

二、多選題

9.己知等差數(shù)列｛q,｝的前八項和為s“，且席＞幾＞又，則下列結(jié)論中正確的是（）

試卷第21頁，共33頁

A..J是遞增數(shù)列B.%>o時，”的最大值為13

C.數(shù)列｛$“｝中的最大項為用D.>0時，〃的最大值為27

10.已知點尸是拋物線了2=2x的焦點，過點下的直線交拋物線于M、N兩點,則下列結(jié)

論正確的是（）

A.點加■到焦點尸的最小距離為1B.若點尸的坐標為（2,1），貝1取F|的最

小值為*

2

C.以為直徑的圓與拋物線的準線相切D.4+」=2

\MF\|Ay|

1L八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正

B-OA+OC=-y/2OF

C-刀在礪上的投影向量為自砒

D.若點尸為正八邊形邊上的一個動點，則而的最大值為4.

試卷第31頁，共33頁

三、填空題

12.設(shè)等差數(shù)列｛.“｝的前〃項和為S.，若品-S3=35,%+%。=7,則數(shù)列｛%｝的公差為一

13.如圖所示，CD是某校園內(nèi)一標志性雕像，小明同學為了估算該雕像的高度，在學校

教學樓N2（高為（15百-15）米）與雕像之間的地面上的點屈處（B,M,。三點共線）測

得樓頂/及雕像頂C的仰角分別是15。和60°,在樓頂/處又測得雕塑頂C的仰角為30°,

假設(shè)/2、CD和點M在同一平面內(nèi)，則小明估算該雕像的高度為米.

14.侏羅紀蜘蛛網(wǎng)是一種非常有規(guī)律的蜘蛛網(wǎng)，如圖是由無數(shù)個正方形環(huán)繞而成的，且每

一個正方形的四個頂點都恰好在它的外邊最近一個正方形四條邊的三等分點上.設(shè)外圍第

一個正方形4片￡口的邊長為1,往里第二個正方形為42c…，往里第〃個正方形

為44Goi?那么第7個正方形的周長是______，至少需要前個正方形的面積之和

超過2.（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.301，lg3=0.477）.

試卷第41頁，共33頁

四、解答題

15.已知｛《,｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，為=1,且能,3%，4成等差數(shù)歹1r

(1)求｛6｝的通項公式.

⑵設(shè)勿=。"+108洱，求數(shù)列也“｝的刖”項和.

16.在四邊形48c。中,ZA=45°,ZABC=105°,ZC=60°,BC=1,CZ>=2-

(1)求NC8Z)的大?。?/p>

(2)求ZB的值.

17.在等差數(shù)列｛a,｝中，%=7,%=-5,｛0“｝的前”項和為5“?

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式;

(2)求￡的最大值;

(3)設(shè)/=同+同+同+…+同，求4

試卷第51頁，共33頁

18.如圖，在四棱錐中，底面N8C￡)為矩形,PZ)底面/8CZ)，

(1)求證：尸么〃平面￡2必；

(2)求平面石1M與平面尸/D夾角的余弦值；

(3)在棱上是否存在一點“，使直線屏'與平面互沙所成角的正弦值為逅，若存在，求

3

出求線段存尸的長；若不存在，說明理由.

Dr

19.已知圓「：/+/=4,點0在圓「上，過。作y軸的垂線，垂足為0,動點尸滿足

_o__.PC

國不，設(shè)動點的軌跡為曲線.

⑴求曲線C的方程；

(2)斜率存在且不過"o,2)的直線/與曲線C相交于M、N兩點，8M與3N的斜率之積為

20

~9'

①證明：直線/過定點;

試卷第61頁，共33頁

②求1W面積的最大值.

試卷第71頁，共33頁

參考答案:

題號12345678910

答案CDBABABDBCBD

題號11

答案BCD

1.C

【分析】由題目條件可直接求出復(fù)數(shù)4Z，從而寫出共輾復(fù)數(shù)Z即可得到共軌復(fù)數(shù)^Z的虛

部.

【詳解】依題意，z=(l+3i)(l-2i)=7+i>因此彳=7-i，所以7的虛部為-L

故選：C.

2.D

【分析】根據(jù)已知及等差數(shù)列的通項公式、前〃項和公式求基本量，結(jié)合%=0及數(shù)列單

調(diào)性確定Sn取最小值時〃的值.

【詳解】由凡=11(%；為)=1=一1100&=T0，

由〃2+=2。5=—22=>%=—11，

所以數(shù)列｛〃“｝的公差d=七一%=>且。6=%+5d=6+5=-10=>%=-15，

所以須=%+15"=0,且數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，

n

故Sn取最小值時，的值為15或16.

故選：D.

3.B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.

【詳解】因為/(x)在R上單調(diào)遞增，且xNO時，/(力=砂+111(》+1)單調(diào)遞增，

答案第11頁，共22頁

'-2aC-1V。V0

則需滿足一云而2。，解得，

-a<e°+In1

即。的范圍是

故選：B.

4.A

【分析】根據(jù)題設(shè)知出和須為方程x2-5x+6=0的兩個根，即可求得%=2,1。=3或

電=3,%。=2，結(jié)合等比數(shù)列通項公式求目標式的值?

【詳解】因為｛g｝是等比數(shù)列，所以％?%=出"。=6,又生+%。=5，

所以電和為。為方程一-5x+6=0的兩個根，解得。2=2,4。=3或%=3,%。=2?

若等比數(shù)列｛°，的公比為‘，則組=%。，=組,所以組=?；?.

Ol0。2,q'23

故選：A.

5.B

【分析】結(jié)合圖象根據(jù)橢圓的長軸，短軸的幾何意義求橢圓的凡6，由此判斷各選項.

【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為“，橢圓的長半軸長為人，半焦距為c，

由圖象可得2acos450=2/，,a=2，

又6=拒，c2=a2-b2'

,c=6

二橢圓的長軸長為4,A對，

橢圓的離心率為也，B錯,

2

答案第21頁，共22頁

22

圓的方程可以為二+匕=1，C對,

42

橢圓上的點到焦點的距離的最小值為2_0，D對，

故選：B.

6.A

【分析】求出圓心坐標與半徑，點/(_2,3)關(guān)于x軸對稱點的坐標，設(shè)過對稱點與圓相切

的反射光線所在直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑即可求出答案.

【詳解】圓0：(；(:-3)2+(/-2)2=1的圓心坐標為(3,2)，半徑為1,

點(-2,3)關(guān)于x軸對稱點的坐標為(-2,-3)，

根據(jù)題意可得，點(一2,-3)在反射光線所在的直線上，

設(shè)反射光線所在的直線方程為夕+3=后卜+2)，即履-y+2?-3=0,

因為反射光線所在直線與圓a_3)2+(y-2)2=1相切，

所以d=色心竺121=1，解得左，或左=3,

7F7T34

故選：A.

7.B

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前〃項和公式計算即得.

【詳解】依題意，竹子自下而上的各節(jié)裝米量構(gòu)成等差數(shù)列

則％+出=4,+%=2，%+%=。2+〃6=3，

所以這根竹子的裝米量為邑=7(?+%)=10.5(升)

72

故選：B

答案第31頁，共22頁

8.D

【分析】連接尸工，利用中位線性質(zhì)得到△尸久招是/耳片「=巳的直角三角形，在焦點三角

形中利用雙曲線定義即可建立風。的關(guān)系，從而求得離心率.

【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為2c(c>0)，右焦點為F,，直線交片產(chǎn)于點連接尸巴，

因為△尸4°為正三角形，OQLFlP所以〃為打尸的中點，所以(W//gP，

故";/迅=工，易知乙工片尸=工，所以「用=4尸4=出。，

26

由雙曲線的定義知附曰叫=2。，即Gc-c=2a,得e，==i+6

aJ3T

【分析】利用等差數(shù)列的前附項和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)得到％3>0嗎4<0,從而逐項判

斷.

【詳解1由己知,SQ>S[2=Sl2+a13>Sl2=al3>0,Sl3>514=513+a14a14<0，

所以等差數(shù)列｛見｝的前13項大于0,從第14項開始小于0,故B正確；

設(shè)等差數(shù)列｛4,｝的公式為d，則％>0,d<0，

答案第41頁，共22頁

所以｛%｝是遞減數(shù)列，故A錯誤；

且與為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和的最大值，故C正確；

因為邑7城里產(chǎn)!a7％,勵，故D錯誤?

故選：BC.

10.BD

【分析】A由焦點弦的性質(zhì)，結(jié)合拋物線上點到焦點距離的范圍即可判斷；B由拋物線定

義知共線，|〃巴單平|最?。籆由拋物線焦點弦的性質(zhì)判斷正誤；D設(shè)直線方程，

聯(lián)立拋物線，應(yīng)用韋達定理求人+4.

\MF\|AY|

【詳解】如下圖：嗎,0）且準線為x=-g,

A：過尸的直線交拋物線于河、N，則該直線斜率存在時不為0，由拋物線性質(zhì)知:

\MF\>\OF^,即"到焦點/沒有最小距離，錯誤；

B：如上圖，M4_L拋物線準線，要使性⑶印團^的最小，則共線，即

答案第51頁，共22頁

\MP\+\MF\=l^l=|>正確；

C：以v為圓心，??為半徑的圓或以MN為直徑的圓與拋物線的準線相切，而以〃/為

直徑的圓不與拋物線的準線相切，錯誤；

D：令MN為丫=蚊+；,聯(lián)立拋物線可得：;20-1=0,則加+為=2仆加%=-1,

?」〃+XN"(%+B)+1=2左2+1,工/、=公加%+3%+6)+(=:

1,1.IW+MI=X.+/+1=2

叫肥阿IWH^I+；%+/)+；，正確.

故選：BD.

11.BCD

【分析】根據(jù)正八邊形圖形特征應(yīng)用數(shù)量積公式得出A,應(yīng)用和向量判斷B,應(yīng)用投影向

量判斷C,應(yīng)用數(shù)量積投影最大求解D.

【詳解】由題意可知，正八邊形每條邊所對的角都是45。，中心。到各頂點的距離為2,

對于A,OB-OE^^0B\[0E\xCOSZBOE=2X2Xcosl350=-272；故A錯誤;

對于B,ZAOC=90^則以。4。。為鄰邊的正方形對角線長是|Q4|的近倍，

可得厲+反=夜礪=-夜麗，故B正確;

答案第61頁，共22頁

次在礪上的投影向量為再空礪=2x2cos45。痂=正加,故C正確;

對于c,

3『42

對于D,設(shè)正方的夾角為°,則而存=網(wǎng)網(wǎng)cos。,

其中|方|為定值，只需|"k°sO最大即可，DC1AB

延長℃交"'延長線于°，當,在線段℃上運動時，|"1c°s。最大,

易知"°AC為等腰直角三角形，且ZOAB=180°-45。=67.5。，

2

則在RtAG4。中，AQ=AC-COSZCAQ=ACCOS(67.5°-45°)=NC?cos22.5°>

在等腰三角形048中，AB=20A-sin22.5°>

則43)1nMe=/C-cos22.5°x2CU?sin22.5°=/CxO/xsin45°=2>/^x2x-^-=4'

綜上，BCD正確.

故選：BCD.

12.3

【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列下標和的性質(zhì)代入計算，即可得到為+%。=10,從而得到

結(jié)果.

H

【詳解1由S1o-S3=35n&+05-----Fq。=35n彳"2——=35a4+al0=10>

所以公差d=(a4+a10)-(a3+a10)=a4-a3=10-7=3,

故答案為：3

13-3073

答案第71頁，共22頁

【分析】在中利用銳角三角函數(shù)求出/M，再由正弦定理求出CM，最后根據(jù)銳

角三角函數(shù)求出Co；

Rt^ABM.AB里—=3。/

【詳解】解：在中，sm=7M,解得"”=而正

4

其中sinl5°=sin（45。-30。）=sin45°cos30°-cos45°sin30°

V2V3V21V6-V2

---X--------X—=--------

22224

在△/CM中，ZCAM=30°+\5°=45°,ZAMC=180°-15°-60°=105°,

所一”8—,由正弦定理得，

—x30V2

sinNCAM.__sin45°?30后

故CM=---------------AM=-------------------^―j——=60.

sinZACMsin30°

2

在中，"M)=60;所以。=CMsin60'60x"=305估算該雕像的高度

2

為306米?

故答案為：30A/3

14,迎4

729

【分析】根據(jù)已知，利用勾股定理、正方形的周長公式、面積公式以及等比數(shù)列的通項、

前〃項和公式進行求解.

【詳解】

答案第81頁，共22頁

B

//

D,4n

因為每一個正方形的四個頂點都恰好在它的外邊最近一個正方形四條邊的三等分點上,

所以44

由勾股定理有：45「加甌HA*

設(shè)第〃個正方形ARCR的邊長為/“，則

上一尉可率?

/+,/“/=TL1

所以仆圖：樗:

\J7kJ7

//-\6

=4《=4></=迎

所以第7個正方形的周長是44=4x

6

\373729729'

⑸7-1

,2=

第〃個正方形的面積為＜=[3)[9)

則第1個正方形的面積為片干：=1,

答案第91頁，共22頁

則第2個正方形的面積為二二戶］=9,

則第3個正方形的面積為個=,

n-1

則第〃個正方形的面積為/25

9

5

n-i1一

前〃個正方形的面積之和為s“=i+f|595

+…+9

949

2

當〃=1=p當"=2時，邑［514

時,5141-___,

9一9

當〃=33151,當〃=45丫1484-

時,時,1------->2'

81St9729

所以至少需要前4個正方形的面積之和超過2.

故答案為：—,4.

729

6(I)。-"-

⑵2々一1

【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列定義構(gòu)造方程解得公比qQ2,可得其通項公式；

（2）代入%=2"T得到也,｝的通項公式，利用分組求和計算可得結(jié)果.

【詳解】（1）因為數(shù)列｛”"｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，%=1，且％,3%,%成等差數(shù)歹人

答案第101頁，共22頁

所以6%=%+?

設(shè)數(shù)列｛%｝的公比為q>0,則q2+g_6=0，

解得《用2,或g=-3（舍），

所以=a\Qn1=2"-—

（2）由（1）知0_2"-',

因為6,=a“+log2a“，所以"=2'T+〃-1，

設(shè)數(shù)列也｝的前”項和為S“，

121

則S“=61+Z?2+Z>3+---+Z>?=（2°+0）+（2+1）+（2+2）+---+（2"-+?-1）

=（2°+2'+22+L+2"-'）+（O+l+2+L+M-1）

"0+〃-1）*一，

-I—乙\1

1-222

即數(shù)列｛4｝的前〃項和為S=2〃+止2一1.

〃2

16.⑴90°

⑵逑

2

【分析】（1）根據(jù)題意利用余弦定理可得出，結(jié)合勾股定理分析求解;

（2）分析可知N/D8=120。，利用正弦定理運算求解即可?

【詳解】（1）在△80中，由余弦定理得

答案第111頁，共22頁

BD=dCD2+BC2-2CD-BCcosC=,+1?一2x2xlxg=5

由8C=1,CD=2，^BC2+BD-=CD-'可得NC5O=90;

(2)因為//。。=360。-//-//8。-/。=360--45°-105°-60°=150°，

由(1)得NCAD=90°，且NC=60°，

所以NBDC=30°>ZADB=/ADC-/BDC=150°-30°=120°-

在中，由正弦定理得_絲_=_"，

sinZADBsin//

BDsinNADB3A/2

所以48=

sinZAr

2

17.（Da“=13-2”

（2）36

⑶T\12n-n2,n<6,neN*

"\n2-I2.n+72,n>7,neN*

【分析】（1）求出等差數(shù)列的公差和首項，即可求得通項公式；

（2）利用等差數(shù)列的前〃項和公式，即可求得答案；

（3）判斷數(shù)列也,｝的項的正負情況，討論〃的取值，結(jié)合等差數(shù)列的前”項和公式，即可

求得答案.

【詳解】（1）由題意知在等差數(shù)列｛與｝中，％=7,09=-5,設(shè)公差為d，

貝U%—%=6d=—12，解得"=-2，貝q=4-2"=11，

故a,,=q=13-2”，

答案第121頁，共22頁

所以通項公式為=13一2"(〃€1\)

(2)由(1)可得前項和S“=11"+x(-2)=12〃-=—(〃-6)2+36,

所以當〃=6時，Sn取最大值36.

(3)因為=13—2〃,

所以當13-2〃20時,得“0,

2

即當〃<6時有%>0；當“27時有<0；

當時，Tn=同+同+同+…+|?！安罚?電+%+…+%=S.=12〃一〃2，

a

當〃27時,Tn=ax+a2-\---卜％一%----n

=2(4+Q2H—++電+。3+—[■4“)

=256-5〃=2(12x6-36)-(⑵-叫="_12〃+72，

綜上，<6,〃￡N*

7rT"-[n2-12?+72,M>7,neN*

18.(1)證明見解析

⑵逅

6

(3)存在；分BF的長為上3或？9

24

【分析】(1)利用線面平行的判定定理證明即可；

(2)建立空間直角坐標系，用空間向量數(shù)量積公式求解二面角；

(3)假設(shè)棱PB存在一點尸使得麗=幾而，且潴=昂+潴，即可求出而，利用向量的

答案第131頁，共22頁

夾角公式列出關(guān)于2的方程求解即可?

【詳解】(1)連接/c,父3。于點0,連接OE，

點E是尸°的中點，點0是4c的中點，

所以尸///0￡，0￡^平面瓦＞8，己4＜2平面瓦＞2，

所以PA〃平面瓦(8；

(2)如圖，以向量房，后,而為x，N，z軸的正方向建立空間直角坐標系,

即。(0,0,0)，S(1,2,0)-￡(0,1,1)>則麗=(1,2,0),反=(0,1,1)，

EDBrn=(xvz\DB?應(yīng)=x+2>=0

設(shè)平面的法向量’‘，貝仁

DE?應(yīng)=y+z=0'

令y=_l得X=2,z=l，所以平面應(yīng)■的法向量成=(2,-1,1)，

平面P4D的一個法向量為亢=(0,1,0)，

設(shè)平面EDB和平面PAD的夾角為0，

則cosO=|E葉株￡邛

所以平面和平面""的夾角的余弦值為逅;

6

答案第141頁，共22頁

(3)由(2)知。(0,0,0)，5(1,2,0)-￡(0,1,1)'尸(0,0,2)，

麗麗=(-1,-2,2"BF=A5P=(-A,-2A,2A)(O<A<1),

￡F=EB+5F=(l,l,-l)+(-A,-2A,2A)=(l-A,l-2A,-l+2A)'

由(2)知平面的法向量加=(2,7,1)，

設(shè)直線EF與平面切澄的夾角為a，

|/釬-\||2(1-A)-(1-2A)-1+2A|c/［八

川Isinez=cos(Er,m)\=/———=-----,0<A<1

則I、，/I向而彳球EWxC3

整理得8萬-104+3=0,解得2=1.或2=3,

24

117Q

故當4=—時，BF=~；當4=±時，BF;二

2244

則B的F長為士3或？9.

24

19.(1)^+￡=1

94

⑵①7(0,-3);②5

答案第151頁，共22頁

【分析】（1）利用相關(guān)點法，結(jié)合向量的坐標運算即可得解；

（2）①聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理與已知條件得到關(guān)于左,6的方程，解之即可得

解；②利用三角形面積公式，結(jié)合韋達定理與基本不等式即可得解.

【詳解】（1）依題意,設(shè)尸則。（。,%>

因為西=］匠，所以（x0,O）=§（x,y_%）,

,解得

因為0伉,%）圓「V+廣