中考數(shù)學復習易錯點：三角形

易錯點04三角形

1.三角形的有關概念

2.與三角形有關的角

3.全等三角形

4.等腰三角形

5.角平分線與線段垂直平分線

6.勾股定理

7.解直角三角形

8.相似三角形

易錯題01三角形的有關概念

三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段.銳角三角形的三條高在三

角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部,

它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所

在直線相交于三角形外一點.

三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.

當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性.

變式練習

1.（2022?十堰）如圖，工人砌墻時，先在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，再拉一條直的參照線，就能使

砌的磚在一條直線上.這樣做應用的數(shù)學知識是（）

A.兩點之間，線段最短

B.兩點確定一條直線

C.垂線段最短

D.三角形兩邊之和大于第三邊

2.（2022?河北）平面內(nèi)，將長分別為1,5,1,1,d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d

A.1B.2C.7D.8

3.（2022?玉林）請你量一量如圖AABC中8c邊上的高的長度，下列最接近的是（)

A

4.（2022秋?安順期末）已知〃為整數(shù)，若一個三角形的三邊長分別是4〃+31,n-13,6n,則所有滿足條

件的w值的和為.

5.（2022?蘇州模擬）已知：如圖所示，在△ABC中，點。，E,廠分別為BC,AD,CE的中點，且S^ABC

=4cW,則陰影部分的面積為cm2.

易錯題02與三角形有關的角

1.三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)

角均大于0°且小于180。.

2.三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180。.

3.三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對.

4.三角形的外角性質(zhì)：

①三角形的外角和為360°.

②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角.

變式練習

1.（2022秋?濱城區(qū)校級期末）△ABC中，給出下列條件：

?ZA=ZB-ZC,

②/A：ZB：ZC=1：2：3,

③/A=2N8=3/C,

④點D是邊A8的中點，且CD=^AB.

2

其中能判定△ABC是直角三角形的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.（2022秋?青島期末）如圖，AB//DE,ZABC=80°,ZCDE=140°,則/BC。的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.60°D.80°

3.（2022秋?碑林區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，ZA=ZABC,是/ABC的平分線，8。和C。是4

ABC兩個外角的平分線，。、C、H三點在一條直線上，下列結(jié)論中：①DBLBH；②/D=90。蔣NA；

?DH//AB；④/H卷NA；⑤NCBD=ND,其中正確的是（）

A.①②③B.①③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤

4.（2022秋?泰興市期末）已知，如圖，△ABC中，NABC=48°,/ACB=84°,點。、E分別在BA、

8c延長線上，8P平分/ABC,CP平分NACE,連接AP,則/PAC的度數(shù)為（）

5.（2022秋?蓮池區(qū)校級期末）如圖，3P是△ABC中NA8C的平分線，CP是NAC8的外角的平分線，如

果/ABP=20°,ZACP=50°,則/尸=（）

6.（2021?河北）如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與3。的交點為C,且/A,ZB,NE保持不

變.為了舒適，需調(diào)整的大小，使/EED=110°,則圖中應（填“增力口”或“減少”）

易錯題03全等三角形

1,全等三角形的判定：

（1）判定定理1：SSS—三條邊分別對應相等的兩個三角形全等.

（2）判定定理2：SAS一兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等.

（3）判定定理3：ASA一兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等.

（4）判定定理4：AAS一兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等.

（5）判定定理5：HL一斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已

知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應

相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊.

2.全等三角形的性質(zhì)

性質(zhì)1:全等三角形的對應邊相等

性質(zhì)2：全等三角形的對應角相等

說明：①全等三角形的對應邊上的高、中線以及對應角的平分線相等

②全等三角形的周長相等，面積相等

③平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等

變式練習

1.（2022?云南）如圖，平分/AOC,D、E、尸分別是射線OA、射線。8、射線OC上的點，。、E、F

與0點都不重合，連接ED、EF.若添加下列條件中的某一個，就能使△OOEgZkf'OE.你認為要添加

的那個條件是（）

A.OD=OEB.OE=OFC.ZODE^ZOEDD./0DE=/OFE

2.（2022?成都）如圖，在△ABC和△。所中，點A,E,B,。在同一直線上，AC//DF,AC^DF,只添

加一個條件，能判定的是（）

A.BC=DEB.AE=DBC.ZA=ZDEFD.ZABC=ZD

3.（2022?湘西州）如圖，在Rt^ABC中，ZA=90°,M為BC的中點，H為AB上一點，過點C作CG

//AB,交的延長線于點G,若AC=8,AB=6,則四邊形ACGH周長的最小值是（）

A

A.24B.22C.20D.18

4.（2022?揚州）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊.小明通過電話給玻

璃店老板提供相關數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為△ABC,提供下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出來的

玻璃不一定符合要求的是（）

A.AB,BC,CAB.AB,BC,ZBC.AB,AC,NBD.ZA,ZB,BC

5.（2022?淮安）已知：如圖，點A、D、C、F在一條直線上，且AD=CF,AB=DE,ZBAC=Z

EDF.求證：NB=NE.

6.（2022?資陽）如圖，在△ABC中（A8CBC）,過點C作在。上截取CD=C8,CB上截取

CE^AB,連接?！?、DB.

(1)求證：AABC^AECD；

(2)若NA=90°,AB=3,BD=2娓,求△BCD的面積.

7.（2022?牡丹江）如圖，△ABC和△￡>￡1￡點E,尸在直線3C上，AB=DF,ZA=ZD,NB=NF.如

圖①，易證：BC+8E=3?請解答下列問題：

（1）如圖②，如圖③，請猜想3C,BE,BE之間的數(shù)量關系，并直接寫出猜想結(jié)論；

（2）請選擇（1）中任意一種結(jié)論進行證明;

(3)若AB=6,CE=2,ZF=60°,SAABC=12A/3-貝UBC=，BF=

易錯題04等腰三角形

1.等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線'底邊上的高相互重合.【三線合一】

在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個元素中，從中任意取出

兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論.

2.等腰三角形的判定

判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.【簡稱：等角對等

邊】

3.等邊三角形的性質(zhì)

（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰

三角形.

（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，且都等于60°.

等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的

垂直平分線是對稱軸.

4.等邊三角形的判定

（1）由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

（2）判定定理1：三個角都相等的三角形是等邊三角形.

（3）判定定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

變式練習

1.（2022?淄博）某城市幾條道路的位置關系如圖所示，道路AB//CD,道路AB與AE的夾角

50°.城市規(guī)劃部門想新修一條道路CE,要求則/E的度數(shù)為（）

2.（2022?鞍山）如圖，在△ABC中，AB^AC,NA4c=24°,延長8C到點。，使CD=AC,連接AD

則NO的度數(shù)為（）

A.39°B.40°C.49°D.51°

3.（2021?遼寧）如圖，在△A8C中，AB=BC,由圖中的尺規(guī)作圖痕跡得到的射線80與AC交于點E,點

廠為3C的中點，連接ER若BE=AC=2,則的周長為（）

A.V3+1B.A/5+3C.V5+1D.4

4.(2022?鄂州)如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，。、E分別為邊BC、AC上的點，與BE相交于點

P,若BD=CE=2,則AAB尸的周長為.

5.(2022?蘇州)定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”.若等

腰△ABC是“倍長三角形"，底邊的長為3,則腰的長為.

6.(2022?溫州)如圖，8。是△A8C的角平分線，DE//BC,交4B于點E.

(1)求證：ZEBD=Z.EDB.

(2)當時，請判斷CD與即的大小關系，并說明理由.

7.(2021?紹興)如圖，在△A8C中，ZA=40°,點。，E分別在邊AB,AC上，BD=BC=CE,連結(jié)CD,

BE.

(1)若/A2C=80°,求/BDC,NABE的度數(shù)；

(2)寫出/BEC與/BOC之間的關系，并說明理由.

8.(2022秋?德州期末)在邊長為9的等邊三角形A8C中，點。是8C上一點，點P是A8上一動點，以

每秒1個單位的速度從點A向點B移動，設運動時間為/秒.

(1)如圖1,若BQ=6,PQ//AC,求f的值；

(2)如圖2,若點P從點A向點B運動，同時點Q以每秒2個單位的速度從點B經(jīng)點C向點A運動，

當f為何值時，為等邊三角形？

AA

p,

P

圖1圖2

易錯題05角平分線與線段垂直平分線

1.角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等

的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角

2,線段垂直平分線的性質(zhì)

（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分

線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”.

（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.②垂直平分線上任意一點，到線段兩

端點的距離相等.③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到

三個頂點的距離相等.

變式練習

1.（2021?青海）如圖，在四邊形ABCD中，ZA=90°,AD=3,BC=5,對角線BD平分NABC,則4

BCD的面積為（）

2.（2022秋?新華區(qū)校級期末）如圖，AI.BI、CI分別平分4BAC、/ABC、ZACB,IDLBC,AABC的

周長為18,ID=4,則△ABC的面積為（）

3.（2022秋?扶溝縣校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，ZB=90°,BC=3,連接AC,ACLCD,垂足

為C,并且點E是邊上一動點，則CE的最小值是（）

B

C

A.1.5B.3C.3.5D.4

4.（2022秋?東昌府區(qū)校級期末）如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,NBA。的平分線交于點。，

過。點作CGLA3于點G,交AD于點區(qū)過。點作。尸，A3于點?下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（）

①/CED=NCDE；?S^AEC：S^AEG=AC：AG；③NADF=2/FDB；@CE=DF.

5.（2022秋?拱墅區(qū)期中）如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,ZA>ZB,CD是斜邊上的高線，CE是

△ABC的角平分線，尸G是邊A8的垂直平分線，bG分別交8C邊，A3邊于點R點G.若NDCE=NB,

則此為（）

FC

A.旦B.叫C.V2D.2

22

6.（2022秋?福州月考）如圖，在RtZXABC中，NA4c=90°,N2=55°,AD±BC,垂足為。，AADB

與關于直線AD對稱，點2的對稱點是點則/C4B'的度數(shù)為（）

7.（2021秋?東平縣期末）如圖，AB=AC,點B關于AD的對稱點E恰好落在CD上，NBAC=124°,

AF為△ACE中CE邊上的中線，則的度數(shù)為（）

A.24°B.28°C.30°D.38°

8.（2022春?高州市期中）如圖，從△ABC內(nèi)一點。出發(fā)，把△ABC剪成三個三角形（如圖1）,邊A3,

BC,AC放在同一直線上，點O都落在直線MN上（如圖2）,直線MN//AC,則點O是AABC的

)

c

圖1圖2

A.三條角平分線的交點B.三條高的交點

C.三條中線的交點D.三邊中垂線的交點

易錯題06勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；

表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為。，b,斜邊為*那么

變式：

1）a2=c2-b2

2）b2=c2-a2

適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關系，它只適用于直角三角形,

因而在應用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形

變式練習

1.（2022秋?豐城市校級期末）如圖,在△ABC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足為。.若AC=3,BC=

4,則CD的長為（

A.2.4B.2.5C.4.8D.5

2.（2022秋?天山區(qū)校級期末）如圖,在直角△ABC中，NC=90°,AP平分NA4C,8。平分/ABC,AP,

瓦）交于點O,過點。作。MLAC,若△ABC的周長為30,0M=4.則△ABC的面積為（）

15C.60D.120

3.（2022秋?長安區(qū)校級期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左

墻角的距離8C為0.7加，梯子頂端到地面的距離AC為2.4加.如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠

在右墻時，梯子頂端到地面的距離為1.5加，則小巷的寬為（）

0.7m

A.2mB.2.5mC.2.6mD.2.1m

4.（2022秋?平頂山期末）如圖，中，ZA=90°,AO=2,AB=\.以8c=1,為直角邊，構(gòu)

造RtZiOBC；再以CO=1,OC為直角邊，構(gòu)造RtzXOCZ）；…，按照這個規(guī)律，在RtZkOH/中，點”到

。/的距離是（）

5.（2022秋?輝縣市校級期末）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,以△ABC的三邊為邊向外做正方形

ACDE,正方形C8GF,正方形AHZB,連結(jié)EC,CG,作CP_LCG交H/于點P,記正方形ACZJE和正方

形的面積分別為Si,S2,若Si=4,S2=7,則S.ACP：等于（）

6.（2022秋?寧德期末）意大利著名畫家達?芬奇用下圖所示的方法證明了勾股定理.若設左圖中空白部分

的面積為S1,右圖中空白部分的面積為S2,則下列表示Si,S2的等式成立的是（）

7.（2022春?舒城縣校級月考）如圖，小明有一個圓柱形飲水杯.底面半徑是6cm,高是16cm,上底面貼

著杯壁有一個小圓孔，則一條長24cHi的直吸管露在杯外部分a的長度（杯壁的厚度和小圓孔的大小忽略

不計）范圍是（）

a

B.44W8C.D.44W10

8.（2022秋?蕭縣期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，如

圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形

較長直角邊長為a,較短直角邊長為b,若（a+6）2=21.大正方形的面積為13.則小正方形的面積為

B.4C.5

易錯題07解直角三角形

銳角三角函數(shù)

定X表達式.取值范圍，關系，

1E,4的對邊0<sinJ<1"

sm4=——r—；---/smN=-/sin/=cos3.

弦.斜邊c(ZA為銳角卜

cos/=sin5.

余,4的鄰邊,b0<cosJ<1"

-斜邊，COSH=isin2,4+cos=h

弦.c(ZA為銳角卜

正?/的對邊atanJ>OP

tan，=—q

切.NA的鄰邊b(ZA為銳角).，

特殊角的三角函數(shù)值

三角函數(shù).30?！?5。.60?！?/p>

sinad3叵0

222

cosa272〃L

222

tan2d癢

3

變式練習

1.（2022秋?沈丘縣期末）如圖是簡化后的冬奧會跳臺滑雪的雪道示意圖，AB段為助滑道，BC段為著陸

坡，著陸坡的坡角為a,A點與8點的高度差為120米，A點與C點的高度差為/?米，則著陸坡BC的長

度為（）

B.(120-/?)cosa米

D.九-120米

sinCL

（2022秋?海淀區(qū)校級期末）已知在△ABC中,ZA=6Q°，A3=l+我，AC=2,則NC=()

A.45°B.75°C.90°D.105°

3.（2022秋?臥龍區(qū)校級期末）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,BCi/仁，點。是AC上一點，連接

BD.若tan/ABD］，則瓦）的長為（）

4o

4.（2022秋?蒙城縣期末）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,延長AB到點D,使BD=AB,連接

CD.若

tan/BCD］，則若的值是（）

oAC,

233

5.（2022秋?臥龍區(qū)校級期末）王剛同學在學習了解直角三角形及其應用的知識后，嘗試利用所學知識測

量河對岸大樹的高度，他在點C處測得大樹頂端A的仰角為45°,再從C點出發(fā)沿斜坡走4百5米

到達斜坡上D點，在點。處測得樹頂端A的仰角為30°,若斜坡CF的坡比為i=l：3（點E、C、B在

同一水平線上）.

（1）求王剛同學從點C到點D的過程中上升的高度;

（2）求大樹AB的高度（結(jié)果保留根號）.

A

6.（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）某地一居民的窗戶朝南.窗戶的離地高度為0.8米，此地一年的冬至這一天

的正午時刻太陽光與地面的夾角最小為a,夏至這一天的正午時刻太陽光與地面的夾角最大為p.若你是

一名設計師，請你為教學樓的窗戶設計一個直角形遮陽蓬BCD,要求它既能最大限度地遮擋夏天炎熱的

陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi).根據(jù)測量測得Na=30°,Zp=60°,AB=1.5

米.若同時滿足下面兩個條件：

（1）當太陽光與地面的夾角是a時，太陽光剛好射入室內(nèi).

（2）當太陽光與地面的夾角是P時，太陽光剛好不射入室內(nèi).請你求出直角形遮陽蓬BCD中CD的長、

C￡?離地面的高度.

7.（2022秋?小店區(qū)校級期末）鋼琴音色優(yōu)美，剛?cè)岵?，在人疲倦時聽一些抒情的曲子能緩解疲勞、在

人心情郁悶時聽一些歡快的曲子可以調(diào)節(jié)自己的情緒，陶冶情操，修身養(yǎng)性.圖1標識了某品牌三角鋼

琴的部分產(chǎn)品數(shù)據(jù)，圖2為該鋼琴正面簡化示意圖，已知鋼琴大蓋板閉合時與重合，此時大蓋板

為打開狀態(tài)，支撐桿BC的長度為76cm,支撐桿與水平方向的夾角NABC=60°,大蓋板AD的長度為

148cm,鋼琴的高度為101a”.（參考數(shù)據(jù)：73^1-7,sin31°弋0.5,cos31°^0.9,tan31°弋0.6）

（1）求N8AC的度數(shù).

（2）求此時大蓋板上點。的高度（即點。到水平面所的距離）.

8.（2022秋?渝中區(qū)校級期末）如圖，一艘漁船以每小時30海里的速度自東向西航行，在8處測得補給站

C在北偏西30°方向，繼續(xù)航行2小時后到達A處，測得補給站C在北偏東60。方向.

（1）求此時漁船與補給站C的距離；（結(jié)果保留根號）

（2）此時漁船發(fā)現(xiàn)在A點北偏西15。方向的D點處有大量魚群，漁船聯(lián)系了補給站，決定調(diào)整方向以

原速前往作業(yè)，與此同時補給站C測得點D在北偏西75°方向，并立即派出補給船給漁船補給食物和淡

水，若兩船恰好在D處相遇，求補給船的速度.(精確到十分位，參考數(shù)據(jù)：72^1.41,V3^1.73,

巡心2.45).

易錯題08相似三角形

1.相似三角形的判定

(1)平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相

似；

這是判定三角形相似的一種基本方法.相似的基本圖形可分別記為“A”型和“X”型，如圖所

示在應用時要善于從復雜的圖形中抽象出這些基本圖形.

(2)三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；

(3)兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；

(4)兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似.

2.相似三角形的性質(zhì)

(D相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.

(2)相似三角形(多邊形)的周長的比等于相似比；

相似三角形的對應線段(對應中線、對應角平分線、對應邊上的高)的比也等于相似比.

(3)相似三角形的面積的比等于相似比的平方.

變式練習

1.(2022秋?橋西區(qū)校級期末)在如圖所示的小正方形網(wǎng)格中，以點0為位似中心，AABC的位似圖形是

C.尸D.LMRP

2.(2022秋?叢臺區(qū)校級期末)如圖，尸是線段CD上除端點外的一點，將繞正方形A8CD的頂點A

按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABE,連接跖交A8于點H,則下列結(jié)論正確的是()

A.ZEAF=120°B.EB：AD=EH：HF

C.AF2=EH-EFD.AE：EF=1：VS

3.（2022秋?成華區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點O,E,尸分別在邊AB,AC,上，連接DE,EF,已

知四邊形2?！晔瞧叫兴倪呅?，理」.若△AOE的面積為1,則平行四邊形的面積為（）

BC3

A.3B.4C.5D.6

4.（2022秋?南宮市期末）有一塊銳角三角形余料△ABC,邊BC的長為20c",BC邊上的高為/6。相，現(xiàn)要

把它分割成若干個鄰邊長分別為5cm和4cm的小長方形零件，分割方式如圖所示（分割線的耗料不計），

使最底層的小長方形的長為5cm的邊在BC上，則按如圖方式分割成的小長方形零件最多有（）

A.5個B.6個C.7個D.8個

5.（2022秋?嘉定區(qū)校級期末）在矩形A3。中，AB=3,AZ）=4,點E是邊AD上一點，EM_LEC交A3

于點M,點N在射線M2上，旦/ANE=NDCE.

（1）如圖，求證：AE是AM和AN的比例中項；

（2）當點N在線段A8的延長線上時，聯(lián)結(jié)AC,且AC與NE互相垂直，求的長.

6.（2022秋?嘉定區(qū)校級期末）如圖，已知點。在△A8C的外部，AD〃BC,點E在邊上，ZBAC=Z

AED.

（1）求證：AB'AD^BC-AE；

（2）在邊AC取一點R如果，坦曹?，求證：ZAFE=ZD.

BCAC

7.如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm,BC=6cm,動點M以law/s的速度從A點出發(fā)，沿A8向點B運動,

同時動點N以2c/n/s的速度從點。出發(fā)，沿D4向點A運動，設運動的時間為/秒（0<f<3）.

（1）當t為何值時，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的工？

9

（2）是否存在某一時刻3使得以A、M、N為頂點的三角形與△AC。相似？若存在，求出f的值；若不

8.（2022秋?鄒城市校級期末）若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做

“比例三角形”.

（1）如圖1,在四邊形A8CD中，AD^AB,對角線DB平分NAOC,ZDAC^ZABC.求證：△ACZ）

是“比例三角形”；

（2）如圖2,在（1）的條件下，當NABC=90°時，求EC的值.

BD

圖1圖2

9.（2022秋?源匯區(qū)校級期末）如圖①，有一塊三角形余料△ABC,它的邊8C=10,高AQ=6.要把它加

工成正方形零件，使正方形的一邊在8c上，其余兩個頂點分別在AS,AC上，AD交.PN于點、E,則加

工成的正方形零件的邊長為多少？

小穎解得此題的答案為生，小穎善于反思，她又提出了如下的問題：

4

（1）如果原題中所要加工的零件是一個矩形，且此矩形由兩個并排放置的正方形組成.如圖②，此時，

這個矩形零件的相鄰兩邊長又分別是多少？

（2）如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖③，這樣，此矩形零件的相鄰兩邊長就不能確定，

但這個矩形的面積有最大值，求這個矩形面積的最大值以及這個矩形面積達到最大值時矩形零件的相鄰

圖①圖②圖③

10.（2022秋?夏邑縣期末）（1）如圖1,在△ABC中，D,E,尸分別為AB,AC,8c上的點，DE//BC,

BF=CF,AF交。E于點G,求證：DG=EG.

（2）如圖2,在（1）的條件下，連接CD,CG.若CG_LOE,CD=6,AE=3,求理的值.

BC

易錯點04三角形（解析版）

1.三角形的有關概念

2.與三角形有關的角

3.全等三角形

4.等腰三角形

5.角平分線與線段垂直平分線

6.勾股定理

7.解直角三角形

8.相似三角形

易錯題01三角形的有關概念

三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段.銳角三角形的三條高在三

角形內(nèi)部，相交于三角形內(nèi)一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另一條高在三角形內(nèi)部,

它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內(nèi)部，三條高所

在直線相交于三角形外一點.

三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.

當三角形三邊的長度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性.

變式練習

1.（2022?十堰）如圖，工人砌墻時，先在兩個墻腳的位置分別插一根木樁，再拉一條直的參照線，就能使

砌的磚在一條直線上.這樣做應用的數(shù)學知識是（）

A.兩點之間，線段最短

B.兩點確定一條直線

C.垂線段最短

D.三角形兩邊之和大于第三邊

【分析】根據(jù)兩點確定一條直線判斷即可.

【解答】解：這樣做應用的數(shù)學知識是兩點確定一條直線,

故選：B.

2.（2022?河北）平面內(nèi)，將長分別為1,5,1,1,1的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d

可能是（）

A.1B.2C.7D.8

【分析】利用凸五邊形的特征，根據(jù)兩點之間線段最短求得d的取值范圍，利用此范圍即可得出結(jié)論.

【解答】解：???平面內(nèi)，將長分別為1,5,1,1,d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形，

，l+d+l+l>5且l+5+l+l>J,

的取值范圍為：2Vd<8,

，貝!Jd可能是7.

故選：C.

3.（2022?玉林）請你量一量如圖△ABC中8C邊上的高的長度，下列最接近的是（）

C.1.5cmD.2cm

【分析】過點A作AO_LBC于。，用刻度尺測量AQ即可.

【解答】解：過點A作A￡）J_BC于。,

用刻度尺測量AD的長度，更接近2cm,

故選：D.

4.（2022秋?安順期末）己知"為整數(shù)，若一個三角形的三邊長分別是4n+31,”-13,6n,則所有滿足條

件的n值的和為48.

【分析】分兩種情況討論：①若〃-13<6后4〃+31,②若〃T3<4w+31W6〃，分別依據(jù)三角形三邊關系

進行求解即可.

n-13+6n>4n+31

【解答】解：①若13<6wW4”+31,則

6n44n+31

、44

即絲<忘罵,

解得

―2132

n42

正整數(shù)〃有1個：15；

n-13+4n+31〉6n

②若〃T3V4〃+31W6”,則

4n+3l46n

fn<18

解得

2

正整數(shù)”有2個：16和17；

綜上所述，滿足條件的〃的值有3個，它們的和=15+16+17=48；

故答案為：48.

5.（2022?蘇州模擬）已知：如圖所示，在△A8C中，點。，E,尸分別為8C,AD,CE的中點，且SMBC

=4cm2,則陰影部分的面積為1cm2.

因,

BDC.

【分析】易得△AB。，△AC。為AABC面積的一半，同理可得ABEC的面積等于△ABC面積的一半，那

么陰影部分的面積等于aBEC的面積的一半.

【解答】解：???。為8C中點，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，

11人

??S/^ABD=S/^ACD=—S^ABC=—X4=2(cm~)，

22

同理SABDE—SACDE=—S^BCE——X2=l(cm2)，

22

S^BCE—2Carr')，

:尸為EC中點，

SABEF=—SABCE=—X2=1(cm2).

22

故答案為1.

易錯題02與三角形有關的角

1.三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)

角均大于0°且小于18。.

2.三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180。.

3.三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對.

4.三角形的外角性質(zhì)：

①三角形的外角和為360°.

②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角.

變式練習

1.(2022秋?濱城區(qū)校級期末)AABC中，給出下列條件：

?ZA=ZB-ZC,

②/A：ZB：ZC=1：2：3,

③/A=2NB=3NC,

④點D是邊AB的中點，且CD=—AB.

2

其中能判定AABC是直角三角形的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出最大的內(nèi)角，即可判斷①②③，然后根據(jù)點D是邊AB的中點，且

CD^AB.求出NA+/B=90°,即可判斷④，進而可以解決問題.

【解答】解：?vZA=ZB-ZC,

ZA+ZC=ZB,

VZA+ZB+ZC=180°,

，2/B=180°,

：.ZB^90°,

.二△ABC是直角三角形；

②；NA：ZB：NC=1：2：3,ZA+ZB+ZC=180°,

，最大角/C=180°X—？—=90°,

1+2+3

...△ABC是直角三角形；

@VZA=2ZB=3ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

.\ZA+—ZA+—ZA=180°,

23

所以AABC不是直角三角形；

④：點。是邊A8的中點，且Cr>=」AB,

2

A

C'-----------

：.AD=CD=BD,

：.ZA=ZDCA,ZB=ZDCB,

VZA+ZB+ZACB=180°,

.?.2/4+2/8=180°,

/.ZA+ZB=90°,

...△ABC是直角三角形，

綜上所述：能判斷△ABC是直角三角形的有3個.

故選：C.

2.（2022秋?青島期末）如圖，AB//DE,ZABC=80°,ZCDE=140°,則/BCD的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.60°D.80°

【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等以及三角形外角和定理即可解答.

【解答】解：反向延長。E交BC于如圖：

AB

DE

r

\9AB//DE,

：.ZBMD=ZABC=SO°,

：.ZCMD=1SO°-ZBMD=100°；

又ZCDE=ZCMD+ZC,

：.ZBCD=ZCDE-ZCM￡>=140°-100°=40°.

故選：B.

3.（2022秋?碑林區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，ZA=ZABCf5H是NA3C的平分線，和。。是4

ABC兩個外角的平分線，D、C、H三點在一條直線上，下列結(jié)論中：①DB工BH；②/D=90°-yZA；

?DH//AB；④/A；⑤/CBD=ND,其中正確的是（

A

D.①②③④⑤

【分析】①根據(jù)BH、BD是/A8C與/CBE的平分線，可得/A8C=2/C8”，ZCBE=2ZCBD,再由

鄰補角的性質(zhì)，可得①正確；②根據(jù)8D和CD是△ABC兩個外角的平分線，可得

ZD=1800蔣(180°-ZABC)-y(180°-ZACB)?可得②正確；③根據(jù)/A=/A8C,可得/BCF

ZA+ZABC=2ZABC,可得/ABC,可得③正確；④根據(jù)/D=90°-yZA,ZDBH=90°,

可得④正確；⑤根據(jù)/A8C+/C8E=180°,BD平分/CBE,可得/CBD=90°-yZABC-再由/A=

ZABC,可得NCBD=90°-yZA＞可得⑤正確，即可求解.

【解答】解：①；BH、2。是NABC與/CBE的平分線,

NABC=2ZCBH,ZCBE=2ZCBD,

VZABC+ZCBE=180°,

：.ZCBH+ZCBD=90°,即/。B〃=90°,

：.DB±BH,故①正確;

②和CO是△ABC兩個外角的平分線,

.?.ZZ)=180°-ZDBC-ZDCB

=180。-/NEBC-^NBCF

=180°-y(180°-/ABC)蔣(180°-ZACB)

=y(ZABC+ZACB)

(1800-ZA)

=90°故②正確；

③：ZA=ZABC,

：.ZBCF=ZA+ZABC=2ZABC,

：C￡)是/8CP的平分線，

?'-ZBCD=yZBCF=ZABC>

：.DH//AB,故③正確；

④???/D=90°蔣NA,NDBH=90°,

?1?ZH=90°-ND卷NA,故④正確；

@</ZABC+ZCBE^180°,BD平分/CBE,

?'?ZCBD=yZCBE=y(180°-/ABC)=90°-yZABC-

??ZA=ZABC,

?'-ZCBD=900蔣NA，

1?,ZD=90"4/A，

:.NCBD=ND,故⑤正確.

綜上所述，正確的有①②③④⑤.

故選：D.

4.(2022秋?泰興市期末)已知，如圖，△ABC中，NA8C=48°,/ACB=84°,點。