中考數(shù)學(xué)難點突破與訓(xùn)練：圖形折疊中的等腰三角形存在性問題（含答案及解析）

專題52圖形折疊中的等腰三角形存在性問題

【題型演練】

一、解答題

i.對于面積為s的三角形和直線/,將該三角形沿直線/折疊，重合部分的圖形面積記為s0,定義FT為

3一、

該三角形關(guān)于直線I的對稱度.如圖，將面積為S的△ABC沿直線/折疊,重合部分的圖形為△L。石,將△C'OE

的面積記為s。，則稱為AABC關(guān)于直線/的對稱度.

在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，點4(0,3),B(-3,0),C(3,0).

(1)過點M(%,0)作垂直于x軸的直線乙，

①當(dāng)m=1時，AABC關(guān)于直線4的對稱度的值是：

②若△ABC關(guān)于直線4的對稱度為1,則m的值是

(2)過點N(0,〃)作垂直于y軸的直線幾求AA8C關(guān)于直線4的對稱度的最大值.

(3)點P(—4,0)滿足”=5,點。的坐標(biāo)為(30),若存在直線，使得AAP。關(guān)于該直線的對稱度為1,

寫出所有滿足題意的整數(shù)r的值.

2.如圖1,在AABC中，ZC=90°,ZA=40°,。為AC的中點，E為邊上一動點，連接。E,將VADE

沿。E翻折，點A落在AC上方點/處，連接ERCF.

圖⑴備用圖

(1)判斷N1與N2是否相等并說明理由；

⑵若ADEF與以點C,D,F為頂點的三角形全等，求出-4DE的度數(shù)：

(3)翻折后，當(dāng)從)所和的重疊部分為等腰三角形時，直接寫出4DE的度數(shù).

3.數(shù)學(xué)興趣小組開展實踐探究活動，將三角形ABC紙片沿某條直線折疊，使其中一個角的頂點落在一邊

上.在△ABC中，AB=9,BC=6.

(1)如圖1,若/AC8=90。，將△ABC沿CM折疊，使點8與邊AB上的點N重合，求的長

(2)如圖2,若/AC8=2/A,將△ABC沿CM折疊，使點B與邊AC上的點N重合，

①求AC的長；

②若。是AC的中點，P為線段ON上的一個動點，將A沿PM折疊得到△APM,AM與AC相交于

PF

點、F,則弓y的取值范圍為?

FM

4.在△ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3.

(1)如圖1,。為線段BC上一點，點C關(guān)于A。的對稱點C恰好落在AB邊上，求CZ)的長；

(2)如圖2,E為線段AB上一點，沿CE翻折△C8E得到△CE夕，若EB'〃AC,求證：AE=AC；

(3)如圖3,。為線段BC上一點，點C關(guān)于4。的對稱為點C，，是否存在異于圖1的情況的C，、B、。為頂

點的三角形為直角三角形，若存在，請直接寫出2。長；若不存在，請說明理由.

5.如圖1,已知直線產(chǎn)-2尤+4與x軸、y軸分別交于點A、C,以O(shè)C為邊在第一象限內(nèi)作長方形OABC.

2

(1)求點A、C的坐標(biāo)；

(2)將AA8C對折，使得點A的與點C重合，折痕交AB于點D求直線的解析式(圖2)；

(3)在y軸上是否存在一點尸(不與C重合)，使得尸是等腰三角形，若存在，請求出所有符合條件的點

尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

6.問題背景

折紙是一種將紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動，折紙大約起源于公元1世紀(jì)或者2世紀(jì)時的中國，6世紀(jì)

時傳入日本，再經(jīng)由日本傳到全世界，折紙與自然科學(xué)結(jié)合在一起，不僅成為建筑學(xué)院的教具，還發(fā)展出

了折紙幾何學(xué)，成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個分支.今天折紙被應(yīng)用于世界各地，其中比較著名的是日本筑波大

學(xué)的芳賀和夫發(fā)現(xiàn)的折紙幾何三定理，它已成為折紙幾何學(xué)的基本定理.

芳賀折紙第一定理的操作過程及內(nèi)容如下：

第一步：如圖1,將正方形紙片A8C。對折，使點A與點。重合，點8與點C重合.再將正方形A8C。展

開，得到折痕EF；

第二步：將正方形紙片的右下角向上翻折，使點C與點E重合，邊BC翻折至百召的位置，得到折痕

BE與AB交于點P.

則點尸為48的三等分點，即AP:PB=2:1.

問題解決

如圖1,若正方形ABC。的邊長是2.

圖1

3

(1)CM的長為；

(2)請通過計算AP的長度，說明點P是的三等分點.

類比探究

(3)將長方形紙片45co(AS>BC)按問題背景中的操作過程進行折疊，如圖2,若折出的點尸也為的三

等分點，請直接寫出黑的值.

k::

III

B~FC

圖2

7.綜合與實踐

在數(shù)學(xué)綜合實踐課上，老師讓同學(xué)們探究等腰直角三角形中的折疊問題.

問題情境：

如圖，在"RC中，AB=AC=6,ZA=90°,點。在邊AB上運動，點E在邊上運動.

AAA

圖2圖3

探究發(fā)現(xiàn)：

(1)如圖2,當(dāng)沿QE折疊，點8落在邊AC的點E處，且。時，發(fā)現(xiàn)四邊形跳BZ)是菱形.請證明；

探究拓廣：

(2)如圖3,奇異小組同學(xué)的折疊方法是沿。E折疊，點8落在點處，延長。匠交AC于點FDF//BC,

點G在邊上運動，沿PG折疊使點C落在線段。9的中點C'處，求線段。尸的長；

探究應(yīng)用：

(3)沿DE折疊，點B的對應(yīng)點9恰好落在邊AC的三等分點處，請借助圖1探究，并直接寫出BD的長.

8.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，在四邊形OA8C中，頂點A(0,2),C(6,0),B(君,〃)，且點

8在第一象限，AOAB是等邊三角形.

4

圖①圖②

(1)如圖①，求點8的坐標(biāo);

(2)如圖②，將四邊形OABC沿直線EF折疊，使點A與點C重合，求點E,F的坐標(biāo);

(3)如圖③，若將四邊形043c沿直線跖折疊，使即〃OB,設(shè)點A對折后所對應(yīng)的點為A，，AAEP與四

邊形￡。3尸的重疊面積為S,設(shè)點E的坐標(biāo)為(0,m)(0<m<l),請直接寫出S與相的函數(shù)關(guān)系式.

9.如圖，RtZkAOB中，ZAOB=90°,04=03=4,點尸在直線。4上運動，連接尸8,將AOBP沿直線

折疊，點。的對應(yīng)點記為。，.

(1)若AP=AB,則點尸到直線A3的距離是

(2)若點?！鼻『寐湓谥本€A8上，求AOSP的面積;

(3)將線段PB繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)45。得到線段PC,直線PC與直線AB的交點為Q,在點P的運動過程中,

是否存在某一位置，使得APB。為等腰三角形？若存在，請直接寫出OP的長；若不存在，請說明理由.

10.定義：若a,b,c是AABC的三邊，且。2+〃=2。2,則稱△ABC為“方倍三角形”.

(1)對于①等邊三角形②直角三角形，下列說法一定正確的是.

A.①一定是“方倍三角形”B.②一定是“方倍三角形”

C.①②都一定是“方倍三角形"D.①②都一定不是“方倍三角形”

(2)若放△A8C是“方倍三角形”，且斜邊A8=豆，則該三角形的面積為；

(3)如圖，ZkABC中，ZABC=120°,ZACB=45°,P為AC邊上一點，將AABP沿直線3尸進行折疊，點

A落在點。處，連接C。，AD.若△A3。為“方倍三角形"，且AP=g,求APOC的面積.

5

11.如圖1,在AABC中，AB=AC=5cm,BC=6cm,AE為8C邊上的中線.

(1)求AE的長；

(2)動點尸的速度為2cm/s,運動時間為f秒.

①如圖2,當(dāng)點尸從點B開始沿BC邊向點C移動時，若AABP是以3尸為腰的等腰三角形，請你求出所有滿

足條件的?的值.

②如圖3,當(dāng)點尸從點C開始沿AC邊向點A移動時，將沿直線PE對折，點C的對稱點為C,當(dāng)

△CPE與重疊部分為直角三角形時，請直接寫出t的值為

圖1

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(5,0),以原點。為圓心、3為半徑作。O,。。與x軸交于點

B、C.點P從點。出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿y軸正半軸運動，運動時間為f(s).連結(jié)AP,將AOAP

沿AP翻折，得到A”。.

(1)當(dāng)△OAQ為等邊三角形時，請直接寫出P點坐標(biāo)；

(2)若△A3。為直角三角形時，請求出f的值；

(3)求AAP。有一邊所在直線與。。相切時，請直接寫出f的值.

6

13.(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，在RtAABC中，/C=2/B=90。,點。是BC上一點，沿4。折疊AAOC,使

得點C恰好落在A8上的點E處，請寫出AB、AC,CQ之間的關(guān)系？并說明理由.

(2)問題解決：如圖②，若(1)中NCM0。，其他條件不變，請猜想AB、AC.CD之間的關(guān)系，并證明

你的結(jié)論；

(3)類比探究：如圖③，在四邊形A8C。中，ZB=120°,ZD=90°,AB=BC,AD=BC,連接AC,點E

是CO上一點，沿AE折疊，使得點。正好落在AC上的點尸處，若2C=3,求出DE的長.

圖①圖②圖③

14.我們知道平行四邊形有很多性質(zhì),現(xiàn)在如果我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，會發(fā)現(xiàn)這其中

還有更多的結(jié)論.

【發(fā)現(xiàn)與證明】

YA3CD中，AB^BC,將AABC沿AC翻折至VAB'C,連結(jié)

結(jié)論1：VA8'C與YABCD重疊部分的圖形是等腰三角形.

結(jié)論2：B'D//AC；

⑴請利用圖1證明結(jié)論1或結(jié)論2；

【應(yīng)用與探究】

在YABCD中，己知々=30。，將AA5c沿AC翻折至VAB'C,連結(jié)B7).

7

(2)如圖，若AB=下,ZAB'D=15°,則NACB=。，BC=；

(3)已知AB=26，當(dāng)3c長為多少時，VAST)是直角三角形？請直接寫出答案

15.如圖，在平行四邊形紙片中，A￡)=6cm,將紙片沿對角線8。對折，邊A2的對應(yīng)邊BF與O)

邊交于點E,此時A8CE恰為等邊三角形.

(1)求AB的長度；

(2)重疊部分的面積為；

(3)將線段BC沿射線54方向移動，平移后的線段記作8C,請直接寫出8F+C戶的最小值.

16.定義：有三個角相等的四邊形叫做三等角四邊形.

圖1

(1)在三等角四邊形ABCD中，ZA=NB=NC,則—A的取值范圍為；

(2)如圖1,折疊平行四邊形OEM,使得頂點E尸分別落在邊8瓦8尸上的點AC處，折痕為。G、DH.求

8

證：四邊形ABCD為三等角四邊形；

（3）如圖2,在三等角四邊形ABCD中，NA=N3=NC,若AB=5,AD=y/26,DC=1,則BC的長度

為.

17.綜合與實踐，問題情境：數(shù)學(xué)活動課上，老師出示了一個問題：如圖①，在YABCD中，BELAD,

垂足為E,b為CD的中點，連接E■尸，BF,試猜想E尸與8尸的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

獨立思考：（1）請解答老師提出的問題；

實踐探究：（2）希望小組受此問題的啟發(fā)，將YABCD沿著砥（尸為8的中點）所在直線折疊，如圖②，

點C的對應(yīng)點為。，連接。。并延長交A3于點G,請判斷AG與3G的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

問題解決：（3）智慧小組突發(fā)奇想，將YA3co沿過點5的直線折疊，如圖③，點A的對應(yīng)點為4,使

48LCD于點折痕交AD于點V,連接4/,交8于點N.該小組提出一個問題：若此YABCD的

面積為20,邊長AB=5,BC=275,求圖中陰影部分（四邊形3HM0）的面積.請你思考此問題，直接

寫出結(jié)果.

圖①圖②圖③

18.綜合與實踐

在一次綜合實踐活動課上，數(shù)學(xué)王老師給每位同學(xué)各發(fā)了一張正方形紙片，要求同學(xué)們僅通過折紙的方法

來確定該正方形一邊上的一個三等分點.

“啟航”小組的同學(xué)在經(jīng)過一番思考和討論交流后，進行了如下的操作：

第一步：如圖1,將正方形紙片ABCD的一條邊4。對折，使點A和點D重合，得到AD的中點E,然后展

開鋪平；

第二步：如圖2,將。邊沿CE翻折到CF的位置;

9

第三步：如圖3,再將8C沿過點C的直線翻折，使點8和點F重合，折痕與邊交于點G.

他們認(rèn)為：該點G就是A8邊的一個三等分點.

(1)試證明上面的結(jié)論:

(2)“奮進”小組的同學(xué)是這樣操作的:

第一步：先將正方形紙片ABC。的一條邊A。對折，使點A和點。重合，找到AD的中點E；

第二步：再折出正方形紙片A8C。的對角線AC,以及點8和點E的連線8E,這兩條折痕相交于點B

第三步：最后，過點尸折出A8的平行線GN,分別與AD,BC交于點G和點N.

①請根據(jù)上面的描述，在圖4中畫出所有的折痕，確定點G和點N的位置;

②請結(jié)合①中所畫的圖形，判斷點G是否為邊的三等分點，并說明理由.

10

專題52圖形折疊中的等腰三角形存在性問題

【題型演練】

一、解答題

1.對于面積為S的三角形和直線/,將該三角形沿直線/折疊,重合部分的圖形面積記為S。，

定義下”為該三角形關(guān)于直線/的對稱度.如圖，將面積為S的AABC沿直線/折疊，重

合部分的圖形為AC'OE，將AC力E的面積記為S。，則稱二'為△ABC關(guān)于直線/的對稱

度.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點4(0,3),8(—3,0),C(3,0).

(1)過點〃(加，0)作垂直于x軸的直線4，

①當(dāng)m=1時，△ABC關(guān)于直線乙的對稱度的值是：

②若△ABC關(guān)于直線乙的對稱度為1,則機的值是.

(2)過點N(0,")作垂直于y軸的直線右，求AABC關(guān)于直線/2的對稱度的最大值.

(3)點P(—4,0)滿足AP=5,點。的坐標(biāo)為(30),若存在直線，使得尸。關(guān)于該直線

的對稱度為1,寫出所有滿足題意的整數(shù)/的值.

71

【答案】(1)①,；②0；(2)鏟(3)4或1或-9

【分析】(1)①作圖，求出"c“=2,再根據(jù)定義求值即可；②通過數(shù)形結(jié)合的思想即可

得到，w=0;

(2)根據(jù)求△ABC關(guān)于直線乙的對稱度的最大值，即是求"CM最大值即可；

(3)存在直線，使得AAP。關(guān)于該直線的對稱度為1,即轉(zhuǎn)變?yōu)椤鰽P。是等腰三角形，需

要分類進行討論，分AP=AQ；AP=PQ=5.AQ=PQ,同時需要滿足f的值為整數(shù).

【詳解】解：⑴①當(dāng)%=1時，根據(jù)題意作圖如下：

11

vOA=OC=3,

/.Rt^AOC為等腰直角三角形，

CE=DE=2,

SRSDEC=/x2x2=2,

根據(jù)折疊的性質(zhì)，

?q=?

?,晨。DE一，

S.ABC=gx6x3=9，

.1△ABC關(guān)于直線4的對稱度的值是:

故答案是：y:

②如圖：

12

S--5

Ot,C,DE_20AABC，

△ABC關(guān)于直線乙的對稱度為1,

故答案是：0；

(2)過點N(0,”)作垂直于y軸的直線要使得△ABC關(guān)于直線6的對稱度的最大值,

則需要使得最大，如下圖：

3

根據(jù)＞=',可得及。為AABC的中位線，

:.ED=-BC=3

2f

139

???SQDE=5x3x5=“

9

「.△A5c關(guān)于直線4的對稱度的最大值為：」百=；；

9--

4

(3)若存在直線，使得AAP。關(guān)于該直線的對稱度為1,

即△AP。為等腰三角形即可，

①當(dāng)AP=AQ時，△APQ為等腰三角形，如下圖：

13

「.，=4；

②當(dāng)"=PQ=5時，△AP。為等腰三角形，當(dāng)。在P右側(cè)時，如下圖:

.../=1;

同理，當(dāng)。在P左側(cè)時，t=-9

③當(dāng)AQ=尸。時，△AP。為等腰三角形，如下圖:

設(shè)OQ=x,貝"Q=4_x,

14

根據(jù)勾股定理：PQ=AQ=y/x2+32.

(4-%)2=X2+9,

7

解得：x=g

o

7

（不是整數(shù)，舍去），

o

綜上：滿足題意的整數(shù)/的值為：4或1或-9.

【點睛】本題考查了三角形的折疊，對稱類新概念問題、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，解

題的關(guān)鍵是讀懂題干信息,搞懂對稱度的概念,再結(jié)合數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想進行求解.

2.如圖1,在AABC中，NC=90。，NA=40。，。為AC的中點，E為邊AB上一動點，連

接DE,將VAOE沿。E翻折，點A落在AC上方點尸處，連接斯，CF.

備用圖

（1）判斷/I與/2是否相等并說明理由;

⑵若與以點C,D,尸為頂點的三角形全等，求出N4組的度數(shù):

（3）翻折后，當(dāng)ADEF和AABC的重疊部分為等腰三角形時，直接寫出—ADE的度數(shù).

【答案】（1）/1=/2,理由見解析

(2)70°

⑶*10■00或1售40°■或70。

【分析】（1）由VADE沿OE翻折可知A￡>=r>F=CD,NFDE=ZADE=N1,可知ACDR為

等腰三角形，ZDFC=ZDCF=Z2,ZCDF+ZFDE+ZEDA=180°,計算求解即可；

（2）ADEF與ACDF全等,分兩種情況討論；①DF=DE=AD,ZA=ZDEA,

/4/汨=180。-44-/。匹4,求NADE的值然后判斷此時△/）即與ACE亦是否全等，若全等,

則4DE的值即為所求；?DF=FE=AD,ZA=ZDFE,ZEDF=ZADE,

NADE=ZFDE=-----,求NADE的值然后判斷此時ADEF與ACDF是否全等，若

全等，則4DE的值即為所求；

（3）分情況討論①由題意知（2）中NADE=70。時符合題意，②如圖3,重合部分的等腰

15

三角形中，DE=DG,/DEG=/OGE,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理即

AFDE=ZADE=Z1,ADEG=ZADE+ZA,N1+NDEG+NDGE=18O。計算求解即可；③如

圖4,重合部分的等腰三角形DE=EG,NEDG=/r)GE=Nl,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，三

角形的內(nèi)角和定理即ZDEG=ZADE+ZA,N1+N￡>￡G+N￡>GE=18O。計算求解即可.

【詳解】(1)解：Z1=Z2

由VADE沿翻折可知AD=DENFDE=ZADE=N1

...。為AC的中點

，AD=CD=DF

ACDF為等腰三角形

，ZDFC=ZDCF=Z2

'：ZCDF+ZFDE+ZEDA=180°

A18O°-2Z2+Z1+Z1=18O°

Z1=Z2.

(2)解：：CD=D尸，ACDR是等腰三角形，QEF馬ACDF全等

①如圖1,當(dāng)D尸=nE=AD時，VADE為等腰三角形，ADEF為等腰三角形

ZA=ZDEA=40°,ZADE=180°-ZA-ZDE4=100°

ZADE=ZEDF=100°

ZADE+ZEDF=200°>180°

.?.當(dāng)=時，點/在AC的下方，不符合題意；

又：NCDF=200°-180°=20°,NCDF*ZFDE

QEF與ACDF不全等，NADE=100。舍去；

②如圖2

圖2

當(dāng)。b==時，VADE為等腰三角形，ADEF為等腰三角形

16

ZA=NDFE,ZEDF=ZADENFDE=ZFED=皿。--。式石=180。-40。=^QO

22

EF//AD,EF=AD=CD

四邊形AEFD,CDEF均是平行四邊形

，八EFD與ACDF全等

：.ZADE=ZFDE=70°

.?.當(dāng)￡)?=莊；時，AEFD與CDF全等,ZADE=70°；

綜上所述，若ADEF與以點、C,D,產(chǎn)為頂點的三角形全等，4DE的值為70。.

(3)解：①由(2)中圖2可知當(dāng)NADE=70。時，ADER在"1BC內(nèi)，此時兩個三角形的

重疊部分為等腰三角形；

②如圖3,△DEG為ADEF與AABC重合的等腰三角形

圖3

/.DE=DG,ZDEG=ZDGE

；NFDE=ZADE=N1,ZDEG=ZADE+ZA,Zl+ZDEG+ZDGE^l80°

1QQO_/I

ZDEG=----------=Z1+ZA=Z1+40°

2

100。

Z1

~T~

100°

ZADE

③如圖4,△DEG為ADEF與AABC重合的等腰三角形

圖4

:.DE=EG,ZEDG=ZDGE=Z1

VZFDE=ZADE=Zl,ZDEG=ZADE+ZA,Zl+ZDEG+ZDGE=180°

17

???ZDEG=180°-2Z1=Z1+ZA=Z1+40°

Nl=胭

3

140°

ZADE=——

3

1000140°

綜上所述，當(dāng)ADEF和△ABC的重疊部分為等腰三角形時，NADE的值為詈-或號-或70。

【點睛】本題考查了等腰三角形，幾何圖形折疊對稱，三角形全等，三角形的內(nèi)角和定理,

三角形的外角等知識.解題的關(guān)鍵在于正確的分析可能存在的情況.

3.數(shù)學(xué)興趣小組開展實踐探究活動，將三角形ABC紙片沿某條直線折疊，使其中一個角的

頂點落在一邊上.在△ABC中，AB=9,BC=6.

圖1圖2(備用圖)

(1)如圖1,若/ACB=90。，將AA8C沿CM折疊，使點8與邊A8上的點N重合，求的

長

(2)如圖2,若將△ABC沿CM折疊，使點2與邊AC上的點N重合，

①求AC的長；

②若。是AC的中點，尸為線段ON上的一個動點，將△沿折疊得到△AM

PF

與AC相交于點尸,則由的取值范圍為.

【答案】⑴5M=4；

⑵①人。=/②M黑T

【分析】(1)由題意得羽，從而可得,然后證明△。期。人408,利

用相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可以求出答案，

(2)①由NACB=2/A及將△ABC沿CM折疊，使點8與邊AC上的點N重合，得

ZBCM=ZA,從而論證ACWBSAACB,利用相似三角形三邊對應(yīng)成比例求出答案；②利

用折疊得到N4=4'=NMCRPA=PA,從而得到APEYSAMFC,利用相似三角形的性質(zhì)

得到弓7=3,再根據(jù)PA最長為OA的長，最短為AN的長，從而求出答案.

FMCM

【詳解】(1)解：如圖1,

將4ABC沿CM折疊，使點8與邊上的點N重合，

■■CMLAB,

18

ZCMB=90°,

???ZACB=90°,

??.ZCMB=ZACB,

ZB=ZB，

/.^CMB^^ACB,

.BMBC

…正一法’

vAB=9,BC=6,

.BM__6

,,—―，

69

，BM=4；

(2)解：①如圖2,

將△A5c沿CM折疊，使點8與邊AC上的點N重合，BC=6,

CB=CN=6,/BCM=ZACM,

ZACB=2ZAf

ZBCM=ZA=ZACM,

NB=NB,

△CMBS^ACB,

BMBCCM

AB=9,BC=6,

BM_6

~6~~91

BM=4；

ZA=ZACM,AB=9,

CM=AM=9-4=5；

BCCM

AB=9,BC=6,

~AB~Hc

6_5

9-AC

②如圖4,

19

A

圖4

將4APM沿PM折疊得到4A'PM,

■.ZA=ZAf=ZMCF,PA=PA!,

NPFA'=ZMFC,

?.△尸E4's“l(fā)FC,

,PFPA'

'FM~CM'

CM=5,

,PFPA!

~FM~~T'

.?尸為線段ON上的一個動點，0A=OC=：AC=?,

24

PA!=~~r，PA'最短=AN，

4

153

.?AN=AC-CN=AC-BC=——6=-

22

\-<PAr<—,

24

PFPA'

FM~5

3,PF「

\——<-----<—

10FM4

3PF3

故答案為：—《<-

10FM4

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)定理找到

三角形相似是解決問題的關(guān)鍵.

4.在△A8C中，ZACB=90°,AC=4,BC=3.

20

(1)如圖1,。為線段8c上一點，點C關(guān)于的對稱點C恰好落在A3邊上，求CQ的長；

(2汝口圖2,E為線段A8上一點，沿CE翻折△CBE得到△CEQ,若E9〃AC,求證：AE=

AC；

(3)如圖3,。為線段3C上一點，點C關(guān)于的對稱為點C，，是否存在異于圖1的情況的

C\B、。為頂點的三角形為直角三角形，若存在，請直接寫出BC長；若不存在，請說明

理由.

【答案】(嗚

⑵見解析

(3)4-77

【分析】(1)首先勾股定理得AB=5,再由對稱性得AC=AC=4,得BC=\,在Rm8。。中，

利用勾股定理列方程即可；

(2)由翻折得ZB'CE=ZBCE,再根據(jù)NAEC=NB+NBCE,

ZACE=ZB'CA+ZB'CE,可得NAEC=/ACE,從而證明結(jié)論；

(3)當(dāng)NCBO=90。時，過點A作AEJ_AC,交8C延長線于點E,設(shè)BC為x,貝！JC'E=4-x,

在RdACE中，由勾股定理得，(4-x)2+32=42,解方程從而解決問題.

(1)

解：在ABC中，由勾股定理得AB=5,

,/點C關(guān)于4。的對稱點。恰好落在AB邊上，

：.AC=AC=4,

：.BC=\,

在放△BCD中，由勾股定理得，

(3-CD)2=312+C￡>2,

4

解得：CD=—；

(2)

證明：,/沿CE翻折△CBE得到△CEB',

：.ZB'=ZB,ZB'CE=ZBCE,

'：EB'//AC,

：.ZB'=ZB'CA=ZB,

：.NAEC=NB+NBCE,ZACE^ZB'CA+ZB'CE,

：.ZAEC=ZACE,

：.AE=AC；

(3)

存在，BC=4-幣,

:ZAD0450,

21

.../BOC不可能為90。，

當(dāng)BC1.BC時，過點A作AE_LAC,交8C延長線于點E,

ZC=ZCBD=90°=Z￡,

，四邊形ACBE為矩形，設(shè)BC為x,則CE=4-x,

,/AACD翻折后得到△ACD,

：.AC'=AC=4,

'：AE=BC=3,

在RQACE中，由勾股定理得，

:.(4-x)2+32=42,

解得：x=4士幣,

Vx<4,

,\X=4-A/7,

即2C長為4-g.

【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了翻折變換，勾股定理，平行線的性質(zhì)，等腰三

角形的判定等知識，運用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵，同時滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想.

5.如圖1,已知直線y=-2^+4與無軸、y軸分別交于點A、C,以。4、0c為邊在第一象限

內(nèi)作長方形042C

(1)求點A、C的坐標(biāo)；

⑵將△ABC對折，使得點A的與點C重合，折痕交AB于點D,求直線CD的解析式(圖2)；

(3)在y軸上是否存在一點P(不與C重合)，使得△口)尸是等腰三角形，若存在，請求出所

22

有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(DA(2,0),C(0,4)

3

(2)y=--x+4

(3)存在,?或若)或(0,1)或

【分析】⑴已知直線y=-2x+8與x軸、y軸分別交于點A、C,即可求得A和C的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)題意可知△ACQ是等腰三角形，由折疊的性質(zhì)和勾股定理可求出長，即可求得。

點坐標(biāo)，最后即可求出C。的解析式；

(3)分三種性質(zhì)分別計算，即可找出符合題意的點尸的坐標(biāo).

(1)

解：當(dāng)％=0時，y=4,

.?.C(0,4)；

當(dāng)y=0時,-2x+4=0,解得x=2,

.?.A(2,0)；

⑵

解：VA(2,0),C(0,4),

：.OA=2,OC=4,

又???四邊形OABC是矩形，

：.BC=OA=2,AB=OC=4,

由折疊性質(zhì)可知：CD=AD.設(shè)AD=x,則C￡)=x,B￡>=4-x,

根據(jù)勾股定理得：CD2=BC2+BD2,=22+(4-X)2,

解得：x=:，

此時，但|，D(2,|),

設(shè)直線C。為廣息+4,把。代入得，|=2/:+4,

解得：k=-3i

4

3

...直線。解析式為y=-%+4；

(3)

解：存在y軸上的點尸)使得ACDP是等腰三角形，

理由如下：

設(shè)點尸的坐標(biāo)為(0,優(yōu))，

23

2

貝IJC產(chǎn)=(4一根)=DP2=22+

由(2)知CD=g,

①當(dāng)CP=CD時，CP2=CD2,

2

即（4—加了=5

313

解得利二萬或加二萬

即點尸的坐標(biāo)是（。,0或

22

②當(dāng)DC=D尸時，DC=DP,

即if）=22+1-|）,

解得m=1或m=4,

即點P的坐標(biāo)是（0,1）或（0,4）（舍去）;

③當(dāng)PC=PD時，PC2=PD1,

即（4—m）2=2?+（加_：）,

25

解得加=-逐，

即點P的坐標(biāo)是

綜上所述，點P的坐標(biāo)為［。,|［或（吟］或（0,1）或.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象及其性質(zhì)，

待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論思想的運用是解題的關(guān)鍵.

6.問題背景

折紙是一種將紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動,折紙大約起源于公元1世紀(jì)或者2世紀(jì)時

的中國，6世紀(jì)時傳入日本，再經(jīng)由日本傳到全世界，折紙與自然科學(xué)結(jié)合在一起，不僅成

為建筑學(xué)院的教具，還發(fā)展出了折紙幾何學(xué)，成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個分支.今天折紙被應(yīng)用

于世界各地，其中比較著名的是日本筑波大學(xué)的芳賀和夫發(fā)現(xiàn)的折紙幾何三定理，它已成為

折紙幾何學(xué)的基本定理.

芳賀折紙第一定理的操作過程及內(nèi)容如下：

第一步：如圖1,將正方形紙片A3CD對折，使點A與點。重合，點B與點C重合.再將

正方形A8CD展開，得到折痕跖；

第二步：將正方形紙片的右下角向上翻折，使點C與點E重合，邊BC翻折至8Z的位置,

24

得到折痕MN,BE與AB交于點P.

則點尸為A8的三等分點，即AP:P3=2:1.

問題解決

如圖1,若正方形ABC。的邊長是2.

圖1

(1)CM的長為；

(2)請通過計算AP的長度，說明點尸是48的三等分點.

類比探究

(3)將長方形紙片按問題背景中的操作過程進行折疊，如圖2,若折出的點

P也為A8的三等分點，請直接寫出名的值.

B~F

圖2

【答案】⑴:

⑵說明見解析

⑶*

【分析】(1)設(shè)CN=x,則EM=x,DM=2-x,在及△DEM中，由勾股定理可得：

EM2=ED2+DM2,進而得出CM的長；

SAF-DF4

(2)先證AAEPS^DME,由(1)可知：CM=-,再求得AP=----------=-,即可得出

4DM3

結(jié)論；

(3)設(shè)AP=y,AE=x,EM=〃則瓦＞=*,。加=3y-a,由勾股定理可得：x2+(3y-a)2=a2,

25

再由AAEPSA/JME,得到』=」一，即V=y(3y-a),解得a=邑，從而得到解得

x3y-a7

X,=之等,得到AC=卜9+^Z：=2畢，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解:設(shè)CM=x,則EM=x,DM=2-x,

在用A￡)EN中，由勾股定理可得：EM2=ED2+DM2

即無2=F+Q一尤了,

解得尤=，

4

：.CM=-,

4

故答案為。；

4

(2)解：???四邊形A5C。是正方形，

ZA=ZC=ZD=90°,AB=AD=CD^2,

：.ZDEM+ZDME=90°,

由折疊的性質(zhì)可知：ZPEM=ZC=90°,

：.ZAEP+NDEM=180°-ZPEM=90°,

???/AEP=/DME,

又,:ZA=ZD=90°,

：.AAEP^ADME,

.APAE

^~DE~~DM'

由(1)可知：CM=~,

4

3

DM=CD-CM=-,

4

是AD的中點，

AE^DE^-AD^l,

2

：.BP=AB-AP=~,

3

AP:PB^2:1.

即點P為AB的三等分點.

(3)解：設(shè)AP=y,AE=x,EM=a貝ijEO=尤,。M=3y—。，

在中，由勾股定理可得：EM2=ED2+DM2,

26

BPx2+(3y—a)2=a2,

-,-ZPEM=ZD=90°,

.?ZAEP+/DEM=90。,ZDEM+NEMD=90。,

,\ZAEP=ZDME,

又丁劣二功二狗。，

:AAEPSaME,

APDEAPDEanyx

?___=____,___=____oJ--=----------

'AEDM'AEDM'x3y-a"

即x2=y(3y-〃)，

2222

把x=y(3y-〃)代入x+(3y-。尸=/得，y(^y-a)+(3y-a)=a,

解得。=亨，

解得%=畢，%=-牛(舍去)

'：AC2=AB2+BC2

AB3y歷

AC~3而y一11.

7

【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合運用.解

題的關(guān)鍵是證明三角形相似.

7.綜合與實踐

在數(shù)學(xué)綜合實踐課上，老師讓同學(xué)們探究等腰直角三角形中的折疊問題.

問題情境：

如圖，在44BC中，AB=AC=6,ZA=90。，點。在邊AB上運動，點E在邊BC上運動.

AAA

zP/CB\F'

、5/\ZSc^w\c

EEG

圖1圖2圖3

探究發(fā)現(xiàn)：

(1)如圖2,當(dāng)沿。E折疊,點B落在邊AC的點"處，且DB'〃BC時，發(fā)現(xiàn)四邊形班是

菱形.請證明；

探究拓廣：

27

⑵如圖3,奇異小組同學(xué)的折疊方法是沿。E折疊，點8落在點B處，延長D9交AC于點

F,。尸〃3C,點G在邊BC上運動，沿BG折疊使點C落在線段DM的中點C'處，求線段

。尸的長；

探究應(yīng)用：

⑶沿DE折疊，點B的對應(yīng)點"恰好落在邊AC的三等分點處，請借助圖1探究，并直接寫

出的長.

【答案】（1）見解析

（2）DF的長是54后-72

【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得跳>=3Z>,BE=B'E,ZBDE=ZB'DE,再由平行和等角對

等邊可證得即=鹿，即可證明.

（2）由（1）可得四邊形WD和四邊形CFC'G是菱形，則可得AF、。F都可以用3。進

行表示，再用三角函數(shù)列出方程求解即可.

（3）分成兩種情況：靠近A點的三等分點和靠近C點的三等分點，然后設(shè)未知數(shù)用勾股定

理列方程即可求得.

（1）

證明：：沿OE折疊，點8落在點&處，

,?ABDE//DE>

:.BD=B'D,BE^B'E,ZBDE=ZB'DE,

,/DB'//BC,

：.ZDEB=/B'DE,

，ZDEB=ZBDE,

BD=BE.

：.BD=PD=BE=B'E,

???四邊形BEBZ）是菱形.

（2）

DF//BC,

.ABAC

FC?

AB—AC=6,

：.BD=CF,

由（1）得，四邊形班和四邊形CbC'G是菱形，

:.BE=DB'=DB,CG=CF=FC',

的中點是點C',

28

??.DC,=CB,=B,F=-BD

2f

3

/.DF=—BD,

2

A

在ABC中，AB=AC=6fZA=90°,

___________________________1QAO_/A

???BC7AB2+AC2=抬+62=6五'/B=/C=-----------=45°,

,:DF〃BC,

：.ZADF=ZB=45°,

AF

在RtAAD歹中，4=90°,sinNADP=——，

DF

^26-BD

：F=3DC.解得3。=36直-48，

2

DF=|BD=-X(36A/2-48)=54A/2-72,

，線段DF的長是5472-72.

(3)

當(dāng)3'在靠近A點的三等分點時，AB^AC=2,

沿DE折疊，點B的對應(yīng)點B',

.?.設(shè)3。=的=x,貝UAD=6-x,

在AAD?中，NA=90。，

\BB>2^AD2+AB2,

即/=(6-X)2+22,

解得：X=y,

2

當(dāng)？在靠近C點的三等分點時，AB^=-AC=4,

,/沿。E折疊，點2的對應(yīng)點B',

設(shè)BD=BD^=m,則AD=6-m,

在AAD?中，ZA=90°,

\BE)2^AD2+AB2,

即nr=(6-m)2+42,

13

解得：m=7，

1013

\BD=~或者.

【點睛】本題考查了圖形的折疊性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理以及分類討論的思想方

29

法；熟練掌握圖像折疊性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

8.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，在四邊形O43C中，頂點A(0,2),C(A/3,0),

⑴如圖①，求點8的坐標(biāo)；

(2)如圖②，將四邊形。ABC沿直線所折疊，使點A與點C重合，求點E,尸的坐標(biāo)；

⑶如圖③,若將四邊形0ABe沿直線EF折疊,使E尸〃OB,設(shè)點A對折后所對應(yīng)的點為A,

△AEF與四邊形EO8F的重疊面積為S,設(shè)點E的坐標(biāo)為(0,機)(0<m<l),請直接寫出

S與機的函數(shù)關(guān)系式.

【答案】⑴點2的坐標(biāo)(6,1)

⑵點E坐標(biāo)為(0，；),點B坐標(biāo)為(友,U)

41010

(3)S=--m2+y/3m(0<m<l)

4

【分析】(1