中考數(shù)學難點突破與訓練：一次函數(shù)中的將軍飲馬問題（含答案及解析）

專題36一次函數(shù)中的將軍飲馬問題

【模型展示】

在直線/上求一點P,使AP+BP最短

B.

A.

1

特點將A對稱到4,連接45,與/的交點即為點尸

B

結論/3+3尸=4'5兩點之間，線段最短

【模型證明】

1、在直線卜4上分別求點M、N,使△PMN周長最小

分別將點尸關于兩直線對稱到尸'、尸"，連接尸‘尸”與兩直線交點即為M、N

壬N\\2

解決方案

，尸〃

PM+MN+PN=PP”兩點、之間,線段最短

2、在直線卜4上分別求點“、N,使四邊形尸MNQ周長最小

zhL

l2

將P、Q分別對稱到P、2',連接戶。'與直線的交點即為“、N

*P'h

N\\2

*2,

PM+MN+NQ=P'Q'兩點、之間,線段最短

3、在直線/上求兩點M、N（M在左），4更得MN=a,并使M1+MN+NB最短

B

*

A

?

MN1

將A向右平移a個單位到4,對稱4到A",連接AVB與1交點即為N,左平移a個單位即為M

B

Av￡/

~^N-1

A"

AM+MN+NB=o+A"3兩點之間，線段最短

4、在直線/上求點尸，使AP-3P最大

A.

/

*B

將點B對稱到B',作直線AB'與1的交點即為點P

*

——1—/

P\

卜A3'三角形任意兩邊之差小于第三邊

【題型演練】

一、填空題

1.（2021?全國?九年級專題練習）如圖所示，已知A（；,〃），8（2,券）為反比例函數(shù)y=工圖象上的兩點，

2X

動點P（x,0）在X正半軸上運動，當線段AP與線段B尸之和達到最小時，點尸的坐標是—；當線段AP

與線段BP之差達到最大時，點P的坐標是一.

2

2.（2021.全國?九年級專題練習）如圖，平面直角坐標系尤Oy中，點A是直線>=無無+拽上一動點，將

33

點A向右平移1個單位得到點B，點C（l,0）,則OB+CB的最小值為.

3.（2021.江蘇常州.二模）如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2的。。與x軸的正半軸交于點A,點B是

3

。。上一動點，點C為弦AB的中點，直線y=[X-3與x軸、y軸分別交于點D、E,貝UACI組面積的最小

值為.

二、解答題

4.（2022?江蘇?靖江外國語學校模擬預測）直線y=-2x+8和雙曲線〉=￡（人/0）交于點A（l,機），B（n,2）.

3

（1）求"，，n,%的值；

（2）在坐標軸上有一點M，使M4+MB的值最小，直接寫出點M的坐標.

5.（2022?遼寧?沈陽市第一二六中學九年級階段練習）如圖，一次函數(shù)y=fcr-6過點A（-2,-2）,與y

軸交于點B.

（1）求一次函數(shù)表達式及點2坐標；

（2）在x軸上找一點C,連接8C,AC.當BC+AC最小時，

①請直接寫出點C的坐標為；

②請直接寫出直線BC的函數(shù)表達式為；

③在坐標軸上找點連接8。，CD,使請直接寫出點。的坐標為.

6.（2020?新疆?烏魯木齊市第九中學八年級期中）如圖，方格圖中每個小正方形的邊長為1,點A,B,C都

是格點.

（1）畫出AABC關于直線MN對稱的△AAG.

（2）若2為坐標原點，請寫出4、耳、G的坐標，并直接寫出AA的長度..

（3）如圖2,A,C是直線同側固定的點，。是直線上的一個動點，在直線上畫出點，使AD+DC

最小.（保留作圖痕跡）

4

7.（2022?江蘇?八年級專題練習）如圖1,在MAABC中，NC=90。，AB=10,BC=6,AC=8,點P為AC

邊上的一個動點，過點P作于點。，求P8+P。的最小值.請在橫線上補充其推理過程或理由.

解：如圖2,延長BC到點〃，使得BC=QC,連接P9

*/ZACB=90°（已知）

；?（垂直的定義）

:.PB=（線段垂直平分線的性質）

PB+PD=PB'+PD（等式性質）

,過點8作于點。，交AC于點尸，此時P8+P。取最小值，連接AQ,

在△A8C和△A9C中，

AC^AC,ZACB=ZACB'^9Q°,；.△ABC絲ZVIB'C（理由：）

SAABB'^SAABC+=2S4ABe（全等三角形面積相等）

,?SAABB'=^AB.B'D=^xl0xB'D=5B'D

XSAABB'=2SAABC^2XBC■AC=2x；x6x8=48

（同一三角形面積相等）

8.（2021?全國?八年級專題練習）如圖所示，在平面直角坐標系中，已知一次函數(shù)產的圖象與x軸，y

5

軸分別交于A,B兩點，以AB為邊在第二象限內作正方形4BCD

（3）在無軸上是否存在點M,使ZMO8的周長最小？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理

由.

9.（2021.全國?九年級專題練習）作圖探究：如圖，點尸是直角坐標系xOy第三象限內一點.

（1）尺規(guī)作圖：請在圖中作出經過O、尸兩點且圓心在x軸的。M；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）若點尸的坐標為（-4,-2）.

①請求出。M的半徑；

②填空：若。是。/上的點，且NPMQ=90。，則點。的坐標為.

y個

Ox

10.（2021.全國.九年級專題練習）如圖①，將一個矩形紙片CMBC放置在平面直角坐標系中，點A的坐標是

（3,0）,點C的坐標是（0,2）,點。的坐標是（0,0）,點E是AB的中點，在Q4上取一點。，將AB/M沿3。翻

折，使點A落在BC邊上的點/處.

圖①圖②圖③

（1）求點E、歹的坐標;

6

（2）如圖②，若點P是線段。4上的一個動點（點尸不與點。，A重合），過點P作P于點設OP

的長為x,的面積為S,請求出S關于x的關系式；

（3）如圖③，在無軸、，軸上是否分別存在點M、N,使得四邊形MNFE的周長最??？若存在，請求出四

邊形MNEE周長的最小值及此時點M、N的坐標；若不存在，請說明理由

11.（2021?全國?九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系中，4（0,2）、3（-2,0）、C（2,2）,點八F分

別是直線和尤軸上的動點，求ACEF周長的最小值.

12.（2022?湖南師大附中博才實驗中學九年級開學考試）如果有一條直線經過三角形的某個頂點，將三角形

分成兩個三角形，其中一個三角形與原三角形相似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線”.如圖1,在△ABC

中，AB=AC=1,ZBAC=108°,垂直平分A8,且交3C于點。，連接AD

⑴證明直線AD是△ABC的自相似分割線;

（2）如圖2,點尸為直線。E上一點，當點尸運動到什么位置時，B4+PC的值最??？求此時研+PC的長度.

（3）如圖3,射線CF平分NAC8,點。為射線CP上一點，當AQ+避二'CQ取最小值時，求/QAC的正弦

4

值.

13.（2022?重慶開州?八年級期末）如圖，直線|經過A［：,。］、8（2,-5）兩點，直線乙：y=f+3與直線乙交

于點C,與x軸交于點D

7

圖1備用圖

(1)求點C的坐標；

(2)點尸是y軸上一點，當四邊形尸。CB的周長最小時，求四邊形PDC2的面積；

(3)把直線4沿y軸向上平移9個單位長度，得到新直線4與直線4交于點E,試探究在x軸上是否存在點Q,

在平面內存在點尸使得以點。，Q,E,尸為頂點的四邊形是菱形(含正方形)？若存在，直接寫出符合條

件的點。的坐標；若不存在，說明理由.

14.(2022?貴州銅仁?八年級期末)如圖，已知一次函數(shù)y=fcc+b的圖像經過A(1,4),8(4,1)兩點，

并且交x軸于點C,交y軸于點D

(2)若y軸存在一點P使PA+PB的值最小，求此時點P的坐標及PA+PB的最小值；

(3)在無軸上是否存在一點使AMOA的面積等于AAOB的面積；若存在請直接寫出點M的坐標，若不

存在請說明理由.

15.(2022?浙江?義烏市賓王中學八年級期中)如圖，在平面直角坐標系中，直線AB分別與x軸的負半軸、

y軸的正半軸交于A、B兩點,其中。4=2,SzABC=12,點C在x軸的正半軸上，MOC=OB.

8

(1)求直線AB的解析式；

(2)將直線A8向下平移6個單位長度得到直線乙，直線。與y軸交于點E,與直線交于點。，過點E作

y軸的垂線5若點尸為y軸上一個動點，。為直線L上一個動點，求PD+PQ+。。的最小值；

⑶若點M為直線AB上的一點，在y軸上是否存在點N,使以點A、D、M、N為頂點的四邊形為平行四邊

形，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

16.(2021?四川南充?一模)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-/+6x+c經過點A(4,0)、B(0,

4)、C.其對稱軸/交x軸于點。，交直線43于點足交拋物線于點E.

(3)點N為直線AB上的一點(點N不與點尸重合)，在拋物線上是否存在一點使以點E、F、N、〃為頂

點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點M的坐標，若不存在，說明理由.

17.(2022?全國?八年級課時練習)在AABC中，?B90?,。為8c延長線上一點，點E為線段AC,CO的

垂直平分線的交點，連接胡，EC,ED.

9

E

E

E

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當N&LC=50。時，則NAEE>=°；

(2)當ZB4C=60。時，

①如圖2,連接A。，判斷△?!￡￡>的形狀，并證明；

②如圖3,直線CF與ED交于點、F,滿足NCED=NC4￡.P為直線CF上一動點.當尸E-尸。的值最大時，

用等式表示％,尸。與AB之間的數(shù)量關系為,并證明.

18.(2021?湖北.沙市中學九年級階段練習)如圖，拋物線,=加+法-6交x軸于A(-2,0),8(6,0)兩點，交y

軸于點C(0,-6),點。為線段8C上的動點.

(2)求QA+。。的最小值;

(3)過點。作QP||AC交拋物線的第四象限部分于點P,連接PA,PB,記△PAQ與APBQ的面積分別為S?S2,

設5=5|+$2,當S最大時，求點P的坐標，并求S的最大值.

19.(2021?全國?九年級專題練習)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=1x2-2叵x-6與x軸交于4

-33

8兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C,對稱軸與x軸交于點。，點E(4,4在拋物線上.

10

（1）求直線AE的解析式；

（2）點P為直線CE下方拋物線上的一點，連接PC,PE.當APCE的面積最大時，連接CD,CB,點K

是線段CB的中點，點又是CP上的一點，點N是。上的一點，求KM+MN+NK的最小值；

（3）點G是線段CE的中點，將拋物線＞=￡^2-子x-括沿x軸正方向平移得到新拋物線y,y經過

點。，y的頂點為點E在新拋物線y的對稱軸上，是否存在一點。，使得△尸G。為等腰三角形？若存在，

直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

20.（2021?廣東?嶺南畫派紀念中學八年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-gx-2分別與

x、y軸交于A、C兩點，點8（1,0）在無軸上.

（1）求直線BC的解析式；

（2）若點C關于原點的對稱點為C,問在A8的垂直平分線上是否存在一點G,使得△G8C的周長最??？

若存在，求出點G的坐標和最小周長；若不存在，請說明理由.

（3）設點P是直線上異于點8、C的一個動點，過點尸作尸?！ㄡ茌S交直線AC于點。，過點0作。

軸于點M,再過點P作PNLx軸于點N,得到矩形PQMM在點P的運動過程中，當矩形尸QMN為正方形

時，求該正方形的邊長.

21.（2021?全國?九年級專題練習）如圖，拋物線＞=/+法+。與x軸交于A（-l,0）、8兩點，與，軸交于點

C（0,-3）.

11

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖①，連接8C,點尸是拋物線在第四象限上一點，連接FB,PC,求ABCP面積的最大值；

(3)如圖②，點。為拋物線的頂點，點C關于拋物線對稱軸的對稱點為點E,連接DE.將拋物線沿x軸

向右平移r個單位，點A,5的對應點分別為A、B',連接AD、BE，當四邊形A'DEB'的周長取最小值

時，求/的值.

12

專題36一次函數(shù)中的將軍飲馬問題

【模型展示】

在直線/上求一點P,使AP+3P最短

B.

A.

1

將對稱到連接與/的交點即為點

特點A4,A3,P

結論AP+8P=AB兩點之間，線段最短

【模型證明】

1、在直線小4上分別求點時、N,使△PMN周長最小

工

12

分別將點尸關于兩直線對稱到尸‘、P",連接尸‘尸"與兩直線交點即為M、N

N\12

PM+MN+PN=PP”兩點、之間,線段最短

解決方2、在直線4、4上分別求點M、N,使四邊形尸MNQ周長最小

案

12

將尸、Q分別對稱到P、Q,連接PQ，與直線的交點即為“、N

氐P'li，

NA；4

PM+MN+NQ=P，Q，兩點、之間,線段最短

3、在直線/上求兩點M、N（M在左），使得MN=a,并使4欣+MV+A?最

13

短

B

*

%

-----??1

MN

將A向右平移〃個單位到4,對稱4到A“，連接與/交點即為N,左平移

〃個單位即為M

B

~^N-1

A"

AM+MV+A?=a+A"3兩點之間，線段最短

4、在直線/上求點P,使|AP-2P|最大

%.

1

，B

將點3對稱到B',作直線AB'與/的交點即為點尸

-------1-----/

P\

AP-BP=AB'三角形任意兩邊之差小于第三邊

【題型演練】

一、填空題

1.（2021?全國.九年級專題練習）如圖所示，已知4（；,竺），B（2,修）為反比例函數(shù)y」

圖象上的兩點，動點尸（X,0）在x正半軸上運動，當線段AP與線段2尸之和達到最小時,

點尸的坐標是—；當線段AP與線段8P之差達到最大時，點P的坐標是—.

【詳解】思路引領：（1）如圖1,過x軸作點2的對稱點"，連接與x軸的交點即為所

求的點P.根據(jù)點4夕的坐標可以求得直線A8的解析式，根據(jù)該解析式可以求得點尸的

坐標；

14

(2)如圖2,求出AB的坐標，設直線的解析式是y=fcr+6,把A、8的坐標代入求出直

線AB的解析式，根據(jù)三角形的三邊關系定理得出在AABP中，\AP-BP\<AB,延長AB交

x軸于P,當P在P點時，PA-PB=AB,此時線段AP與線段8P之差達到最大，求出直線

48于x軸的交點坐標即可.

答案詳解：；把A(1,〃)，B(2,>2)代入反比例函數(shù)丫=’得：w=2,y2=1,

2x2

A(—，2),B(2,—).

22

(I)如圖1,過x軸作點3的對稱點長，連接A9與x軸的交點即為所求的點尸，則夕(2,

2=-k+b

2

設直線A9為(厚0),貝卜

=2k+b

圖1

故直線A3,的解析式為：尸-95+蘭17.

3o

令y=0,

解得，x=1.7.

故P(1.7,0)；

(2)???在AA8尸中，由三角形的三邊關系定理得：\AP-BP\<AB,

???延長A8交兀軸于P,當P在尸點時，PA-PB=ABf

即此時線段AP與線段BP之差達到最大，

設直線A3的解析式是y=ax+c(存0)

2——x+c

把A、8的坐標代入得：

解得：

???直線A3的解析式是y=-x+|,

15

當y=0時，x=|-,

即尸0)；

2

2.(2021?全國?九年級專題練習)如圖，平面直角坐標系xOy中，點A是直線>=走了++8

-33

上一動點，將點A向右平移1個單位得到點B，點C(l,0),則OB+CB的最小值為.

【答案】713

【分析】設D(-l,0),作D點關于直線>=走尤+拽的對稱點E,連接OE,交直線于A,

33

連接AD,ED,作ES±x軸于S,根據(jù)題意OE就是OB+CB的最小值，由直線的解析式求

得F的坐標，進而求得ED的長，從而求得OS和ES,然后根據(jù)勾股定理即可求得OE.

【詳解】解：設D(-l,0),作D點關于直線>=走》+生叵的對稱點E,連接0E,交直

33

線于A,連接AD,ED,作ESLx軸于S,

：AB〃DC,且AB=OD=OC=1,

四邊形ABOD和四邊形ABCO是平行四邊形，

.?.AD=OB,OA=BC,

/.AD+OA=OB+BC,

VAE=AD,

.?.AE+OA=OB+BC,

即OE=OB+BC,

AOB+CB的最小值為OE,

16

由〉=蟲》+如5可知NAFO=30。，F(xiàn)(-4,0),

33

；.FD=3,ZFDG=60°,

.?.DG=±DF=3,

22

；.DE=2DG=3,

,-.ES=—DE=—,DS=；DE=3,

2222

22

-'-OE=y]oS+ES=yJ13>

AOB+CB的最小值為g.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質，軸對稱-最短路線問題以及平行四邊形的性質、勾股

定理的應用，證得OE是OB+CB的最小值是本題的關鍵.

3.（2021.江蘇常州?二模）如圖，在平面直角坐標系中，半徑為2的。。與x軸的正半軸交

3

于點A,點B是。。上一動點，點C為弦AB的中點，直線y=[X-3與x軸、y軸分別交

于點D、E,貝UACDE面積的最小值為.

【答案】2

【分析】如圖，連接取04的中點連接CM,過點M作于N.首先證明

點C的運動軌跡是以M為圓心，1為半徑的。設。M交MN于C.求出MN,當點C與

17

C重合時，的面積最小.

連接CM,過點M作跖V_LZ)E于N.

；.MC=；OB=1,

.??點C的運動軌跡是以M為圓心，1為半徑的。M,設?！ń挥贑I

3

??,直線y=(x-3與x軸、y軸分別交于點。、E,

：.D(4,0),E(0,-3),

???0。=4,OE=3,

DE=yloE^OD2=V32+42=5，

VZMDN=ZODE9/MND=/DOE,

??.△DNMsADOE,

,NMDM

??=，

OEDE

.NM_3

??=-f

35

9

:.MN=§

iQ

當點。與C重合時，△CDE的面積最小，△CDE的面積最小值=Jx5x(--1)=2,

乙5

故答案為：2.

【點睛】本題考查三角形的中位線定理，三角形的面積，一次函數(shù)的性質，圓的有關性質等

知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造三角形的中位線解決問題，屬于中考?？碱}

型.

二、解答題

4.(2022?江蘇?靖江外國語學校模擬預測)直線＞=-2尤+8和雙曲線丫=與左/0)交于點

X

18

⑵在坐標軸上有一點使+的值最小，直接寫出點”的坐標.

【答案】（1）機=6,n=3,k=6；

⑵M（0,5）

【分析】（1）將A、8兩點坐標分別代入＞=-2尤+8,即可解出加、”的值；

（2）線段和的最短距離問題，首先想到的是利用“將軍飲馬”模型進行解決，做A點關于坐

標軸的對稱點，在之后再進行計算，需要注意的是，本題需要進行分情況進行討論，最終確

定最短距離下的M坐標.

【詳解】（1）解：⑴?.?點5（九,2）在直線丫=-2%+8上,

/.HI——2+8,2=—2〃+8，

:.m=6,n=3

.-.A(l,6),8(3,2),

,??點A在雙曲線y優(yōu)*0）上,

.\k=6；

（2）（2）如圖1,作點A關于y軸的對稱點C,連接BC交y軸與

圖1

則c(-l,6),

設直線8C的解析式為、=反+"

19

\6^-k+b[k=-\

"[2^3k+b'"[b=5，

直線3C的解析式為y=-尤+5,

:.AM+BM=6+3丘=4逝;

如圖2,作點A關于x軸的對稱點。，連接3。交x軸與

則。。,-6),

設直線BD的解析式為y=rnx+n,

I-6=m+nfm=4

[2=3m+n'\n=-10?

???直線BD的解析式為y=公-10,

當y=。時，x=-|,

，*辦

AM+BM=—+^^=2A/T7>4A/2,

22

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，坐標與圖形變化-軸對稱、最短路線問

題，注意待定系數(shù)法求直線解析式的運用.

5.(2022?遼寧?沈陽市第一二六中學九年級階段練習)如圖，一次函數(shù)>=履-6過點A(-

2,-2),與y軸交于點8.

20

y

1

(1)求一次函數(shù)表達式及點B坐標；

(2)在x軸上找一點C,連接BC,AC.當BC+AC最小時，

①請直接寫出點C的坐標為；

②請直接寫出直線的函數(shù)表達式為；

③在坐標軸上找點D,連接BD,CD,使SAABC^SABCD,請直接寫出點D的坐標為

【答案】⑴尸-2x-6,B(0,-6)

351

⑵①(-y,0)；②尸4x-6；③(-5,0)或或(0,-2)或(0,-10)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解式，進入求得2的坐標；

(2)①作2關于x軸的對稱點9為(0,6),連A&,交x軸于點C,此時8C+AC最小，

用待定系數(shù)法求出A",進一步求出C點坐標；②利用待定系數(shù)法即可求得直線8C的解析

式；③求得△ABC的面積，然后根據(jù)三角形面積公式得C。和BD的長度進而即可求得D的

坐標.

(1)

解：：一次函數(shù);6過點A(-2,-2)

：.-2=-2k-6,解得仁2

y=-2x-6

：.B(0,-6)

(2)

①2點關于x軸的對稱點是3'(0,6),連接江A交x軸于點C,此時AC+BC最小，

設直線3'A的解析式為嚴辦+6,則

[b=6[a=4

°°U解得〃6

[-2=2〃+匕[b=6

y=4x+6

3

/.當y=0時,x=-—,

3

?,?點C0)

2

21

3

故答案為：(-萬，0)

②設直線BC的解析式為y-mx^n,則

n=-6

<3，

I2

[m=-4

解得「

[n=-o

.\y=-4x-6

故答案為：y=-4x-6

3

③???A(-2,-2),B(0,-6)8(0,6),C(--,0)

ii3

???S^S^-S^-xl2x2--xl2x-=3

當。在x軸時，|xCT?xOB=3,,

即工切x6=3

：.CD=\

???點。為(-萬,。)或(-5,o)

當。在y軸上時，xBDxOC=3,

13

即土如x2=3

22

：.BD=4

,點。為(0,-2)或(0,-10)

故答案為：(-|,0)或(-g,0)或(0,-2)或(0,-10)

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角

形的面積，軸對稱一最短路線問題，熟練掌握待定數(shù)法是解題的關鍵.

6.(2020?新疆?烏魯木齊市第九中學八年級期中)如圖，方格圖中每個小正方形的邊長為1,

點A,B,C都是格點.

(1)畫出△ABC關于直線MN對稱的△AB。].

(2)若B為坐標原點，請寫出4、B1、Q的坐標，并直接寫出AA的長度..

(3)如圖2,A,C是直線同側固定的點，。是直線上的一個動點，在直線MN上畫出

點。，使AO+OC最小.(保留作圖痕跡)

22

A

【答案】(1)畫圖見解析；(2)4(5,-1),4(0,0)6(2,2),M=10；(3)畫圖見解析

【分析】(1)分別確定42,c關于"N對稱的對稱點A，穌G，再順次連接A，綜￡,從而可

得答案；

(2)根據(jù)A，環(huán)G在坐標系內的位置直接寫其坐標與AA,的長度即可；

(3)先確定C關于的對稱點G，再連接AG，交MN于。，則

AD+CD=AD+C,D=ACt,從而可得答案.

【詳解】解：(1)如圖1,△4月￡是所求作的三角形，

圖1

(2)如圖1,B為坐標原點，

則A(5,-l)，4(0,0)，G(2,21

A4,=10.

(3)如圖2,點。即為所求作的點.

23

圖2

【點睛】本題考查的是畫軸對稱圖形，建立坐標系，用根據(jù)點的位置確定點的坐標，軸對稱

的性質，掌握“利用軸對稱的性質得到兩條線段和取最小值時點的位置''是解本題的關鍵.

7.（2022?江蘇?八年級專題練習）如圖1,在RdABC中，ZC=90°,AB=10,BC=6,AC

=8,點尸為AC邊上的一個動點，過點P作尸于點。，求P8+P。的最小值.請在橫

線上補充其推理過程或理由.

解：如圖2,延長到點玄，使得BC=QC,連接尸方

*.?ZACB=90°（已知）

/.（垂直的定義）

PB=（線段垂直平分線的性質）

PB+PD=PB'+PD（等式性質）

/.過點月作夕。，48于點。，交AC于點P,此時PB+P。取最小值，連接AQ,

在△ABC和△AQC中，

VAC^AC,ZACB^ZACB'^90°,；.△△AB'C（理由：）

SAABB'^SAABC+=2S4ABe（全等三角形面積相等）

,/SAABB'^^AB.B'D=』xl0xB，D=5B，D

X?/SAABB^SAABC^2XIBC.AC=2x；x6x8=48

（同一三角形面積相等）

24

148

【答案】PB'；BC=BfC；SAS；SAABC；5AB?9。=48；PB+P。的最小值為彳

【分析】作點B關于AC的對稱點玄，過點夕作夕48于點。，交AC于點尸，點P即為

所求作的點，此時PB+PO有最小值，連接AQ,根據(jù)對稱性的性質，BP=B'P,證明

△ABC^/\AB'C,ABB=SAABC+SAABC=2SAABC,即可求出PB+PD的最小值.

【詳解】解：如圖2,延長8C到點Q，使得BC=BC,連接PQ,

ZACB=90°（已知），

/.ACJ_88（垂直的定義），

.?.P2=P8（線段垂直平分線的性質），

：.PB+PD=PB'+PD（等式性質），

.??過點B'作夕CAB于點。，交AC于點P,此時PB+P。取最小值，連接A9.

在△ABC和△AB，C中，

'：AC=AC,ZACB=ZACB'=90°,BC=B'C,

：./\ABC^/\AB'C（理由：SAS）,

SABB=SAABC+SAABC=2SAABC（全等三角形面積相等），

,?SAABBU-xABxB'D=-xlOxB'D=5B'D,

22

又,?SAABB^2SAABC=2X-xBCxAC=2x-x6x8=48,

22

?9。=48（同一三角形面積相等），

.,_48

??DRDn=,

PB+PD的最小值為148.

148

故答案為：AC±BB'；PB，；BC=B'C；SAS；S^ABC；-AB-B'D=48；PB+PO的最小值為g.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，解決本題的關鍵是軸對稱-最短路線問題的處理:

作對稱點.

8.（2021?全國?八年級專題練習）如圖所示，在平面直角坐標系中，已知一次函數(shù)y=：x+l

的圖象與x軸，y軸分別交于A,B兩點，以為邊在第二象限內作正方形A3CD

25

(1)求邊AB的長；

(2)求點C,。的坐標；

(3)在無軸上是否存在點M,使的周長最??？若存在，請求出點"的坐標；若不

存在，請說明理由.

【答案】(1)ABf；(2)C(-1,3),。(-3,2)；(3)M(-1,0).

【分析】(1)分別求出點A、B坐標，根據(jù)勾股定理即可求出

(2)作C&Ly軸，。尸Lc軸，垂足分別為E、F,BCE^^DAF^ABO,得到

BE=DF=OA=2,CE=AF=OB=l,進而得到OE=3,OF=3,即可求出點C、D坐標；

(3)連接8D,作點8關于x軸的對稱點夕，連接BT),與x軸交于點此時周

長最小，求出直線用。的解析式為y=-x-1,令y=0,即可求出點M坐標.

【詳解】解：(1)由一次函數(shù)y=gx+l得，令x=0,得到y(tǒng)=l；令y=0,得至！Jx=-2,

.1.A(-2,0),B(0,1),

在RtAAOB中，04=2,OB=1,

根據(jù)勾股定理得：AB=yJo^+OB2=A/22+12=也；

(2)如圖，作CELy軸，軸，垂足分別為E、F,

：.ZCEB=ZAFD=ZAOB=90°,

ZDAF+ZADF=9Q°,ZBAO+ZABO=90°,

???四邊形ABC。是正方形，

：.BC=AB=AD,ZDAB=ZABC=90°,

：.ZDAF+ZBAO=90°,ZABO+ZCBE=9Q°,

ZBAO=ZADF=ZCBE,

：.4BCE絲LDAF經ABO,

：.BE=DF=OA=2,CE=AF=OB=1,

：.OE=OB+BE=2+1=3,OF=OA+AF^2+1=3,

(3)如圖，連接BD,,.?■B)為定值,

作點2關于無軸的對稱點8'，連接HD,與x軸交于點此時周長最小,

坐標為(0,1),

26

，夕坐標為（0,-1）,

設直線B'D的解析式為y=kx+b,

\-3k+l

把9與。坐標代入得：,.

即直線87）的解析式為y=-X-1,

令y=0,得到x=-1,

【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，將軍飲馬求最短

距離問題，綜合性較強，根據(jù)題意添加輔助線，求出點C、。坐標是解題關鍵.

9.（2021.全國?九年級專題練習）作圖探究：如圖，點尸是直角坐標系尤Oy第三象限內一點.

（1）尺規(guī)作圖：請在圖中作出經過。、尸兩點且圓心在x軸的。M；（不寫作法，保留作圖

痕跡）

（2）若點P的坐標為（-4,-2）.

①請求出?！ǖ陌霃?；

②填空：若。是0M上的點，且/PMQ=90。，則點。的坐標為.

y個

【答案】（1）見解析；⑵①I"；②或[W]

【詳解】思路引領：（1）連接OP,作。尸的垂直平分線交X軸于M點，以我半徑作。

即為所求；

（2）①連接PM,作軸，垂足為H,設OO的半徑為廠，則尸M=MO=r,MH=4-

r,PH=2,在RtAPHM中，由勾股定理求廠即可；

27

②過M點作PM的垂線，交。M于。/,。2，再過Q，。2,作x軸的垂線，利用三角形全等

求。點坐標.

答案詳解：（1）0M如圖所示；

（2）①連接作PHJ_x軸，垂足為“，設＜30的半徑為廠，則PM=MO=r,MH=4-

r,PH=2,

在RtAPHM中，PH2+MH2=PM2,

即22+（4-r）2=/,

②如圖，過M點作PM的垂線，交。M于。/,。2，再過。/，。2，作x軸的垂線，垂足為

Ni，N2,

利用互余關系，PM=QIM=Q2M,

可證RtAPMH咨RtAQiMNi^RtAQ2MN2,

0x

9313

故答案為：（