2024-2025學(xué)年江蘇省南通等六市高考數(shù)學(xué)試題原創(chuàng)模擬卷（七）含解析

2024-2025學(xué)年江蘇省南通等六市高考數(shù)學(xué)試題原創(chuàng)模擬卷（七）注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（）．A． B． C． D．2．某四棱錐的三視圖如圖所示，記S為此棱錐所有棱的長(zhǎng)度的集合，則（）A．B．C．D．3．已知，，若，則向量在向量方向的投影為（）A． B． C． D．4．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線與雙曲線的左支交于不同的兩點(diǎn)，，若，則該雙曲線的離心率為（）．A． B． C． D．5．某人用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)無(wú)理數(shù)的值，做法如下：首先在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線與曲線相交于點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線與軸相交于點(diǎn)（如圖），然后向矩形內(nèi)投入粒豆子，并統(tǒng)計(jì)出這些豆子在曲線上方的有粒，則無(wú)理數(shù)的估計(jì)值是（）A． B． C． D．6．設(shè)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，滿足條件是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．7．有一改形塔幾何體由若千個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn).已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為8，如果改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1，那么該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是（）A．8 B．7 C．6 D．48．已知曲線的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為，曲線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為，則的最小值是（）A． B． C． D．9．若點(diǎn)x,y位于由曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界），則A．-3,1 B．-3,5 C．-∞,-310．已知等差數(shù)列中，若，則此數(shù)列中一定為0的是（）A． B． C． D．11．如圖，平面與平面相交于，，，點(diǎn)，點(diǎn)，則下列敘述錯(cuò)誤的是（）A．直線與異面B．過(guò)只有唯一平面與平行C．過(guò)點(diǎn)只能作唯一平面與垂直D．過(guò)一定能作一平面與垂直12．一個(gè)頻率分布表（樣本容量為）不小心被損壞了一部分，只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為，則估計(jì)樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)共有（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則__________.14．展開(kāi)式中項(xiàng)系數(shù)為160，則的值為_(kāi)_____.15．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，若，，則__________.16．若函數(shù)(R，)滿足，且的最小值等于，則ω的值為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求，；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知橢圓：的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為、，過(guò)左焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)（異于、兩點(diǎn)），當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，四邊形的面積為1．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線、的交點(diǎn)為；試問(wèn)的橫坐標(biāo)是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（12分）如圖,三棱柱中,底面是等邊三角形,側(cè)面是矩形,是的中點(diǎn),是棱上的點(diǎn),且.（1）證明：平面；（2）若,求二面角的余弦值.20．（12分）平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于點(diǎn)，曲線與曲線交于點(diǎn)，求的面積．21．（12分）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線與曲線，的交點(diǎn)分別為、（、異于原點(diǎn)），當(dāng)斜率時(shí)，求的最小值.22．（10分）已知函數(shù)f(x)=x-2a-x-a（Ⅰ）若f(1)>1，求a的取值范圍；（Ⅱ）若a<0，對(duì)?x，y∈-∞,a，都有不等式f(x)≤(y+2020)+

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出的最大值．【詳解】解：把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，在區(qū)間，上，，，則當(dāng)最大時(shí)，，求得，故選：C．本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．2．D【解析】

如圖所示：在邊長(zhǎng)為的正方體中，四棱錐滿足條件，故，得到答案.【詳解】如圖所示：在邊長(zhǎng)為的正方體中，四棱錐滿足條件.故，，.故，故，.故選：.本題考查了三視圖，元素和集合的關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.3．B【解析】

由，，，再由向量在向量方向的投影為化簡(jiǎn)運(yùn)算即可【詳解】∵∴，∴，∴向量在向量方向的投影為.故選：B.本題考查向量投影的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題4．A【解析】

直線的方程為，令和雙曲線方程聯(lián)立，再由得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知直線的方程為,不妨設(shè).則，且將代入雙曲線方程中，得到設(shè)則由，可得，故則，解得則所以雙曲線離心率故選：A此題考查雙曲線和直線相交問(wèn)題，聯(lián)立直線和雙曲線方程得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系和已知條件即可求解，屬于一般性題目.5．D【解析】

利用定積分計(jì)算出矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積，進(jìn)而利用幾何概型的概率公式得出關(guān)于的等式，解出的表達(dá)式即可.【詳解】在函數(shù)的解析式中，令，可得，則點(diǎn)，直線的方程為，矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積為，矩形的面積為，由幾何概型的概率公式得，所以，.故選：D.本題考查利用隨機(jī)模擬的思想估算的值，考查了幾何概型概率公式的應(yīng)用，同時(shí)也考查了利用定積分計(jì)算平面區(qū)域的面積，考查計(jì)算能力，屬于中等題.6．C【解析】∵y=f（x+1）是偶函數(shù)，∴f（-x+1）=f（x+1），即函數(shù)f（x）關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)．

∵當(dāng)x≥1時(shí)，為減函數(shù)，∵f（log32）=f（2-log32）=f（）且==log34，log34＜＜3，∴b＞a＞c，

故選C7．A【解析】

則從下往上第二層正方體的棱長(zhǎng)為：，從下往上第三層正方體的棱長(zhǎng)為：，從下往上第四層正方體的棱長(zhǎng)為：，以此類(lèi)推，能求出改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1時(shí)該塔形中正方體的個(gè)數(shù)的最小值的求法.【詳解】最底層正方體的棱長(zhǎng)為8，則從下往上第二層正方體的棱長(zhǎng)為：，從下往上第三層正方體的棱長(zhǎng)為：，從下往上第四層正方體的棱長(zhǎng)為：，從下往上第五層正方體的棱長(zhǎng)為：，從下往上第六層正方體的棱長(zhǎng)為：，從下往上第七層正方體的棱長(zhǎng)為：，從下往上第八層正方體的棱長(zhǎng)為：，∴改形塔的最上層正方體的邊長(zhǎng)小于1，那么該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是8.故選：A.本小題主要考查正方體有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.8．C【解析】

在對(duì)稱(chēng)軸處取得最值有，結(jié)合，可得，易得曲線的解析式為，結(jié)合其對(duì)稱(chēng)中心為可得即可得到的最小值.【詳解】∵直線是曲線的一條對(duì)稱(chēng)軸.，又..∴平移后曲線為.曲線的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為..，注意到故的最小值為.故選：C.本題考查余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到函數(shù)的平移、函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，是一道中檔題.9．D【解析】

畫(huà)出曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區(qū)域，y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)【詳解】畫(huà)出曲線x=y-2+1與y+1x-2表示封閉區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)和定點(diǎn)P(2,-1)設(shè)k=y+1x-2，結(jié)合圖形可得k≥k由題意得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(3,0),B(1,2)，∴kPA∴k≥1或k≤-3，∴y+1x-2的取值范圍為-∞,-3故選D．解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是根據(jù)數(shù)形結(jié)合的方法求解問(wèn)題，即把y+1x-210．A【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，由此確定數(shù)列為的項(xiàng).【詳解】由于等差數(shù)列中，所以，化簡(jiǎn)得，所以為.故選：A本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.11．D【解析】

根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)中的命題判斷.【詳解】A.假設(shè)直線與共面，則A，D，B，C共面，則AB，CD共面，與，矛盾，故正確.B.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過(guò)只有唯一平面與平行，故正確.C.根據(jù)過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直知，故正確.D.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過(guò)不一定能作一平面與垂直，故錯(cuò)誤.故選：D本題主要考查異面直線的定義，性質(zhì)以及線面關(guān)系，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.12．B【解析】

計(jì)算出樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，再減去樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為，樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為，因此，樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為.故選：B.本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻數(shù)，要理解頻數(shù)、樣本容量與頻率三者之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．-254【解析】

利用代入即可得到，即是等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可.【詳解】由已知，得，即，所以又，即，，所以是以-4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，所以。故答案為：本題考查已知與的關(guān)系求，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力，是一道中檔題.14．-2【解析】

表示該二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)，令其指數(shù)為3，再代回原表達(dá)式構(gòu)建方程求得答案.【詳解】該二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)為令，所以，則故答案為：本題考查由二項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.15．【解析】

先求得的值，由此求得的值，再利用正弦定理求得的值.【詳解】由于，所以，所以.由正弦定理得.故答案為：本小題主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查兩角和的正弦公式，考查三角形的內(nèi)角和定理，屬于中檔題.16．1【解析】

利用輔助角公式化簡(jiǎn)可得,由題可分析的最小值等于表示相鄰的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心與一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸的距離為,進(jìn)而求解即可.【詳解】由題,,因?yàn)?,且的最小值等于,即相鄰的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心與一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸的距離為,所以,即,所以,故答案為:1本題考查正弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用,考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）；（2）【解析】

(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，運(yùn)用可求得的值，再由在直線上，可求得的值；(2)由已知可得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論和0的大小關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性求出最大值即可求得的范圍.【詳解】（1）由題得，因?yàn)樵邳c(diǎn)與相切所以，∴（2）由得，令，只需，設(shè)（），當(dāng)時(shí)，，在時(shí)為增函數(shù)，所以，舍；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，，所以在時(shí)為增函數(shù)，所以，舍；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向下，且，所以在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，在時(shí)，在時(shí)，①當(dāng)即時(shí)，在小于零，所以在時(shí)為減函數(shù)，所以，符合題意；②當(dāng)即時(shí)，在大于零，所以在時(shí)為增函數(shù)，所以，舍.綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的最小值，屬于中檔題．處理函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，注意利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，特別是已知單調(diào)性問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)導(dǎo)數(shù)恒不小于零，或恒小于零，再分離參數(shù)求解，求函數(shù)最值時(shí)分析好單調(diào)性再求極值，從而求出函數(shù)最值．18．（1）（2）是為定值，的橫坐標(biāo)為定值【解析】

（1）根據(jù)“直線垂直于軸時(shí)，四邊形的面積為1”列方程，由此求得，結(jié)合橢圓離心率以及，求得，由此求得橢圓方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，化簡(jiǎn)后寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系.求得直線的方程，并求得兩直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，求得的橫坐標(biāo)為定值.【詳解】（1）依題意可知，解得，即；而，即，結(jié)合解得，，因此橢圓方程為（2）由題意得，左焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為：，，．由消去并整理得，∴，．直線的方程為：，直線的方程為：．聯(lián)系方程，解得，又因?yàn)椋裕缘臋M坐標(biāo)為定值．本小題主要考查根據(jù)橢圓離心率求橢圓方程，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查直線和直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.19．（1）見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）連結(jié)BM，推導(dǎo)出BC⊥BB1，AA1⊥BC，從而AA1⊥MC，進(jìn)而AA1⊥平面BCM，AA1⊥MB，推導(dǎo)出四邊形AMNP是平行四邊形，從而MN∥AP，由此能證明MN∥平面ABC．（2）推導(dǎo)出△ABA1是等腰直角三角形，設(shè)AB，則AA1＝2a，BM＝AM＝a，推導(dǎo)出MC⊥BM，MC⊥AA1，BM⊥AA1，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MA1，MB，MC為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值．【詳解】（1）如圖1，在三棱柱中，連結(jié)，因?yàn)槭蔷匦?，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以平面，所以，又因?yàn)?，所以是中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（圖1）（圖2）（2）因?yàn)?，所以是等腰直角三角形，設(shè)，則，.在中，，所以.在中，，所以，由（1）知，則，，如圖2，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，.所以，則，，設(shè)平面的法向量為，則即取得.故平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，則.因?yàn)槎娼菫殁g角，所以二面角的余弦值為.本題考查線面平行的證明，考查了利用空間向量法求解二面角的方法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20．（1）．（2）【解析】

(1)根據(jù)題意代入公式化簡(jiǎn)即可得到.(2)聯(lián)立極坐標(biāo)方程通過(guò)極坐標(biāo)的幾何意義求解，再求點(diǎn)到直線的距離即可算出三角形面積.【詳解】解：（1）曲線，即．∴．曲線的極坐標(biāo)方程為．直線的極坐標(biāo)方程為，即，∴直線的直角坐標(biāo)方程為．（2）設(shè)，，∴，解得．又，∴（舍去）．∴．點(diǎn)到直線的距離為，∴的面積為．此題考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)，直角坐標(biāo)之間相互轉(zhuǎn)化，注意參數(shù)方程只能先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)，屬于較易題目.21．（1）的極坐標(biāo)方程為；曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）【解析】

(1)消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標(biāo)方程，再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，即可求解.(2)解法1：設(shè)直線的傾斜角為，把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程，求得，再把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；解法2：設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為，分別代入曲線，的極坐標(biāo)方程，得，，得出，即可基本不等式，即可求解.【詳解】(1)由題曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)，可得曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，則曲線的極坐標(biāo)方程為，即，又因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為，即，根據(jù)，代入即可求解曲線的直角坐標(biāo)方程.(2)解法1：設(shè)直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程得：，解得，，，把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通坐標(biāo)方程得：，解得，，，，，即，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.解法2：設(shè)直線的極坐標(biāo)方程為），代入曲線的極坐標(biāo)方程，得，，把直線的參數(shù)方程代入曲線的極坐標(biāo)方程得：，，即，，曲線的參，即，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取